Infinidad

Concepto matemático

Debido al constante reflejo de la luz entre espejos opuestos , parece que hay una cantidad ilimitada de espacio y repetición dentro de ellos.

El infinito es algo que no tiene límites, que no tiene fin o que es mayor que cualquier número natural . A menudo se representa con el símbolo del infinito . ${\displaystyle \infty }$

Desde la época de los antiguos griegos , la naturaleza filosófica del infinito ha sido objeto de muchas discusiones entre los filósofos. En el siglo XVII, con la introducción del símbolo del infinito ^[1] y el cálculo infinitesimal , los matemáticos comenzaron a trabajar con series infinitas y lo que algunos matemáticos (incluidos l'Hôpital y Bernoulli ) ^[2] consideraban cantidades infinitamente pequeñas, pero el infinito continuó asociándose con procesos sin fin. Mientras los matemáticos luchaban con los fundamentos del cálculo , seguía sin estar claro si el infinito podía considerarse un número o una magnitud y, de ser así, cómo podía hacerse. ^[1] A finales del siglo XIX, Georg Cantor amplió el estudio matemático del infinito al estudiar los conjuntos infinitos y los números infinitos , demostrando que pueden ser de varios tamaños. ^{[1] [3]} Por ejemplo, si una línea se considera como el conjunto de todos sus puntos, su número infinito (es decir, la cardinalidad de la línea) es mayor que el número de números enteros . ^[4] En este uso, el infinito es un concepto matemático, y los objetos matemáticos infinitos se pueden estudiar, manipular y utilizar como cualquier otro objeto matemático.

El concepto matemático de infinito refina y extiende el antiguo concepto filosófico, en particular al introducir una infinidad de tamaños diferentes de conjuntos infinitos. Entre los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , sobre los que se puede desarrollar la mayor parte de las matemáticas modernas, se encuentra el axioma de infinito , que garantiza la existencia de conjuntos infinitos. ^[1] El concepto matemático de infinito y la manipulación de conjuntos infinitos se utilizan ampliamente en matemáticas, incluso en áreas como la combinatoria que puede parecer que no tienen nada que ver con ellos. Por ejemplo, la prueba de Wiles del Último Teorema de Fermat se basa implícitamente en la existencia de universos de Grothendieck , conjuntos infinitos muy grandes, ^[5] para resolver un problema de larga data que se plantea en términos de aritmética elemental .

En física y cosmología , si el universo es espacialmente infinito es una cuestión abierta.

Historia

Las culturas antiguas tenían distintas ideas sobre la naturaleza del infinito. Los antiguos indios y los griegos no definían el infinito con un formalismo preciso como lo hacen las matemáticas modernas, sino que lo abordaban como un concepto filosófico.

Griego primitivo

La primera idea de infinito registrada en Grecia puede ser la de Anaximandro (c. 610 – c. 546 a. C.), un filósofo griego presocrático . Utilizó la palabra apeiron , que significa "ilimitado", "indefinido" y tal vez pueda traducirse como "infinito". ^{[1] [6]}

Aristóteles (350 a. C.) distinguió el infinito potencial del infinito actual , que consideraba imposible debido a las diversas paradojas que parecía producir. ^[7] Se ha argumentado que, en línea con esta visión, los griegos helenísticos tenían un "horror al infinito" ^{[8] [9]} que, por ejemplo, explicaría por qué Euclides (c. 300 a. C.) no dijo que hay una infinitud de primos sino más bien "Los números primos son más que cualquier multitud asignada de números primos". ^[10] También se ha mantenido que, al demostrar la infinitud de los números primos , Euclides "fue el primero en superar el horror al infinito". ^[11] Existe una controversia similar en relación con el postulado de las paralelas de Euclides , a veces traducido:

Si una línea recta que cae sobre dos [otras] líneas rectas forma ángulos internos en el mismo lado [de sí misma cuya suma es] menor que dos ángulos rectos, entonces las dos [otras] líneas rectas, al prolongarse hasta el infinito, se encuentran en aquel lado [de la línea recta original] en que la [suma de los ángulos internos] es menor que dos ángulos rectos. ^[12]

Otros traductores, sin embargo, prefieren la traducción «las dos líneas rectas, si se produjeran indefinidamente...», ^[13] evitando así la implicación de que Euclides se sentía cómodo con la noción de infinito. Finalmente, se ha sostenido que una reflexión sobre el infinito, lejos de suscitar un «horror al infinito», subyacía a toda la filosofía griega primitiva y que el «infinito potencial» de Aristóteles es una aberración respecto de la tendencia general de este período. ^[14]

Zenón: Aquiles y la tortuga

Zenón de Elea ( c.  495 – c.  430 a. C.) no formuló ninguna idea sobre el infinito. Sin embargo, sus paradojas, ^{[15] especialmente “Aquiles y la tortuga”, fueron contribuciones importantes porque pusieron de manifiesto la insuficiencia de las concepciones populares.} Bertrand Russell describió las paradojas como “inmensurablemente sutiles y profundas”. ^[16]

Aquiles corre contra una tortuga, dándole a esta última una ventaja.

• Paso n.° 1: Aquiles corre hacia el punto de partida de la tortuga mientras la tortuga camina hacia adelante.
• Paso #2: Aquiles avanza hacia donde estaba la tortuga al final del paso #1 mientras la tortuga va aún más lejos.
• Paso #3: Aquiles avanza hacia donde estaba la tortuga al final del paso #2 mientras la tortuga va aún más lejos.
• Paso #4: Aquiles avanza hacia donde estaba la tortuga al final del paso #3 mientras la tortuga va aún más lejos.

Etc.

Al parecer, Aquiles nunca alcanza a la tortuga, ya que por muchos pasos que dé, la tortuga sigue estando delante de él.

Zenón no estaba intentando demostrar nada sobre el infinito. Como miembro de la escuela eleática que consideraba el movimiento como una ilusión, consideró un error suponer que Aquiles pudiera correr. Los pensadores posteriores, que consideraron esta solución inaceptable, lucharon durante más de dos milenios para encontrar otras debilidades en el argumento.

Finalmente, en 1821, Augustin-Louis Cauchy proporcionó una definición satisfactoria de un límite y una prueba de que, para 0 < x < 1 , ^[17] $${\displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.}$$

Supongamos que Aquiles corre a 10 metros por segundo, la tortuga camina a 0,1 metros por segundo y esta última tiene una ventaja de 100 metros. La duración de la persecución se ajusta al patrón de Cauchy con a = 10 segundos y x = 0,01 . Aquiles alcanza a la tortuga; le lleva 100 metros de ventaja.

${\displaystyle 10+0.1+0.001+0.00001+\cdots }$ ${\displaystyle ={\frac {10}{1-0.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ seconds}}.}$

India primitiva

El texto matemático jainista Surya Prajnapti (c. siglo IV-III a. C.) clasifica todos los números en tres conjuntos: enumerables , innumerables e infinitos. Cada uno de ellos se subdivide a su vez en tres órdenes: ^[18]

• Enumerable: más bajo, intermedio y más alto
• Innumerables: casi innumerables, verdaderamente innumerables e innumerablesmente innumerables.
• Infinito: casi infinito, verdaderamente infinito, infinitamente infinito

Siglo XVII

En el siglo XVII, los matemáticos europeos comenzaron a utilizar números infinitos y expresiones infinitas de manera sistemática. En 1655, John Wallis utilizó por primera vez la notación para un número de este tipo en su De sectionibus conicis [ ^19] y la explotó en cálculos de área dividiendo la región en franjas infinitesimales de ancho del orden de ^[20] Pero en Arithmetica infinitorum (1656), ^[21] indica series infinitas, productos infinitos y fracciones continuas infinitas escribiendo algunos términos o factores y luego añadiendo "&c.", como en "1, 6, 12, 18, 24, etc." ^[22] ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}.}$

En 1699, Isaac Newton escribió sobre ecuaciones con un número infinito de términos en su obra De analysi per aequationes numero terminorum infinitas . ^[23]

Matemáticas

Hermann Weyl inauguró un discurso matemático-filosófico pronunciado en 1930 con: ^[24]

Las matemáticas son la ciencia del infinito.

Símbolo

El símbolo de infinito (a veces llamado lemniscata ) es un símbolo matemático que representa el concepto de infinito. El símbolo está codificado en Unicode como U+221E ∞ INFINITY ( ∞ ) ^[25] y en LaTeX como . ^[26] ${\displaystyle \infty }$ \infty

Fue introducido en 1655 por John Wallis , ^{[27] [28]} y desde su introducción, también se ha utilizado fuera de las matemáticas en el misticismo moderno ^[29] y la simbología literaria . ^[30]

Cálculo

Gottfried Leibniz , uno de los co-inventores del cálculo infinitesimal , especuló ampliamente sobre los números infinitos y su uso en matemáticas. Para Leibniz, tanto los infinitesimales como las cantidades infinitas eran entidades ideales, no de la misma naturaleza que las cantidades apreciables, pero que disfrutaban de las mismas propiedades de acuerdo con la Ley de continuidad . ^{[31] [2]}

Análisis real

En el análisis real , el símbolo , llamado "infinito", se utiliza para denotar un límite ilimitado . ^[32] La notación significa que  aumenta sin límite y significa que  disminuye sin límite. Por ejemplo, si para cada  , entonces ^[33] ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\to -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(t)\geq 0}$ ${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }$significa que no limita un área finita de a ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }$significa que el área debajo es infinita. ${\displaystyle f(t)}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}$significa que el área total debajo es finita y es igual a ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle a.}$

El infinito también se puede utilizar para describir series infinitas , de la siguiente manera:

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}$significa que la suma de la serie infinita converge a algún valor real ${\displaystyle a.}$
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }$significa que la suma de la serie infinita diverge propiamente hacia el infinito, en el sentido de que las sumas parciales aumentan sin límite. ^[34]

Además de definir un límite, el infinito también se puede utilizar como un valor en el sistema de números reales extendido. Los puntos etiquetados y se pueden agregar al espacio topológico de los números reales, produciendo la compactificación de dos puntos de los números reales. Añadiendo propiedades algebraicas a esto nos da los números reales extendidos . ^[35] También podemos tratar y como lo mismo, lo que lleva a la compactificación de un punto de los números reales, que es la línea proyectiva real . ^[36] La geometría proyectiva también se refiere a una línea en el infinito en la geometría plana, un plano en el infinito en el espacio tridimensional y un hiperplano en el infinito para dimensiones generales , cada uno de los cuales consta de puntos en el infinito . ^[37] ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Análisis complejo

Mediante la proyección estereográfica , el plano complejo se puede "envolver" sobre una esfera, cuyo punto superior corresponde al infinito. Esto se denomina esfera de Riemann .

En el análisis complejo, el símbolo , llamado "infinito", denota un límite infinito sin signo . La expresión significa que la magnitud  de  crece más allá de cualquier valor asignado. Se puede agregar un punto etiquetado al plano complejo como un espacio topológico que da la compactificación de un punto del plano complejo. Cuando se hace esto, el espacio resultante es una variedad compleja unidimensional , o superficie de Riemann , llamada plano complejo extendido o esfera de Riemann . ^[38] También se pueden definir operaciones aritméticas similares a las dadas anteriormente para los números reales extendidos, aunque no hay distinción en los signos (lo que lleva a la única excepción de que el infinito no se puede agregar a sí mismo). Por otro lado, este tipo de infinito permite la división por cero , es decir, para cualquier número complejo distinto de cero . En este contexto, a menudo es útil considerar las funciones meromórficas como mapas en la esfera de Riemann que toman el valor de en los polos. El dominio de una función de valor complejo se puede extender para incluir también el punto en el infinito. Un ejemplo importante de tales funciones es el grupo de transformaciones de Möbius (véase Transformación de Möbius § Descripción general ). ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle z/0=\infty }$  ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \infty }$

Análisis no estándar

Infinitesimales (ε) e infinitos (ω) en la línea de números hiperreales (1/ε = ω/1)

La formulación original del cálculo infinitesimal de Isaac Newton y Gottfried Leibniz utilizó cantidades infinitesimales . En la segunda mitad del siglo XX, se demostró que este tratamiento podía ponerse sobre una base rigurosa a través de varios sistemas lógicos , incluyendo el análisis infinitesimal suave y el análisis no estándar . En este último, los infinitesimales son invertibles, y sus inversos son números infinitos. Los infinitos en este sentido son parte de un cuerpo hiperreal ; no hay equivalencia entre ellos como con los transfinitos cantorianos . Por ejemplo, si H es un número infinito en este sentido, entonces H + H = 2H y H + 1 son números infinitos distintos. Este enfoque del cálculo no estándar está completamente desarrollado en Keisler (1986).

Teoría de conjuntos

Correspondencia biunívoca entre un conjunto infinito y su subconjunto propio

Una forma diferente de "infinito" son los infinitos ordinales y cardinales de la teoría de conjuntos, un sistema de números transfinitos desarrollado por primera vez por Georg Cantor . En este sistema, el primer cardinal transfinito es aleph-null ( ℵ ₀ ), la cardinalidad del conjunto de números naturales . Esta concepción matemática moderna del infinito cuantitativo se desarrolló a fines del siglo XIX a partir de obras de Cantor, Gottlob Frege , Richard Dedekind y otros, utilizando la idea de colecciones o conjuntos. ^[1]

El enfoque de Dedekind fue esencialmente adoptar la idea de correspondencia biunívoca como un estándar para comparar el tamaño de los conjuntos, y rechazar la visión de Galileo (derivada de Euclides ) de que el todo no puede tener el mismo tamaño que la parte. (Sin embargo, véase la paradoja de Galileo donde Galileo concluye que los números enteros positivos no pueden compararse con el subconjunto de números enteros cuadrados positivos ya que ambos son conjuntos infinitos). Un conjunto infinito puede definirse simplemente como uno que tiene el mismo tamaño que al menos una de sus partes propias ; esta noción de infinito se llama infinito de Dedekind . El diagrama de la derecha da un ejemplo: viendo las líneas como conjuntos infinitos de puntos, la mitad izquierda de la línea azul inferior puede mapearse de manera biunívoca (correspondencias verdes) a la línea azul superior y, a su vez, a toda la línea azul inferior (correspondencias rojas); por lo tanto, toda la línea azul inferior y su mitad izquierda tienen la misma cardinalidad, es decir, "tamaño". ^{[ cita requerida ]}

Cantor definió dos tipos de números infinitos: los números ordinales y los números cardinales . Los números ordinales caracterizan conjuntos bien ordenados , o el conteo continuado hasta cualquier punto de detención, incluidos los puntos después de que ya se haya contado un número infinito. La generalización de secuencias finitas e infinitas (ordinarias) que son aplicaciones de los números enteros positivos conduce a aplicaciones de números ordinales a secuencias transfinitas. Los números cardinales definen el tamaño de los conjuntos, es decir, cuántos miembros contienen, y pueden estandarizarse eligiendo el primer número ordinal de un cierto tamaño para representar el número cardinal de ese tamaño. El infinito ordinal más pequeño es el de los números enteros positivos, y cualquier conjunto que tenga la cardinalidad de los números enteros es infinito contable . Si un conjunto es demasiado grande para ponerlo en correspondencia uno a uno con los números enteros positivos, se llama incontable . Las opiniones de Cantor prevalecieron y las matemáticas modernas aceptan el infinito real como parte de una teoría consistente y coherente. ^{[39] [40] [ página necesaria ]} Ciertos sistemas numéricos extendidos, como los números hiperreales, incorporan los números ordinarios (finitos) y números infinitos de diferentes tamaños. ^{[ cita requerida ]}

Cardinalidad del continuo

Uno de los resultados más importantes de Cantor fue que la cardinalidad del continuo es mayor que la de los números naturales ; es decir, hay más números reales R que números naturales N. Es decir, Cantor demostró que . ^[41] ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle {\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$

La hipótesis del continuo establece que no existe ningún número cardinal entre la cardinalidad de los reales y la cardinalidad de los números naturales, es decir, . ${\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}$

Esta hipótesis no puede probarse ni refutarse dentro de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ampliamente aceptada , incluso asumiendo el axioma de elección . ^[42]

La aritmética cardinal se puede utilizar para demostrar no sólo que el número de puntos en una línea de números reales es igual al número de puntos en cualquier segmento de esa línea , sino también que éste es igual al número de puntos en un plano y, de hecho, en cualquier espacio de dimensión finita . ^{[ cita requerida ]}

Los tres primeros pasos de una construcción fractal cuyo límite es una curva que llena el espacio , mostrando que hay tantos puntos en una línea unidimensional como en un cuadrado bidimensional.

El primero de estos resultados es evidente al considerar, por ejemplo, la función tangente , que proporciona una correspondencia biunívoca entre el intervalo ( − ⁠π/2⁠ , ⁠π/2⁠ ) ​​y R .

El segundo resultado fue demostrado por Cantor en 1878, pero sólo se hizo intuitivamente evidente en 1890, cuando Giuseppe Peano introdujo las curvas que llenan el espacio , líneas curvas que se retuercen y giran lo suficiente para llenar la totalidad de cualquier cuadrado, cubo , hipercubo o espacio de dimensión finita. Estas curvas se pueden utilizar para definir una correspondencia biunívoca entre los puntos de un lado de un cuadrado y los puntos del cuadrado. ^[43]

Geometría

Hasta finales del siglo XIX, rara vez se hablaba de infinito en geometría , excepto en el contexto de procesos que podían continuar sin ningún límite. Por ejemplo, una línea era lo que ahora se llama un segmento de línea , con la condición de que uno puede extenderlo tanto como quiera; pero extenderlo infinitamente estaba fuera de cuestión. De manera similar, una línea no solía considerarse compuesta por infinitos puntos, sino que era un lugar donde se podía colocar un punto. Incluso si hay infinitas posiciones posibles, solo se podía colocar un número finito de puntos en una línea. Un testimonio de esto es la expresión "el lugar geométrico de un punto que satisface alguna propiedad" (singular), donde los matemáticos modernos generalmente dirían "el conjunto de los puntos que tienen la propiedad" (plural).

Una de las raras excepciones de un concepto matemático que involucra el infinito real fue la geometría proyectiva , donde los puntos en el infinito se agregan al espacio euclidiano para modelar el efecto de perspectiva que muestra líneas paralelas que se intersecan "en el infinito". Matemáticamente, los puntos en el infinito tienen la ventaja de permitir que uno no considere algunos casos especiales. Por ejemplo, en un plano proyectivo , dos líneas distintas se intersecan exactamente en un punto, mientras que sin puntos en el infinito, no hay puntos de intersección para líneas paralelas. Por lo tanto, las líneas paralelas y no paralelas deben estudiarse por separado en la geometría clásica, mientras que no es necesario distinguirlas en la geometría proyectiva.

Antes de que se utilizara la teoría de conjuntos para fundamentar las matemáticas , los puntos y las líneas se consideraban entidades distintas, y un punto podía estar ubicado en una línea . Con el uso universal de la teoría de conjuntos en matemáticas, el punto de vista ha cambiado drásticamente: ahora se considera que una línea es el conjunto de sus puntos , y se dice que un punto pertenece a una línea en lugar de que está ubicado en una línea (sin embargo, esta última frase todavía se usa).

En particular, en las matemáticas modernas, las líneas son conjuntos infinitos .

Dimensión infinita

Los espacios vectoriales que se dan en la geometría clásica tienen siempre una dimensión finita , generalmente dos o tres. Sin embargo, esto no está implícito en la definición abstracta de un espacio vectorial, y se pueden considerar espacios vectoriales de dimensión infinita. Este es típicamente el caso en el análisis funcional, donde los espacios funcionales son generalmente espacios vectoriales de dimensión infinita.

En topología, algunas construcciones pueden generar espacios topológicos de dimensión infinita. En particular, este es el caso de los espacios de bucles iterados .

Fractales

La estructura de un objeto fractal se reitera en sus ampliaciones. Los fractales pueden ampliarse indefinidamente sin perder su estructura y volverse "suaves"; tienen perímetros infinitos y pueden tener áreas infinitas o finitas. Una de esas curvas fractales con un perímetro infinito y un área finita es el copo de nieve de Koch . ^{[ cita requerida ]}

Matemáticas sin infinito

Leopold Kronecker era escéptico respecto de la noción de infinito y de cómo sus colegas matemáticos la utilizaban en las décadas de 1870 y 1880. Este escepticismo se desarrolló en la filosofía de las matemáticas llamada finitismo , una forma extrema de filosofía matemática en las escuelas filosóficas y matemáticas generales del constructivismo y el intuicionismo . ^[44]

Física

En física , se utilizan aproximaciones de números reales para mediciones continuas y números naturales para mediciones discretas (es decir, para contar). Existen conceptos de cosas infinitas, como una onda plana infinita , pero no hay medios experimentales para generarlos. ^[45]

Cosmología

La primera propuesta publicada de que el universo es infinito provino de Thomas Digges en 1576. ^[46] Ocho años después, en 1584, el filósofo y astrónomo italiano Giordano Bruno propuso un universo ilimitado en Sobre el universo y los mundos infinitos : "Existen innumerables soles; innumerables tierras giran alrededor de estos soles de una manera similar a la forma en que los siete planetas giran alrededor de nuestro sol. Los seres vivos habitan estos mundos". ^[47]

Los cosmólogos llevan mucho tiempo intentando descubrir si existe el infinito en nuestro universo físico : ¿hay un número infinito de estrellas? ¿Tiene el universo un volumen infinito? ¿El espacio " continúa eternamente "? Ésta es todavía una cuestión abierta de la cosmología . La cuestión de ser infinito está lógicamente separada de la cuestión de tener límites. La superficie bidimensional de la Tierra, por ejemplo, es finita, pero no tiene borde. Al viajar en línea recta con respecto a la curvatura de la Tierra, uno acabará volviendo al punto exacto del que partió. El universo, al menos en principio, podría tener una topología similar . Si es así, uno podría acabar volviendo al punto de partida después de viajar en línea recta a través del universo durante el tiempo suficiente. ^[48]

La curvatura del universo se puede medir a través de los momentos multipolares en el espectro de la radiación cósmica de fondo . Hasta la fecha, el análisis de los patrones de radiación registrados por la sonda espacial WMAP sugiere que el universo tiene una topología plana. Esto sería coherente con un universo físico infinito. ^{[49] [50] [51]}

Sin embargo, el universo podría ser finito, incluso si su curvatura es plana. Una forma fácil de entender esto es considerar ejemplos bidimensionales, como los videojuegos donde los elementos que salen de un borde de la pantalla reaparecen en el otro. La topología de estos juegos es toroidal y la geometría es plana. También existen muchas posibilidades acotadas y planas para el espacio tridimensional. ^[52]

El concepto de infinito también se extiende a la hipótesis del multiverso , que, cuando es explicada por astrofísicos como Michio Kaku , postula que hay un número infinito y una variedad infinita de universos. ^[53] Además, los modelos cíclicos postulan una cantidad infinita de Big Bangs , lo que resulta en una variedad infinita de universos después de cada evento de Big Bang en un ciclo infinito. ^[54]

Lógica

En lógica , un argumento de regresión infinita es "un tipo de argumento distintivamente filosófico que pretende demostrar que una tesis es defectuosa porque genera una serie infinita cuando (forma A) no existe tal serie o (forma B) si existiera, la tesis carecería del papel (por ejemplo, de justificación) que se supone que debe desempeñar". ^[55]

Computación

El estándar IEEE de punto flotante (IEEE 754) especifica un valor infinito positivo y uno negativo (y también valores indefinidos ). Estos se definen como el resultado de un desbordamiento aritmético , una división por cero y otras operaciones excepcionales. ^[56]

Algunos lenguajes de programación , como Java ^[57] y J ^[58] , permiten al programador un acceso explícito a los valores de infinito positivo y negativo como constantes de lenguaje. Estos pueden usarse como elementos máximo y mínimo , ya que comparan (respectivamente) mayor o menor que todos los demás valores. Tienen usos como valores centinela en algoritmos que involucran ordenamiento , búsqueda o ventanas . ^{[ cita requerida ]}

En los lenguajes que no tienen elementos mayor y menor pero sí permiten la sobrecarga de operadores relacionales , es posible que un programador cree los elementos mayor y menor. En los lenguajes que no brindan acceso explícito a dichos valores desde el estado inicial del programa pero sí implementan el tipo de datos de punto flotante , los valores infinitos aún pueden ser accesibles y utilizables como resultado de ciertas operaciones. ^{[ cita requerida ]}

En programación, un bucle infinito es un bucle cuya condición de salida nunca se satisface, por lo que se ejecuta indefinidamente.

Artes, juegos y ciencias cognitivas

Las obras de arte en perspectiva utilizan el concepto de puntos de fuga , que corresponden aproximadamente a puntos matemáticos en el infinito , ubicados a una distancia infinita del observador. Esto permite a los artistas crear pinturas que representan de manera realista el espacio, las distancias y las formas. ^[59] El artista MC Escher es conocido específicamente por emplear el concepto de infinito en su obra de esta y otras maneras. ^[60]

Las variantes del ajedrez jugadas en un tablero ilimitado se denominan ajedrez infinito . ^{[61] [62]}

El científico cognitivo George Lakoff considera el concepto de infinito en matemáticas y ciencias como una metáfora. Esta perspectiva se basa en la metáfora básica del infinito (BMI), definida como la secuencia en constante crecimiento <1,2,3,...>. ^[63]

Véase también

• 0,999...
• Número aleph
• Ananta
• Exponenciación
• Forma indeterminada
• Nombres de números grandes
• Teorema del mono infinito
• Conjunto infinito
• Infinitesimal
• Paradojas del infinito
• Supertarea
• Número surrealista

Referencias

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• El misterio del Aleph: las matemáticas, la cábala y la búsqueda del infinito
• Diccionario del infinito (recopilación de artículos sobre el infinito en física, matemáticas y filosofía)