En geometría , un grupo de puntos es un grupo matemático de operaciones de simetría ( isometrías en un espacio euclidiano ) que tienen un punto fijo en común. El origen de coordenadas del espacio euclidiano se considera convencionalmente un punto fijo, y cada grupo de puntos en la dimensión d es entonces un subgrupo del grupo ortogonal O( d ). Los grupos de puntos se utilizan para describir las simetrías de figuras geométricas y objetos físicos como las moléculas .
Cada grupo de puntos se puede representar como conjuntos de matrices ortogonales M que transforman el punto x en el punto y según y = Mx . Cada elemento de un grupo de puntos es una rotación ( determinante de M = 1 ), o es una reflexión o una rotación impropia (determinante de M = −1 ).
Las simetrías geométricas de los cristales se describen mediante grupos espaciales , que permiten traslaciones y contienen grupos de puntos como subgrupos. Los grupos de puntos discretos en más de una dimensión vienen en familias infinitas, pero según el teorema de restricción cristalográfica y uno de los teoremas de Bieberbach , cada número de dimensiones tiene solo un número finito de grupos de puntos que son simétricos sobre alguna red o cuadrícula con ese número de dimensiones. . Estos son los grupos de puntos cristalográficos .
Los grupos de puntos se pueden clasificar en grupos quirales (o puramente rotacionales) y grupos aquirales . [1] Los grupos quirales son subgrupos del grupo ortogonal especial SO( d ): contienen sólo transformaciones ortogonales que preservan la orientación, es decir, aquellas del determinante +1. Los grupos aquirales también contienen transformaciones del determinante −1. En un grupo aquiral, las transformaciones que preservan la orientación forman un subgrupo (quiral) del índice 2.
Los grupos finitos de Coxeter o grupos de reflexión son aquellos grupos de puntos que se generan puramente por un conjunto de espejos reflectantes que pasan por el mismo punto. Un grupo Coxeter de rango n tiene n espejos y está representado por un diagrama de Coxeter-Dynkin . La notación de Coxeter ofrece una notación entre corchetes equivalente al diagrama de Coxeter, con símbolos de marcado para grupos de puntos rotacionales y otros grupos de puntos de subsimetría. Los grupos de reflexión son necesariamente aquirales (excepto el grupo trivial que contiene sólo el elemento de identidad).
Sólo hay dos grupos de puntos unidimensionales, el grupo de identidad y el grupo de reflexión.
Grupos de puntos en dos dimensiones , a veces llamados grupos de rosetas .
Vienen en dos infinitas familias:
La aplicación del teorema de restricción cristalográfica restringe n a los valores 1, 2, 3, 4 y 6 para ambas familias, lo que produce 10 grupos.
El subconjunto de grupos de puntos de reflexión puros, definidos por 1 o 2 espejos, también puede venir dado por su grupo de Coxeter y polígonos relacionados. Estos incluyen 5 grupos cristalográficos. La simetría de los grupos reflexivos se puede duplicar mediante un isomorfismo , mapeando ambos espejos entre sí mediante un espejo bisector, duplicando el orden de simetría.
Grupos de puntos en tres dimensiones , a veces llamados grupos de puntos moleculares después de su amplio uso en el estudio de simetrías de moléculas .
Vienen en 7 familias infinitas de grupos axiales (también llamados prismáticos) y 7 grupos poliédricos adicionales (también llamados platónicos). En notación de Schönflies ,
La aplicación del teorema de restricción cristalográfica a estos grupos produce los 32 grupos de puntos cristalográficos .
Los grupos de puntos de reflexión, definidos por 1 a 3 planos especulares, también pueden estar dados por su grupo de Coxeter y poliedros relacionados. El grupo [3,3] se puede duplicar, escrito como [[3,3]], mapeando el primer y el último espejo entre sí, duplicando la simetría a 48 e isomorfo al grupo [4,3].
Los grupos de puntos de cuatro dimensiones (quirales y aquirales) se enumeran en Conway y Smith, [1] Sección 4, Tablas 4.1–4.3.
La siguiente lista proporciona los grupos de reflexión de cuatro dimensiones (excluyendo aquellos que dejan un subespacio fijo y que, por tanto, son grupos de reflexión de dimensiones inferiores). Cada grupo se especifica como un grupo de Coxeter y, al igual que los grupos poliédricos de 3D, puede denominarse por su 4 politopo regular convexo relacionado . Existen grupos rotacionales puros relacionados para cada uno con la mitad del orden, y se pueden representar mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo, [3,3,3] + tiene tres puntos de giro triples y un orden de simetría 60. Los grupos simétricos anverso-posterior como [3,3,3] y [3,4,3] se pueden duplicar, lo que se muestra como corchetes dobles en la notación de Coxeter, por ejemplo [[3,3,3]] con su orden duplicado a 240. .
La siguiente tabla proporciona los grupos de reflexión de cinco dimensiones (excluyendo aquellos que son grupos de reflexión de dimensiones inferiores), enumerándolos como grupos de Coxeter . Existen grupos quirales relacionados para cada uno con la mitad del orden, y se pueden representar mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo, [3,3,3,3] + tiene cuatro puntos de giro triples y orden de simetría 360 .
La siguiente tabla proporciona los grupos de reflexión de seis dimensiones (excluyendo aquellos que son grupos de reflexión de dimensiones inferiores), enumerándolos como grupos de Coxeter . Existen grupos rotacionales puros relacionados para cada uno con la mitad del orden y se pueden representar mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo, [3,3,3,3,3] + tiene cinco puntos de giro triples y orden de simetría 2520.
La siguiente tabla proporciona los grupos de reflexión de siete dimensiones (excluyendo aquellos que son grupos de reflexión de dimensiones inferiores), enumerándolos como grupos de Coxeter . Existen grupos quirales relacionados para cada uno con la mitad del orden, definidos por un número par de reflexiones, y pueden representarse mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo [3,3,3,3,3,3] + tiene seis puntos de giro triple y orden de simetría 20160.
La siguiente tabla proporciona los grupos de reflexión de ocho dimensiones (excluyendo aquellos que son grupos de reflexión de dimensiones inferiores), enumerándolos como grupos de Coxeter . Existen grupos quirales relacionados para cada uno con la mitad del orden, definidos por un número par de reflexiones, y pueden representarse mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo [3,3,3,3,3,3, 3] + tiene siete puntos de giro triple y orden de simetría 181440.