Álgebra de bucles

Tipo de álgebra de Lie de interés en física

En matemáticas , las álgebras de bucles son ciertos tipos de álgebras de Lie , de particular interés en física teórica .

Definición

Para un álgebra de Lie sobre un campo , si es el espacio de polinomios de Laurent , entonces ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[t,t^{-1}]}$

$${\displaystyle L{\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}\otimes K[t,t^{-1}],}$$

$${\displaystyle [X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}.}$$

Definición geométrica

Si es un álgebra de Lie, el producto tensorial de con C ^∞ ( S ¹ ) , el álgebra de funciones suaves (complejas) sobre la variedad circular S ¹ (equivalentemente, funciones periódicas suaves de valores complejos de un período dado), ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(S^{1}),}$$

es un álgebra de Lie de dimensión infinita con el corchete de Lie dado por

$${\displaystyle [g_{1}\otimes f_{1},g_{2}\otimes f_{2}]=[g_{1},g_{2}]\otimes f_{1}f_{2}.}$$

Aquí g ₁ y g ₂ son elementos de y f ₁ y f ₂ son elementos de C ^∞ ( S ¹ ) . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Esto no es precisamente lo que correspondería al producto directo de infinitas copias de , una por cada punto en S ¹ , debido a la restricción de suavidad. En cambio, se puede pensar en términos de un mapa suave desde S ¹ hasta ; En otras palabras, un bucle parametrizado suave en . Por eso se llama álgebra de bucles . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Gradación

Definiendo como el subespacio lineal que el corchete restringe a un producto ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}={\mathfrak {g}}\otimes t^{i}<L{\mathfrak {g}},}$

$${\displaystyle [\cdot \,,\,\cdot ]:{\mathfrak {g}}_{i}\times {\mathfrak {g}}_{j}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{i+j},}$$

de álgebra de Lie ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

En particular, el corchete se restringe a la subálgebra de 'modo cero' . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\cong {\mathfrak {g}}}$

Derivación

Existe una derivación natural en el álgebra de bucles, que convencionalmente se denota actuando como ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle d:L{\mathfrak {g}}\rightarrow L{\mathfrak {g}}}$$

$${\displaystyle d(X\otimes t^{n})=nX\otimes t^{n}}$$

${\displaystyle d=t{\frac {d}{dt}}}$

Es necesario definir álgebras de Lie afines , que se utilizan en física, particularmente en teoría de campos conforme .

grupo de bucle

De manera similar, un conjunto de todos los mapas suaves desde S ¹ hasta un grupo de Lie G forma un grupo de Lie de dimensión infinita (grupo de Lie en el sentido en que podemos definir derivadas funcionales sobre él) llamado grupo de bucles . El álgebra de Lie de un grupo de bucles es el álgebra de bucles correspondiente.

Álgebras de Lie afines como extensión central de las álgebras de bucles

Si es un álgebra de Lie semisimple , entonces una extensión central no trivial de su álgebra de bucles da lugar a un álgebra de Lie afín . Además, esta extensión central es única. ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}}$

La extensión central viene dada por un elemento central contiguo , es decir, para todos , ${\displaystyle {\hat {k}}}$ ${\displaystyle X\otimes t^{n}\in L{\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle [{\hat {k}},X\otimes t^{n}]=0,}$$

$${\displaystyle [X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}+mB(X,Y)\delta _{m+n,0}{\hat {k}},}$$

forma de matar ${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$

La extensión central es, como espacio vectorial, (en su definición habitual, como de manera más general, puede considerarse un campo arbitrario). ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

ciclo

Utilizando el lenguaje de la cohomología del álgebra de Lie , la extensión central se puede describir utilizando un ciclo de 2 en el álgebra de bucles. este es el mapa

$${\displaystyle \varphi :L{\mathfrak {g}}\times L{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathbb {C} }$$

$${\displaystyle \varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n})=mB(X,Y)\delta _{m+n,0}.}$$

${\displaystyle \varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}){\hat {k}}.}$

Álgebra de mentira afín

En física, la extensión central a veces se denomina álgebra de Lie afín. En matemáticas, esto es insuficiente y el álgebra de Lie afín completa es el espacio vectorial ^[2] ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}}$

$${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}=L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}\oplus \mathbb {C} d}$$

${\displaystyle d}$

En este espacio, la forma Killing se puede extender a una forma no degenerada, lo que permite un análisis del sistema de raíces del álgebra de Lie afín.

Referencias

1. Kac, VG (1990). Álgebras de Lie de dimensión infinita (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . Ejercicio 7.8. ISBN 978-0-521-37215-2.
2. P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría de campos conforme , 1997, ISBN 0-387-94785-X 

• Fuchs, Jurgen (1992), Álgebras de mentiras afines y grupos cuánticos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X