Puerta lógica cuántica

Circuito básico en computación cuántica

Puertas lógicas cuánticas comunes por nombre (incluida la abreviatura), forma(s) de circuito y matrices unitarias correspondientes

En computación cuántica y, específicamente, en el modelo de circuito cuántico de computación , una puerta lógica cuántica (o simplemente puerta cuántica ) es un circuito cuántico básico que opera en una pequeña cantidad de cúbits . Las puertas lógicas cuánticas son los componentes básicos de los circuitos cuánticos, al igual que las puertas lógicas clásicas lo son para los circuitos digitales convencionales.

A diferencia de muchas puertas lógicas clásicas, las puertas lógicas cuánticas son reversibles . Es posible realizar cálculos clásicos utilizando solo puertas reversibles. Por ejemplo, la puerta Toffoli reversible puede implementar todas las funciones booleanas , a menudo a costa de tener que usar bits ancillary . La puerta Toffoli tiene un equivalente cuántico directo, lo que demuestra que los circuitos cuánticos pueden realizar todas las operaciones realizadas por los circuitos clásicos.

Las puertas cuánticas son operadores unitarios y se describen como matrices unitarias relativas a alguna base ortonormal . Por lo general, se utiliza la base computacional , lo que, a menos que se compare con algo, solo significa que para un sistema cuántico de nivel d (como un qubit , un registro cuántico o qutrits y qudits ) ^{[1] : 22–23} los vectores de base ortonormales están etiquetados como o usan notación binaria . ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,\dots ,|d-1\rangle }$

Historia

La notación actual para puertas cuánticas fue desarrollada por muchos de los fundadores de la ciencia de la información cuántica, incluidos Adriano Barenco, Charles Bennett , Richard Cleve , David P. DiVincenzo , Norman Margolus , Peter Shor , Tycho Sleator, John A. Smolin y Harald Weinfurter, ^[2] basándose en la notación introducida por Richard Feynman en 1986. ^[3]

Representación

Los estados de un solo qubit que no están enredados y carecen de fase global se pueden representar como puntos en la superficie de la esfera de Bloch , escrito como Las rotaciones sobre los ejes x, y, z de la esfera de Bloch se representan mediante las puertas del operador de rotación . ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle +e^{i\varphi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle .}$

Las puertas lógicas cuánticas se representan mediante matrices unitarias . Una puerta que actúa sobre qubits se representa mediante una matriz unitaria, y el conjunto de todas esas puertas con la operación de grupo de multiplicación de matrices ^[a] es el grupo unitario U(2 ⁿ ). ^[2] Los estados cuánticos sobre los que actúan las puertas son vectores unitarios en dimensiones complejas , con la norma euclidiana compleja (la 2-norma ). ^{[4] : 66  [5] : 56, 65} Los vectores base (a veces llamados estados propios ) son los resultados posibles si se mide el estado de los qubits , y un estado cuántico es una combinación lineal de estos resultados. Las puertas cuánticas más comunes operan en espacios vectoriales de uno o dos qubits, al igual que las puertas lógicas clásicas comunes operan en uno o dos bits . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Aunque las puertas lógicas cuánticas pertenecen a grupos de simetría continua , el hardware real es inexacto y, por lo tanto, limitado en precisión. La aplicación de puertas generalmente introduce errores y la fidelidad de los estados cuánticos disminuye con el tiempo. Si se utiliza la corrección de errores , las puertas utilizables se restringen aún más a un conjunto finito. ^{[4] : cap. 10  [1] : cap. 14} Más adelante en este artículo, esto se ignora ya que el enfoque está en las propiedades de las puertas cuánticas ideales.

Los estados cuánticos suelen representarse mediante "kets", de una notación conocida como bra–ket .

La representación vectorial de un solo qubit es

${\displaystyle |a\rangle =v_{0}|0\rangle +v_{1}|1\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{bmatrix}}.}$

Aquí, y son las amplitudes de probabilidad complejas del cúbito. Estos valores determinan la probabilidad de medir un 0 o un 1, al medir el estado del cúbito. Vea la medición a continuación para obtener más detalles. ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{1}}$

El valor cero está representado por ket , y el valor uno está representado por ket . ${\displaystyle |0\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle |1\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$

El producto tensorial (o producto de Kronecker ) se utiliza para combinar estados cuánticos. El estado combinado de un registro de cúbits es el producto tensorial de los cúbits constituyentes. El producto tensorial se denota con el símbolo . ${\displaystyle \otimes }$

La representación vectorial de dos qubits es: ^[6]

${\displaystyle |\psi \rangle =v_{00}|00\rangle +v_{01}|01\rangle +v_{10}|10\rangle +v_{11}|11\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{00}\\v_{01}\\v_{10}\\v_{11}\end{bmatrix}}.}$

La acción de la compuerta sobre un estado cuántico específico se obtiene multiplicando el vector , que representa el estado, por la matriz que representa la compuerta. El resultado es un nuevo estado cuántico : ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

${\displaystyle U|\psi _{1}\rangle =|\psi _{2}\rangle .}$

Ejemplos notables

Existe una infinidad de puertas. Algunas de ellas han sido nombradas por varios autores, ^{[2] [1] [4] [5] [7] [8] [9]} y a continuación se presentan algunas de las más utilizadas en la literatura.

Puerta de identidad

La puerta de identidad es la matriz identidad , usualmente escrita como I , y se define para un solo qubit como

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

donde I es independiente de la base y no modifica el estado cuántico. La puerta identidad es más útil cuando se describe matemáticamente el resultado de varias operaciones de puerta o cuando se analizan circuitos multi-qubit.

Puertas de Pauli (incógnita,Y,O)

Puertas cuánticas (de arriba a abajo): Puerta de identidad, Puerta NOT, Pauli Y, Pauli Z

Las puertas de Pauli son las tres matrices de Pauli y actúan sobre un único cúbit. Las X , Y y Z de Pauli equivalen, respectivamente, a una rotación alrededor de los ejes x , y y z de la esfera de Bloch en radianes. ^[b] ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ ${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ ${\displaystyle \pi }$

La compuerta Pauli- X es el equivalente cuántico de la compuerta NOT para computadoras clásicas con respecto a la base estándar , , que distingue el eje z en la esfera de Bloch . A veces se la llama inversión de bits, ya que se asigna a y a . De manera similar, la compuerta Pauli- Y se asigna a y a . Pauli Z deja el estado base sin cambios y se asigna a . Debido a esta naturaleza, a Pauli Z a veces se la llama inversión de fase. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle i|1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle -i|0\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle -|1\rangle }$

Estas matrices se representan normalmente como

${\displaystyle X=\sigma _{x}=\operatorname {NOT} ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Y=\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Z=\sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

Las matrices de Pauli son involutivas , lo que significa que el cuadrado de una matriz de Pauli es la matriz identidad .

${\displaystyle I^{2}=X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=-iXYZ=I}$

Las matrices de Pauli también son anticonmutativas , por ejemplo ${\displaystyle ZX=iY=-XZ.}$

La matriz exponencial de una matriz de Pauli es un operador de rotación , a menudo escrito como ${\displaystyle \sigma _{j}}$ ${\displaystyle e^{-i\sigma _{j}\theta /2}.}$

Puertas controladas

Representación del circuito de la puerta U controlada

Las puertas controladas actúan sobre 2 o más qubits, donde uno o más qubits actúan como control para alguna operación. ^[2] Por ejemplo, la puerta NOT controlada (o CNOT o CX) actúa sobre 2 qubits, y realiza la operación NOT sobre el segundo qubit solo cuando el primer qubit es , y de lo contrario lo deja sin cambios. Con respecto a la base , , , , se representa mediante la matriz unitaria hermítica : ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

La puerta CNOT (o Pauli- X controlada ) se puede describir como la puerta que mapea los estados base , donde es XOR . ${\displaystyle |a,b\rangle \mapsto |a,a\oplus b\rangle }$ ${\displaystyle \oplus }$

El CNOT se puede expresar en base de Pauli como:

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}.}$

Al ser un operador unitario hermítico, CNOT tiene la propiedad de que y , y es involutivo . ${\displaystyle e^{i\theta U}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )U}$ ${\displaystyle U=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-U)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-U)}}$

De manera más general, si U es una puerta que opera en un solo qubit con representación matricial

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{00}&u_{01}\\u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}},}$

Entonces, la puerta U controlada es una puerta que opera sobre dos cúbits de tal manera que el primer cúbit sirve como control. Mapea los estados base de la siguiente manera.

Diagramas de circuitos de puertas Pauli controladas (de izquierda a derecha): CNOT (o controlada-X), controlada-Y y controlada-Z.

${\displaystyle |00\rangle \mapsto |00\rangle }$

${\displaystyle |01\rangle \mapsto |01\rangle }$

${\displaystyle |10\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|0\rangle =|1\rangle \otimes (u_{00}|0\rangle +u_{10}|1\rangle )}$

${\displaystyle |11\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|1\rangle =|1\rangle \otimes (u_{01}|0\rangle +u_{11}|1\rangle )}$

La matriz que representa la U controlada es

${\displaystyle {\mbox{C}}U={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&u_{00}&u_{01}\\0&0&u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}}.}$

Cuando U es uno de los operadores de Pauli, X , Y , Z , a veces se utilizan los términos respectivos "controlado- X ", "controlado- Y " o "controlado- Z ". ^{[4] : 177–185} A veces esto se abrevia simplemente a C X , C Y y C Z.

En general, cualquier puerta unitaria de un solo qubit se puede expresar como , donde H es una matriz hermítica , y luego la U controlada es ${\displaystyle U=e^{iH}}$ ${\displaystyle CU=e^{i{\frac {1}{2}}(I-Z_{1})H_{2}}.}$

El control se puede extender a puertas con un número arbitrario de qubits ^[2] y funciones en lenguajes de programación. ^[10] Las funciones se pueden condicionar a estados de superposición. ^{[11] [12]}

Control clásico

Ejemplo: Se mide el cúbit y el resultado de esta medición es un valor booleano que consume la computadora clásica. Si mide 1, entonces la computadora clásica le dice a la computadora cuántica que aplique la compuerta U en . En los diagramas de circuitos, las líneas simples son cúbits y las líneas duplicadas son bits . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

Las puertas también pueden ser controladas por la lógica clásica. Una computadora cuántica es controlada por una computadora clásica y se comporta como un coprocesador que recibe instrucciones de la computadora clásica sobre qué puertas ejecutar en qué cúbits. ^{[13] : 42–43  [14]} El control clásico es simplemente la inclusión u omisión de puertas en la secuencia de instrucciones para la computadora cuántica. ^{[4] : 26–28  [1] : 87–88}

Puertas de cambio de fase

El cambio de fase es una familia de puertas de un solo cúbito que mapean los estados base y . La probabilidad de medir un o no cambia después de aplicar esta puerta, sin embargo modifica la fase del estado cuántico. Esto es equivalente a trazar un círculo horizontal (una línea de latitud constante), o una rotación sobre el eje z en la esfera de Bloch en radianes. La puerta de cambio de fase está representada por la matriz: ${\displaystyle |0\rangle \mapsto |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle \mapsto e^{i\varphi }|1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi }\end{bmatrix}}}$

donde es el cambio de fase con el período 2π . Algunos ejemplos comunes son la compuerta T donde (históricamente conocida como la compuerta ), la compuerta de fase (también conocida como la compuerta S, escrita como S , aunque S a veces se usa para compuertas SWAP) donde y la compuerta Pauli-Z donde ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \pi /8}$ ${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \varphi =\pi .}$

Las puertas de cambio de fase están relacionadas entre sí de la siguiente manera:

${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\pi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}=P\left(\pi \right)}$

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{2}}\right)={\sqrt {Z}}}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}$

Tenga en cuenta que la puerta de fase no es hermítica (excepto para todos los ). Estas puertas son diferentes de sus conjugados hermíticos: . Las dos puertas adjuntas (o transpuestas conjugadas ) y a veces se incluyen en los conjuntos de instrucciones. ^{[15] [16]} ${\displaystyle P(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi =n\pi ,n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle P^{\dagger }(\varphi )=P(-\varphi )}$ ${\displaystyle S^{\dagger }}$ ${\displaystyle T^{\dagger }}$

Puerta de Hadamard

La puerta de Hadamard o Walsh-Hadamard, llamada así por Jacques Hadamard ( en francés: [adamaʁ] ) y Joseph L. Walsh , actúa sobre un único cúbit. Mapea los estados base y (crea un estado de superposición igual si se le da un estado base computacional). Los dos estados y a veces se escriben como y como respectivamente. La puerta de Hadamard realiza una rotación de alrededor del eje en la esfera de Bloch y, por lo tanto, es involutiva . Está representada por la matriz de Hadamard : ${\textstyle |0\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$ ${\textstyle |1\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle (|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |+\rangle }$ ${\displaystyle |-\rangle }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ({\hat {x}}+{\hat {z}})/{\sqrt {2}}}$

Representación del circuito de la puerta de Hadamard

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Si se utiliza la puerta hermítica (so ) de Hadamard para realizar un cambio de base , se invierte y . Por ejemplo, y ${\displaystyle H^{\dagger }=H^{-1}=H}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$ ${\displaystyle HZH=X}$ ${\displaystyle H{\sqrt {X}}\;H={\sqrt {Z}}=S.}$

Puerta de intercambio

Representación del circuito de la compuerta SWAP

La compuerta de intercambio intercambia dos qubits. Con respecto a la base , , , , está representada por la matriz ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

La puerta de intercambio se puede descomponer en forma de suma:

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\frac {I\otimes I+X\otimes X+Y\otimes Y+Z\otimes Z}{2}}}$

Puerta de Toffoli (CCNOT)

Representación del circuito de la puerta Toffoli

La puerta Toffoli, llamada así por Tommaso Toffoli y también llamada puerta CCNOT o puerta Deutsch , es una puerta de 3 bits que es universal para la computación clásica pero no para la computación cuántica. La puerta Toffoli cuántica es la misma puerta, definida para 3 qubits. Si nos limitamos a aceptar solo qubits de entrada que sean y , entonces si los dos primeros bits están en el estado aplica un Pauli- X (o NOT) en el tercer bit, de lo contrario no hace nada. Es un ejemplo de una puerta CC-U (Unitaria controlada-controlada). Dado que es el análogo cuántico de una puerta clásica, está completamente especificada por su tabla de verdad. La puerta Toffoli es universal cuando se combina con la puerta Hadamard de un solo qubit. ^[17] ${\displaystyle D(\pi /2)}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

La puerta Toffoli está relacionada con las operaciones clásicas AND ( ) y XOR ( ) ya que realiza el mapeo en estados en la base computacional. ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto |a,b,c\oplus (a\land b)\rangle }$

La puerta de Toffoli se puede expresar utilizando matrices de Pauli como

${\displaystyle {\mbox{Toff}}=e^{i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}=e^{-i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}.}$

Puertas cuánticas universales

Tanto CNOT como son puertas universales de dos qubits y pueden transformarse entre sí. ${\displaystyle {\sqrt {\mbox{SWAP}}}}$

Un conjunto de puertas cuánticas universales es cualquier conjunto de puertas al que se puede reducir cualquier operación posible en un ordenador cuántico, es decir, cualquier otra operación unitaria se puede expresar como una secuencia finita de puertas del conjunto. Técnicamente, esto es imposible con algo menos que un conjunto incontable de puertas, ya que el número de puertas cuánticas posibles es incontable, mientras que el número de secuencias finitas de un conjunto finito es contable . Para resolver este problema, solo requerimos que cualquier operación cuántica se pueda aproximar mediante una secuencia de puertas de este conjunto finito. Además, para unitarias en un número constante de cúbits, el teorema de Solovay-Kitaev garantiza que esto se puede hacer de manera eficiente. La comprobación de si un conjunto de puertas cuánticas es universal se puede realizar utilizando métodos de teoría de grupos ^{[18] y/o la relación con} diseños t unitarios (aproximados) ^[19].

Algunos conjuntos de puertas cuánticas universales incluyen:

• Los operadores de rotación R _x ( θ ) , R _y ( θ ) , R _z ( θ ) , la puerta de desplazamiento de fase P ( φ ) ^[c] y CNOT se utilizan comúnmente para formar un conjunto de puertas cuánticas universales. ^{[20] [d]}
• El conjunto de Clifford {CNOT, H , S } + puerta T. El conjunto de Clifford por sí solo no es un conjunto de puertas cuánticas universal, ya que se puede simular de manera eficiente de forma clásica según el teorema de Gottesman-Knill .
• La puerta Toffoli + la puerta Hadamard. ^[17] La ​​puerta Toffoli por sí sola forma un conjunto de puertas universales para circuitos lógicos algebraicos booleanos reversibles , que abarca todo el cálculo clásico.

Puerta alemana

También se puede formular un conjunto de puertas cuánticas universales de una sola puerta utilizando la puerta Deutsch de tres cúbits parametrizada , ^[21] llamada así en honor al físico David Deutsch . Es un caso general de CC-U , o puerta controlada-controlada-unitaria , y se define como ${\displaystyle D(\theta )}$

${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto {\begin{cases}i\cos(\theta )|a,b,c\rangle +\sin(\theta )|a,b,1-c\rangle &{\text{for}}\ a=b=1,\\|a,b,c\rangle &{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Lamentablemente, una puerta Deutsch funcional ha quedado fuera de alcance debido a la falta de un protocolo. Existen algunas propuestas para realizar una puerta Deutsch con interacción dipolo-dipolo en átomos neutros. ^[22]

Una puerta lógica universal para la computación clásica reversible, la puerta Toffoli, es reducible a la puerta Deutsch , lo que demuestra que todas las operaciones lógicas clásicas reversibles se pueden realizar en una computadora cuántica universal. ${\displaystyle D(\pi /2)}$

También existen puertas individuales de dos cúbits suficientes para la universalidad. En 1996, Adriano Barenco demostró que la puerta Deutsch se puede descomponer utilizando sólo una puerta única de dos cúbits ( puerta Barenco ), pero es difícil de realizar experimentalmente. ^{[1] : 93} Esta característica es exclusiva de los circuitos cuánticos, ya que no existe una puerta clásica de dos bits que sea reversible y universal. ^{[1] : 93} Se podrían implementar puertas universales de dos cúbits para mejorar los circuitos reversibles clásicos en microprocesadores rápidos de bajo consumo. ^{[1] : 93}

Composición del circuito

Puertas cableadas en serie

Dos puertas Y y X en serie. El orden en el que aparecen en el cable se invierte al multiplicarlas entre sí.

Supongamos que tenemos dos puertas A y B que actúan sobre cúbits. Cuando B se coloca después de A en un circuito en serie, el efecto de las dos puertas se puede describir como una única puerta C. ${\displaystyle n}$

${\displaystyle C=B\cdot A}$

donde es la multiplicación de matrices . La compuerta resultante C tendrá las mismas dimensiones que A y B. El orden en el que aparecerían las compuertas en un diagrama de circuito se invierte cuando se multiplican entre sí. ^{[4] : 17–18,22–23,62–64  [5] : 147–169} ${\displaystyle \cdot }$

Por ejemplo, colocar la puerta Pauli X después de la puerta Pauli Y , ambas actuando sobre un único qubit, se puede describir como una única puerta combinada C :

${\displaystyle C=X\cdot Y={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}=iZ}$

El símbolo del producto ( ) a menudo se omite. ${\displaystyle \cdot }$

Exponentes de puertas cuánticas

Todos los exponentes reales de matrices unitarias son también matrices unitarias, y todas las puertas cuánticas son matrices unitarias.

Los exponentes enteros positivos son equivalentes a secuencias de puertas conectadas en serie (por ejemplo, ), y los exponentes reales son una generalización del circuito en serie. Por ejemplo, y son puertas cuánticas válidas. ${\displaystyle X^{3}=X\cdot X\cdot X}$ ${\displaystyle X^{\pi }}$ ${\displaystyle {\sqrt {X}}=X^{1/2}}$

${\displaystyle U^{0}=I}$para cualquier matriz unitaria . La matriz identidad ( ) se comporta como una NOP ^{[23] [24]} y puede representarse como un cable desnudo en circuitos cuánticos, o no mostrarse en absoluto. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$

Todas las puertas son matrices unitarias, de modo que y , donde es la transpuesta conjugada . Esto significa que los exponentes negativos de las puertas son inversos unitarios de sus contrapartes exponenciadas positivamente: . Por ejemplo, algunos exponentes negativos de las puertas de cambio de fase son y . ${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$ ${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}}$ ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle U^{-n}=(U^{n})^{\dagger }}$ ${\displaystyle T^{-1}=T^{\dagger }}$ ${\displaystyle T^{-2}=(T^{2})^{\dagger }=S^{\dagger }}$

Nótese que para una matriz hermítica y debido a la unitaridad, también para todas las puertas hermíticas. Son involutivas . Ejemplos de puertas hermíticas son las puertas de Pauli, Hadamard, CNOT, SWAP y Toffoli. Cada matriz unitaria hermítica tiene la propiedad de que donde ${\displaystyle H^{\dagger }=H,}$ ${\displaystyle HH^{\dagger }=I,}$ ${\displaystyle H^{2}=I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e^{i\theta H}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )H}$ ${\displaystyle H=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-H)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-H)}.}$

Puertas paralelas

Dos puertas y en paralelo es equivalente a la puerta . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\otimes X}$

El producto tensorial (o producto Kronecker ) de dos puertas cuánticas es la puerta que es igual a las dos puertas en paralelo. ^{[4] : 71–75  [5] : 148}

Si, como en la imagen, combinamos la puerta Pauli- Y con la puerta Pauli- X en paralelo, entonces esto se puede escribir como:

${\displaystyle C=Y\otimes X={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&-i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Tanto la compuerta Pauli- X como la compuerta Pauli- Y actúan sobre un único cúbit. La compuerta resultante actúa sobre dos cúbits. ${\displaystyle C}$

A veces se omite el símbolo del producto tensorial y en su lugar se utilizan índices para los operadores. ^[25]

Transformación de Hadamard

La puerta es la puerta Hadamard ( ) aplicada en paralelo sobre 2 qubits. Puede escribirse como: ${\displaystyle H_{2}=H\otimes H}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H_{2}=H\otimes H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}}$

Esta "puerta Hadamard paralela de dos cúbits" cuando se aplica, por ejemplo, al vector cero de dos cúbits ( ), ${\displaystyle |00\rangle }$ creará un estado cuántico que tiene la misma probabilidad de ser observado en cualquiera de sus cuatro resultados posibles; , , y . Podemos escribir esta operación como: ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle H_{2}|00\rangle ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}|00\rangle +{\frac {1}{2}}|01\rangle +{\frac {1}{2}}|10\rangle +{\frac {1}{2}}|11\rangle ={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle }{2}}}$

Ejemplo: La transformada de Hadamard en un registro de 3 qubits . ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Aquí la amplitud de cada estado medible es 1 ⁄ 2 . La probabilidad de observar cualquier estado es el cuadrado del valor absoluto de la amplitud de los estados mesurables, lo que en el ejemplo anterior significa que hay una probabilidad de cada cuatro de que observemos cualquiera de los cuatro casos individuales. Consulte la medición para obtener más detalles.

${\displaystyle H_{2}}$realiza la transformación de Hadamard en dos cúbits. De manera similar, la puerta realiza una transformación de Hadamard en un registro de cúbits. ${\displaystyle \underbrace {H\otimes H\otimes \dots \otimes H} _{n{\text{ times}}}=\bigotimes _{1}^{n}H=H^{\otimes n}=H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Cuando se aplica a un registro de qubits todos inicializados a , la transformada de Hadamard coloca el registro cuántico en una superposición con igual probabilidad de ser medido en cualquiera de sus estados posibles: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \bigotimes _{0}^{n-1}(H|0\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle +\dots +|2^{n}-1\rangle {\Big )}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}|i\rangle }$

Este estado es una superposición uniforme y se genera como el primer paso en algunos algoritmos de búsqueda, por ejemplo en la amplificación de amplitud y la estimación de fase .

La medición de este estado da como resultado un número aleatorio entre y . ^[e] La aleatoriedad del número depende de la fidelidad de las puertas lógicas. Si no se mide, es un estado cuántico con amplitud de probabilidad igual para cada uno de sus estados posibles. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}}$

La transformada de Hadamard actúa sobre un registro con qubits de la siguiente manera: ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle |\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}|\psi _{i}\rangle }$

${\displaystyle \bigotimes _{0}^{n-1}H|\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\frac {|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\Big (}|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle {\Big )}=H|\psi _{0}\rangle \otimes H|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes H|\psi _{n-1}\rangle }$

Aplicación sobre estados entrelazados

Si dos o más qubits se consideran como un único estado cuántico, este estado combinado es igual al producto tensorial de los qubits constituyentes. Cualquier estado que pueda escribirse como un producto tensorial de los subsistemas constituyentes se denomina estado separable . Por otro lado, un estado entrelazado es cualquier estado que no se puede factorizar mediante tensores, o en otras palabras: un estado entrelazado no se puede escribir como un producto tensorial de sus estados qubits constituyentes. Se debe tener especial cuidado al aplicar puertas a los qubits constituyentes que forman estados entrelazados.

Si tenemos un conjunto de N qubits que están entrelazados y deseamos aplicar una compuerta cuántica a M < N qubits en el conjunto, tendremos que extender la compuerta para que acepte N qubits. Esta aplicación se puede realizar combinando la compuerta con una matriz identidad de modo que su producto tensorial se convierta en una compuerta que actúe sobre N qubits. La matriz identidad ( ) ${\displaystyle I}$ es una representación de la compuerta que mapea cada estado a sí mismo (es decir, no hace nada en absoluto). En un diagrama de circuito, la compuerta o matriz identidad a menudo aparecerá como un simple cable desnudo.

El ejemplo que se da en el texto. La puerta de Hadamard solo actúa sobre 1 cúbit, pero es un estado cuántico entrelazado que abarca 2 cúbits. En nuestro ejemplo, . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

Por ejemplo, la puerta de Hadamard ( ) ${\displaystyle H}$ actúa sobre un único cúbit, pero si le introducimos el primero de los dos cúbits que constituyen el estado de Bell entrelazado , no podemos escribir esa operación fácilmente. Necesitamos extender la puerta de Hadamard con la puerta identidad para poder actuar sobre estados cuánticos que abarcan dos cúbits: ${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle K=H\otimes I={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}}$

Ahora la puerta se puede aplicar a cualquier estado de dos cúbits, entrelazados o no. La puerta dejará intacto el segundo cúbit y aplicará la transformada de Hadamard al primer cúbit. Si se aplica al estado de Bell en nuestro ejemplo, podemos escribirlo como: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K{\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\-1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle }{2}}}$

Complejidad computacional y producto tensorial

La complejidad temporal para multiplicar dos matrices es al menos , ^[26] si se utiliza una máquina clásica. Debido a que el tamaño de una compuerta que opera sobre qubits es , significa que el tiempo para simular un paso en un circuito cuántico (mediante la multiplicación de las compuertas) que opera sobre estados entrelazados genéricos es . Por esta razón, se cree que es intratable simular grandes sistemas cuánticos entrelazados utilizando computadoras clásicas. Sin embargo, los subconjuntos de las compuertas, como las compuertas de Clifford , o el caso trivial de circuitos que solo implementan funciones booleanas clásicas (por ejemplo, combinaciones de X, CNOT, Toffoli), se pueden simular de manera eficiente en computadoras clásicas. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \Omega (n^{2}\log n)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{q}\times 2^{q}}$ ${\displaystyle \Omega ({2^{q}}^{2}\log({2^{q}}))}$

El vector de estado de un registro cuántico con qubits es un conjunto de entradas complejas. El almacenamiento de las amplitudes de probabilidad como una lista de valores de punto flotante no es factible para grandes . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Inversión unitaria de puertas

Ejemplo: La inversa unitaria del producto Hadamard-CNOT. Las tres puertas , y son sus propias inversas unitarias. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {CNOT} }$

Como todas las puertas lógicas cuánticas son reversibles , cualquier composición de múltiples puertas también es reversible. Todos los productos y productos tensoriales (es decir, combinaciones en serie y en paralelo) de matrices unitarias también son matrices unitarias. Esto significa que es posible construir una inversa de todos los algoritmos y funciones, siempre que contengan solo puertas.

La inicialización, la medición, la entrada/salida y la decoherencia espontánea son efectos secundarios en los ordenadores cuánticos. Las puertas, sin embargo, son puramente funcionales y biyectivas .

Si es una matriz unitaria , entonces y . La cruz ( ) denota la transpuesta conjugada . También se denomina adjunta hermítica . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$ ${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}}$ ${\displaystyle \dagger }$

Si una función es un producto de puertas, , se puede construir la inversa unitaria de la función : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle F=A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dots \cdot A_{m}}$ ${\displaystyle F^{\dagger }}$

Porque tenemos, después de repetida aplicación sobre sí mismo ${\displaystyle (UV)^{\dagger }=V^{\dagger }U^{\dagger }}$

${\displaystyle F^{\dagger }=\left(\prod _{i=1}^{m}A_{i}\right)^{\dagger }=\prod _{i=m}^{1}A_{i}^{\dagger }=A_{m}^{\dagger }\cdot \dots \cdot A_{2}^{\dagger }\cdot A_{1}^{\dagger }}$

De manera similar, si la función consta de dos puertas y en paralelo, entonces y . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G=A\otimes B}$ ${\displaystyle G^{\dagger }=(A\otimes B)^{\dagger }=A^{\dagger }\otimes B^{\dagger }}$

Las puertas que son sus propias inversas unitarias se denominan operadores hermíticos o autoadjuntos . Algunas puertas elementales, como las puertas de Hadamard ( H ) y las puertas de Pauli ( I , X , Y , Z ), son operadores hermíticos, mientras que otras, como las puertas de desplazamiento de fase ( S , T , P , CPhase ), generalmente no lo son.

Por ejemplo, un algoritmo de suma puede utilizarse para restar, si se ejecuta "en sentido inverso", como su inverso unitario. La transformada de Fourier cuántica inversa es la inversa unitaria. Las inversas unitarias también pueden utilizarse para la no computación . Los lenguajes de programación para ordenadores cuánticos, como Q# de Microsoft , ^[10] QCL de Bernhard Ömer , ^{[13] : 61} y Qiskit de IBM , ^[27] contienen la inversión de funciones como conceptos de programación.

Medición

Representación de circuito de medición. Las dos líneas del lado derecho representan un bit clásico y la línea única del lado izquierdo representa un cúbit.

La medición (a veces llamada observación ) es irreversible y, por lo tanto, no es una puerta cuántica, porque asigna el estado cuántico observado a un solo valor. La medición toma un estado cuántico y lo proyecta a uno de los vectores base , con una probabilidad igual al cuadrado de la longitud del vector (en la norma 2 ^{[4] : ​​66  [5] : 56, 65} ) a lo largo de ese vector base. ^{[1] : 15–17  [28] [29] [30]} Esto se conoce como la regla de Born y aparece ^[e] como una operación estocástica no reversible, ya que establece probabilísticamente el estado cuántico igual al vector base que representa el estado medido. En el instante de la medición, se dice que el estado " colapsa " al valor único definido que se midió. Por qué y cómo, o incluso si ^{[31] [32]} el estado cuántico colapsa en la medición, se llama problema de medición .

La probabilidad de medir un valor con amplitud de probabilidad es , donde es el módulo . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 1\geq |\phi |^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle |\cdot |}$

La medición de un solo qubit, cuyo estado cuántico está representado por el vector , dará como resultado con probabilidad , y en con probabilidad . ${\displaystyle a|0\rangle +b|1\rangle ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |a|^{2}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |b|^{2}}$

Por ejemplo, medir un qubit con el estado cuántico producirá con igual probabilidad o . ${\displaystyle {\frac {|0\rangle -i|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Para un solo qubit, tenemos una esfera unitaria en con el estado cuántico tal que . El estado se puede reescribir como , o y . Nota: es la probabilidad de medir y es la probabilidad de medir . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle a|0\rangle +b|1\rangle }$ ${\displaystyle |a|^{2}+|b|^{2}=1}$ ${\displaystyle |\cos \theta |^{2}+|\sin \theta |^{2}=1}$ ${\displaystyle |a|^{2}=\cos ^{2}\theta }$ ${\displaystyle |b|^{2}=\sin ^{2}\theta }$
${\displaystyle |a|^{2}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |b|^{2}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Un estado cuántico que abarca n qubits se puede escribir como un vector en dimensiones complejas : . Esto se debe a que el producto tensorial de n qubits es un vector en dimensiones. De esta manera, un registro de n qubits se puede medir en estados distintos, de manera similar a cómo un registro de n bits clásicos puede contener estados distintos. A diferencia de los bits de las computadoras clásicas, los estados cuánticos pueden tener amplitudes de probabilidad distintas de cero en múltiples valores medibles simultáneamente. Esto se llama superposición . ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle \in \mathbb {C} ^{2^{n}}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

La suma de todas las probabilidades para todos los resultados siempre debe ser igual a1 . ^[f] Otra forma de decir esto es que el teorema de Pitágoras generalizado a tiene que todos los estados cuánticos con n qubits deben satisfacer ^[g] donde es la amplitud de probabilidad para el estado medible . Una interpretación geométrica de esto es que el posible espacio de valores de un estado cuántico con n qubits es la superficie de la esfera unitaria en y que las transformadas unitarias (es decir, puertas lógicas cuánticas) aplicadas a él son rotaciones en la esfera. Las rotaciones que realizan las puertas forman el grupo de simetría U(2 n ) . La medición es entonces una proyección probabilística de los puntos en la superficie de esta esfera compleja sobre los vectores base que abarcan el espacio (y etiquetan los resultados). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2^{n}}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\textstyle 1=\sum _{x=0}^{2^{n}-1}|a_{x}|^{2},}$ ${\displaystyle a_{x}}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2^{n}}}$

En muchos casos, el espacio se representa como un espacio de Hilbert en lugar de un espacio complejo de una dimensión específica . El número de dimensiones (definido por los vectores base y, por lo tanto, también los posibles resultados de la medición) suele estar implícito en los operandos, por ejemplo, como el espacio de estados necesario para resolver un problema . En el algoritmo de Grover , Grover denominó a este conjunto de vectores base genérico "la base de datos" . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

La selección de vectores base contra los cuales medir un estado cuántico influirá en el resultado de la medición. ^{[1] : 30–35  [4] : 22, 84–85, 185–188  [33]} Ver cambio de base y entropía de Von Neumann para más detalles. En este artículo, siempre usamos la base computacional , lo que significa que hemos etiquetado los vectores base de un registro de n -qubit , o usamos la representación binaria . ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,|2\rangle ,\cdots ,|2^{n}-1\rangle }$ ${\displaystyle |0_{10}\rangle =|0\dots 00_{2}\rangle ,|1_{10}\rangle =|0\dots 01_{2}\rangle ,|2_{10}\rangle =|0\dots 10_{2}\rangle ,\cdots ,|2^{n}-1\rangle =|111\dots 1_{2}\rangle }$

En mecánica cuántica , los vectores base constituyen una base ortonormal .

Un ejemplo del uso de una base de medición alternativa está en el cifrado BB84 .

El efecto de la medición sobre los estados entrelazados

La puerta Hadamard-CNOT, que cuando se le da la entrada produce un estado de Bell ${\displaystyle |00\rangle }$

Si dos estados cuánticos (es decir, qubits o registros ) están entrelazados (lo que significa que su estado combinado no puede expresarse como un producto tensorial ), la medición de un registro afecta o revela el estado del otro registro colapsando también parcial o totalmente su estado. Este efecto se puede utilizar para realizar cálculos y se utiliza en muchos algoritmos.

La combinación Hadamard-CNOT actúa sobre el estado cero de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {CNOT} (H\otimes I)|00\rangle =\left({\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\right){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

El estado de Bell en el texto es donde y . Por lo tanto, puede describirse mediante el plano abarcado por los vectores base y , como en la imagen. La esfera unitaria (en ) que representa el posible espacio de valores del sistema de 2 qubits interseca el plano y se encuentra en la superficie de la esfera unitaria. Como , existe la misma probabilidad de medir este estado como o , y como existe una probabilidad cero de medirlo como o . ${\displaystyle |\Psi \rangle =a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle }$ ${\displaystyle a=d={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle b=c=0}$ ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |a|^{2}=|d|^{2}=1/2}$ ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle b=c=0}$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$

Este estado resultante es el estado de Bell . No se puede describir como un producto tensorial de dos qubits. No hay solución para ${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}w\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}xw\\xz\\yw\\yz\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}},}$

porque por ejemplo w debe ser distinto de cero y cero en el caso de xw e yw .

El estado cuántico abarca los dos cúbits. Esto se llama entrelazamiento . Medir uno de los dos cúbits que componen este estado de Bell dará como resultado que el otro cúbit lógicamente debe tener el mismo valor, ambos deben ser iguales: o se encontrará en el estado , o en el estado . Si medimos que uno de los cúbits es, por ejemplo , , entonces el otro cúbit también debe ser , porque su estado combinado se convirtió en . La medición de uno de los cúbits colapsa todo el estado cuántico, que abarca los dos cúbits. ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

El estado GHZ es un estado cuántico entrelazado similar que abarca tres o más qubits.

Este tipo de asignación de valor ocurre instantáneamente a cualquier distancia y, a partir de 2018, QUESS lo ha verificado experimentalmente para distancias de hasta 1200 kilómetros. ^{[34] [35] [36]} El hecho de que el fenómeno parezca ocurrir instantáneamente en lugar del tiempo que tomaría recorrer la distancia que separa los qubits a la velocidad de la luz se denomina paradoja EPR , y es una pregunta abierta en física cómo resolverla. Originalmente se resolvió abandonando el supuesto de realismo local , pero también han surgido otras interpretaciones . Para obtener más información, consulte los experimentos de prueba de Bell . El teorema de no comunicación demuestra que este fenómeno no se puede utilizar para la comunicación más rápida que la luz de información clásica .

Medición en registros con qubits entrelazados por pares

El efecto de una transformada unitaria F en un registro A que está en una superposición de estados y entrelazado por pares con el registro B. Aquí, n es 3 (cada registro tiene 3 qubits). ${\displaystyle 2^{n}}$

Tome un registro A con n qubits todos inicializados a , y páselo a través de una compuerta Hadamard paralela . El registro A entonces entrará en el estado que tiene igual probabilidad de cuando se mide que está en cualquiera de sus estados posibles; a . Tome un segundo registro B, también con n qubits inicializados a y CNOT por pares sus qubits con los qubits en el registro A, de modo que para cada p los qubits y formen el estado . ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\textstyle H^{\otimes n}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}|k\rangle }$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle B_{p}}$ ${\displaystyle |A_{p}B_{p}\rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

Si ahora medimos los qubits en el registro A, entonces se encontrará que el registro B contiene el mismo valor que A. Sin embargo, si en cambio aplicamos una puerta lógica cuántica F en A y luego medimos, entonces , donde es la inversa unitaria de F . ${\displaystyle |A\rangle =F|B\rangle \iff F^{\dagger }|A\rangle =|B\rangle }$ ${\displaystyle F^{\dagger }}$

Debido a cómo actúan las inversas unitarias de las puertas, . Por ejemplo, digamos , entonces . ${\displaystyle F^{\dagger }|A\rangle =F^{-1}(|A\rangle )=|B\rangle }$ ${\displaystyle F(x)=x+3{\pmod {2^{n}}}}$ ${\displaystyle |B\rangle =|A-3{\pmod {2^{n}}}\rangle }$

La igualdad se mantendrá sin importar en qué orden se realice la medición (en los registros A o B), suponiendo que F se haya ejecutado hasta su finalización. La medición puede incluso intercalarse aleatoriamente y simultáneamente cúbit por cúbit, ya que la asignación de mediciones de un cúbit limitará el espacio de valores posible de los otros cúbits entrelazados.

Aunque las igualdades se mantienen, las probabilidades de medir los posibles resultados pueden cambiar como resultado de la aplicación de F , como puede ser la intención en un algoritmo de búsqueda cuántica.

Este efecto de compartir valores a través del entrelazamiento se utiliza en el algoritmo de Shor , la estimación de fase y el conteo cuántico . El uso de la transformada de Fourier para amplificar las amplitudes de probabilidad de los estados de solución para algún problema es un método genérico conocido como " pesca de Fourier ". ^[37]

Síntesis de funciones lógicas

Un sumador cuántico completo , propuesto por Feynman en 1986. ^[3] Consta únicamente de puertas Toffoli y CNOT. La puerta que está rodeada por el cuadrado punteado en esta imagen se puede omitir si no se requiere un cálculo para restaurar la salida B.

Las funciones y rutinas que solo utilizan puertas pueden describirse como matrices, al igual que las puertas más pequeñas. La matriz que representa una función cuántica que actúa sobre qubits tiene un tamaño . Por ejemplo, una función que actúa sobre un "qubyte" (un registro de 8 qubits) estaría representada por una matriz con elementos. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{q}\times 2^{q}}$ ${\displaystyle 2^{8}\times 2^{8}=256\times 256}$

Las transformaciones unitarias que no están en el conjunto de puertas disponibles de forma nativa en el ordenador cuántico (las puertas primitivas) se pueden sintetizar, o aproximar, combinando las puertas primitivas disponibles en un circuito . Una forma de hacerlo es factorizar la matriz que codifica la transformación unitaria en un producto de productos tensoriales (es decir, circuitos en serie y en paralelo) de las puertas primitivas disponibles. El grupo U(2 ^q ) es el grupo de simetría para las puertas que actúan sobre qubits. ^[2] La factorización es entonces el problema de encontrar un camino en U(2 ^q ) a partir del conjunto generador de puertas primitivas. El teorema de Solovay-Kitaev muestra que, dado un conjunto suficiente de puertas primitivas, existe una aproximación eficiente para cualquier puerta. Para el caso general con una gran cantidad de qubits, este enfoque directo para la síntesis de circuitos es intratable . ^{[38] [39]} Esto pone un límite a cómo las funciones grandes pueden factorizarse por fuerza bruta en puertas cuánticas primitivas. Por lo general, los programas cuánticos se construyen utilizando funciones cuánticas relativamente pequeñas y simples, similares a la programación clásica normal. ${\displaystyle q}$

Debido a la naturaleza unitaria de las puertas , todas las funciones deben ser reversibles y siempre ser mapeos biyectivos de entrada a salida. Siempre debe existir una función tal que . Las funciones que no son invertibles pueden hacerse invertibles agregando qubits ancillares a la entrada o la salida, o ambas. Una vez que la función se ha ejecutado hasta su finalización, los qubits ancillares pueden entonces descomponerse o dejarse intactos. Medir o colapsar de otra manera el estado cuántico de un qubit ancillar (por ejemplo, reinicializando su valor o por su decoherencia espontánea ) que no se ha descompuesto puede resultar en errores, ^{[40] [41]} ya que su estado puede estar enredado con los qubits que aún se están usando en los cálculos. ${\displaystyle F^{-1}}$ ${\displaystyle F^{-1}(F(|\psi \rangle ))=|\psi \rangle }$

Las operaciones lógicamente irreversibles, por ejemplo, la suma módulo de dos registros de -qubit a y b , , ^[h] se pueden hacer lógicamente reversibles añadiendo información a la salida, de modo que la entrada se pueda calcular a partir de la salida (es decir, existe una función ). En nuestro ejemplo, esto se puede hacer pasando uno de los registros de entrada a la salida: . La salida se puede utilizar entonces para calcular la entrada (es decir, dada la salida y , podemos encontrar fácilmente la entrada; se da y ) y la función se hace biyectiva. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(a,b)=a+b{\pmod {2^{n}}}}$ ${\displaystyle F^{-1}}$ ${\displaystyle F(|a\rangle \otimes |b\rangle )=|a+b{\pmod {2^{n}}}\rangle \otimes |a\rangle }$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a+b)-a=b}$

Todas las expresiones algebraicas booleanas se pueden codificar como transformadas unitarias (puertas de lógica cuántica), por ejemplo, utilizando combinaciones de las puertas Pauli-X, CNOT y Toffoli. Estas puertas son funcionalmente completas en el dominio de la lógica booleana.

Hay muchas transformaciones unitarias disponibles en las bibliotecas de Q# , QCL , Qiskit y otros lenguajes de programación cuántica . También aparece en la literatura. ^{[42] [43]}

Por ejemplo, , donde es el número de qubits que constituyen el registro , se implementa de la siguiente manera en QCL: ^{[44] [13] [12]} ${\displaystyle \mathrm {inc} (|x\rangle )=|x+1{\pmod {2^{x_{\text{length}}}}}\rangle }$ ${\displaystyle x_{\text{length}}}$ ${\displaystyle x}$

cond qufunct inc ( qureg x ) { // incrementar registro int i ; para i = # x - 1 a 0 paso - 1 { CNot ( x [ i ], x [ 0 :: i ]); // aplicar not controlado desde } // MSB a LSB }                     

El circuito generado, cuando . Los símbolos , y denotan XOR , AND y NOT respectivamente, y proviene de la representación booleana de Pauli- X con cero o más qubits de control cuando se aplica a estados que están en la base computacional. ${\displaystyle x_{\text{length}}=4}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \neg }$

En QCL, la disminución se realiza "deshaciendo" el incremento. El prefijo !se utiliza para ejecutar en su lugar la inversa unitaria de la función. !inc(x)es la inversa de inc(x)y en su lugar realiza la operación . La palabra clave significa que la función puede ser condicional. ^[11] ${\displaystyle \mathrm {inc} ^{\dagger }|x\rangle =\mathrm {inc} ^{-1}(|x\rangle )=|x-1{\pmod {2^{x_{\text{length}}}}}\rangle }$cond

En el modelo de computación utilizado en este artículo (el modelo de circuito cuántico ), una computadora clásica genera la composición de puertas para la computadora cuántica, y la computadora cuántica se comporta como un coprocesador que recibe instrucciones de la computadora clásica sobre qué puertas primitivas aplicar a qué qubits. ^{[13] : 36–43  [14]} La medición de registros cuánticos da como resultado valores binarios que la computadora clásica puede usar en sus cálculos. Los algoritmos cuánticos a menudo contienen una parte clásica y una cuántica. La E/S no medida (enviar qubits a computadoras remotas sin colapsar sus estados cuánticos) se puede utilizar para crear redes de computadoras cuánticas . El intercambio de entrelazamiento se puede utilizar para realizar algoritmos distribuidos con computadoras cuánticas que no están conectadas directamente. Ejemplos de algoritmos distribuidos que solo requieren el uso de un puñado de puertas lógicas cuánticas son la codificación superdensa , el acuerdo bizantino cuántico y el protocolo de intercambio de claves de cifrado BB84 .

Véase también

• Computación cuántica adiabática
• BQP
• Autómata celular
• Computación cuántica basada en la nube
• Definitividad contrafáctica
• Computación cuántica contrafáctica
• Principio de Landauer
• Conectiva lógica
• Computadora cuántica unidireccional
• Algoritmo cuántico
• Autómata celular cuántico
• Canal cuántico
• Autómata cuántico finito
• Lógica cuántica
• Memoria cuántica
• Red cuántica
• Efecto cuántico Zenón
• Computación reversible
• Transformación unitaria (mecánica cuántica)

Notas

1. La multiplicación de matrices de puertas cuánticas se define como circuitos en serie.
2. Tenga en cuenta que aquí una rotación completa alrededor de la esfera de Bloch se expresa en radianes, a diferencia de las puertas del operador de rotación, donde se expresa un giro completo. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 4\pi .}$
3. Se puede utilizar tanto la puerta P como la Ph ^{, como [2] : 11  [1] : 76–83} ${\displaystyle R_{z}(\delta )\operatorname {Ph} (\delta /2)=P(\delta )}$
4. Este conjunto genera exactamente todas las puertas unitarias posibles. Sin embargo, como la fase global es irrelevante en la salida de la medición, se pueden construir subconjuntos cuánticos universales, por ejemplo, el conjunto que contiene Ry ( θ ) , R _z ( θ ) y CNOT solo abarca todas las puertas unitarias con determinante ±1 _, pero es suficiente para el cálculo cuántico.
5. Si esto es realmente un efecto estocástico depende de qué interpretación de la mecánica cuántica sea correcta (y si cualquier interpretación puede ser correcta). Por ejemplo, la teoría de De Broglie-Bohm y la interpretación de los muchos mundos afirman el determinismo . (En la interpretación de los muchos mundos, una computadora cuántica es una máquina que ejecuta programas ( circuitos cuánticos ) que seleccionan una realidad donde la probabilidad de que tenga los estados de solución de un problema es grande. Es decir, la máquina, la mayoría de las veces, termina en una realidad donde da la respuesta correcta. Debido a que todos los resultados se realizan en universos separados según la interpretación de los muchos mundos, el resultado total es determinista. Sin embargo, esta interpretación no cambia la mecánica por la que opera la máquina).
6. Véase Axiomas de probabilidad § Segundo axioma
7. La hipotenusa tiene longitud 1 porque las probabilidades suman 1, por lo que el vector de estado cuántico es un vector unitario .
8. La entrada son qubits, pero la salida son solo qubits. El borrado de información no es una operación reversible (o unitaria ) y, por lo tanto, no está permitido. Véase también el principio de Landauer . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$

Referencias

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