Extensión de álgebra de mentiras

Crear un álgebra de Lie "más grande" a partir de una más pequeña, de varias maneras

En la teoría de los grupos de Lie , las álgebras de Lie y su teoría de representación , una extensión e del álgebra de Lie es una ampliación de un álgebra de Lie g dada por otra álgebra de Lie h . Las extensiones surgen de varias maneras. Existe la extensión trivial que se obtiene tomando una suma directa de dos álgebras de Lie. Otros tipos son la extensión dividida y la extensión central . Las extensiones pueden surgir de forma natural, por ejemplo, al formar un álgebra de Lie a partir de representaciones de grupos proyectivos . Tal álgebra de Lie contendrá cargas centrales .

Comenzando con un álgebra de bucle polinómico sobre álgebra de Lie simple de dimensión finita y realizando dos extensiones, una extensión central y una extensión por derivación, se obtiene un álgebra de Lie que es isomorfa con un álgebra de Kac-Moody afín sin torsión . Utilizando el álgebra de bucles extendidos centralmente se puede construir un álgebra actual en dos dimensiones del espacio-tiempo. El álgebra de Virasoro es la extensión central universal del álgebra de Witt . ^[1]

Las extensiones centrales son necesarias en física, porque el grupo de simetría de un sistema cuantificado suele ser una extensión central del grupo de simetría clásico, y de la misma manera la simetría correspondiente al álgebra de Lie del sistema cuántico es, en general, una extensión central del Álgebra de simetría clásica. ^[2] Se ha conjeturado que las álgebras de Kac-Moody son grupos de simetría de una teoría de supercuerdas unificada. ^[3] Las álgebras de Lie centralmente extendidas desempeñan un papel dominante en la teoría cuántica de campos , particularmente en la teoría de campos conforme , la teoría de cuerdas y la teoría M. ^{[4] [5]}

Una gran parte hacia el final está dedicada a material básico para aplicaciones de extensiones de álgebra de Lie, tanto en matemáticas como en física, en áreas donde son realmente útiles. Se proporciona un enlace entre paréntesis (material de referencia) cuando pueda resultar beneficioso.

Historia

Debido a la correspondencia de Lie , la teoría y, en consecuencia, la historia de las extensiones del álgebra de Lie, está estrechamente vinculada a la teoría y la historia de las extensiones de grupos. El matemático austriaco Otto Schreier realizó un estudio sistemático de las extensiones de grupos en 1923 en su tesis doctoral y lo publicó posteriormente. ^{[nb 1] [6] [7]} El problema planteado para su tesis por Otto Hölder fue "dados dos grupos G y H , encontrar todos los grupos E que tengan un subgrupo normal N isomorfo a G tal que el grupo de factores E / N sea isomorfo a H ".

Las extensiones de álgebra de Lie son más interesantes y útiles para álgebras de Lie de dimensión infinita. En 1967, Victor Kac y Robert Moody generalizaron de forma independiente la noción de álgebras de Lie clásicas, dando como resultado una nueva teoría de álgebras de Lie de dimensión infinita, ahora llamadas álgebras de Kac-Moody . ^{[8] [9]} Generalizan las álgebras de Lie simples de dimensión finita y, a menudo, pueden construirse concretamente como extensiones. ^[10]

Notación y pruebas

El abuso de notación que se encuentra a continuación incluye e ^X para el mapa exponencial exp dado un argumento, escribir g para el elemento ( g , e _H ) en un producto directo G × H ( e _H es la identidad en H ), y de manera análoga para Lie sumas directas de álgebra (donde también g + h y ( g , h ) se usan indistintamente). Lo mismo ocurre con los productos semidirectos y las sumas semidirectas. Las inyecciones canónicas (tanto para grupos como para álgebras de Lie) se utilizan para identificaciones implícitas. Además, si G , H ,..., son grupos, entonces los nombres predeterminados para los elementos de G , H ,..., son g , h ,..., y sus álgebras de Lie son g , h ,... . Los nombres predeterminados para los elementos de g , h , ... son G , H , ... (¡al igual que para los grupos!), en parte para ahorrar recursos alfabéticos escasos pero principalmente para tener una notación uniforme.

Las álgebras de mentira que son ingredientes de una extensión se considerarán, sin comentarios, que están sobre el mismo campo .

Se aplica la convención de suma , incluso a veces cuando los índices involucrados están ambos arriba o ambos abajo.

Advertencia: no todas las pruebas y los esquemas de pruebas que aparecen a continuación tienen validez universal. La razón principal es que las álgebras de Lie son a menudo de dimensión infinita, y entonces puede haber o no un grupo de Lie correspondiente al álgebra de Lie. Además, incluso si tal grupo existiera, es posible que no tenga las propiedades "habituales", por ejemplo, el mapa exponencial podría no existir, y si existe, podría no tener todas las propiedades "habituales". En tales casos, es cuestionable si el grupo debería recibir el calificativo de "Mentira". La literatura no es uniforme. Para los ejemplos explícitos, supuestamente existen las estructuras pertinentes.

Definición

Las extensiones del álgebra de Lie se formalizan en términos de secuencias cortas exactas . ^[1] Una secuencia exacta corta es una secuencia exacta de longitud tres,

tal que i es un monomorfismo , s es un epimorfismo y ker s = im i . De estas propiedades de las secuencias exactas se deduce que (la imagen de) es un ideal en . Además, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {e}}/\operatorname {Im} i={\mathfrak {e}}/\operatorname {Ker} s,}$

pero no es necesariamente el caso que sea isomorfo a una subálgebra de . Esta construcción refleja las construcciones análogas en el concepto estrechamente relacionado de extensiones de grupo . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

Si la situación en (1) prevalece, no trivialmente y para álgebras de Lie sobre el mismo campo , entonces se dice que es una extensión de by . ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Propiedades

La propiedad definitoria puede reformularse. El álgebra de Lie es una extensión de por si ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

es exacto. Aquí los ceros en los extremos representan el álgebra de Lie cero (que contiene sólo el vector cero 0 ) y los mapas son los obvios; asigna 0 a 0 y asigna todos los elementos de a 0 . Con esta definición, se deduce automáticamente que i es un monomorfismo y s es un epimorfismo. ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Una extensión de by no es necesariamente única. Denotemos dos extensiones y dejemos que los números primos a continuación tengan la interpretación obvia. Entonces, si existe un isomorfismo del álgebra de Lie tal que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}},{\mathfrak {e}}'}$ ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {e}}'}$

${\displaystyle f\circ i=i',\quad s'\circ f=s,}$

luego las extensiones y se dice que son extensiones equivalentes . La equivalencia de extensiones es una relación de equivalencia . ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}'}$

Tipos de extensión

Trivial

Una extensión de álgebra de mentira

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {t}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

es trivial si hay un subespacio i tal que t = i ⊕ ker s y i es un ideal en t . ^[1]

Dividir

Una extensión de álgebra de mentira

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {s}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

se divide si hay un subespacio u tal que s = u ⊕ ker s como espacio vectorial y u es una subálgebra en s .

Un ideal es una subálgebra, pero una subálgebra no es necesariamente un ideal. Por tanto, una extensión trivial es una extensión dividida.

Central

Las extensiones centrales de un álgebra de Lie g por un álgebra de Lie abeliana e se pueden obtener con la ayuda del llamado (no trivial) 2-cociclo (fondo) en g . Los 2-cociclos no triviales ocurren en el contexto de representaciones proyectivas (fondo) de grupos de Lie. A esto se alude más abajo.

Una extensión de álgebra de mentira

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

es una extensión central si ker s está contenido en el centro Z ( e ) de e .

Propiedades

• Dado que el centro conmuta con todo, h ≅ im i = ker s en este caso es abeliano .
• Dada una extensión central e de g , se puede construir un 2-cociclo en g . Supongamos que e es una extensión central de g por h . Sea l una aplicación lineal de g a e con la propiedad de que s ∘ l = Id _g , es decir, l es una sección de s . Utilice esta sección para definir ε : g × g → e por

${\displaystyle \epsilon (G_{1},G_{2})=l([G_{1},G_{2}])-[l(G_{1}),l(G_{2})],\quad G_{1},G_{2}\in {\mathfrak {g}}.}$

El mapa ε satisface

${\displaystyle \epsilon (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\epsilon (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\epsilon (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0\in {\mathfrak {e}}.}$

Para ver esto, use la definición de ε en el lado izquierdo, luego use la linealidad de l . Utilice la identidad de Jacobi en g para deshacerse de la mitad de los seis términos. Use la definición de ε nuevamente en los términos l ([ G _i , G _j ]) que se encuentran dentro de tres corchetes de Lie, la bilinealidad de los corchetes de Lie y la identidad de Jacobi en e , y finalmente use en los tres términos restantes que Im ε ⊂ ker s y que ker s ⊂ Z ( e ) de modo que ε ( G _i , G _j ) entre paréntesis a cero con todo. Entonces se deduce que φ = i ⁻¹ ∘ ε satisface la relación correspondiente, y si h además es unidimensional, entonces φ es un 2-cociclo en g (a través de una correspondencia trivial de h con el campo subyacente).

Una extensión central

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

es universal si para cualquier otra extensión central

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}'\;{\overset {i'}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}'\;{\overset {s'}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

existen homomorfismos únicos y tales que el diagrama ${\displaystyle \Phi :{\mathfrak {e}}\to {\mathfrak {e}}'}$ ${\displaystyle \Psi :{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}'}$

conmuta, es decir, i ' ∘ Ψ = Φ ∘ i y s ' ∘ Φ = s . Por universalidad, es fácil concluir que tales extensiones centrales universales son únicas hasta el isomorfismo.

Construcción

Por suma directa

Sean álgebras de Lie sobre el mismo campo . Definir ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}},}$

y definir la suma puntualmente en . La multiplicación escalar se define por ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

${\displaystyle \alpha (H,G)=(\alpha H,\alpha G),\alpha \in F,H\in {\mathfrak {h}},G\in {\mathfrak {g}}.}$

Con estas definiciones, es un espacio vectorial sobre . Con el soporte de mentira: ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}}\equiv {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$es un álgebra de mentira. Definir más

${\displaystyle i:{\mathfrak {h}}\hookrightarrow {\mathfrak {e}};H\mapsto (H,0),\quad s:{\mathfrak {e}}\twoheadrightarrow {\mathfrak {g}};(H,G)\mapsto G.}$

Está claro que (1) se cumple como una secuencia exacta. Esta extensión de by se llama extensión trivial . Por supuesto, no es más que la suma directa del álgebra de Lie. Por simetría de definiciones, es una extensión de por también, pero . De (3) se desprende claramente que la subálgebra es un ideal (álgebra de Lie) . Esta propiedad de la suma directa de las álgebras de Lie se promueve a la definición de una extensión trivial. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}\neq {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle 0\oplus {\mathfrak {g}}}$

Por suma semidirecta

Inspirándose en la construcción de un producto semidirecto (fondo) de grupos usando un homomorfismo G → Aut( H ) , se puede hacer la construcción correspondiente para álgebras de Lie.

Si ψ : g → Der h es un homomorfismo del álgebra de Lie, entonces defina un corchete de Lie por ${\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}}$

Con este corchete de Lie, el álgebra de Lie así obtenida se denota e = h ⊕ _S g y se llama suma semidirecta de h y g .

Al inspeccionar (7) se ve que 0 ⊕ g es una subálgebra de e y h ⊕ 0 es un ideal en e . Definir i : h → e por H ↦ H ⊕ 0 y s : e → g por H ⊕ G ↦ G , H ∈ h , G ∈ g . Está claro que ker s = im i . Por tanto, e es una extensión del álgebra de Lie de g por h .

Al igual que con la extensión trivial, esta propiedad se generaliza a la definición de extensión dividida.

Ejemplo
Sea G el grupo de Lorentz O(3, 1) y sea T el grupo de traducción en 4 dimensiones, isomorfo a ( , +) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ , y considere la regla de multiplicación del grupo de Poincaré P

${\displaystyle (a_{2},\Lambda _{2})(a_{1},\Lambda _{1})=(a_{2}+\Lambda _{2}a_{1},\Lambda _{2}\Lambda _{1}),\quad a_{1},a_{2}\in \mathrm {T} \subset \mathrm {P} ,\Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {O} (3,1)\subset \mathrm {P} ,}$

(donde T y O(3, 1) se identifican con sus imágenes en P ). De ello se sigue inmediatamente que, en el grupo de Poincaré, (0, Λ)( a , I )(0, Λ ⁻¹ ) = (Λ a , I ) ∈ T ⊂ P . Así, cada transformación de Lorentz Λ corresponde a un automorfismo Φ _Λ de T con inversa Φ _{Λ ⁻¹} y Φ es claramente un homomorfismo. Ahora define

${\displaystyle {\overline {\mathrm {P} }}=\mathrm {T} \otimes _{S}\mathrm {O} (3,1),}$

dotado de multiplicación dada por (4) . Desenrollando las definiciones se encuentra que la multiplicación es la misma que con la que se empezó y se deduce que P = P . De (5') se sigue que Ψ _Λ = Ad _Λ y luego de (6') se sigue que ψ _λ = ad _λ . λ ∈ o (3, 1) .

Por derivación

Sea δ una derivación (fondo) de hy denote por g el álgebra de Lie unidimensional abarcada por δ . Defina el corchete de Lie en e = g ⊕ h mediante ^{[nb 2] [11]}

${\displaystyle [G_{1}+H_{1},G_{2}+H_{2}]=[\lambda \delta +H_{1},\mu \delta +H_{2}]=[H_{1},H_{2}]+\lambda \delta (H_{1})-\mu \delta (H_{2}).}$

Es obvio a partir de la definición del paréntesis que h es e ideal en e in y que g es una subálgebra de e . Además, g es complementario de h en e . Sea i : h → e dado por H ↦ (0, H ) y s : e → g por ( G , H ) ↦ G . Está claro que im i = ker s . Por tanto, e es una extensión dividida de g por h . Tal extensión se llama extensión por derivación .

Si ψ : g → der h se define por ψ ( μδ )( H ) = μδ ( H ) , entonces ψ es un homomorfismo del álgebra de Lie en der h . Por lo tanto, esta construcción es un caso especial de suma semidirecta, ya que cuando se parte de ψ y se utiliza la construcción de la sección anterior, se obtienen los mismos corchetes de Lie.

En 2 ciclos

Si ε es un 2-cociclo (fondo) en un álgebra de Lie g y h es cualquier espacio vectorial unidimensional, sea e = h ⊕ g (suma directa del espacio vectorial) y defina un corchete de Lie en e por

${\displaystyle [\mu H+G_{1},\nu H+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\epsilon (G_{1},G_{2})H,\quad \mu ,\nu \in F.}$

Aquí H es un elemento arbitrario pero fijo de h . La antisimetría se deriva de la antisimetría del corchete de Lie en g y de la antisimetría del 2-cociclo. La identidad de Jacobi se deriva de las propiedades correspondientes de g y de ε . Por tanto, e es un álgebra de Lie. Ponga G ₁ = 0 y se deduce que μH ∈ Z ( e ) . Además, se deduce que con i : μH ↦ ( μH , 0) y s : ( μH , G ) ↦ G que Im i = ker s = {( μH , 0): μ ∈ F } ⊂ Z( e ) . Por tanto, e es una extensión central de g por h . Se llama extensión por 2-cociclos .

Teoremas

A continuación se muestran algunos resultados sobre extensiones centrales y 2-cociclos. ^[12]

Teorema ^[1]
Sean φ ₁ y φ ₂ 2-cociclos cohomólogos en un álgebra de Lie g y sean e ₁ y e ₂ respectivamente las extensiones centrales construidas con estos 2-cociclos. Entonces las extensiones centrales e ₁ y e ₂ son extensiones equivalentes.
Prueba
Por definición, φ ₂ = φ ₁ + δf . Definir

${\displaystyle \psi :G+\mu c\in {\mathfrak {e}}_{1}\mapsto G+\mu c+f(G)c\in {\mathfrak {e}}_{2}.}$

De las definiciones se deduce que ψ es un isomorfismo del álgebra de Lie y (2) se cumple.

Corolario
Una clase de cohomología [ Φ ] ∈ H ² ( g , F ) define una extensión central de g que es única hasta el isomorfismo.

El 2-cociclo trivial da la extensión trivial, y dado que un 2-colímite es cohomólogo con el 2-cociclo trivial, uno tiene
Corolario
Una extensión central definida por un colímite es equivalente a una extensión central trivial.

Teorema
Un álgebra de Lie simple de dimensión finita sólo tiene extensiones centrales triviales.
Prueba
Dado que cada extensión central proviene de un 2-cociclo φ , basta con demostrar que cada 2-cociclo es una cofrontera. Supongamos que φ es un 2-cociclo en g . La tarea es utilizar este 2-cociclo para fabricar una 1-cocadena f tal que φ = δf .

El primer paso es, para cada G ₁ ∈ g , usar φ para definir un mapa lineal ρ _{G 1} : g → F por . Estos mapas lineales son elementos de g ^∗ . Sea ν : g ^∗ → g el isomorfismo del espacio vectorial asociado a la forma Killing no degenerada K , y defina una aplicación lineal d : g → g por . Esto resulta ser una derivación (para una prueba, ver más abajo). Dado que, para las álgebras de Lie semisimples, todas las derivaciones son internas, se tiene d = ad _{G d} para algunos G _d ∈ g . Entonces ${\displaystyle \rho _{G_{1}}(G_{2})\equiv \varphi (G_{1},G_{2})}$ ${\displaystyle d(G_{1})\equiv \nu (\rho _{G_{1}})}$

${\displaystyle \varphi (G_{1},G_{2})\equiv \rho _{G_{1}}(G_{2})=K(\nu (\rho _{G_{1}}),G_{2})\equiv K(d(G_{1}),G_{2})=K(\mathrm {ad} _{G_{d}}(G_{1}),G_{2})=K([G_{d},G_{1}],G_{2})=K(G_{d},[G_{1},G_{2}]).}$

Sea f la 1-cocadena definida por

${\displaystyle f(G)=K(G_{d},G).}$

Entonces

${\displaystyle \delta f(G_{1},G_{2})=f([G_{1},G_{2}])=K(G_{d},[G_{1},G_{2}])=\varphi (G_{1},G_{2}),}$

mostrando que φ es una cofrontera.

Prueba de que d es una derivación

Para verificar que d en realidad es una derivación, primero observe que es lineal ya que ν lo es, luego calcule

${\displaystyle {\begin{aligned}K(d([G_{1},G_{2}]),G_{3}))&=\varphi ([G_{1},G_{2}]),G_{3}))=\varphi (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\varphi (G_{2},[G_{3},G_{1}])\\&=K(d(G_{1}),[G_{2},G_{3}])+K(d(G_{1}),(G_{3},G_{1}))=K([d(G_{1}),G_{2}],G_{3})+K([G_{1},d(G_{2})],G_{3}))\\&=K([d(G_{1}),G_{2}]+[G_{1},d(G_{2})],G_{3}).\end{aligned}}}$

Apelando a la no degeneración de K , los argumentos izquierdos de K son iguales en la extrema izquierda y en la extrema derecha.

La observación de que se puede definir una derivación d , dada una forma asociativa simétrica no degenerada K y un 2-cociclo φ , por

${\displaystyle K(\nu (\rho _{G_{1}}),G_{2})\equiv K(d(G_{1}),G_{2}),}$

o usando la simetría de K y la antisimetría de φ ,

${\displaystyle K(d(G_{1}),G_{2})=-K(G_{1},d(G_{2})),}$

lleva a un corolario.

Corolario
Sea L:' g × g : → F una forma bilineal asociativa simétrica no degenerada y sea d una derivación que satisfaga

${\displaystyle L(d(G_{1}),G_{2})=-L(G_{1},d(G_{2})),}$

entonces φ definido por

${\displaystyle \varphi (G_{1},G_{2})=L(d(G_{1}),G_{2})}$

es un 2-cociclo.

Prueba La condición de d asegura la antisimetría de φ . La identidad Jacobi para 2-cociclos sigue comenzando con

${\displaystyle \varphi ([G1,G_{2}],G_{3})=L(d[G1,G_{2}],G_{3})=L([d(G1),G_{2}],G_{3})+L([G1,d(G_{2})],G_{3}),}$

usando la simetría de la forma, la antisimetría del corchete y una vez más la definición de φ en términos de L.

Si g es el álgebra de Lie de un grupo de Lie G y e es una extensión central de g , uno puede preguntarse si existe un grupo de Lie E con álgebra de Lie e . La respuesta es afirmativa según el tercer teorema de Lie . Pero, ¿existe una extensión central E de G con álgebra de Lie e ? La respuesta a esta pregunta requiere cierta maquinaria y se puede encontrar en Tuynman y Wiegerinck (1987, Teorema 5.4).

Aplicaciones

El resultado "negativo" del teorema anterior indica que uno debe, al menos para álgebras de Lie semisimples, recurrir a álgebras de Lie de dimensión infinita para encontrar aplicaciones útiles de las extensiones centrales. De hecho, existen tales. Aquí se presentarán álgebras afines de Kac-Moody y álgebras de Virasoro. Estas son extensiones de álgebras de bucles polinómicos y del álgebra de Witt, respectivamente.

Álgebra de bucles polinómicos

Sea g un álgebra de bucle polinomial (antecedentes),

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {C} [\lambda ,\lambda ^{-1}]\otimes {\mathfrak {g}}_{0},}$

donde g ₀ es un álgebra de Lie simple compleja de dimensión finita. El objetivo es encontrar una extensión central de esta álgebra. Se aplican dos de los teoremas. Por un lado, si hay un 2-cociclo en g , entonces se puede definir una extensión central. Por otro lado, si este 2-cociclo actúa sobre la parte g ₀ (únicamente), entonces la extensión resultante es trivial. Además, las derivaciones que actúan sobre g ₀ (solamente) tampoco se pueden usar para la definición de un 2-cociclo porque todas estas derivaciones son internas y el resultado del mismo problema. Por lo tanto, se buscan derivaciones en C [ λ , λ ⁻¹ ] . Uno de esos conjuntos de derivaciones es

${\displaystyle d_{k}\equiv \lambda ^{k+1}{\frac {d}{d\lambda }},\quad k\in \mathbb {Z} .}$

Para fabricar una forma antisimétrica asociativa bilineal no degenerada L en g , la atención se centra primero en las restricciones de los argumentos, con m , n fijos. Es un teorema que cada forma que satisface los requisitos es un múltiplo de la forma Killing K en g ₀ . ^[13] Esto requiere

${\displaystyle L(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=\gamma _{lm}K(G_{1},G_{2}).}$

La simetría de K implica

${\displaystyle \gamma _{mn}=\gamma _{nm},}$

y la asociatividad produce

${\displaystyle \gamma _{m+k,n}=\gamma _{m,k+n}.}$

Con m = 0 se ve que γ _k,n = γ _{0, k + n} . Esta última condición implica la primera. Usando este hecho, defina f ( n ) = γ _{0, n} . La ecuación definitoria entonces se convierte en

${\displaystyle L(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=f(m+n)K(G_{1},G_{2}).}$

Para cada i ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ la definición

${\displaystyle f(n)=\delta _{ni}\Leftrightarrow \gamma _{mn}=\delta _{m+n,i}}$

define una forma bilineal asociativa simétrica

${\displaystyle L_{i}(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=\delta _{m+n,i}K(G_{1},G_{2}).}$

Estos abarcan un espacio vectorial de formas que tienen las propiedades correctas.

Volviendo a las derivaciones que nos ocupan y a la condición

${\displaystyle L_{i}(d_{k}(\lambda ^{l}\otimes G_{1}),\lambda ^{m}\otimes G_{2})=-L_{i}(\lambda ^{l}\otimes G_{1},d_{k}(\lambda ^{m}\otimes G_{2})),}$

se ve, usando las definiciones, que

${\displaystyle l\delta _{k+l+m,i}=-m\delta _{k+l+m,i},}$

o, con n = l + m ,

${\displaystyle n\delta _{k+n,i}=0.}$

Esto (y la condición de antisimetría) se cumple si k = i , en particular se cumple cuando k = i = 0 .

Por lo tanto, elija L = L ₀ y d = d ₀ . Con estas elecciones, se satisfacen las premisas del corolario. El 2-cociclo φ definido por

${\displaystyle \varphi (P(\lambda )\otimes G_{1}),Q(\lambda )\otimes G_{2}))=L(\lambda {\frac {dP}{d\lambda }}\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})}$

finalmente se emplea para definir una extensión central de g ,

${\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} C,}$

con soporte de mentira

${\displaystyle [P(\lambda )\otimes G_{1}+\mu C,Q(\lambda )\otimes G_{2}+\nu C]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_{1},G_{2}]+\varphi (P(\lambda )\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})C.}$

Para elementos base, adecuadamente normalizados y con constantes de estructura antisimétrica, se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]&=\lambda ^{l+m}\otimes [G_{i},G_{j}]+\varphi (\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+L(\lambda {\frac {d\lambda ^{l}}{d\lambda }}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+lL(\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}K(G_{i},G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}{C_{ik}}^{m}{C_{jm}}^{k}C=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta ^{ij}C.\end{aligned}}}$

Esta es una extensión central universal del álgebra de bucles polinomiales. ^[14]

Una nota sobre terminología

En terminología física, el álgebra anterior podría pasar por un álgebra de Kac-Moody, mientras que probablemente no lo será en terminología matemática. Para ello se necesita una dimensión adicional, una ampliación mediante una derivación. No obstante, si, en una aplicación física, los valores propios de g ₀ o su representante se interpretan como números cuánticos (ordinarios) , el superíndice adicional en los generadores se denomina nivel . Es un número cuántico adicional. Más adelante se presenta un operador adicional cuyos valores propios son precisamente los niveles.

Álgebra actual

Murray Gell-Mann , premio Nobel de Física en 1969, inició el campo del álgebra actual en los años 1960. Explota simetrías locales conocidas incluso sin conocimiento de la dinámica subyacente para extraer predicciones, por ejemplo, la regla de la suma de Adler-Weisberger .

Como aplicación de una extensión central del álgebra de bucles polinomiales, se considera un álgebra actual de una teoría cuántica de campos (antecedentes). Supongamos que tenemos un álgebra actual, siendo el conmutador interesante

con un término de Schwinger. Para construir esta álgebra matemáticamente, sea g el álgebra de bucle polinómico extendido centralmente de la sección anterior con

${\displaystyle [\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta _{ij}C}$

como una de las relaciones de conmutación, o, con un cambio de notación ( l → m , m → n , i → a , j → b , λ ^m ⊗ G _a → T ^m _a ) con un factor de i según la convención de física , ^{[nota 3]}

${\displaystyle [T_{a}^{m},T_{b}^{n}]=i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{m+n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C.}$

Definir usando elementos de g ,

${\displaystyle J_{a}(x)={\frac {\hbar }{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}T_{a}^{-n},x\in \mathbb {R} .}$

Uno nota que

${\displaystyle J_{a}(x+L)=J_{a}(x)}$

de modo que quede definido en un círculo. Ahora calcule el conmutador,

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{a}(x),J_{b}(y)]&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}T_{a}^{-n},\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi imy}{L}}T_{b}^{-m}\right]\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}e^{\frac {2\pi imy}{L}}[T_{a}^{-n},T_{b}^{-m}].\end{aligned}}}$

Para simplificar, cambie las coordenadas de modo que y → 0, x → x − y ≡ z y use las relaciones de conmutación,

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{a}(z),J_{b}(0)]&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}[i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-m-n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C]\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi i(-m)z}{L}}\sum _{l=-\infty }^{\infty }ie^{\frac {2\pi i(l)z}{L}}{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-l}+\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi imz}{L}}i{C_{ab}}^{c}J_{c}(z)-\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}n\delta _{ab}C\end{aligned}}}$

Ahora emplea la fórmula de suma de Poisson ,

${\displaystyle {\frac {1}{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {-2\pi inz}{L}}={\frac {1}{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (z+nL)=\delta (z)}$

para z en el intervalo (0, L) y diferenciarlo para obtener

${\displaystyle -{\frac {2\pi i}{L^{2}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }ne^{\frac {-2\pi inz}{L}}=\delta '(z),}$

y finalmente

${\displaystyle [J_{a}(x-y),J_{b}(0)]=i\hbar {C_{ab}}^{c}J_{c}(x-y)\delta (x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}{2\pi }}\delta _{ab}C\delta '(x-y),}$

o

${\displaystyle [J_{a}(x),J_{b}(y)]=i\hbar {C_{ab}}^{c}J_{c}(x)\delta (x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}{2\pi }}\delta _{ab}C\delta '(x-y),}$

dado que los argumentos de las funciones delta solo aseguran que los argumentos de los argumentos izquierdo y derecho del conmutador sean iguales (formalmente δ ( z ) = δ ( z − 0) ↦ δ (( x − y ) − 0) = δ ( x − y ) ).

En comparación con CA10 , se trata de un álgebra actual en dos dimensiones del espacio-tiempo, incluido un término de Schwinger , con la dimensión espacial enrollada en un círculo. En el contexto clásico de la teoría cuántica de campos, esto quizás sea de poca utilidad, pero con el advenimiento de la teoría de cuerdas, donde los campos viven en láminas mundiales de cuerdas y las dimensiones espaciales están enrolladas, puede haber aplicaciones relevantes.

Álgebra de Kac-Moody

Robert Moody (izquierda), miembro de la Royal Society of Canada , es un matemático canadiense de la Universidad de Alberta . Es co-descubridor del álgebra Kac-Moody junto con Victor Kac , miembro de la Sociedad Matemática Estadounidense , un matemático ruso que trabaja en el MIT .

La derivación d ₀ utilizada en la construcción del 2-cociclo φ en la sección anterior se puede extender a una derivación D en el álgebra de bucle polinómico extendido centralmente, aquí denotada por g para realizar un álgebra de Kac-Moody ^{[15] [ 16]} (fondo). Simplemente configure

${\displaystyle D(P(\lambda )\otimes G+\mu C)=\lambda {\frac {dP(\lambda )}{d\lambda }}\otimes G.}$

A continuación, defina como un espacio vectorial.

${\displaystyle {\mathfrak {e}}=\mathbb {C} d+{\mathfrak {g}}.}$

El corchete de Lie en e está, según la construcción estándar con una derivación, dado sobre la base de

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\lambda ^{m}\otimes G_{1}+\mu C+\nu D,\lambda ^{n}\otimes G_{2}+\mu 'C+\nu 'D]&=\lambda ^{m+n}\otimes [G_{1},G_{2}]+m\delta _{m+n,0}K(G_{1},G_{2})C+\nu D(\lambda ^{n}\otimes G_{1})-\nu 'D(\lambda ^{m}\otimes G_{2})\\&=\lambda ^{m+n}\otimes [G_{1},G_{2}]+m\delta _{m+n,0}K(G_{1},G_{2})C+\nu n\lambda ^{n}\otimes G_{1}-\nu 'm\lambda ^{m}\otimes G_{2}.\end{aligned}}}$

Por conveniencia, defina

${\displaystyle G_{i}^{m}\leftrightarrow \lambda ^{m}\otimes G_{i}.}$

Además, suponga que se ha elegido la base en el álgebra de Lie simple de dimensión finita subyacente de modo que los coeficientes de estructura sean antisimétricos en todos los índices y que la base esté apropiadamente normalizada. Luego se verifican inmediatamente a través de las definiciones las siguientes relaciones de conmutación.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[G_{i}^{m},G_{j}^{n}]&={C_{ij}}^{k}G_{k}^{m+n}+m\delta _{ij}\delta ^{m+n,0}C,\\{}[C,G_{i}^{m}]&=0,\quad 1\leq i,j,N,\quad m,n\in \mathbb {Z} \\{}[D,G_{i}^{m}]&=mG_{i}^{m}\\{}[D,C]&=0.\end{aligned}}}$

Éstas son precisamente la descripción abreviada de un álgebra afín de Kac-Moody sin retorcer. Para recapitular, comience con un álgebra de Lie simple de dimensión finita. Defina un espacio de polinomios formales de Laurent con coeficientes en el álgebra de Lie simple de dimensión finita. Con el apoyo de una forma bilineal alterna simétrica no degenerada y una derivación, se define un 2-cociclo, que posteriormente se utiliza en la prescripción estándar para una extensión central por un 2-cociclo. Extienda la derivación a este nuevo espacio, use la prescripción estándar para una extensión dividida por una derivación y se obtiene un álgebra afín de Kac-Moody sin retorcer.

Álgebra de Virasoro

El propósito es construir el álgebra de Virasoro (llamada así por Miguel Ángel Virasoro ) ^{[nb 4]} como una extensión central mediante un 2-cociclo φ del álgebra de Witt W (fondo). La identidad de Jacobi para rendimientos de 2 ciclos

Dejando y usando la antisimetría de η se obtiene ${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle (m+p)\eta _{mp}=(m-p)\eta _{m+p,0}.}$

En la extensión, las relaciones de conmutación para el elemento d ₀ son

${\displaystyle [d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi }=-md_{m}+\eta _{0m}C=-m(d_{m}-{\frac {\eta _{0m}}{m}}C).}$

Es deseable deshacerse de la carga central en el lado derecho. Para hacer esto define

${\displaystyle f:W\to \mathbb {C} ;d_{m}\to {\frac {\varphi (d_{0},d_{m})}{m}}={\frac {\eta _{0m}}{m}}.}$

Luego, usando f como 1-cocadena,

${\displaystyle \eta '_{0n}=\varphi '(d_{0},d_{n})=\varphi (d_{0},d_{n})+\delta f([d_{0},d_{n}])=\varphi (d_{0},d_{n})-n{\frac {\eta ^{0n}}{n}}=0,}$

entonces con este 2-cociclo, equivalente al anterior, se tiene ^{[nb 5]}

${\displaystyle [d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi '}=-md_{m}.}$

Con este nuevo 2-cociclo (omita el principal) la condición se vuelve

${\displaystyle (n+p)\eta _{mp}=(n-p)\eta _{m+p,0}=0,}$

y por lo tanto

${\displaystyle \eta _{mp}=a(m)\delta _{m.-p},\quad a(-m)=-a(m),}$

donde la última condición se debe a la antisimetría del corchete de Lie. Con esto, y con l + m + p = 0 (recortando un "plano" en ), se obtiene (V10) ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}$

${\displaystyle (2m+p)a(p)+(m-p)a(m+p)+(m+2p)a(m)=0,}$

que con p = 1 (cortando una "línea" en ) se convierte ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

${\displaystyle (m-1)a(m+1)-(m+2)a(m)+(2m+1)a(1)=0.}$

Esta es una ecuación en diferencias generalmente resuelta por

${\displaystyle a(m)=\alpha m+\beta m^{3}.}$

El conmutador en la extensión de elementos de W es entonces

${\displaystyle [d_{l},d_{m}]=(l-m)d_{l+m}+(\alpha m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C.}$

Con β = 0 es posible cambiar la base (o modificar el 2-cociclo por una 2-cofrontera) de modo que

${\displaystyle [d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d_{l+m},}$

con la carga central ausente por completo y, por tanto, la extensión es trivial. (Este no fue (generalmente) el caso con la modificación anterior, donde solo d ₀ obtuvo las relaciones originales.) Con β ≠ 0 el siguiente cambio de base,

${\displaystyle d'_{l}=d_{l}+\delta _{0l}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}C,}$

las relaciones de conmutación toman la forma

${\displaystyle [d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d'_{l+m}+(\gamma m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C,}$

mostrando que la parte lineal en m es trivial. También muestra que H ² ( W , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ es unidimensional (correspondiente a la elección de β ). La elección convencional es tomar α = − β = 1 ⁄ 12 y aún conservar la libertad absorbiendo un factor arbitrario en el objeto arbitrario C. El álgebra V de Virasoro es entonces

${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {W}}+\mathbb {C} C,}$

con relaciones de conmutación

${\displaystyle [d_{l}+\mu C,d_{m}+\nu C]=(l-m)d_{l+m}+{\frac {(m-m^{3})}{12}}\delta _{l,-m}C.}$

Cuerdas abiertas bosónicas

La cuerda abierta clásica relativista (fondo) está sujeta a cuantificación . Esto equivale aproximadamente a tomar la posición y el impulso de la cadena y promocionarlos a operadores en el espacio de estados de cadenas abiertas. Dado que las cadenas son objetos extendidos, esto da como resultado un continuo de operadores que dependen del parámetro σ . En el cuadro de Heisenberg se postulan las siguientes relaciones de conmutación . ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[X^{I}(\tau ,\sigma ),{\mathcal {P}}^{\tau J}(\tau ,\sigma )]&=i\eta ^{IJ}\delta (\sigma -\sigma '),\\{}[x_{0}^{-}(\tau ),p^{+}(\tau )]&=-i.\end{aligned}}}$

Todos los demás conmutadores desaparecen.

Debido al continuo de operadores y a las funciones delta, es deseable expresar estas relaciones en términos de las versiones cuantificadas de los modos Virasoro, los operadores Virasoro . Estos se calculan para satisfacer

${\displaystyle [\alpha _{m}^{I},\alpha _{n}^{J}]=m\eta ^{IJ}\delta _{m+n,0}}$

Se interpretan como operadores de creación y aniquilación que actúan sobre el espacio de Hilbert, aumentando o disminuyendo la cantidad de sus respectivos modos. Si el índice es negativo, el operador es un operador de creación; de lo contrario, es un operador de aniquilación. (Si es cero, es proporcional al operador de momento total). En vista del hecho de que los modos más y menos del cono de luz se expresaron en términos de los modos transversales de Virasoro, se deben considerar las relaciones de conmutación entre los operadores de Virasoro. Estos se definieron clásicamente (entonces modos) como

${\displaystyle L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.}$

Dado que, en la teoría cuantificada, los alfa son operadores, el orden de los factores es importante. En vista de la relación de conmutación entre los operadores de modo, solo importará para el operador L ₀ (para el cual m + n = 0 ). L ₀ se elige en orden normal ,

${\displaystyle L_{0}={\frac {1}{2}}\alpha _{0}^{I}\alpha _{0}^{I}+\sum _{p=1}^{\infty }\alpha _{-p}^{I}\alpha _{p}^{I},=\alpha 'p^{I}p^{I}+\sum _{p=1}^{\infty }p\alpha _{p}^{I\dagger }\alpha _{p}^{I}+c}$

donde c es una posible constante de orden. Se obtienen después de un cálculo algo largo ^[18] las relaciones

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n},\quad m+n\neq 0.}$

Si se permitiera m + n = 0 arriba, entonces se tendrían precisamente las relaciones de conmutación del álgebra de Witt. En cambio uno tiene

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {D-2}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0},\quad \forall m,n\in \mathbb {Z} .}$

tras la identificación del término central genérico como ( D − 2) multiplicado por el operador de identidad, esta es el álgebra de Virasoro, la extensión central universal del álgebra de Witt.

El operador L ₀ entra en la teoría como hamiltoniano , módulo una constante aditiva. Además, los operadores de Virasoro entran en la definición de los generadores de Lorentz de la teoría. Quizás sea el álgebra más importante de la teoría de cuerdas. ^[19] La consistencia de los generadores de Lorentz, por cierto, fija la dimensionalidad del espacio-tiempo en 26. Si bien esta teoría presentada aquí (para una relativa simplicidad de exposición) no es física, o al menos está incompleta (no tiene, por ejemplo, fermiones) el álgebra de Virasoro surge de la misma manera en la teoría de supercuerdas y la teoría M, más viables .

Extensión de grupo

Se puede utilizar una representación proyectiva Π( G ) de un grupo de Lie G (fondo) para definir la denominada extensión de grupo G _ex .

En mecánica cuántica, el teorema de Wigner afirma que si G es un grupo de simetría, entonces será representado proyectivamente en el espacio de Hilbert mediante operadores unitarios o antiunitarios. Esto a menudo se soluciona pasando al grupo de cobertura universal de G y tomándolo como el grupo de simetría. Esto funciona bien para el grupo de rotación SO(3) y el grupo de Lorentz O(3, 1) , pero no funciona cuando el grupo de simetría es el grupo galileano . En este caso hay que pasar a su extensión central, el grupo de Bargmann , ^[20] que es el grupo de simetría de la ecuación de Schrödinger . Asimismo, si G = ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , el grupo de traslaciones en el espacio de posición y momento, hay que pasar a su extensión central, el grupo de Heisenberg . ^[21]

Sea ω el 2-cociclo en G inducido por Π . Definir ^{[nota 6]}

${\displaystyle G_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} ^{*}\times G=\{(\lambda ,g)|\lambda \in \mathbb {C} ,g\in G\}}$

como un conjunto y dejemos que la multiplicación se defina por

${\displaystyle (\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})=(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2}).}$

La asociatividad se mantiene ya que ω es un 2-cociclo en G. Uno tiene para el elemento unitario.

${\displaystyle (1,e)(\lambda ,g)=(\lambda \omega (e,g),g)=(\lambda ,g)=(\lambda ,g)(1,e),}$

y por el inverso

${\displaystyle (\lambda ,g)^{-1}=\left({\frac {1}{\lambda \omega (g,g^{-1})}},g^{-1}\right).}$

El conjunto ( , e ) ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ es un subgrupo abeliano de G _ex . Esto significa que G _ex no es semisimple. El centro de G , Z ( G ) = { z ∈ G | zg = gz ∀ g ∈ G } incluye este subgrupo. El centro puede ser más grande.

A nivel de álgebras de Lie se puede demostrar que el álgebra de Lie g _ex de G _ex viene dada por

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} C\oplus {\mathfrak {g}},}$

como espacio vectorial y dotado del corchete de Lie

${\displaystyle [\mu C+G_{1},\nu C+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\eta (G_{1},G_{2})C.}$

Aquí η es un 2-cociclo en g . Este 2-cociclo se puede obtener a partir de ω aunque de una manera muy no trivial. ^{[nota 7]}

Ahora, usando la representación proyectiva Π se puede definir un mapa Π _ex por

${\displaystyle \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))=\lambda \Pi (g).}$

Tiene las propiedades

${\displaystyle \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{1},g_{1}))\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{2},g_{2}))=\lambda _{1}\lambda _{2}\Pi (g_{1})\Pi (g_{2})=\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2})\Pi (g_{1}g_{2})=\Pi _{\mathrm {ex} }(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2})=\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})),}$

entonces Π _ex ( G _ex ) es una representación auténtica de G _ex .

En el contexto del teorema de Wigner, la situación puede representarse como tal (reemplazar por U(1) ); Sea SH la esfera unitaria en el espacio de Hilbert H y sea (·,·) su producto interno. Sea PH el espacio de rayos y [·,·] el producto de rayos . Además, una flecha ondulada indica una acción grupal . Entonces el diagrama ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

viajes diarios, es decir

${\displaystyle \pi _{2}\circ \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))(\psi )=\Pi \circ \pi (g)(\pi _{1}(\psi )),\quad \psi \in S{\mathcal {H}}.}$

Además, de la misma manera que G es una simetría de PH que preserva [·,·] , G _ex es una simetría de SH que preserva (·,·) . Las fibras de π ₂ son todas círculos. Estos círculos quedan invariantes bajo la acción de U(1) . La acción de U(1) sobre estas fibras es transitiva sin punto fijo. La conclusión es que SH es un haz de fibras principal sobre PH con grupo estructural U(1) . ^[21]

Material de antecedentes

Para discutir adecuadamente las extensiones, se necesita una estructura que vaya más allá de las propiedades definitorias del álgebra de Lie. Aquí se recopilan datos rudimentarios sobre estos para una referencia rápida.

Derivaciones

Una derivación δ en un álgebra de Lie g es un mapa

${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$

tal que la regla de Leibniz

${\displaystyle \delta [G_{1},G_{2}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]}$

sostiene. El conjunto de derivaciones en un álgebra de Lie g se denota der g . Es en sí misma un álgebra de Lie bajo el corchete de Lie.

${\displaystyle [\delta _{1},\delta _{2}]=\delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}.}$

Es el álgebra de Lie del grupo Aut g de automorfismos de g . ^[22] Hay que mostrar

${\displaystyle \delta [G_{1},G_{1}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]\Leftrightarrow e^{t\delta }[G_{1},G_{2}]=[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$

Si se cumple el derecho, diferenciar y establecer t = 0, lo que implica que se cumple el derecho. Si el lado izquierdo se cumple ( A ) , escriba el lado derecho como

${\displaystyle [G_{1},G_{2}]\;{\overset {?}{=}}\;e^{-t\delta }[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],}$

y diferenciar las rhs de esta expresión. Es, usando ( A ) , idénticamente cero. Por lo tanto, el derecho de esta expresión es independiente de t e iguala su valor para t = 0 , que es el derecho de esta expresión.

Si G ∈ g , entonces ad _G , actuando por ad _{G 1} ( G ₂ ) = [ G ₁ , G ₂ ] , es una derivación. El conjunto ad _G : G ∈ g es el conjunto de derivaciones internas en g . Para álgebras de Lie simples de dimensión finita, todas las derivaciones son derivaciones internas. ^[23]

Producto semidirecto (grupos)

Considere dos grupos de Lie G y H y Aut H , el grupo de automorfismo de H. Este último es el grupo de isomorfismos de H. Si existe un homomorfismo de grupo de Lie Φ: G → Aut H , entonces para cada g ∈ G existe un Φ( g ) ≡ Φ _g ∈ Aut H con la propiedad Φ _{gg '} = Φ _g Φ _{g '} , g , g ' ∈ GRAMO . Denota con E el conjunto H × G y define la multiplicación por

Entonces E es un grupo con identidad ( e _H , e _G ) y la inversa viene dada por ( h , g ) ⁻¹ = ( Φ _{g ⁻¹} ( h ⁻¹ ), g ⁻¹ ) . Usando la expresión de la inversa y la ecuación ( 4) se ve que H es normal en E. Denota el grupo con este producto semidirecto como E = H ⊗ _S G .

Por el contrario, si E = H ⊗ _S G es una expresión producto semidirecta dada del grupo E , entonces por definición H es normal en E y C _g ∈ Aut H para cada g ∈ G donde C _g ( h ) ≡ ghg ⁻¹ y el mapa Φ : g ↦ C _g es un homomorfismo.

Ahora haz uso de la correspondencia de Lie. Los mapas Φ _g : H → H , g ∈ G inducen cada uno, a nivel de álgebras de Lie, un mapa Ψ _g : h → h . Este mapa es calculado por

Por ejemplo, si G y H son ambos subgrupos de un grupo más grande E y Φ _g = ghg ^​​−1 , entonces

y se reconoce Ψ como la acción adjunta Ad de E sobre h restringida a G . Ahora Ψ: G → Aut h [ ⊂ GL( h ) si h es de dimensión finita] es un homomorfismo, ^{[nb 8]} y apelando una vez más a la correspondencia de Lie, existe un único homomorfismo del álgebra de Lie ψ : g → Lie( Au h ) = Der h ⊂ gl( h ) . ^{[nb 9]} Este mapa está (formalmente) dado por

por ejemplo, si Ψ = Ad , entonces (formalmente)

donde se utiliza una relación entre Ad y la acción adjunta ad rigurosamente probada aquí .

Álgebra de Lie
El álgebra de Lie es, como espacio vectorial, e = h ⊕ g . Esto está claro ya que GH genera E y G ∩ H = ( e _H , e _G ) . El corchete de Lie viene dado por ^[24]

${\displaystyle [H_{1}+G_{1},H_{2}+G_{2}]_{\mathfrak {e}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+\psi _{G_{1}}(H_{2})-\psi _{G_{2}}(H_{1})+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}.}$

Cálculo del soporte de Lie

Para calcular el corchete de Lie, comience con una superficie en E parametrizada por s y t . Los elementos de h en e = h ⊕ g están decorados con una barra, y lo mismo ocurre con g .

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{e^{t{\overline {G}}}s{\overline {H}}e^{-t{\overline {G}}}}&=e^{t{\overline {G}}}e^{s{\overline {H}}}e^{-t{\overline {G}}}=(1,e^{tG})(e^{sH},1)(1,e^{-tG})\\&=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),e^{tG})(1,e^{-tG})=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH})\phi _{e^{tG}}(1),1)\\&=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),1)\end{aligned}}}$

Uno tiene

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left.e^{Ad_{e^{t{\overline {G}}}}s{\overline {H}}}\right|_{s=0}=Ad_{e^{t{\overline {G}}}}{\overline {H}}}$

y

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left.(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),1)\right|_{s=0}=(\Psi _{e^{tG}}(H),0)}$

por 5 y así

${\displaystyle Ad_{e^{t{\overline {G}}}}{\overline {H}}=(\Psi _{e^{tG}}(H),0).}$

Ahora diferencia esta relación con respecto a t y evalúa en t = 0 :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.e^{t{\overline {G}}}{\overline {H}}e^{-t{\overline {G}}}\right|_{t=0}=[{\overline {G}},{\overline {H}}]}$

y

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.(\Psi _{e^{tG}}(H),0)\right|_{t=0}=(\psi _{G}(H),0)}$

por 6 y así

${\displaystyle [H_{1}+G_{1},H_{2}+G_{2}]_{\mathfrak {e}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+[G_{1},H_{2}]+[H_{1},G_{2}]+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+\psi _{G_{1}}(H_{2})-\psi _{G_{2}}(H_{1})+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}.}$

Cohomología

Para los presentes propósitos, basta con considerar una parte limitada de la teoría de la cohomología del álgebra de Lie. Las definiciones no son las más generales posibles, ni siquiera las más comunes, pero los objetos a los que se refieren son ejemplos auténticos de definiciones más generales.

2-cociclos
Los objetos de principal interés son los 2-cociclos en g , definidos como funciones alternas bilineales ,

${\displaystyle \phi :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow F,}$

que se van alternando,

${\displaystyle \phi (G_{1},G_{2})=-\phi (G_{2},G_{1}),}$

y tener una propiedad que se asemeja a la identidad de Jacobi llamada identidad de Jacobi durante 2 ciclos ,

${\displaystyle \phi (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\phi (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\phi (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0.}$

El conjunto de todos los 2-cociclos en g se denota Z ² ( g , F ) .

2-cociclos de 1-cocadenas
Algunos 2-cociclos se pueden obtener a partir de 1-cocadenas. Una 1-cocadena en g es simplemente un mapa lineal,

${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow F}$

El conjunto de todos esos mapas se denota C ¹ ( g , F ) y, por supuesto (al menos en el caso de dimensión finita) C ¹ ( g , F ) ≅ g * . Usando una 1-cocadena f , un 2-cociclo δf puede definirse por

${\displaystyle \delta f(G_{1},G_{2})=f([G_{1},G_{2}]).}$

La propiedad alternante es inmediata y la identidad de Jacobi para 2-cociclos se muestra (como de costumbre) escribiéndola y usando la definición y las propiedades de los ingredientes (aquí la identidad de Jacobi en g y la linealidad de f ). El mapa lineal δ : C ¹ ( g , F ) → Z ² ( g , F ) se llama operador colímite (aquí restringido a C ¹ ( g , F ) ).

El segundo grupo de cohomología
Denota la imagen de C ¹ ( g , F ) de δ por B ² ( g , F ) . el cociente

${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )=Z^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )/B^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )}$

se llama segundo grupo de cohomología de g . Los elementos de H ² ( g , F ) son clases de equivalencia de 2-cociclos y dos 2-cociclos φ ₁ y φ ₂ se llaman cociclos equivalentes si difieren por una 2-cofrontera, es decir, si φ ₁ = φ ₂ + δf para algunos f ∈ C ¹ ( gramo , F ) . Los 2-cociclos equivalentes se denominan cohomólogos . La clase de equivalencia de φ ∈ Z ² ( g , F ) se denota [ φ ] ∈ H ² .

Estas nociones se generalizan en varias direcciones. Para ello, consulte los artículos principales.

Constantes de estructura

Sea B una base de Hamel para g . Entonces cada G ∈ g tiene una expresión única como

${\displaystyle G=\sum _{\alpha \in A}c_{\alpha }G_{\alpha },\quad c_{\alpha }\in F,G_{\alpha }\in B}$

para algún conjunto de indexación A de tamaño adecuado. En esta expansión, sólo un número finito de c _α son distintos de cero. En lo que sigue, se supone (por simplicidad) que la base es contable, y se utilizan letras latinas para los índices y se puede considerar que el conjunto de indexación es = 1, 2, .... Uno inmediatamente tiene ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$

${\displaystyle [G_{i},G_{j}]={C_{ij}}^{k}G_{k}}$

para los elementos base, donde el símbolo de suma ha sido racionalizado, se aplica la convención de suma. La ubicación de los índices en las constantes de estructura (arriba o abajo) es irrelevante. El siguiente teorema es útil:

Teorema : Existe una base tal que las constantes de estructura son antisimétricas en todos los índices si y solo si el álgebra de Lie es una suma directa de álgebras de Lie compactas simples y álgebras de Lie u (1) . Este es el caso si y sólo si existe una métrica definida positiva real g sobre g que satisface la condición de invariancia

${\displaystyle g_{\alpha \beta }{C^{\beta }}_{\gamma \delta }=-g_{\gamma \beta }{C^{\beta }}_{\alpha \delta }.}$

en cualquier base. Esta última condición es necesaria desde el punto de vista físico para las teorías de calibre no abelianas en la teoría cuántica de campos . Por lo tanto, se puede producir una lista infinita de posibles teorías de calibre utilizando el catálogo de Cartan de álgebras de Lie simples en su forma compacta (es decir, sl ( n , ) → su ( n ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , etc. Una de esas teorías de calibre es la U(1) × Teoría de calibre SU(2) × SU(3) del modelo estándar con álgebra de Lie u (1) ⊕ su (2) ⊕ su (3) ^[25] .

forma de matar

La forma Killing es una forma bilineal simétrica en g definida por

${\displaystyle K(G_{1},G_{2})=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{G_{1}}\mathrm {ad} _{G_{2}}).}$

Aquí ad _G se ve como una matriz que opera en el espacio vectorial g . El hecho clave necesario es que si g es semisimple , entonces, según el criterio de Cartan , K no es degenerado. En tal caso, K puede usarse para identificar g y g ^* . Si λ ∈ g ^∗ , entonces existe un ν ( λ ) = G _λ ∈ g tal que

${\displaystyle \langle \lambda ,G\rangle =K(G_{\lambda },G)\quad \forall G\in {\mathfrak {g}}.}$

Esto se parece al teorema de representación de Riesz y la demostración es prácticamente la misma. La forma Killing tiene la propiedad

${\displaystyle K([G_{1},G_{2}],G_{3})=K(G_{1},[G_{2},G_{3}]),}$

lo que se conoce como asociatividad. Al definir g _αβ = K [ G _α , G _β ] y expandir los corchetes internos en términos de constantes de estructura, se encuentra que la forma Killing satisface la condición de invariancia anterior.

Álgebra de bucles

Un grupo de bucle se toma como un grupo de aplicaciones suaves del círculo unitario S ¹ en un grupo de Lie G con la estructura de grupo definida por la estructura de grupo en G. El álgebra de Lie de un grupo de bucles es entonces un espacio vectorial de asignaciones de S ¹ al álgebra de Lie g de G . Cualquier subálgebra de dicho álgebra de Lie se denomina álgebra de bucles . La atención aquí se centra en las álgebras de bucles polinomiales de la forma

${\displaystyle \{h:S^{1}\to {\mathfrak {g}}|h(\lambda )=\sum \lambda ^{n}G_{n},n\in \mathbb {Z} ,\lambda =e^{i\theta }\in S^{1},G_{n}\in {\mathfrak {g}}\}.}$

Derivación del álgebra de Lie

Para ver esto, considere los elementos H ( λ ) cerca de la identidad en G para H en el grupo de bucles, expresados ​​en una base {G_k} para g

${\displaystyle H(\lambda )=e^{h^{k}(\lambda )G_{k}}=e_{G}+h^{k}(\lambda )G_{k}+\ldots ,}$

donde los h ^k ( λ ) son reales y pequeños y la suma implícita está sobre la dimensión K de g . Ahora escribe

${\displaystyle h^{k}(\lambda )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}}$

para obtener

${\displaystyle e^{h^{k}(\lambda )G_{k}}=1_{G}+\sum _{n=-\infty }^{\infty }\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}G_{k}+\ldots .}$

Así las funciones

${\displaystyle h:S^{1}\to {\mathfrak {g}};h(\lambda )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=1}^{K}\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}G_{k}\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }\lambda ^{n}G_{n}}$

constituyen el álgebra de Lie.

Un poco de reflexión confirma que estos son bucles en g cuando θ pasa de 0 a 2 π . Las operaciones son las definidas puntualmente por las operaciones en g . Este álgebra es isomorfa con el álgebra.

${\displaystyle C[\lambda ,\lambda ^{-1}]\otimes {\mathfrak {g}},}$

donde C[ λ , λ ⁻¹ ] es el álgebra de polinomios de Laurent ,

${\displaystyle \sum \lambda ^{k}G_{k}\leftrightarrow \sum \lambda ^{k}\otimes G_{k}.}$

El soporte de mentira es

${\displaystyle [P(\lambda )\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2}]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_{1},G_{2}].}$

En este último punto de vista, los elementos pueden considerarse como polinomios con coeficientes (¡constantes!) en g . En términos de una base y constantes de estructura,

${\displaystyle [\lambda ^{m}\otimes G_{i},\lambda ^{n}\otimes G_{j}]={C_{ij}}^{k}\lambda ^{m+n}\otimes G_{k}.}$

También es común tener una notación diferente,

${\displaystyle \lambda ^{m}\otimes G_{i}\cong \lambda ^{m}G_{i}\leftrightarrow T_{i}^{m}(\lambda )\equiv T_{i}^{m},}$

donde se debe tener en cuenta la omisión de λ para evitar confusión; los elementos realmente son funciones S ¹ → g . El corchete de Lie es entonces

${\displaystyle [T_{i}^{m},T_{j}^{n}]={C_{ij}}^{k}T_{k}^{m+n},}$

que es reconocible como una de las relaciones de conmutación en un álgebra afín de Kac-Moody, que se presentará más adelante, sin el término central. Con m = n = 0 , se obtiene una subálgebra isomorfa a g . Genera (como se ve al rastrear hacia atrás en las definiciones) el conjunto de aplicaciones constantes de S ¹ a G , que es obviamente isomorfo con G cuando exp es on (que es el caso cuando G es compacto. Si G es compacto, entonces a La base ( G _k ) para g puede elegirse de manera que los G _k sean sesgados-hermitianos.

${\displaystyle T_{i}^{n\dagger }=(\lambda ^{n}G_{i})^{\dagger }=-\lambda ^{-n}G_{i}=-T_{i}^{-n}.}$

Esta representación se llama unitaria porque los representantes

${\displaystyle H(\lambda )=e^{\theta _{n}^{k}T_{k}^{-n}}\in G}$

son unitarios. Aquí, el menos en el índice inferior de T es convencional, se aplica la convención de suma y λ está (por definición) enterrado en los T s en el lado derecho.

Álgebra actual (física)

Las álgebras actuales surgen en las teorías cuánticas de campos como consecuencia de la simetría de calibre global . Las corrientes conservadas ocurren en las teorías de campos clásicas siempre que el lagrangiano respeta una simetría continua . Este es el contenido del teorema de Noether . La mayoría (quizás todas) las teorías cuánticas de campos modernas pueden formularse en términos de lagrangianos clásicos (antes de la cuantificación), por lo que el teorema de Noether se aplica también en el caso cuántico. Tras la cuantificación, las corrientes conservadas se promueven para posicionar operadores dependientes en el espacio de Hilbert. Estos operadores están sujetos a relaciones de conmutación, formando generalmente un álgebra de Lie de dimensión infinita. A continuación se presenta un modelo que ilustra esto.

Para realzar el sabor de la física, los factores de i aparecerán aquí y allá en lugar de en las convenciones matemáticas. ^{[nota 3]}

Considere un vector columna Φ de campos escalares (Φ ₁ , Φ ₂ , ..., Φ _N ) . Sea la densidad lagrangiana

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\phi ^{\dagger }\partial ^{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{\dagger }\phi .}$

Este lagrangiano es invariante bajo la transformación ^{[nb 10]}

${\displaystyle \phi \mapsto e^{-i\sum _{a=1}^{r}\alpha ^{a}F_{a}}\phi ,}$

donde { F ₁ , F ₁ , ..., F _r } son generadores de U( N ) o de un subgrupo cerrado del mismo, que satisfacen

${\displaystyle [F_{a},F_{b}]=i{C_{ab}}^{c}F_{c}.}$

El teorema de Noether afirma la existencia de r corrientes conservadas,

${\displaystyle J_{a}^{\mu }=-\pi ^{\mu }iF_{a}\phi ,\quad \pi ^{k\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{k})}},}$

donde π ^{k 0} ≡ π ^k es el momento canónicamente conjugado con Φ _k . La razón por la que se dice que estas corrientes se conservan es porque

${\displaystyle \partial _{\mu }J_{a}^{\mu }=0,}$

y consecuentemente

${\displaystyle Q_{a}(t)=\int J_{a}^{0}d^{3}x=\mathrm {const} \equiv Q_{a},}$

la carga asociada a la densidad de carga J _a ⁰ es constante en el tiempo. ^{[nb 11]} Esta teoría (hasta ahora clásica) se cuantifica promoviendo los campos y sus conjugados a operadores en el espacio de Hilbert y postulando (cuantización bosónica) las relaciones de conmutación ^{[26] [nb 12]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\phi _{k}(t,x),\pi ^{l}(t,x)]&=i\delta (x-y)\delta _{k}^{l},\\{}[\phi _{k}(t,x),\phi _{l}(t,x)]&=[\pi ^{k}(t,x),\pi ^{l}(t,x)]=0.\end{aligned}}}$

En consecuencia, las corrientes se convierten en operadores ^{[nb 13].} Satisfacen, utilizando las relaciones postuladas anteriormente, las definiciones y la integración en el espacio, las relaciones de conmutación.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{0}(t,\mathbf {y} )]&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ){C_{ab}}^{c}J_{c}^{0}(ct,\mathbf {x} )\\{}[Q_{a},Q_{b}]&=i{Q_{ab}}^{c}Q_{c}\\{}[Q_{a},J_{b}^{\mu }(t,\mathbf {x} )]&=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{\mu }(t,\mathbf {x} ),\end{aligned}}}$

donde la velocidad de la luz y la constante de Planck reducida se han fijado en la unidad. La última relación de conmutación no se sigue de las relaciones de conmutación postuladas (éstas se fijan sólo para π ^{k 0} , no para π ^{k 1} , π ^{k 2} , π ^{k 3} ), excepto para μ = 0 para μ = 1, 2, 3. El comportamiento de la transformación de Lorentz se utiliza para deducir la conclusión. El siguiente conmutador a considerar es

${\displaystyle [J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{i}(t,\mathbf {y} )]=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{i}(t,\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+S_{ab}^{ij}\partial _{j}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+....}$

La presencia de las funciones delta y sus derivadas se explica por el requisito de microcausalidad que implica que el conmutador desaparece cuando x ≠ y . Por tanto, el conmutador debe ser una distribución soportada en x = y . ^[27] El primer término es fijo debido al requisito de que la ecuación, cuando se integra sobre X , se reduzca a la última ecuación anterior. Los siguientes términos son los términos de Schwinger . Se integran a cero, pero se puede demostrar de manera bastante general ^[28] que deben ser distintos de cero.

Existencia de términos de Schwinger

Considere una corriente conservada

con un término genérico de Schwinger

${\displaystyle [J^{0}(t,\mathbf {x} ),J^{i}(t,\mathbf {y} )]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )J^{i}(t,\mathbf {x} )+C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$

Tomando el valor esperado de vacío (VEV),

${\displaystyle \langle 0|C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|0\rangle =\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),J^{i}(t,\mathbf {y} )]|0\rangle ,}$

uno encuentra

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|{\frac {\partial C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}{\partial _{y^{i}}}}|0\rangle &=\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),{\frac {\partial J^{i}(t,\mathbf {y} )}{\partial _{y^{i}}}}]|0\rangle \\&=-\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),{\frac {\partial J^{0}(t,\mathbf {y} )}{\partial _{t}}}]|0\rangle =i\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),[J^{0}(t,\mathbf {y} ),H]]|0\rangle \\&=-i\langle 0|J^{0}(t,\mathbf {x} )HJ^{0}(t,\mathbf {y} )+J^{0}(t,\mathbf {x} )HJ^{0}(t,\mathbf {x} )|0\rangle ,\end{aligned}}}$

donde se han utilizado S10 y la ecuación de movimiento de Heisenberg, así como H |0⟩ = 0 y su conjugado.

Multiplique esta ecuación por f ( x ) f ( y ) e integre con respecto a x e y en todo el espacio, usando integración por partes , y se encuentra

${\displaystyle -i\int \int d\mathbf {x} d\mathbf {y} \langle 0|C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|0\rangle f(\mathbf {x} ){\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}f(\mathbf {x} )=2\langle 0|FHF|\rangle ,\quad F=\int J^{0}(\mathbf {x} )f(\mathbf {x} ).}$

Ahora inserte un conjunto completo de estados, | norte⟩

${\displaystyle \langle 0|FHF|\rangle =\sum _{mn}\langle 0|F|m\rangle \langle m|H|n\rangle \langle n|F|0\rangle =\sum _{mn}\langle 0|F|m\rangle E_{n}\delta _{mn}\langle n|F|0\rangle )\sum _{n\neq 0}|\langle 0|F|n\rangle |^{2}E_{n}>0\Rightarrow C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\neq 0.}$

Aquí la hermiticidad de F y el hecho de que no todos los elementos de la matriz de F entre el estado de vacío y los estados de un conjunto completo pueden ser cero.

Álgebra afín de Kac-Moody

Sea g un álgebra de Lie simple compleja de N dimensiones con una base normalizada adecuada dedicada tal que las constantes de estructura sean antisimétricas en todos los índices con relaciones de conmutación

${\displaystyle [G_{i},G_{j}]={C_{ij}}^{k}G_{k},\quad 1\leq i,j,N.}$

Un álgebra g de Kac-Moody afín y no retorcida se obtiene copiando la base para cada n ∈ (considerando las copias como distintas), estableciendo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\overline {\mathfrak {g}}}=FC\oplus FD\oplus \bigoplus _{1\leq i\leq \mathbb {N} ,m\in \mathbb {Z} }FG_{m}^{i}}$

como espacio vectorial y asignando las relaciones de conmutación

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[G_{i}^{m},G_{j}^{n}]&={C_{ij}}^{k}G_{k}^{m+n}+m\delta _{ij}\delta ^{m+n,0}C,\\{}[C,G_{i}^{m}]&=0,\quad 1\leq i,j,N,\quad m,n\in \mathbb {Z} \\{}[D,G_{i}^{m}]&=mG_{i}^{m}\\{}[D,C]&=0.\end{aligned}}}$

Si C = D = 0 , entonces la subálgebra abarcada por G ^m _i es obviamente idéntica al álgebra de bucle polinómico anterior.

Álgebra de Witt

Ernst Witt (1911-1991), matemático alemán. Las álgebras de Witt, estudiadas por él sobre campos finitos en la década de 1930, fueron examinadas por primera vez en el caso complejo por Cartan en 1909.

El álgebra de Witt , que lleva el nombre de Ernst Witt , es la complejización del álgebra de Lie Vect S ¹ de campos vectoriales suaves en el círculo S ¹ . En coordenadas, dichos campos vectoriales se pueden escribir

${\displaystyle X=f(\varphi ){\frac {d}{d\varphi }},}$

y el corchete de Lie es el corchete de Lie de los campos vectoriales, en S ¹ simplemente dado por

${\displaystyle [X,Y]=\left[f{\frac {d}{d\varphi }},g{\frac {d}{d\varphi }}\right]=\left(f{\frac {dg}{d\varphi }}-g{\frac {df}{d\varphi }}\right){\frac {d}{d\varphi }}.}$

El álgebra se denota W = Vect S ¹ + i Vect S ¹ . Una base para W está dada por el conjunto

${\displaystyle \{d_{n},n\in \mathbb {Z} \}=\left\{\left.ie^{in\varphi }{\frac {d}{d\varphi }}=-z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\right|n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

Esta base satisface

${\displaystyle [d_{l},d_{m}]=(l-m)d_{l+m}\equiv {C_{lm}}^{n}d_{n}=(l-m)\delta _{l+m}^{n}d_{n},\quad l,m,n\in \mathbb {Z} .}$

Este álgebra de Lie tiene una extensión central útil, el álgebra de Virasoro. Tiene subálgebras tridimensionales isomorfas con su (1, 1) y sl (2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Para cada n ≠ 0 , el conjunto { d ₀ , d _−n , d _n } abarca una subálgebra isomorfa a su (1, 1) ≅ sl (2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Relación con sl (2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y su (1, 1)

Para m , n ∈ {−1, 0, 1} se tiene

${\displaystyle [d_{0},d_{-1}]=d_{-1},\quad [d_{0},d_{1}]=-d_{1},\quad [d_{1},d_{-1}]=2d_{0}.}$

Estas son las relaciones de conmutación de sl (2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ con

${\displaystyle d_{0}\leftrightarrow H=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right),\quad d_{-1}\leftrightarrow X=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),\quad d_{1}\leftrightarrow Y=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\1&0\end{smallmatrix}}\right),\quad H,X,Y\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ).}$

Los grupos SU(1, 1) y SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ son isomorfos según el mapa ^[29]

${\displaystyle SU(1,1)=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)SL(2,\mathbb {R} )\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1},}$

y el mismo mapa se cumple al nivel de álgebras de Lie debido a las propiedades del mapa exponencial . Se da una base para su (1, 1) , ver grupo clásico , por

${\displaystyle U_{0}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right),\quad U_{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-i\\i&0\end{smallmatrix}}\right),\quad U_{2}=\left({\begin{smallmatrix}i&0\\0&-i\end{smallmatrix}}\right)}$

Ahora calcula

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)H\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)=U_{0},\\X_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)X\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}i&-i\\i&-i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}+U_{2}),\\Y_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)Y\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}-i&-i\\i&i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}-U_{2}).\end{aligned}}}$

El mapa conserva corchetes y, por lo tanto, existen isomorfismos del álgebra de Lie entre la subálgebra de W abarcada por { d ₀ , d ₋₁ , d ₁ } con coeficientes reales , sl (2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y su (1, 1) . Lo mismo se aplica a cualquier subálgebra abarcada por { d ₀ , d _{− n} , d _n }, n ≠ 0 , esto se deduce de un simple cambio de escala de los elementos (a ambos lados de los isomorfismos).

Representación proyectiva

Si M es una matriz del grupo de Lie , entonces los elementos X de su álgebra de Lie m pueden venir dados por

${\displaystyle X={\frac {d}{dt}}\left.(g(t))\right|_{t=0},}$

donde g es un camino diferenciable en M que pasa por el elemento identidad en t = 0 . Los conmutadores de elementos del álgebra de Lie se pueden calcular como ^[30]

${\displaystyle [X_{1},X_{2}]=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}}.}$

Asimismo, dada una representación de grupo U ( M ) , su álgebra de Lie u ( m ) se calcula mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}[][Y_{1},Y_{2}]&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}})U(e^{sX_{2}})U(e^{-tX_{1}})\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})\end{aligned}},}$

dónde y . Entonces hay un isomorfismo del álgebra de Lie entre m y u ( m ) enviando bases a bases, de modo que u es una representación fiel de m . ${\displaystyle Y_{1}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}U(e^{tX_{1}})}$ ${\displaystyle Y_{2}=\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{sX_{2}})}$

Sin embargo, si U ( G ) es un conjunto admisible de representantes de una representación unitaria proyectiva , es decir, una representación unitaria hasta un factor de fase, entonces el álgebra de Lie, calculada a partir de la representación de grupo, no es isomorfa a m . Para U , la regla de multiplicación dice

${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\omega (g_{1},g_{2})U(g_{1}g_{2})=e^{i\xi (g_{1},g_{2})}U(g_{1}g_{2}).}$

La función ω , que a menudo se requiere que sea suave, satisface

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\omega (g_{1},g_{2}g_{3})\omega (g_{2},g_{3})&=\omega (g_{1},g_{2})\omega (g_{1}g_{2},g_{3})\\\omega (g,g^{-1})&=\omega (g^{-1},g).\end{aligned}}}$

Se llama 2-cociclo en M .

De las igualdades anteriores, entonces se tiene ${\displaystyle (U(g))^{-1}={\frac {1}{\omega (g,g^{-1})}}U(g^{-1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][Y_{1},Y_{2}]&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}})U(e^{sX_{2}})(U(e^{tX_{1}}))^{-1}\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}{\frac {1}{\omega (e^{tX_{1}},e^{-tX_{1}})}}U(e^{tX_{1}})U(e^{sX_{2}})U(e^{-tX_{1}})\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}{\frac {\omega (e^{tX_{1}},e^{sX_{2}})\omega (e^{tX_{1}}e^{sX_{2}},e^{-tX_{1}})}{\omega (e^{tX_{1}},e^{-tX_{1}})}}U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})\\&\equiv \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}\Omega (e^{tX_{1}},e^{sX_{2}})U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})+\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}\Omega (e^{tX_{1}},e^{sX_{2}})I,\end{aligned}}}$

porque tanto Ω como U se evalúan como identidad en t = 0 . Para una explicación de los factores de fase ξ , véase el teorema de Wigner . Las relaciones de conmutación en m para una base,

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]={C_{ij}^{k}}X_{k}}$

convertirse en ti

${\displaystyle [Y_{i},Y_{j}]={C_{ij}^{k}}Y_{k}+D_{ij}I,}$

entonces, para que u esté cerrado bajo el corchete (y por lo tanto tenga la posibilidad de ser realmente un álgebra de Lie), se debe incluir una carga central I.

Teoría de cuerdas clásica relativista

Una cuerda relativista clásica traza una hoja de mundo en el espacio-tiempo, al igual que una partícula puntual traza una línea de mundo . Esta hoja mundial se puede parametrizar localmente utilizando dos parámetros σ y τ . Los puntos x ^μ en el espacio-tiempo pueden, en el rango de parametrización, escribirse x ^μ = x ^μ ( σ , τ ) . Se usa una X mayúscula para indicar puntos en el espacio-tiempo que realmente se encuentran en la hoja mundial de la cuerda. Así, la parametrización de la cadena viene dada por ( σ , τ ) ↦( X ⁰ ( σ , τ ), X ¹ ( σ , τ ), X ² ( σ , τ ), X ³ ( σ , τ )) . Lo inverso de la parametrización proporciona un sistema de coordenadas local en la hoja del mundo en el sentido de variedades .

Las ecuaciones de movimiento de una cuerda relativista clásica derivadas en el formalismo lagrangiano de la acción Nambu-Goto son ^[31]

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }}{\partial \tau }}+{\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }}{\partial \sigma }}=0,\quad {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-(X')^{2}{\dot {X}}_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}},\quad {\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-({\dot {X}})^{2}X'_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}}.}$

Un punto sobre una cantidad denota diferenciación con respecto a τ y una diferenciación prima con respecto a σ . Un punto entre cantidades denota el producto interno relativista.

Estas formidables ecuaciones se simplifican considerablemente con una inteligente elección de parametrización llamada calibre de cono de luz . En este medidor, las ecuaciones de movimiento se convierten en

${\displaystyle {\ddot {X}}^{\mu }-{X^{\mu }}''=0,}$

la ecuación de onda ordinaria . El precio a pagar es que el calibre cónico ligero impone limitaciones,

${\displaystyle {\dot {X}}^{\mu }\cdot {X^{\mu }}'=0,\quad ({\dot {X}})^{2}+(X')^{2}=0,}$

de modo que no se pueden simplemente tomar soluciones arbitrarias de la ecuación de onda para representar las cuerdas. Las cuerdas consideradas aquí son cuerdas abiertas, es decir, no se cierran sobre sí mismas. Esto significa que se deben imponer las condiciones de contorno de Neumann en los puntos finales. Con esto, la solución general de la ecuación de onda (excluyendo restricciones) viene dada por

${\displaystyle X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+2\alpha 'p_{0}^{\mu }\tau -i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n=1}\left(a_{n}^{\mu *}e^{in\tau }-a_{n}^{\mu }e^{-in\tau }\right){\frac {\cos n\sigma }{\sqrt {n}}},}$

donde α ' es el parámetro de pendiente de la cuerda (relacionado con la tensión de la cuerda ). Las cantidades x ₀ y p ₀ son (aproximadamente) la posición de la cuerda desde la condición inicial y el momento de la cuerda. Si todos los α^μ
_norteson cero, la solución representa el movimiento de una partícula puntual clásica.

Esto se reescribe, definiendo primero

${\displaystyle \alpha _{0}^{\mu }={\sqrt {2\alpha '}}a_{\mu },\quad \alpha _{n}^{\mu }=a_{n}^{\mu }{\sqrt {n}},\quad \alpha _{-n}^{\mu }=a_{n}^{\mu *}{\sqrt {n}},}$

y luego escribiendo

${\displaystyle X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{\mu }\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{\mu }e^{-in\tau }\cos n\sigma .}$

Para satisfacer las restricciones, se pasa a las coordenadas del cono de luz . Para I = 2, 3, ... d , donde d es el número de dimensiones del espacio , establezca

${\displaystyle {\begin{aligned}X^{I}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{I}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{I}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{I}e^{-in\tau }\cos n\sigma ,\\X^{+}(\sigma ,\tau )&={\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{+}\tau ,\\X^{-}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{-}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{-}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{-}e^{-in\tau }\cos n\sigma .\end{aligned}}}$

No todos α _n ^μ , n ∈ , μ ∈ {+, −, 2, 3, ..., d } ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ son independientes. Algunos son cero (por lo tanto faltan en las ecuaciones anteriores) y los "coeficientes negativos" satisfacen

${\displaystyle {\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}={\frac {1}{2p^{+}}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.}$

La cantidad de la izquierda recibe un nombre,

${\displaystyle {\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}\equiv {\frac {1}{p^{+}}}L_{n},\quad L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I},}$

el modo Virasoro transversal .

Cuando se cuantifica la teoría, los alfas y, por tanto, los L _n se convierten en operadores.

Ver también

• Cohomología de grupo
• Contracción de grupo (contracción de Inönu-Wigner)
• Extensión de grupo
• Cohomología del álgebra de mentiras

Observaciones

1. Otto Schreier (1901 - 1929) fue un pionero en la teoría de la extensión de grupos . Junto con sus ricos artículos de investigación, sus notas de conferencias fueron publicadas póstumamente (editadas por Emanuel Sperner ) bajo el nombre Einführung in die analytische Geometrie und Algebra (Vol I 1931, Vol II 1935), más tarde en 1951 traducidas al inglés en Introducción al álgebra moderna. y Teoría de matrices. Consulte MacTutor 2015 para obtener más referencia.
2. Para demostrar que la identidad de Jacobi se cumple, se escribe todo, se utiliza el hecho de que las álgebras de Lie subyacentes tienen un producto de Lie que satisface la identidad de Jacobi, y que δ [ X , Y ] = [ δ ( X ), Y ] + [ X , δ ( Y )] .
3. Aproximadamente, todo el álgebra de Lie se multiplica por i , hay una i que ocurre en la definición de las constantes de estructura y el exponente en el mapa exponencial (teoría de Lie) adquiere un factor de (menos) i . La razón principal de esta convención es que a los físicos les gusta que sus elementos de álgebra de Lie sean hermitianos (en contraposición a sesgados-hermitianos ) para que tengan valores propios reales y, por lo tanto, sean candidatos a observables .
4. Miguel Angel Virasoro , nacido 1940 es un físico argentino. El álgebra de Virasoro, que lleva su nombre, se publicó por primera vez en Virasoro (1970)
5. Se puede obtener el mismo efecto cambiando la base en W.
6. Si el 2-cociclo toma sus valores en el grupo abeliano U(1) , es decir, es un factor de fase, lo que siempre será el caso en el contexto del teorema de Wigner , entonces puede reemplazarse con U(1) en la construcción. . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$
7. Bäuerle, de Kerf & ten Kroode 1997, Capítulo 18. La referencia establece el hecho y es difícil de demostrar. No se dan más referencias. Sin embargo, se pueden encontrar expresiones en una forma ligeramente diferente en Tuynman y Wiegerinck (1987) y Bargmann (1954).
8. Para ver esto, aplique la fórmula (4) a Ψ _gg' , recuerde que Φ es un homomorfismo y use Φ _g ( e ^G ) = e ^{Ψ _g ( G )} un par de veces.
9. El hecho de que el álgebra de Lie de Auth ) sea Der h , el conjunto de todas las derivaciones de h ( que en sí mismo es un álgebra de Lie bajo el paréntesis obvio), se puede encontrar en Rossmann 2002, p. 51
10. Dado que U = − i Σ α ^a T _a y U ^† son constantes, se pueden extraer de las derivadas parciales. La U y la U ^† luego se combinan en U ^† U = I por unitaridad.
11. Esto se desprende de que la ley de Gauss se basa en el supuesto de una caída suficientemente rápida de los campos en el infinito.
12. Existen rutas alternativas para la cuantización, por ejemplo, se postula la existencia de operadores de creación y aniquilación para todos los tipos de partículas con ciertas simetrías de intercambio según las estadísticas, Bose-Einstein o Fermi-Dirac , las partículas obedecen, en cuyo caso se derivan las anteriores. para campos bosónicos escalares utilizando principalmente la invariancia de Lorentz y la demanda de la unitaridad de la matriz S. De hecho, todos los operadores en el espacio de Hilbert pueden construirse a partir de operadores de creación y aniquilación. Véase, por ejemplo, Weinberg (2002), capítulos 2 a 5.
13. Este paso es ambiguo, ya que los campos clásicos conmutan mientras que los operadores no. Aquí se pretende que este problema no existe. En realidad, nunca es grave mientras se sea coherente.

Notas

1. Bäuerle, de Kerf y ten Kroode 1997
2. Schottenloher 2008, Introducción
3. Dolan 1995 El faro de la simetría Kac-Moody para la física. (acceso libre)
4. Verde, Schwarz y Witten 1987
5. Schottenloher 2008
6. Schreier 1926
7. Schreier 1925
8. Kac 1967e
9. De mal humor 1967
10. Bäuerle, de Kerf y ten Kroode 1997, capítulo 19
11. Bäuerle, de Kerf y ten Kroode 1997, ejemplo 18.1.9
12. Bäuerle, de Kerf y ten Kroode 1997, capítulo 18
13. Bäuerle, de Kerf y ten Kroode 1997 Corolario 22.2.9.
14. Kac 1990 Ejercicio 7.8.
15. Kac 1990
16. Bäuerle y de Kerf 1990
17. Zwiebach 2004, Capítulo 12
18. Zwiebach 2004, págs. 219-228
19. Zwiebach 2004, pág. 227
20. Bargmann 1954
21. Tuynman y Wiegerinck 1987
22. Rossmann 2002, sección 2.2
23. Humphreys 1972
24. Knapp 2002
25. Weinberg 1996, Apéndice A, Capítulo 15.
26. Greiner y Reinhardt 1996
27. Bäuerle & de Kerf 1990 Sección 17.5.
28. Bäuerle y de Kerf 1990, págs. 383–386
29. Rossmann 2002, sección 4.2
30. Hall, Brian (2015). Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental (2ª ed.). Suiza: Springer. pag. 57.ISBN​ 978-3-319-13466-6.
31. Zwiebach 2004 Ecuación 6.53 (respaldada por 6.49, 6.50).

Referencias

Libros

• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA (1990). A. van Groesen; EM de Jager (eds.). Álgebras de mentiras. Parte 1. Álgebras de Lie de dimensiones finitas e infinitas y su aplicación en física . Estudios de física matemática. vol. 1. Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-88776-4. SEÑOR  1085715.
• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA; diez Kroode, APE (1997). A. van Groesen; EM de Jager (eds.). Álgebras de mentiras. Parte 2. Álgebras de Lie de dimensiones finitas e infinitas y su aplicación en física . Estudios de física matemática. vol. 7. Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-82836-1. SEÑOR  1489232 - vía ScienceDirect .
• Goddard, P .; Oliva, D. , eds. (1988). Álgebras de Kac-Moody y Virasoro, un volumen reimpreso para físicos. Serie Avanzada en Física Matemática. vol. 3. Singapur: World Scientific Publishing. ISBN 978-9971-50-419-9.
• Goldin, GA (2006). Françoise, JP.; Naber, GL; Tsun, TS (eds.). Enciclopedia de Física Matemática . Álgebra actual. ISBN 978-0-12-512666-3.
• Verde, MB ; Schwarz, JH ; Witten, E. (1987). Teoría de supercuerdas . vol. l. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 9781107029118.
• Greiner, W .; Reinhardt, J. (1996). Cuantización de campo . Publicación Springer . ISBN 978-3-540-59179-5.
• Humphreys, JE (1972). Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación (3ª ed.). Berlín·Heidelberg·Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-90053-5.
• Kac, VG (1990). Álgebras de Lie de dimensión infinita (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-37215-2.
• Knapp, A. (2002). bajo, H.; Oesterlé, J.; Weinstein, A. (eds.). Grupos de mentiras más allá de una introducción . Progreso en matemáticas. vol. 140 (2ª ed.). Boston·Basilea·Berlín: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4259-4.
• Rossmann, Wulf (2002). Grupos de mentiras: una introducción a través de grupos lineales . Textos de posgrado en matemáticas de Oxford. Publicaciones científicas de Oxford. ISBN 0-19-859683-9.
• Schottenloher, M. (2008) [1997]. Una introducción matemática a la teoría de campos conformes (2ª ed.). Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-68625-5.
• Weinberg, S. (2002). La teoría cuántica de campos . vol. I. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-55001-7.
• Weinberg, S. (1996). La teoría cuántica de campos . vol. II. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55002-4.
• Zwiebach, B. (2004). Un primer curso de teoría de cuerdas . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-83143-1. SEÑOR  2069234.

Revistas

• Bargmann, V. (1954). "Sobre representaciones de rayos unitarios de grupos continuos". Ana. de Matemáticas . 59 (1): 1–46. doi :10.2307/1969831. JSTOR  1969831.
• Dolan, L. (1995). "El faro de la simetría Kac-Moody para la física". Avisos de la AMS . 42 (12): 1489-1495. arXiv : hep-th/9601117 . Código Bib : 1996hep.th....1117D. ISSN  0002-9920.
• Kac, VG (1967r). "[Álgebras de Lie graduadas simples de crecimiento finito]". Función. Analis I Ego Prilozh (en ruso). 1 (4): 82–83.
• Kac, VG (1967e). "Álgebras de Lie graduadas simples de crecimiento finito". Función. Anal. Aplica . 1 : 328–329.(Traducción en inglés)
• Goddard, P .; Oliva, D. (1986). "Álgebras de Kac-Moody y Virasoro en relación con la física cuántica". En t. J.Mod. Física. A . 1 (2): 303–414. Código bibliográfico : 1986IJMPA...1..303G. doi :10.1142/S0217751X86000149.Esto se puede encontrar en las álgebras de Kac-Moody y Virasoro, A reprint Volume for Physicists.
• Moody, RV (1967). "Álgebras de mentira asociadas a matrices de Cartan generalizadas". Toro. América. Matemáticas. Soc . 73 (2): 217–221. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11688-4 . Señor  0207783. Zbl  0154.27303.(acceso abierto)
• Schreier, O. (1926). "Uber die Erweiterung von Gruppen I" [Sobre la teoría de las extensiones de grupo I]. Monatshefte für Mathematik (en alemán). 34 (1): 165–180. doi :10.1007/BF01694897. hdl : 10338.dmlcz/127714 . S2CID  124731047.
• Schreier, O. (1925). "Uber die Erweiterung von Gruppen II" [Sobre la teoría de las extensiones de grupos II]. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (en alemán). 4 (1): 321–346. doi :10.1007/BF02950735. hdl : 10338.dmlcz/140420 . S2CID  122947636.
• Virasoro, MA (1970). "Condiciones subsidiarias y fantasmas en modelos de doble resonancia". Física. Rev. D. 1 (10): 2933–2936. Código bibliográfico : 1970PhRvD...1.2933V. doi : 10.1103/PhysRevD.1.2933.
• Tuynman, gerente general; Wiegerinck, WAJJ (1987). "Extensiones centrales y física". Revista de Geometría y Física . 4 (2): 207–258. Código Bib : 1987JGP.....4..207T. doi :10.1016/0393-0440(87)90027-1.

Web

• MacTutor (2015). "Biografía de Schreier". MacTutor Historia de las Matemáticas . Consultado el 8 de marzo de 2015 .