Ecuaciones de movimiento

En física , las ecuaciones de movimiento son ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema físico en términos de su movimiento en función del tiempo. ^[1] Más específicamente, las ecuaciones de movimiento describen el comportamiento de un sistema físico como un conjunto de funciones matemáticas en términos de variables dinámicas. Estas variables suelen ser coordenadas espaciales y tiempo, pero pueden incluir componentes de momento . La opción más general son las coordenadas generalizadas , que pueden ser cualquier variable conveniente característica del sistema físico. ^[2] Las funciones se definen en un espacio euclidiano en la mecánica clásica , pero se reemplazan por espacios curvos en la relatividad . Si se conoce la dinámica de un sistema, las ecuaciones son las soluciones de las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la dinámica.

Tipos

Existen dos descripciones principales del movimiento: dinámica y cinemática . La dinámica es general, ya que se tienen en cuenta los momentos, las fuerzas y la energía de las partículas . En este caso, a veces el término dinámica se refiere a las ecuaciones diferenciales que satisface el sistema (por ejemplo, la segunda ley de Newton o las ecuaciones de Euler-Lagrange ) y, a veces, a las soluciones de esas ecuaciones.

Sin embargo, la cinemática es más simple. Se ocupa únicamente de variables derivadas de las posiciones de los objetos y del tiempo. En circunstancias de aceleración constante, estas ecuaciones de movimiento más simples se denominan habitualmente ecuaciones SUVAT, que surgen de las definiciones de magnitudes cinemáticas : desplazamiento ( $s$ ), velocidad inicial ( $u$ ), velocidad final ( $v$ ), aceleración ( $a$ ) y tiempo ( $t$ ).

Una ecuación diferencial de movimiento, generalmente identificada como una ley física (por ejemplo, F = ma) y aplicando definiciones de cantidades físicas , se utiliza para plantear una ecuación para el problema. ^{[ aclaración necesaria ]} La resolución de la ecuación diferencial conducirá a una solución general con constantes arbitrarias, correspondiendo la arbitrariedad a una familia de soluciones. Se puede obtener una solución particular estableciendo los valores iniciales , lo que fija los valores de las constantes.

Para expresarlo formalmente, en general una ecuación de movimiento $M$ es una función de la posición $r$ del objeto, su velocidad (la primera derivada temporal de $r$ , $v = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠dr/es⁠$ ), y su aceleración (la segunda derivada de $r$ , $a = ⁠ d2r / dos ⁠$ ), y tiempo $t$ . Los vectores euclidianos en 3D se indican en negrita. Esto es equivalente a decir que una ecuación de movimiento en $r$ es una ecuación diferencial ordinaria (EDO)de segundo orden $en r$ ,

$M\left[\mathbf {r} (t),\mathbf {\dot {r}} (t),\mathbf {\ddot {r}} (t),t\right]=0\,,$

donde $t$ es el tiempo y cada punto sobrepuesto denota una derivada temporal . Las condiciones iniciales están dadas por los valores constantes en $t = 0$ ,

$\mathbf {r} (0)\,,\quad \mathbf {\dot {r}} (0)\,.$

La solución $r (t)$ de la ecuación de movimiento, con valores iniciales especificados, describe el sistema para todos los tiempos $t$ después de $t = 0.$ Otras variables dinámicas como el momento $p$ del objeto, o cantidades derivadas de $r$ y $p$ como el momento angular , se pueden utilizar en lugar de $r$ como la cantidad a resolver a partir de alguna ecuación de movimiento, aunque la posición del objeto en el tiempo $t$ es por lejos la cantidad más buscada.

A veces, la ecuación será lineal y es más probable que se pueda resolver con exactitud. En general, la ecuación será no lineal y no se puede resolver con exactitud, por lo que se deben utilizar diversas aproximaciones. Las soluciones de las ecuaciones no lineales pueden mostrar un comportamiento caótico según la sensibilidad del sistema a las condiciones iniciales.

Historia

La cinemática, la dinámica y los modelos matemáticos del universo se fueron desarrollando gradualmente a lo largo de tres milenios gracias a muchos pensadores, de los cuales sólo conocemos los nombres de algunos. En la Antigüedad, sacerdotes , astrólogos y astrónomos predijeron los eclipses solares y lunares , los solsticios y equinoccios del Sol y el período de la Luna . Pero no tenían nada más que un conjunto de algoritmos para guiarse. Las ecuaciones del movimiento no se escribieron hasta mil años después.

Los eruditos medievales del siglo XIII —por ejemplo, en las universidades relativamente nuevas de Oxford y París— se basaron en matemáticos antiguos (Euclides y Arquímedes) y filósofos (Aristóteles) para desarrollar un nuevo cuerpo de conocimientos, ahora llamado física.

En Oxford, el Merton College albergaba a un grupo de eruditos dedicados a las ciencias naturales, principalmente física, astronomía y matemáticas, que eran de estatura similar a los intelectuales de la Universidad de París. Thomas Bradwardine amplió las magnitudes aristotélicas como la distancia y la velocidad, y les asignó intensidad y extensión. Bradwardine sugirió una ley exponencial que involucraba fuerza, resistencia, distancia, velocidad y tiempo. Nicholas Oresme amplió aún más los argumentos de Bradwardine. La escuela de Merton demostró que la cantidad de movimiento de un cuerpo que experimenta un movimiento uniformemente acelerado es igual a la cantidad de un movimiento uniforme a la velocidad alcanzada a la mitad del movimiento acelerado.

Para los autores de cinemática anteriores a Galileo , como no se podían medir intervalos de tiempo pequeños, la afinidad entre tiempo y movimiento era oscura. Utilizaban el tiempo como función de la distancia y, en caída libre, una mayor velocidad como resultado de una mayor elevación. Sólo Domingo de Soto , un teólogo español, en su comentario a la Física de Aristóteles publicado en 1545, después de definir el movimiento "uniforme difforme" (que es un movimiento uniformemente acelerado) -no se utilizaba la palabra velocidad- como proporcional al tiempo, declaró correctamente que este tipo de movimiento era identificable con cuerpos y proyectiles en caída libre, sin que él probara estas proposiciones o sugiriera una fórmula que relacionara tiempo, velocidad y distancia. Los comentarios de De Soto son notablemente correctos en lo que respecta a las definiciones de aceleración (la aceleración era una tasa de cambio de movimiento (velocidad) en el tiempo) y la observación de que la aceleración sería negativa durante el ascenso.

Discursos como estos se difundieron por toda Europa, dando forma al trabajo de Galileo Galilei y otros, y ayudaron a sentar las bases de la cinemática. ^[3] Galileo dedujo la ecuación $s = ⁠ 1 / 2 ⁠ gt 2$ en su trabajo geométricamente,^[4] utilizando la regla de Merton , ahora conocida como un caso especial de una de las ecuaciones de la cinemática.

Galileo fue el primero en demostrar que la trayectoria de un proyectil es una parábola . Galileo comprendía la fuerza centrífuga y dio una definición correcta del momento . Este énfasis en el momento como una cantidad fundamental en dinámica es de suma importancia. Midió el momento mediante el producto de la velocidad por el peso; la masa es un concepto posterior, desarrollado por Huygens y Newton. En el balanceo de un péndulo simple, Galileo dice en Discursos^[5] que "todo momento adquirido en el descenso a lo largo de un arco es igual al que hace que el mismo cuerpo en movimiento ascienda a través del mismo arco". Su análisis sobre los proyectiles indica que Galileo había comprendido la primera y la segunda ley del movimiento. No las generalizó ni las hizo aplicables a cuerpos no sujetos a la gravitación de la Tierra. Ese paso fue la contribución de Newton.

El término "inercia" fue utilizado por Kepler, quien lo aplicó a los cuerpos en reposo. (La primera ley del movimiento se denomina ahora ley de la inercia).

Galileo no comprendió plenamente la tercera ley del movimiento, la ley de la igualdad de acción y reacción, aunque corrigió algunos errores de Aristóteles. Junto con Stevin y otros, Galileo también escribió sobre estática. Formuló el principio del paralelogramo de fuerzas, pero no reconoció plenamente su alcance.

Galileo también se interesó por las leyes del péndulo, cuyas primeras observaciones las hizo cuando era joven. En 1583, mientras rezaba en la catedral de Pisa, le llamó la atención el movimiento de la gran lámpara encendida y dejada oscilando, que tomaba como referencia su propio pulso para medir el tiempo. Para él, el período parecía ser el mismo, incluso después de que el movimiento hubiera disminuido considerablemente, y descubrió el isocronismo del péndulo.

Experimentos más cuidadosos realizados por él posteriormente y descritos en sus Discursos, revelaron que el período de oscilación varía con la raíz cuadrada de la longitud pero es independiente de la masa del péndulo.

Así llegamos a René Descartes , Isaac Newton , Gottfried Leibniz , et al.; y las formas evolucionadas de las ecuaciones de movimiento que empiezan a reconocerse como las modernas.

Más tarde, las ecuaciones de movimiento también aparecieron en la electrodinámica , al describir el movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos, la fuerza de Lorentz es la ecuación general que sirve como definición de lo que se entiende por campo eléctrico y campo magnético . Con el advenimiento de la relatividad especial y la relatividad general , las modificaciones teóricas al espacio-tiempo significaron que las ecuaciones clásicas de movimiento también se modificaron para tener en cuenta la velocidad finita de la luz y la curvatura del espacio-tiempo . En todos estos casos, las ecuaciones diferenciales estaban en términos de una función que describía la trayectoria de la partícula en términos de coordenadas espaciales y temporales, según la influencia de fuerzas o transformaciones de energía. ^[6]

Sin embargo, las ecuaciones de la mecánica cuántica también pueden considerarse "ecuaciones de movimiento", ya que son ecuaciones diferenciales de la función de onda , que describe cómo se comporta un estado cuántico de forma análoga utilizando las coordenadas espaciales y temporales de las partículas. Existen análogos de ecuaciones de movimiento en otras áreas de la física, para conjuntos de fenómenos físicos que pueden considerarse ondas, fluidos o campos.

Ecuaciones cinemáticas para una partícula

Magnitudes cinemáticas

Desde la posición instantánea $r = r (t)$ , que significa instantáneo en un valor instantáneo de tiempo $t$ , la velocidad instantánea $v = v (t)$ y la aceleración $a = a (t)$ tienen definiciones generales independientes de las coordenadas; ^[7]

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$

Observe que la velocidad siempre apunta en la dirección del movimiento, en otras palabras, para una trayectoria curva es el vector tangente . En términos generales, las derivadas de primer orden están relacionadas con las tangentes de las curvas. Aún así, para las trayectorias curvas, la aceleración se dirige hacia el centro de curvatura de la trayectoria. Nuevamente, en términos generales, las derivadas de segundo orden están relacionadas con la curvatura.

Los análogos rotacionales son el "vector angular" (ángulo en el que la partícula gira alrededor de algún eje) $θ = θ (t)$ , la velocidad angular $ω = ω (t)$ , y la aceleración angular $α = α (t)$ :

$θ = θ n ^ , ω = d θ d t , α = d ω d t , {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\mathbf {n} }}\,,\quad {\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}\,,\quad {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\,,}$

donde $n̂$ es un vector unitario en la dirección del eje de rotación, y $θ$ es el ángulo que gira el objeto alrededor del eje.

La siguiente relación es válida para una partícula puntual que orbita alrededor de un eje con una velocidad angular $ω$ : ^[8]

$v = ω × r {\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

donde $r$ es el vector de posición de la partícula (radial desde el eje de rotación) y $v$ la velocidad tangencial de la partícula. Para un cuerpo rígido continuo giratorio , estas relaciones se cumplen para cada punto del cuerpo rígido.

Aceleración uniforme

La ecuación diferencial del movimiento de una partícula con aceleración constante o uniforme en línea recta es sencilla: la aceleración es constante, por lo que la segunda derivada de la posición del objeto es constante. Los resultados de este caso se resumen a continuación.

Aceleración traslacional constante en línea recta

Estas ecuaciones se aplican a una partícula que se mueve linealmente, en tres dimensiones en línea recta con aceleración constante . ^[9] Dado que la posición, la velocidad y la aceleración son colineales (paralelas y se encuentran en la misma línea), solo son necesarias las magnitudes de estos vectores, y debido a que el movimiento es a lo largo de una línea recta, el problema se reduce efectivamente de tres dimensiones a una.

${\begin{aligned}v&=at+v_{0}&[1]\\r&=r_{0}+v_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}&[2]\\r&=r_{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(v+v_{0}\right)t&[3]\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right)&[4]\\r&=r_{0}+vt-{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}&[5]\\\end{aligned}}$

dónde:

$r 0$ es la posición inicial de la partícula
$r$ es la posición final de la partícula
$v 0$ es la velocidad inicial de la partícula
$v$ es la velocidad final de la partícula
$a$ es la aceleración de la partícula
$t$ es el intervalo de tiempo

Derivación

Las ecuaciones [1] y [2] resultan de la integración de las definiciones de velocidad y aceleración, ^[9] sujetas a las condiciones iniciales $r (t 0) = r 0$ y $v (t 0) = v 0$ ;

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=\int \mathbf {a} dt=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}\,,&[1]\\\mathbf {r} &=\int (\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0})dt={\frac {\mathbf {a} t^{2}}{2}}+\mathbf {v} _{0}t+\mathbf {r} _{0}\,,&[2]\\\end{aligned}}$

en magnitudes,

${\begin{aligned}v&=at+v_{0}\,,&[1]\\r&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+v_{0}t+r_{0}\,.&[2]\\\end{aligned}}$

La ecuación [3] involucra la velocidad $promedio$ $v + v 0 / 2 ⁠$ . Intuitivamente, la velocidad aumenta linealmente, por lo que la velocidad promedio multiplicada por el tiempo es la distancia recorrida mientras aumenta la velocidad de $v 0$ a $v$ , como se puede ilustrar gráficamente al trazar la velocidad contra el tiempo como un gráfico de línea recta. Algebraicamente, se deduce de resolver [1] para

$a = ( v − v 0 ) t {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})}{t}}}$

y sustituyendo en [2]

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {t}{2}}(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})\,,$

luego simplificando para obtener

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+{\frac {t}{2}}(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0})$

o en magnitudes

$r=r_{0}+\left({\frac {v+v_{0}}{2}}\right)t\quad [3]$

Desde [3],

$t=\left(r-r_{0}\right)\left({\frac {2}{v+v_{0}}}\right)$

Sustituyendo $t$ en [1]:

${\begin{aligned}v&=a\left(r-r_{0}\right)\left({\frac {2}{v+v_{0}}}\right)+v_{0}\\v\left(v+v_{0}\right)&=2a\left(r-r_{0}\right)+v_{0}\left(v+v_{0}\right)\\v^{2}+vv_{0}&=2a\left(r-r_{0}\right)+v_{0}v+v_{0}^{2}\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right)&[4]\\\end{aligned}}$

Desde [3],

$2\left(r-r_{0}\right)-vt=v_{0}t$

Sustituyendo en [2]:

${\begin{aligned}r&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+2r-2r_{0}-vt+r_{0}\\0&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+r-r_{0}-vt\\r&=r_{0}+vt-{\frac {{a}t^{2}}{2}}&[5]\end{aligned}}$

Generalmente solo se necesitan los primeros 4, el quinto es opcional.

Aquí $a$ es aceleración constante , o en el caso de cuerpos que se mueven bajo la influencia de la gravedad , se utiliza la gravedad estándar $g$ . Nótese que cada una de las ecuaciones contiene cuatro de las cinco variables, por lo que en esta situación es suficiente conocer tres de las cinco variables para calcular las dos restantes.

En algunos programas, como los programas de Física IGCSE y Física IB DP (programas internacionales pero especialmente populares en el Reino Unido y Europa), las mismas fórmulas se escribirían con un conjunto diferente de variables preferidas. Allí $u$ reemplaza $a v$ $0$ y $s$ reemplaza $a r$ $-$ $r$ $0$ . A menudo se las conoce como ecuaciones SUVAT , donde "SUVAT" es un acrónimo de las variables: $s$ = desplazamiento, $u$ = velocidad inicial, $v$ = velocidad final, $a$ = aceleración, $t$ = tiempo. ^[10]^[11] En estas variables, las ecuaciones de movimiento se escribirían

${\begin{aligned}v&=u+at&[1]\\s&=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}&[2]\\s&={\tfrac {1}{2}}(u+v)t&[3]\\v^{2}&=u^{2}+2as&[4]\\s&=vt-{\tfrac {1}{2}}at^{2}&[5]\\\end{aligned}}$

Aceleración lineal constante en cualquier dirección

Los vectores de posición inicial, velocidad inicial y aceleración no necesitan ser colineales, y las ecuaciones de movimiento toman una forma casi idéntica. La única diferencia es que las magnitudes cuadradas de las velocidades requieren el producto escalar . Las derivaciones son esencialmente las mismas que en el caso colineal,

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}&[1]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&[2]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}\right)t&[3]\\\mathbf {v} ^{2}&=\mathbf {v} _{0}^{2}+2\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)&[4]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&[5]\\\end{aligned}}$ Aunque la ecuación de Torricelli [4] se puede derivar utilizando la propiedad distributiva del producto escalar de la siguiente manera: $v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)\cdot (\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)=v_{0}^{2}+2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}$ $(2\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=(2\mathbf {a} )\cdot \left(\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\right)=2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}=v^{2}-v_{0}^{2}$ $\therefore v^{2}=v_{0}^{2}+2(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}))$

Aplicaciones

Ejemplos elementales y frecuentes en cinemática involucran proyectiles , por ejemplo una pelota lanzada hacia arriba en el aire. Dada la velocidad inicial $u$ , uno puede calcular qué tan alto viajará la pelota antes de comenzar a caer. La aceleración es la aceleración local de la gravedad $g$ . Si bien estas cantidades parecen ser escalares , la dirección del desplazamiento, la velocidad y la aceleración son importantes. De hecho, podrían considerarse como vectores unidireccionales. Eligiendo $s$ para medir desde el suelo, la aceleración $a$ debe ser de hecho $-g$ , ya que la fuerza de la gravedad actúa hacia abajo y, por lo tanto, también la aceleración sobre la pelota debido a ella.

En el punto más alto, la pelota estará en reposo: por lo tanto, $v = 0.$ Usando la ecuación [4] en el conjunto anterior, tenemos:

$s={\frac {v^{2}-u^{2}}{-2g}}.$

Sustituyendo y cancelando los signos menos se obtiene:

$s={\frac {u^{2}}{2g}}.$

Aceleración circular constante

Los análogos de las ecuaciones anteriores se pueden escribir para la rotación . Nuevamente, estos vectores axiales deben ser todos paralelos al eje de rotación, por lo que solo son necesarias las magnitudes de los vectores.

${\begin{aligned}\omega &=\omega _{0}+\alpha t\\\theta &=\theta _{0}+\omega _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\theta &=\theta _{0}+{\tfrac {1}{2}}(\omega _{0}+\omega )t\\\omega ^{2}&=\omega _{0}^{2}+2\alpha (\theta -\theta _{0})\\\theta &=\theta _{0}+\omega t-{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\end{aligned}}$

donde $α$ es la aceleración angular constante , $ω$ es la velocidad angular , $ω 0$ es la velocidad angular inicial, $θ$ es el ángulo girado ( desplazamiento angular ), $θ 0$ es el ángulo inicial y $t$ es el tiempo necesario para rotar desde el estado inicial al estado final.

Movimiento plano general

Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas. Observe que la configuración no está restringida al espacio 2D, sino a un plano en cualquier dimensión superior.

Estas son las ecuaciones cinemáticas para una partícula que recorre una trayectoria en un plano, descrita por la posición $r = r (t)$ . ^[12] Son simplemente las derivadas temporales del vector de posición en coordenadas polares planas utilizando las definiciones de cantidades físicas anteriores para la velocidad angular $ω$ y la aceleración angular $α$ . Estas son cantidades instantáneas que cambian con el tiempo.

La posición de la partícula es

$\mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r(t),\theta (t)\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}$

donde $ê r$ y $ê θ$ son los vectores unitarios polares . Al derivar respecto del tiempo se obtiene la velocidad

$\mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {dr}{dt}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }$

con componente $radial$ $dr. / es ⁠$ y un componente adicional $rω$ debido a la rotación. Derivando con respecto al tiempo nuevamente se obtiene la aceleración

$\mathbf {a} =\left({\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\omega ^{2}\right)\mathbf {\hat {e}} _{r}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {dr}{dt}}\right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }$

$que$ irrumpe en la aceleración radial $d2r / dos ⁠$ , aceleración centrípeta $- rω 2$ , aceleración de Coriolis $2 ω ⁠ dr. / es ⁠$ , y la aceleración angular $rα$ .

En la siguiente tabla se resumen de forma cualitativa los casos especiales de movimiento descritos por estas ecuaciones. Ya se han analizado dos de ellos anteriormente, en los casos en que los componentes radiales o angulares son cero y el componente distinto de cero del movimiento describe una aceleración uniforme.

Movimientos generales en 3D

En el espacio 3D, las ecuaciones en coordenadas esféricas $(r, θ, φ)$ con los vectores unitarios correspondientes $ê r$ , $ê θ$ y $ê φ$ , la posición, la velocidad y la aceleración se generalizan respectivamente a

${\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} \left(t\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}\\\mathbf {v} &=v\mathbf {\hat {e}} _{r}+r\,{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{\theta }+r\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta \mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\\\mathbf {a} &=\left(a-r\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{r}\\&+\left(r{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+2v{\frac {d\theta }{dt}}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }\\&+\left(r{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,\sin \theta +2v\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta +2r\,{\frac {d\theta }{dt}}\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\end{aligned}}\,\!$

En el caso de una constante $φ$ esto se reduce a las ecuaciones planares anteriores.

Ecuaciones dinámicas de movimiento

Mecánica newtoniana

La primera ecuación general del movimiento desarrollada fue la segunda ley del movimiento de Newton . En su forma más general, establece que la tasa de cambio del momento $p = p (t) = m v (t)$ de un objeto es igual a la fuerza $F = F (x (t), v (t), t)$ que actúa sobre él, ^[13]^{: 1112}

$F = re p re t {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$

La fuerza en la ecuación no es la fuerza que ejerce el objeto. Si reemplazamos el momento por la masa por la velocidad, la ley también se escribe de forma más famosa como

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$

ya que $m$ es una constante en la mecánica newtoniana .

La segunda ley de Newton se aplica a partículas puntuales y a todos los puntos de un cuerpo rígido . También se aplica a cada punto de un continuo de masa, como sólidos deformables o fluidos, pero se debe tener en cuenta el movimiento del sistema; véase derivada material . En el caso de que la masa no sea constante, no es suficiente utilizar la regla del producto para la derivada respecto al tiempo de la masa y la velocidad, y la segunda ley de Newton requiere alguna modificación coherente con la conservación del momento ; véase sistema de masa variable .

Puede resultar sencillo escribir las ecuaciones de movimiento en forma vectorial utilizando las leyes de Newton, pero los componentes pueden variar de forma complicada con las coordenadas espaciales y el tiempo, y resolverlos no es fácil. A menudo hay un exceso de variables para resolver el problema por completo, por lo que las leyes de Newton no siempre son la forma más eficiente de determinar el movimiento de un sistema. En casos simples de geometría rectangular, las leyes de Newton funcionan bien en coordenadas cartesianas, pero en otros sistemas de coordenadas pueden volverse dramáticamente complejas.

La forma de momento es preferible ya que se generaliza fácilmente a sistemas más complejos, como la relatividad especial y general (ver cuatro momentos ). ^[13]^{: 112} También se puede utilizar con la conservación del momento. Sin embargo, las leyes de Newton no son más fundamentales que la conservación del momento, porque las leyes de Newton son simplemente consistentes con el hecho de que una fuerza resultante cero que actúa sobre un objeto implica un momento constante, mientras que una fuerza resultante implica que el momento no es constante. La conservación del momento siempre es verdadera para un sistema aislado no sujeto a fuerzas resultantes.

Para un número de partículas (ver problema de muchos cuerpos ), la ecuación de movimiento para una partícula $i$ influenciada por otras partículas es ^[7]^[1] ${\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}$

donde $p i$ es el momento de la partícula $i$ , $F ij$ es la fuerza ejercida sobre la partícula $i$ por la partícula $j$ , y $F E$ es la fuerza externa resultante debida a cualquier agente que no sea parte del sistema. La partícula $i$ no ejerce una fuerza sobre sí misma.

Las leyes de movimiento de Euler son similares a las leyes de Newton, pero se aplican específicamente al movimiento de cuerpos rígidos . Las ecuaciones de Newton-Euler combinan las fuerzas y los momentos de torsión que actúan sobre un cuerpo rígido en una sola ecuación.

La segunda ley de Newton para la rotación adopta una forma similar al caso traslacional, ^[13]

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\,,$

Al igualar el par que actúa sobre el cuerpo con la tasa de cambio de su momento angular $L$ . De manera análoga a la masa por la aceleración, el tensor del momento de inercia $I$ depende de la distribución de la masa sobre el eje de rotación, y la aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular,

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} {\boldsymbol {\alpha }}.$

Nuevamente, estas ecuaciones se aplican a partículas puntuales o a cada punto de un cuerpo rígido.

De la misma manera, para un número de partículas, la ecuación de movimiento para una partícula $i$ es ^[7]

${\frac {d\mathbf {L} _{i}}{dt}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}\,,$

donde $L i$ es el momento angular de la partícula $i$ , $τ ij$ es el torque ejercido sobre la partícula $i$ por la partícula $j$ , y $τ E$ es el torque externo resultante (debido a cualquier agente que no sea parte del sistema). La partícula $i$ no ejerce un torque sobre sí misma.

Aplicaciones

Algunos ejemplos ^[14] de la ley de Newton incluyen la descripción del movimiento de un péndulo simple ,

$-mg\sin \theta =m{\frac {d^{2}(\ell \theta )}{dt^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta \,,$

y un oscilador armónico amortiguado y accionado sinusoidalmente ,

$F_{0}\sin(\omega t)=m\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x\right)\,.$

Para describir el movimiento de masas debido a la gravedad, la ley de la gravedad de Newton se puede combinar con la segunda ley de Newton. Para dos ejemplos, una pelota de masa $m$ lanzada al aire, en corrientes de aire (como el viento) descritas por un campo vectorial de fuerzas resistivas $R = R (r, t)$ ,

$-{\frac {GmM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {R} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}+0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=-{\frac {GM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {A}$

donde $G$ es la constante gravitacional , $M$ la masa de la Tierra y $A = ⁠ R / metro ⁠$ es la aceleración del proyectil debido a las corrientes de aire en la posición $r$ y el tiempo $t$ .

El problema clásico de N cuerpos para $N$ partículas que interactúan entre sí debido a la gravedad es un conjunto de $N$ EDO de segundo orden acopladas no lineales,

${\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}=G\sum _{i\neq j}{\frac {m_{j}}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|^{3}}}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})$

donde $i = 1, 2, ..., N$ etiqueta las cantidades (masa, posición, etc.) asociadas con cada partícula.

Mecánica analítica

El uso de las tres coordenadas del espacio 3D es innecesario si existen restricciones en el sistema. Si el sistema tiene $N$ grados de libertad , entonces se puede utilizar un conjunto de $N$ coordenadas generalizadas $q (t) = [q 1 (t), q 2 (t) ... q N (t)]$ , para definir la configuración del sistema. Pueden tener la forma de longitudes de arco o ángulos . Son una simplificación considerable para describir el movimiento, ya que aprovechan las restricciones intrínsecas que limitan el movimiento del sistema, y el número de coordenadas se reduce al mínimo. Las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas son las velocidades generalizadas.

$\mathbf {\dot {q}} ={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}\,.$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son ^[2]^[16]

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\,,$

donde el Lagrangiano es una función de la configuración $q$ y su tasa de cambio en el $tiempo$ $que / es ⁠$ (y posiblemente el tiempo $t$ )

$L=L\left[\mathbf {q} (t),\mathbf {\dot {q}} (t),t\right]\,.$

Estableciendo el Lagrangiano del sistema, luego sustituyendo en las ecuaciones y evaluando las derivadas parciales y simplificando, se obtiene un conjunto de $N$ EDO de segundo orden acopladas en las coordenadas.

Las ecuaciones de Hamilton son ^[2]^[16]

$\mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {q}} =+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\,,$

donde el hamiltoniano

$H=H\left[\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t),t\right]\,,$

es una función de la configuración $q$ y de los momentos "generalizados" conjugados

$\mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\,,$

en el $cual$ $\partial / \partial q ⁠ = (⁠ \partial / \partial q 1 ⁠, ⁠ \partial / \partial q2 ⁠, \dots, ⁠ \partial / \partial qN ⁠)$ es una notación abreviada para un vector de derivadas parciales con respecto a las variables indicadas (ver por ejemplo el cálculo matricial para esta notación del denominador), y posiblemente el tiempo $t$ ,

Estableciendo el hamiltoniano del sistema, luego sustituyendo en las ecuaciones y evaluando las derivadas parciales y simplificando, se obtiene un conjunto de $2 N$ EDO de primer orden acopladas en las coordenadas $q i$ y momentos $p i .$

La ecuación de Hamilton-Jacobi es ^[2]

$-{\frac {\partial S(\mathbf {q} ,t)}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)\,.$

dónde

$S[\mathbf {q} ,t]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)\,dt\,,$

es la función principal de Hamilton , también llamada acción clásica , es una función de $L.$ En este caso, los momentos están dados por

$\mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\,.$

Aunque la ecuación tiene una forma general simple, para un hamiltoniano dado es en realidad una única EDP no lineal de primer orden , en $N$ $+ 1$ variables. La acción $S$ permite la identificación de cantidades conservadas para sistemas mecánicos, incluso cuando el problema mecánico en sí no puede resolverse por completo, porque cualquier simetría diferenciable de la acción de un sistema físico tiene una ley de conservación correspondiente , un teorema debido a Emmy Noether .

Todas las ecuaciones clásicas de movimiento pueden derivarse del principio variacional conocido como principio de mínima acción de Hamilton.

$\delta S=0\,,$

indicando que la ruta que toma el sistema a través del espacio de configuración es la que tiene la menor acción $S.$

Electrodinámica

En electrodinámica, la fuerza sobre una partícula cargada de carga $q$ es la fuerza de Lorentz : ^[17]

$F = q ( E + v × B ) {\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

Combinando con la segunda ley de Newton se obtiene una ecuación diferencial de movimiento de primer orden, en términos de la posición de la partícula:

$m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=q\left(\mathbf {E} +{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {B} \right)$

o su impulso:

${\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {p} \times \mathbf {B} }{m}}\right)$

La misma ecuación se puede obtener utilizando el Lagrangiano (y aplicando las ecuaciones de Lagrange anteriores) para una partícula cargada de masa $m$ y carga $q$ : ^[16]

$L={\tfrac {1}{2}}m\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi$

donde $A$ y $ϕ$ son los campos potenciales electromagnéticos escalares y vectoriales . El lagrangiano indica un detalle adicional: el momento canónico en la mecánica lagrangiana está dado por: en lugar de solo $m$ $v$ , lo que implica que el movimiento de una partícula cargada está determinado fundamentalmente por la masa y la carga de la partícula. La expresión lagrangiana se utilizó por primera vez para derivar la ecuación de fuerza. $\mathbf {P} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A}$

Alternativamente, el hamiltoniano (y sustituyendo en las ecuaciones): ^[16] puede derivar la ecuación de fuerza de Lorentz. $H={\frac {\left(\mathbf {P} -q\mathbf {A} \right)^{2}}{2m}}+q\phi$

Relatividad general

Ecuación geodésica de movimiento

Las ecuaciones anteriores son válidas en el espacio-tiempo plano. En el espacio-tiempo curvo , las cosas se complican matemáticamente porque no hay una línea recta; esto se generaliza y se reemplaza por una geodésica del espacio-tiempo curvo (la longitud más corta de la curva entre dos puntos). Para variedades curvas con un tensor métrico $g$ , la métrica proporciona la noción de longitud de arco (ver elemento de línea para más detalles). La longitud de arco diferencial está dada por: ^[19]^{: 1199}

$re s = gramo α β re x α d x β {\displaystyle ds={\sqrt {g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}}}$

y la ecuación geodésica es una ecuación diferencial de segundo orden en las coordenadas. La solución general es una familia de geodésicas: ^[19]^{: 1200}

${\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}{\frac {dx^{\beta }}{ds}}$

donde $Γ μ αβ$ es un símbolo de Christoffel de segundo tipo , que contiene la métrica (con respecto al sistema de coordenadas).

Dada la distribución de masa-energía proporcionada por el tensor de tensión-energía $T αβ$ , las ecuaciones de campo de Einstein son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden no lineales en la métrica, e implican que la curvatura del espacio-tiempo es equivalente a un campo gravitacional (véase el principio de equivalencia ). La masa que cae en el espacio-tiempo curvo es equivalente a una masa que cae en un campo gravitacional, porque la gravedad es una fuerza ficticia . La aceleración relativa de una geodésica con respecto a otra en el espacio-tiempo curvo está dada por la ecuación de desviación geodésica :

${\frac {D^{2}\xi ^{\alpha }}{ds^{2}}}=-R^{\alpha }{}_{\beta \gamma \delta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}\xi ^{\gamma }{\frac {dx^{\delta }}{ds}}$

donde $ξ α = x 2 α - x 1 α$ es el vector de separación entre dos geodésicas, $⁠$ $D / ds ⁠$ ( no sólo $⁠$ $d / ds ⁠$ ) es la derivada covariante , y $R α βγδ$ es el tensor de curvatura de Riemann , que contiene los símbolos de Christoffel. En otras palabras, la ecuación de desviación geodésica es la ecuación de movimiento para masas en el espacio-tiempo curvo, análoga a la ecuación de fuerza de Lorentz para cargas en un campo electromagnético.^[18]^{: 34–35}

En el caso del espacio-tiempo plano, la métrica es un tensor constante, por lo que los símbolos de Christoffel desaparecen y la ecuación geodésica tiene como soluciones las líneas rectas. Este es también el caso límite en el que las masas se mueven según la ley de la gravedad de Newton .

Objetos giratorios

En la relatividad general, el movimiento rotacional se describe mediante el tensor de momento angular relativista , que incluye el tensor de espín , que se incluye en las ecuaciones de movimiento bajo derivadas covariantes con respecto al tiempo propio . Las ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon describen el movimiento de objetos giratorios que se mueven en un campo gravitacional .

Análogos para ondas y campos

A diferencia de las ecuaciones de movimiento para describir la mecánica de partículas, que son sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas, las ecuaciones análogas que rigen la dinámica de las ondas y los campos son siempre ecuaciones diferenciales parciales , ya que las ondas o los campos son funciones del espacio y del tiempo. Para una solución particular, es necesario especificar las condiciones de contorno junto con las condiciones iniciales.

A veces, en los siguientes contextos, las ecuaciones de onda o de campo también se denominan "ecuaciones de movimiento".

Ecuaciones de campo

Las ecuaciones que describen la dependencia espacial y la evolución temporal de los campos se denominan ecuaciones de campo . Estas incluyen

Ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético ,
Ecuación de Poisson para potenciales de campo gravitacional o electrostático newtoniano ,
La ecuación de campo de Einstein para la gravitación ( la ley de gravedad de Newton es un caso especial para campos gravitacionales débiles y bajas velocidades de partículas).

Esta terminología no es universal: por ejemplo, aunque las ecuaciones de Navier-Stokes gobiernan el campo de velocidad de un fluido , normalmente no se las llama "ecuaciones de campo", ya que en este contexto representan el momento del fluido y se denominan "ecuaciones de momento".

Ecuaciones de ondas

Las ecuaciones del movimiento ondulatorio se denominan ecuaciones de onda . Las soluciones de una ecuación de onda proporcionan la evolución temporal y la dependencia espacial de la amplitud . Las condiciones de contorno determinan si las soluciones describen ondas viajeras u ondas estacionarias .

A partir de las ecuaciones clásicas de movimiento y de las ecuaciones de campo, se pueden derivar ecuaciones de ondas mecánicas, gravitacionales y electromagnéticas . La ecuación de onda lineal general en 3D es:

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial t^{2}}}=\nabla ^{2}X$

donde $X = X (r, t)$ es cualquier amplitud de campo mecánico o electromagnético, digamos: ^[20]

el desplazamiento transversal o longitudinal de una varilla, alambre, cable, membrana, etc. vibrante,
la presión fluctuante de un medio, la presión sonora ,
los campos eléctricos $E$ o $D$ , o los campos magnéticos $B$ o $H$ ,
el voltaje $V$ o la corriente $I$ en un circuito de corriente alterna ,

y $v$ es la velocidad de fase . Las ecuaciones no lineales modelan la dependencia de la velocidad de fase con respecto a la amplitud, reemplazando $v$ por $v (X)$ . Existen otras ecuaciones de onda lineales y no lineales para aplicaciones muy específicas; consulte, por ejemplo, la ecuación de Korteweg–de Vries .

Teoría cuántica

En la teoría cuántica aparecen tanto los conceptos de onda como de campo.

En mecánica cuántica, el análogo de las ecuaciones clásicas de movimiento (ley de Newton, ecuación de Euler-Lagrange, ecuación de Hamilton-Jacobi, etc.) es la ecuación de Schrödinger en su forma más general:

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,,$

donde $Ψ$ es la función de onda del sistema, $Ĥ$ es el operador hamiltoniano cuántico , en lugar de una función como en la mecánica clásica, y $ħ$ es la constante de Planck dividida por 2 $π$ . Configurar el hamiltoniano e insertarlo en la ecuación da como resultado una ecuación de onda, la solución es la función de onda como una función del espacio y el tiempo. La ecuación de Schrödinger en sí misma se reduce a la ecuación de Hamilton-Jacobi cuando se considera el principio de correspondencia , en el límite en que $ħ$ se vuelve cero. Para comparar con las mediciones, los operadores para observables deben aplicarse a la función de onda cuántica de acuerdo con el experimento realizado, lo que lleva a resultados similares a ondas o a partículas .

En todos los aspectos de la teoría cuántica, relativista o no relativista, existen varias formulaciones alternativas a la ecuación de Schrödinger que gobiernan la evolución temporal y el comportamiento de un sistema cuántico, por ejemplo:

La ecuación de movimiento de Heisenberg se asemeja a la evolución temporal de los observables clásicos como funciones de posición, momento y tiempo, si uno reemplaza los observables dinámicos por sus operadores cuánticos y el corchete de Poisson clásico por el conmutador .
La formulación del espacio de fases sigue de cerca la mecánica hamiltoniana clásica, colocando la posición y el momento en pie de igualdad.
La formulación de la integral de trayectoria de Feynman extiende el principio de mínima acción a la mecánica cuántica y la teoría de campos, poniendo énfasis en el uso de lagrangianos en lugar de hamiltonianos.

Véase también

Referencias

^ de RG Lerner ; George L. Trigg (1991). Enciclopedia de Física (segunda edición). Nueva York: VCH Publishers. ISBN 0-89573-752-3.OCLC 20853637 .
^ abcd Hand, Louis N.; Janet D. Finch (1998). Mecánica analítica. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0.OCLC 37903527 .
^ La Guía Británica de Historia de las Matemáticas, ed. Erik Gregersen
^ Discursos, Galileo
^ Diálogos sobre dos nuevas ciencias, de Galileo Galilei; traducido por Henry Crew, Alfonso De Salvio
^ Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl (16 de junio de 2004). Fundamentos de física (7.ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-23231-9.
^ abc Forshaw, JR; A. Gavin Smith (2009). Dinámica y relatividad. Chichester, Reino Unido: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-01460-8.OCLC 291193458 .
^ Señor Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial . Esquemas de Schaum (2ª ed.). McGraw-Hill. pag. 33.ISBN 978-0-07-161545-7.
^ ab Whelan, PM; Hodgson, MJ (1978). Principios esenciales de la física (segunda edición). Londres: John Murray. ISBN 0-7195-3382-1.OCLC 7102249 .
^ Hanrahan, Val; Porkess, R (2003). Matemáticas adicionales para OCR . Londres: Hodder & Stoughton. pág. 219. ISBN. 0-340-86960-7.
^ Johnson, Keith (2001). Física para ti: edición revisada del currículo nacional para GCSE (4.ª ed.). Nelson Thornes. pág. 135. ISBN 978-0-7487-6236-1Los 5 símbolos se recuerdan con "suvat". Dados tres, se pueden encontrar los otros dos .
^ Halpern, Alvin M. (1988). 3000 problemas resueltos de física. Serie Schaum. Nueva York: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4.OCLC 27398318 .
^ abc Kleppner, Daniel; Robert J. Kolenkow (2010). Introducción a la mecánica. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19821-9.OCLC 573196466 .
^ Pain, HJ (1983). La física de las vibraciones y las ondas (3.ª ed.). Chichester [Sussex]: Wiley. ISBN 0-471-90182-2.OCLC 9392845 .
^ R. Penrose (2007). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. pág. 474. ISBN 978-0-679-77631-4.
^ abcd Kibble, TWB (1973). Mecánica clásica. Serie de física europea (segunda edición). Londres, Reino Unido: McGraw Hill. ISBN 0-07-084018-0.OCLC 856410 .
^ Grant, IS; Phillips, WR (1990). Electromagnetismo. Manchester Physics Series (2.ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-92712-0.OCLC 21447877 .
^ de JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
^ ab CB Parker (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (segunda edición). McGraw-Hill. ISBN 0-07-051400-3.
^ HD Young; RA Freedman (2008). Física universitaria (12.ª ed.). Addison-Wesley (Pearson International). ISBN 978-0-321-50130-1.