Gravedad cuántica de bucles

Teoría de la gravedad cuántica, fusión de la mecánica cuántica y la relatividad general

La gravedad cuántica de bucles ( LQG ) es una teoría de la gravedad cuántica que incorpora la materia del Modelo Estándar en el marco establecido para el caso de la gravedad cuántica intrínseca. Es un intento de desarrollar una teoría cuántica de la gravedad basada directamente en la formulación geométrica de Albert Einstein en lugar del tratamiento de la gravedad como un mecanismo misterioso (fuerza). Como teoría, la LQG postula que la estructura del espacio y el tiempo está compuesta de bucles finitos tejidos en una tela o red extremadamente fina. Estas redes de bucles se denominan redes de espín . La evolución de una red de espín, o espuma de espín , tiene una escala del orden de una longitud de Planck , aproximadamente 10 ⁻³⁵ metros, y las escalas más pequeñas no tienen sentido. En consecuencia, no solo la materia, sino el espacio mismo, prefiere una estructura atómica.

Las áreas de investigación, que involucran a unos 30 grupos de investigación en todo el mundo, ^[1] comparten los supuestos físicos básicos y la descripción matemática del espacio cuántico. La investigación ha evolucionado en dos direcciones: la gravedad cuántica de bucles canónica más tradicional y la gravedad cuántica de bucles covariante más nueva, llamada teoría de espuma de espín . La teoría mejor desarrollada que se ha propuesto como resultado directo de la gravedad cuántica de bucles se llama cosmología cuántica de bucles (LQC). LQC avanza en el estudio del universo temprano, incorporando el concepto de Big Bang en la teoría más amplia del Big Bounce , que imagina el Big Bang como el comienzo de un período de expansión , que sigue a un período de contracción, que se ha descrito como el Big Crunch .

Historia

En 1986, Abhay Ashtekar reformuló la relatividad general de Einstein en un lenguaje más cercano al del resto de la física fundamental, específicamente la teoría de Yang-Mills . ^[2] Poco después, Ted Jacobson y Lee Smolin se dieron cuenta de que la ecuación formal de la gravedad cuántica, llamada ecuación de Wheeler-DeWitt , admitía soluciones etiquetadas por bucles cuando se reescribía en las nuevas variables de Ashtekar . Carlo Rovelli y Smolin definieron una teoría cuántica de la gravedad no perturbativa e independiente del fondo en términos de estas soluciones de bucles. Jorge Pullin y Jerzy Lewandowski entendieron que las intersecciones de los bucles son esenciales para la consistencia de la teoría, y la teoría debería formularse en términos de bucles que se intersectan, o grafos .

En 1994, Rovelli y Smolin demostraron que los operadores cuánticos de la teoría asociados al área y al volumen tienen un espectro discreto. ^[3] Es decir, la geometría está cuantizada. Este resultado define una base explícita de estados de la geometría cuántica, que resultaron estar etiquetados por las redes de espín de Roger Penrose , que son grafos etiquetados por espines .

La versión canónica de la dinámica fue establecida por Thomas Thiemann, quien definió un operador hamiltoniano libre de anomalías y mostró la existencia de una teoría matemáticamente consistente e independiente del fondo. La versión covariante, o "espuma de espín", de la dinámica fue desarrollada conjuntamente durante varias décadas por grupos de investigación en Francia, Canadá, Reino Unido, Polonia y Alemania. Se completó en 2008, lo que llevó a la definición de una familia de amplitudes de transición, que en el límite clásico puede demostrarse que están relacionadas con una familia de truncamientos de la relatividad general. ^[4] La finitud de estas amplitudes se demostró en 2011. ^{[5] [6]} Requiere la existencia de una constante cosmológica positiva , que es consistente con la aceleración observada en la expansión del Universo .

Independencia de fondo

La LQG es formalmente independiente del fondo , lo que significa que las ecuaciones de la LQG no están integradas en el espacio y el tiempo ni dependen de ellos (excepto por su topología invariante). En cambio, se espera que den lugar al espacio y al tiempo a distancias que son 10 veces la longitud de Planck . La cuestión de la independencia del fondo en la LQG todavía tiene algunas sutilezas sin resolver. Por ejemplo, algunas derivaciones requieren una elección fija de la topología , mientras que cualquier teoría cuántica de la gravedad consistente debería incluir el cambio de topología como un proceso dinámico. ^{[ cita requerida ]}

El espacio-tiempo como un "contenedor" sobre el cual tiene lugar la física no tiene un significado físico objetivo y, en cambio, la interacción gravitacional se representa como solo uno de los campos que forman el mundo. Esto se conoce como la interpretación relacional del espacio-tiempo. En LQG, este aspecto de la relatividad general se toma en serio y esta simetría se preserva al requerir que los estados físicos permanezcan invariantes bajo los generadores de difeomorfismos . La interpretación de esta condición se entiende bien para difeomorfismos puramente espaciales . Sin embargo, la comprensión de los difeomorfismos que involucran tiempo (la restricción hamiltoniana ) es más sutil porque está relacionada con la dinámica y el llamado " problema del tiempo " en la relatividad general. ^[7] Aún no se ha encontrado un marco de cálculo generalmente aceptado para dar cuenta de esta restricción. ^{[8] [9]} Un candidato plausible para la restricción hamiltoniana cuántica es el operador introducido por Thiemann. ^[10]

Restricciones y su álgebra de corchetes de Poisson

Observables de Dirac

Las restricciones definen una superficie de restricción en el espacio de fase original. Los movimientos de calibración de las restricciones se aplican a todo el espacio de fase pero tienen la característica de que dejan la superficie de restricción donde está y, por lo tanto, la órbita de un punto en la hipersuperficie bajo transformaciones de calibración será una órbita completamente dentro de ella. Los observables de Dirac se definen como funciones del espacio de fase , , que conmutan en Poisson con todas las restricciones cuando se imponen las ecuaciones de restricción, ${\displaystyle O}$

${\displaystyle \{G_{j},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{C_{a},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{H,O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=0,}$

es decir, son cantidades definidas en la superficie de restricción que son invariantes bajo las transformaciones de calibre de la teoría.

Entonces, resolver solo la restricción y determinar los observables de Dirac con respecto a ella nos lleva de nuevo al espacio de fase de Arnowitt–Deser–Misner (ADM) con restricciones . La dinámica de la relatividad general se genera por las restricciones, se puede demostrar que seis ecuaciones de Einstein que describen la evolución temporal (en realidad una transformación de calibre) se pueden obtener calculando los corchetes de Poisson de la trimétrica y su momento conjugado con una combinación lineal del difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana. La desaparición de las restricciones, que da el espacio de fase físico, son las otras cuatro ecuaciones de Einstein. ^[11] ${\displaystyle G_{j}=0}$ ${\displaystyle H,C_{a}}$

Cuantización de las restricciones: las ecuaciones de la relatividad general cuántica

Prehistoria y nuevas variables de Ashtekar

Muchos de los problemas técnicos de la gravedad cuántica canónica giran en torno a las restricciones. La relatividad general canónica se formuló originalmente en términos de variables métricas, pero parecía haber dificultades matemáticas insuperables para promover las restricciones a los operadores cuánticos debido a su dependencia altamente no lineal de las variables canónicas. Las ecuaciones se simplificaron mucho con la introducción de las nuevas variables de Ashtekar. Las variables de Ashtekar describen la relatividad general canónica en términos de un nuevo par de variables canónicas más cercanas a las de las teorías de calibre. El primer paso consiste en utilizar tríadas densificadas (una tríada es simplemente tres campos vectoriales ortogonales etiquetados por y la tríada densificada se define por ) para codificar información sobre la métrica espacial, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\displaystyle E_{i}^{a}}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$

${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}.}$

(donde es la métrica del espacio plano, y la ecuación anterior expresa que , cuando se escribe en términos de la base , es localmente plana). (Formular la relatividad general con tríadas en lugar de métricas no era algo nuevo). Las tríadas densificadas no son únicas y, de hecho, se puede realizar una rotación local en el espacio con respecto a los índices internos . La variable conjugada canónicamente está relacionada con la curvatura extrínseca por . Pero surgen problemas similares al uso de la formulación métrica cuando se intenta cuantificar la teoría. La nueva idea de Ashtekar fue introducir una nueva variable de configuración, ${\displaystyle \delta ^{ij}}$ ${\displaystyle q^{ab}}$ ${\displaystyle E_{i}^{a}}$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$

que se comporta como una conexión compleja donde está relacionada con la llamada conexión de espín a través de . Aquí se llama conexión de espín quiral. Define una derivada covariante . Resulta que es el momento conjugado de , y juntos forman las nuevas variables de Ashtekar. ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$

Las expresiones para las restricciones en las variables de Ashtekar; el teorema de Gauss, la restricción de difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana (densificada) se leen entonces:

${\displaystyle G^{i}={\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0}$

${\displaystyle C_{a}={\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-A_{a}^{i}({\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b})=V_{a}-A_{a}^{i}G^{i}=0,}$

${\displaystyle {\tilde {H}}=\epsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0}$

respectivamente, donde es el tensor de intensidad de campo de la conexión y donde se denomina restricción vectorial. La invariancia rotacional local en el espacio mencionada anteriormente es el original de la invariancia de calibración expresada aquí por el teorema de Gauss. Nótese que estas restricciones son polinómicas en las variables fundamentales, a diferencia de las restricciones en la formulación métrica. Esta simplificación dramática pareció abrir el camino a la cuantificación de las restricciones. (Véase el artículo Self-dual Palatini action para una derivación del formalismo de Ashtekar). ${\displaystyle F_{ab}^{i}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

Con las nuevas variables de Ashtekar, dada la variable de configuración , es natural considerar funciones de onda . Esta es la representación de conexión. Es análoga a la mecánica cuántica ordinaria con variable de configuración y funciones de onda . La variable de configuración se convierte en un operador cuántico mediante: ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi (A)=A_{a}^{i}\Psi (A),}$

(análogo a ) y las tríadas son derivadas (funcionales), ${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E_{i}^{a}}}}\Psi (A)=-i{\delta \Psi (A) \over \delta A_{a}^{i}}.}$

(análogo a ). Al pasar a la teoría cuántica, las restricciones se convierten en operadores en un espacio de Hilbert cinemático (el espacio de Hilbert de Yang-Mills sin restricciones). Nótese que el orden diferente de los y al reemplazar los con derivadas da lugar a operadores diferentes: la elección realizada se denomina orden de factores y debe elegirse mediante razonamiento físico. Formalmente se leen ${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}}$

${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\vert \psi \rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {C}}_{a}\vert \psi \rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}\vert \psi \rangle =0.}$

Todavía existen problemas para definir adecuadamente todas estas ecuaciones y resolverlas. Por ejemplo, la restricción hamiltoniana con la que trabajó Ashtekar era la versión densificada en lugar del hamiltoniano original, es decir, trabajó con . Hubo serias dificultades para promover esta cantidad a un operador cuántico. Además, aunque las variables de Ashtekar tenían la virtud de simplificar el hamiltoniano, son complejas. Cuando se cuantiza la teoría, es difícil asegurar que se recupere la relatividad general real en oposición a la relatividad general compleja. ${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$

Restricciones cuánticas como las ecuaciones de la relatividad general cuántica

El resultado clásico del corchete de Poisson de la ley de Gauss difuminada con las conexiones es ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$

${\displaystyle \{G(\lambda ),A_{a}^{i}\}=\partial _{a}\lambda ^{i}+g\epsilon ^{ijk}A_{a}^{j}\lambda ^{k}=(D_{a}\lambda )^{i}.}$

La ley cuántica de Gauss dice:

${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\Psi (A)=-iD_{a}{\delta \lambda \Psi [A] \over \delta A_{a}^{j}}=0.}$

Si se difumina la ley cuántica de Gauss y se estudia su acción sobre el estado cuántico, se encuentra que la acción de la restricción sobre el estado cuántico es equivalente a desplazar el argumento de por una transformación de calibre infinitesimal (en el sentido del parámetro pequeño), ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \left[1+\int d^{3}x\lambda ^{j}(x){\hat {G}}_{j}\right]\Psi (A)=\Psi [A+D\lambda ]=\Psi [A],}$

Y la última identidad proviene del hecho de que la restricción aniquila el estado. Por lo tanto, la restricción, como operador cuántico, impone la misma simetría que su desaparición impuso clásicamente: nos dice que las funciones tienen que ser funciones invariantes de calibración de la conexión. La misma idea es válida para las otras restricciones. ${\displaystyle \Psi [A]}$

Por lo tanto, el proceso de dos pasos en la teoría clásica de resolver las restricciones (equivalente a resolver las condiciones de admisibilidad para los datos iniciales) y buscar las órbitas de calibre (resolver las ecuaciones de 'evolución') es reemplazado por un proceso de un solo paso en la teoría cuántica, es decir, buscar soluciones de las ecuaciones cuánticas . Esto se debe a que resuelve la restricción a nivel cuántico y simultáneamente busca estados que sean invariantes de calibre porque es el generador cuántico de transformaciones de calibre (las funciones invariantes de calibre son constantes a lo largo de las órbitas de calibre y, por lo tanto, las caracterizan). ^[12] Recordemos que, a nivel clásico, resolver las condiciones de admisibilidad y las ecuaciones de evolución era equivalente a resolver todas las ecuaciones de campo de Einstein, esto subraya el papel central de las ecuaciones de restricción cuántica en la gravedad cuántica canónica. ${\displaystyle C_{I}=0}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$ ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$

Introducción a la representación de bucle

Fue en particular la incapacidad de tener un buen control sobre el espacio de soluciones a la ley de Gauss y las restricciones del difeomorfismo espacial lo que llevó a Rovelli y Smolin a considerar la representación de bucles en las teorías de calibre y la gravedad cuántica . ^[13]

LQG incluye el concepto de holonomía . Una holonomía es una medida de cuánto difieren los valores inicial y final de un espinor o vector después del transporte paralelo alrededor de un bucle cerrado; se denota

${\displaystyle h_{\gamma }[A]}$.

El conocimiento de las holonomías es equivalente al conocimiento de la conexión, hasta la equivalencia de calibre. Las holonomías también pueden asociarse con una arista; bajo una ley de Gauss, estas se transforman como

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y).}$

Para un bucle cerrado y suponiendo , se obtiene ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$

o

${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$

Se escribe el rastro de una holonomía alrededor de un bucle cerrado

${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$

y se denomina bucle de Wilson. Por lo tanto, los bucles de Wilson son invariantes de norma. La forma explícita de la holonomía es

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$

donde es la curva a lo largo de la cual se evalúa la holonomía, y es un parámetro a lo largo de la curva, denota el orden de la ruta, es decir, los factores para valores más pequeños de aparecen a la izquierda, y son matrices que satisfacen el álgebra ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T_{k}.}$

Las matrices de Pauli satisfacen la relación anterior. Resulta que hay una cantidad infinita de ejemplos más de conjuntos de matrices que satisfacen estas relaciones, donde cada conjunto comprende matrices con , y donde no se puede pensar que ninguna de ellas se "descomponga" en dos o más ejemplos de dimensión inferior. Se denominan representaciones irreducibles diferentes del álgebra. La representación más fundamental son las matrices de Pauli. La holonomía se etiqueta con un medio entero según la representación irreducible utilizada. ${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$ ${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle N/2}$

El uso de bucles de Wilson resuelve explícitamente la restricción de calibre de Gauss. La representación de bucles es necesaria para manejar la restricción de difeomorfismo espacial. Con los bucles de Wilson como base, cualquier función invariante de calibre de Gauss se expande como,

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A].}$

Esto se denomina transformada de bucle y es análoga a la representación del momento en la mecánica cuántica (véase Espacio de posición y momento ). La representación de la mecánica cuántica tiene una base de estados etiquetados por un número y se expande como ${\displaystyle \exp(ikx)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).}$

y trabaja con los coeficientes de expansión ${\displaystyle \psi (k).}$

La transformada de bucle inverso se define por

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A].}$

Esto define la representación del bucle. Dado un operador en la representación de la conexión, ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]\qquad Eq\;1,}$

Se debe definir el operador correspondiente en la representación del bucle mediante, ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ]\qquad Eq\;2,}$

donde se define mediante la transformación de bucle inverso habitual, ${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A]\qquad Eq\;3.}$

Luego se obtiene una fórmula de transformación que da la acción del operador en en términos de la acción del operador en igualando el lado derecho de con el lado derecho de con sustituido en , es decir ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \Psi [A]}$ ${\displaystyle Eq\;2}$ ${\displaystyle Eq\;3}$ ${\displaystyle Eq\;1}$ ${\displaystyle Eq\;3}$

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A],}$

o

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A],}$

donde significa el operador pero con el ordenamiento de factores inverso (recuerde de la mecánica cuántica simple donde el producto de operadores se invierte bajo conjugación). La acción de este operador en el bucle de Wilson se evalúa como un cálculo en la representación de conexión y el resultado se reorganiza puramente como una manipulación en términos de bucles (con respecto a la acción en el bucle de Wilson, el operador transformado elegido es el que tiene el ordenamiento de factores opuesto en comparación con el utilizado para su acción en funciones de onda ). Esto da el significado físico del operador . Por ejemplo, si correspondía a un difeomorfismo espacial, entonces esto puede considerarse como mantener el campo de conexión de donde está mientras se realiza un difeomorfismo espacial en su lugar. Por lo tanto, el significado de es un difeomorfismo espacial en , el argumento de . ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \Psi [A]}$ ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

En la representación de bucles, la restricción del difeomorfismo espacial se resuelve considerando funciones de bucles que son invariantes bajo difeomorfismos espaciales del bucle . Es decir, se utilizan invariantes de nudos . Esto abre una conexión inesperada entre la teoría de nudos y la gravedad cuántica. ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ ${\displaystyle \gamma }$

Cualquier conjunto de bucles de Wilson que no se intersecan satisface la restricción hamiltoniana cuántica de Ashtekar. Utilizando un orden particular de términos y reemplazando por una derivada, la acción de la restricción hamiltoniana cuántica sobre un bucle de Wilson es ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}^{\dagger }W_{\gamma }[A]=-\epsilon _{ijk}{\hat {F}}_{ab}^{k}{\frac {\delta }{\delta A_{a}^{i}}}{\frac {\delta }{\delta A_{b}^{j}}}W_{\gamma }[A].}$

Cuando se toma una derivada, se reduce el vector tangente, , del bucle, . Por lo tanto, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\hat {F}}_{ab}^{i}{\dot {\gamma }}^{a}{\dot {\gamma }}^{b}.}$

Sin embargo, como es antisimétrico en los índices y este se desvanece (esto supone que no es discontinuo en ningún lugar y por lo tanto el vector tangente es único). ${\displaystyle F_{ab}^{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \gamma }$

En lo que respecta a la representación de bucles, las funciones de onda se anulan cuando el bucle tiene discontinuidades y son invariantes de nudos. Tales funciones resuelven la ley de Gauss, la restricción del difeomorfismo espacial y (formalmente) la restricción hamiltoniana. Esto produce un conjunto infinito de soluciones exactas (aunque solo formales) para todas las ecuaciones de la relatividad general cuántica. ^[13] Esto generó mucho interés en el enfoque y finalmente condujo a la LQG. ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

Operadores geométricos, la necesidad de intersección de bucles de Wilson y estados de red de espín

La cantidad geométrica más sencilla es el área. Elijamos coordenadas de modo que la superficie se caracterice por . El área del pequeño paralelogramo de la superficie es el producto de la longitud de cada lado por donde es el ángulo entre los lados. Digamos que un borde está dado por el vector y el otro por entonces, ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle x^{3}=0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle A=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}}$

En el espacio abarcado por y hay un paralelogramo infinitesimal descrito por y . Utilizando (donde los índices y van de 1 a 2), se obtiene el área de la superficie dada por ${\displaystyle x^{1}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {e}}_{2}dx^{2}}$ ${\displaystyle q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {\det \left(q^{(2)}\right)}}}$

donde y es el determinante de la métrica inducida en . Este último puede reescribirse donde los índices van de 1 a 2. Esto puede reescribirse como ${\displaystyle \det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2}$ ${\displaystyle A\dots D}$

${\displaystyle \det(q^{(2)})={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}.}$

La fórmula estándar para una matriz inversa es

${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}.}$

Existe una similitud entre esto y la expresión para . Pero en las variables de Ashtekar, . Por lo tanto, ${\displaystyle \det(q^{(2)})}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}.}$

De acuerdo con las reglas de cuantificación canónica, las tríadas deberían ser promovidas a operadores cuánticos, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}.}$

El área puede ser promovida a un operador cuántico bien definido a pesar del hecho de que contiene un producto de dos derivadas funcionales y una raíz cuadrada. ^[14] Poniendo ( -ésima representación), ${\displaystyle A_{\Sigma }}$ ${\displaystyle N=2J}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1.}$

Esta cantidad es importante en la fórmula final para el espectro de áreas. El resultado es

${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{\text{Planck}}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$

donde la suma se aplica a todos los bordes del bucle de Wilson que perforan la superficie . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Sigma }$

La fórmula para el volumen de una región está dada por ${\displaystyle R}$

${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}=\int _{R}dx^{3}{\sqrt {{\frac {1}{3!}}\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.}$

La cuantificación del volumen se realiza de la misma manera que con el área. Cada vez que se toma la derivada, se reduce el vector tangente , y cuando el operador de volumen actúa sobre bucles de Wilson que no se intersecan, el resultado se anula. Por lo tanto, los estados cuánticos con volumen distinto de cero deben implicar intersecciones. Dado que la suma antisimétrica se asume en la fórmula para el volumen, necesita intersecciones con al menos tres líneas no coplanares . Se necesitan al menos vértices cuatrivalentes para que el operador de volumen no se anule. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$

Suponiendo la representación real donde el grupo de calibración es , los bucles de Wilson son una base sobrecompleta ya que existen identidades que relacionan diferentes bucles de Wilson. Esto ocurre porque los bucles de Wilson se basan en matrices (la holonomía) y estas matrices satisfacen identidades. Dadas dos matrices cualesquiera y , ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1}).}$

Esto implica que dados dos bucles y que se intersecan, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$

donde por queremos decir el bucle atravesado en la dirección opuesta y significa el bucle obtenido al ir alrededor del bucle y luego a lo largo de . Vea la figura siguiente. Dado que las matrices son unitarias, se tiene que . También dada la propiedad cíclica de las trazas de la matriz (es decir, ) se tiene que . Estas identidades se pueden combinar entre sí en identidades adicionales de complejidad creciente agregando más bucles. Estas identidades son las llamadas identidades de Mandelstam. Las redes de espín son ciertas combinaciones lineales de bucles de Wilson que se intersecan diseñados para abordar la sobrecompletitud introducida por las identidades de Mandelstam (para intersecciones trivalentes eliminan la sobrecompletitud por completo) y en realidad constituyen una base para todas las funciones invariantes de calibre. ${\displaystyle \eta ^{-1}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \gamma \circ \eta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )}$ ${\displaystyle W_{\gamma \circ \eta }[A]=W_{\eta \circ \gamma }[A]}$

Representación gráfica de la identidad de Mandelstam no trivial más simple que relaciona diferentes bucles de Wilson

Como se mencionó anteriormente, la holonomía nos dice cómo propagar semipartículas de espín de prueba. Un estado de red de espín asigna una amplitud a un conjunto de semipartículas de espín que trazan un camino en el espacio, fusionándose y dividiéndose. Estas se describen mediante redes de espín : los bordes están etiquetados por espines junto con "entrelazadores" en los vértices que son una prescripción sobre cómo sumar sobre diferentes formas en que se redireccionan los espines. La suma sobre el redireccionamiento se elige como tal para hacer que la forma del entrelazador sea invariante bajo las transformaciones de calibre de Gauss. ${\displaystyle \gamma }$

Restricción hamiltoniana de LQG

En la larga historia de la gravedad cuántica canónica, formular la restricción hamiltoniana como un operador cuántico ( ecuación de Wheeler–DeWitt ) de una manera matemáticamente rigurosa ha sido un problema formidable. Fue en la representación de bucles donde finalmente se formuló una restricción hamiltoniana matemáticamente bien definida en 1996. ^[10] Dejamos más detalles de su construcción para el artículo Restricción hamiltoniana de LQG . Esta, junto con las versiones cuánticas de la ley de Gauss y las restricciones de difeomorfismo espacial escritas en la representación de bucles, son las ecuaciones centrales de LQG (relatividad general cuántica canónica moderna).

Encontrar los estados que son aniquilados por estas restricciones (los estados físicos), y encontrar el producto interno físico correspondiente y los observables es el objetivo principal del aspecto técnico de LQG.

Un aspecto importante del operador hamiltoniano es que sólo actúa en los vértices (una consecuencia de esto es que el operador hamiltoniano de Thiemann, como el operador de Ashtekar, aniquila los bucles que no se intersecan, excepto que ahora no es sólo formal y tiene un significado matemático riguroso). Más precisamente, su acción es distinta de cero en al menos los vértices de valencia tres y mayores y da como resultado una combinación lineal de nuevas redes de espín donde el gráfico original ha sido modificado por la adición de líneas en cada vértice y un cambio en las etiquetas de los enlaces adyacentes del vértice. ^{[ cita requerida ]}

Fermiones quirales y el problema de duplicación de fermiones

Un desafío importante en física teórica radica en unificar la LQG, una teoría del espacio-tiempo cuántico, con el Modelo Estándar de física de partículas, que describe las fuerzas y partículas fundamentales. Un obstáculo importante en este esfuerzo es el problema de duplicación de fermiones , que surge al incorporar fermiones quirales en el marco de la LQG.

Los fermiones quirales, como los electrones y los quarks, son partículas fundamentales que se caracterizan por su "lateralidad" o quiralidad. Esta propiedad dicta que una partícula y su imagen especular se comportan de manera diferente en interacciones débiles. Esta asimetría es fundamental para el éxito del Modelo Estándar a la hora de explicar numerosos fenómenos físicos.

Sin embargo, los intentos de integrar fermiones quirales en la LQG a menudo dan como resultado la aparición de partículas espurias, imágenes especulares. En lugar de un único fermión levógiro, por ejemplo, la teoría predice la existencia de una versión levógira y otra dextrógira. ^[15] Esta "duplicación" contradice la quiralidad observada del Modelo Estándar y altera su poder predictivo.

El problema de la duplicación de los fermiones plantea un obstáculo importante a la hora de construir una teoría coherente de la gravedad cuántica. La precisión del Modelo Estándar a la hora de describir el universo en las escalas más pequeñas depende en gran medida de las propiedades únicas de los fermiones quirales. Sin una solución a este problema, la incorporación de la materia y sus interacciones en un marco unificado de gravedad cuántica sigue siendo un desafío importante.

Por lo tanto, resolver el problema de la duplicación de los fermiones es crucial para avanzar en nuestra comprensión del universo en su nivel más fundamental y desarrollar una teoría completa que une la gravedad con el mundo cuántico.

Espumas giratorias

En la gravedad cuántica de bucles (LQG), una red de espín representa un "estado cuántico" del campo gravitatorio en una hipersuperficie tridimensional . El conjunto de todas las redes de espín posibles (o, más precisamente, "nudos s", es decir, clases de equivalencia de redes de espín bajo difeomorfismos) es contable; constituye una base del espacio de Hilbert de LQG .

En física, una espuma de espín es una estructura topológica formada por caras bidimensionales que representa una de las configuraciones que deben sumarse para obtener una descripción de la gravedad cuántica mediante la integral de trayectorias de Feynman (integración funcional). Está estrechamente relacionada con la gravedad cuántica de bucles.

Espuma de espín derivada del operador de restricción hamiltoniano

En esta sección, véase ^[16] y las referencias allí citadas. La restricción hamiltoniana genera una evolución "temporal". Resolver la restricción hamiltoniana debería indicarnos cómo evolucionan los estados cuánticos en "tiempo" desde un estado de red de espín inicial a un estado de red de espín final. Un enfoque para resolver la restricción hamiltoniana comienza con lo que se denomina la función delta de Dirac . La suma de la cual sobre diferentes secuencias de acciones se puede visualizar como una suma sobre diferentes historias de "vértices de interacción" en la evolución "temporal" que envía la red de espín inicial a la red de espín final. Cada vez que actúa un operador hamiltoniano, lo hace añadiendo una nueva arista en el vértice.

Esto da lugar naturalmente al complejo de dos (un conjunto combinatorio de caras que se unen a lo largo de los bordes, que a su vez se unen en los vértices) que subyace a la descripción de la espuma de espín; evolucionamos hacia adelante una red de espín inicial que barre una superficie, la acción del operador de restricción hamiltoniano es producir una nueva superficie plana que comienza en el vértice. Podemos usar la acción de la restricción hamiltoniana en el vértice de un estado de red de espín para asociar una amplitud a cada "interacción" (en analogía con los diagramas de Feynman ). Vea la figura siguiente. Esto abre una manera de intentar vincular directamente la LQG canónica con una descripción de integral de trayectoria. Así como las redes de espín describen el espacio cuántico, cada configuración que contribuye a estas integrales de trayectoria, o sumas a lo largo de la historia, describe el "espacio-tiempo cuántico". Debido a su semejanza con las espumas de jabón y la forma en que se etiquetan, John Baez les dio a estos "espacio-tiempos cuánticos" el nombre de "espumas de espín".

La acción de la restricción hamiltoniana se traduce en la integral de trayectoria o la denominada descripción de espuma de espín. Un único nodo se divide en tres nodos, lo que crea un vértice de espuma de espín. es el valor de en el vértice y son los elementos de la matriz de la restricción hamiltoniana . ${\displaystyle N(x_{n})}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle H_{nop}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Sin embargo, este enfoque particular presenta serias dificultades; por ejemplo, el operador hamiltoniano no es autoadjunto; de hecho, ni siquiera es un operador normal (es decir, el operador no conmuta con su adjunto), por lo que el teorema espectral no se puede utilizar para definir la exponencial en general. El problema más grave es que las s no son mutuamente conmutables, por lo que se puede demostrar que la cantidad formal ni siquiera puede definir un proyector (generalizado). La restricción maestra (ver más abajo) no sufre estos problemas y, como tal, ofrece una forma de conectar la teoría canónica con la formulación de la integral de trayectoria. ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$ ${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$

Espumas de espín según la teoría BF

Resulta que hay rutas alternativas para formular la integral de trayectoria, sin embargo, su conexión con el formalismo hamiltoniano es menos clara. Una forma es comenzar con la teoría BF . Esta es una teoría más simple que la relatividad general, no tiene grados de libertad locales y, como tal, depende solo de los aspectos topológicos de los campos. La teoría BF es lo que se conoce como una teoría de campo topológica . Sorprendentemente, resulta que la relatividad general se puede obtener a partir de la teoría BF imponiendo una restricción, ^[17] La ​​teoría BF involucra un campo y si uno elige que el campo sea el producto (antisimétrico) de dos tétradas ${\displaystyle B_{ab}^{IJ}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B_{ab}^{IJ}={1 \over 2}\left(E_{a}^{I}E_{b}^{J}-E_{b}^{I}E_{a}^{J}\right)}$

(las tétradas son como las tríadas pero en cuatro dimensiones espacio-temporales), se recupera la relatividad general. La condición de que el campo esté dado por el producto de dos tétradas se llama restricción de simplicidad. La dinámica de la espuma de espín de la teoría de campos topológicos se entiende bien. Dadas las amplitudes de 'interacción' de la espuma de espín para esta teoría simple, uno intenta entonces implementar las condiciones de simplicidad para obtener una integral de trayectoria para la relatividad general. La tarea no trivial de construir un modelo de espuma de espín se reduce entonces a la cuestión de cómo se debe imponer esta restricción de simplicidad en la teoría cuántica. El primer intento de esto fue el famoso modelo de Barrett-Crane . ^[18] Sin embargo, se demostró que este modelo era problemático, por ejemplo, no parecía haber suficientes grados de libertad para asegurar el límite clásico correcto. ^[19] Se ha argumentado que la restricción de simplicidad se impuso con demasiada fuerza a nivel cuántico y solo debería imponerse en el sentido de valores esperados, al igual que con la condición de calibre de Lorenz en el formalismo Gupta-Bleuler de la electrodinámica cuántica . Se han propuesto nuevos modelos, a veces motivados por la imposición de condiciones de simplicidad en un sentido más débil. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }{\hat {A}}^{\mu }}$

Otra dificultad aquí es que las espumas de espín se definen en una discretización del espacio-tiempo. Si bien esto no presenta problemas para una teoría de campo topológica, ya que no tiene grados de libertad locales, presenta problemas para la RG. Esto se conoce como el problema de la dependencia de triangularización.

Formulación moderna de espumas de hilado

Así como la imposición de la restricción de simplicidad clásica recupera la relatividad general a partir de la teoría BF, se espera que una restricción de simplicidad cuántica apropiada recupere la gravedad cuántica a partir de la teoría BF cuántica.

^{Engle, Pereira y Rovelli [20]} , Freidel y Krasnov ^[21] y Livine y Speziale ^[22] han logrado avances con respecto a esta cuestión al definir amplitudes de interacción de espuma de espín con un mejor comportamiento.

Se ha intentado establecer contacto entre la espuma de hilado EPRL-FK y la formulación canónica de LQG. ^[23]

Espuma de espín derivada del operador de restricción maestro

Vea abajo.

El límite semiclásico y la gravedad cuántica de bucles

El límite clásico es la capacidad de una teoría física para aproximarse a la mecánica clásica. Se utiliza con teorías físicas que predicen un comportamiento no clásico. ^{[ cita requerida ]} Cualquier teoría candidata de la gravedad cuántica debe ser capaz de reproducir la teoría de la relatividad general de Einstein como un límite clásico de una teoría cuántica . Esto no está garantizado debido a una característica de las teorías cuánticas de campos que es que tienen diferentes sectores, estos son análogos a las diferentes fases que surgen en el límite termodinámico de los sistemas estadísticos. Así como las diferentes fases son físicamente diferentes, también lo son los diferentes sectores de una teoría cuántica de campos. Puede resultar que LQG pertenezca a un sector no físico, uno en el que no se recupera la relatividad general en el límite semiclásico o puede que no haya ningún sector físico.

Además, el espacio de Hilbert físico debe contener suficientes estados semiclásicos para garantizar que la teoría cuántica obtenida pueda volver a la teoría clásica al evitar anomalías cuánticas ; de lo contrario, habrá restricciones en el espacio de Hilbert físico que no tienen contraparte en la teoría clásica, lo que implica que la teoría cuántica tiene menos grados de libertad que la teoría clásica. ${\displaystyle H_{phys}}$ ${\displaystyle \hbar \to 0}$

^{Dos grupos (Lewandowski, Okołów, Sahlmann y Thiemann; [24]} y Christian Fleischhack [25]) han propuesto teoremas que establecen la unicidad de la representación de bucles definida por Ashtekar et al. (es decir, una cierta realización concreta de un espacio de Hilbert y operadores asociados que reproducen el álgebra de bucles correcta) . ^Antes de que se estableciera este resultado, no se sabía si podría haber otros ejemplos de espacios de Hilbert con operadores que invocaran el mismo álgebra de bucles, otras realizaciones no equivalentes a la que se había utilizado. Estos teoremas de unicidad implican que no existen otros, por lo que si LQG no tiene el límite semiclásico correcto, entonces los teoremas significarían el fin de la representación de bucles de la gravedad cuántica.

Dificultades y avances en la comprobación del límite semiclásico

Existen varias dificultades a la hora de intentar establecer que la LQG da la teoría de la relatividad general de Einstein en el límite semiclásico:

1. No existe ningún operador correspondiente a los difeomorfismos espaciales infinitesimales (no es sorprendente que la teoría no tenga un generador de 'traducciones' espaciales infinitesimales, ya que predice que la geometría espacial tiene una naturaleza discreta, en comparación con la situación en materia condensada). En cambio, debe aproximarse mediante difeomorfismos espaciales finitos y, por lo tanto, la estructura de corchetes de Poisson de la teoría clásica no se reproduce exactamente. Este problema se puede evitar con la introducción de la llamada restricción maestra (ver más abajo). ^[26]
2. Existe el problema de conciliar la naturaleza combinatoria discreta de los estados cuánticos con la naturaleza continua de los campos de la teoría clásica.
3. Existen serias dificultades que surgen de la estructura de los corchetes de Poisson que involucran el difeomorfismo espacial y las restricciones hamiltonianas. En particular, el álgebra de restricciones hamiltonianas (difuminadas) no se cierra: es proporcional a una suma sobre difeomorfismos espaciales infinitesimales (que, como se señaló anteriormente, no existe en la teoría cuántica) donde los coeficientes de proporcionalidad no son constantes sino que tienen una dependencia no trivial del espacio de fases; como tal, no forma un álgebra de Lie . Sin embargo, la situación mejora con la introducción de la restricción maestra. ^[26]
4. La maquinaria semiclásica desarrollada hasta ahora sólo es apropiada para operadores que no cambian de grafo, sin embargo, la restricción hamiltoniana de Thiemann es un operador que cambia de grafo – el nuevo grafo que genera tiene grados de libertad de los cuales el estado coherente no depende y por lo tanto sus fluctuaciones cuánticas no son suprimidas. También existe la restricción, hasta ahora, de que estos estados coherentes sólo están definidos en el nivel Cinemático, y ahora uno tiene que elevarlos al nivel de y . Se puede demostrar que se requiere que la restricción hamiltoniana de Thiemann sea cambiante de grafo para resolver el problema 3 en algún sentido. Sin embargo, el álgebra de restricciones maestras es trivial y por lo tanto el requisito de que sea cambiante de grafo puede eliminarse y de hecho se han definido operadores de restricción maestras que no cambian de grafo. Hasta donde se sabe actualmente, este problema todavía está fuera de alcance. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$
5. La formulación de observables para la relatividad general clásica es un problema formidable debido a su naturaleza no lineal y a la invariancia del difeomorfismo espaciotemporal. Recientemente se ha desarrollado un esquema de aproximación sistemática para calcular observables. ^{[27] [28]}

Las dificultades al intentar examinar el límite semiclásico de la teoría no deben confundirse con que ésta tenga un límite semiclásico incorrecto.

En relación con el problema número 2 mencionado anteriormente, consideremos los llamados estados de trama. Las mediciones ordinarias de cantidades geométricas son macroscópicas y la discreción planckiana se suaviza. La tela de una camiseta es análoga: a la distancia es una superficie bidimensional curva suave, pero al inspeccionarla más de cerca vemos que en realidad está compuesta de miles de hilos unidimensionales enlazados. La imagen del espacio dada en LQG es similar. Consideremos una gran red de espín formada por una gran cantidad de nodos y enlaces, cada uno de ellos de escala de Planck . Sondeada a escala macroscópica, aparece como una geometría métrica continua tridimensional.

Para entrar en contacto con la física de bajas energías es obligatorio desarrollar esquemas de aproximación tanto para el producto físico interno como para los observables de Dirac; los modelos de espuma de espín que han sido intensamente estudiados pueden verse como vías hacia esquemas de aproximación para dicho producto físico interno.

Markopoulou, et al. adoptaron la idea de subsistemas sin ruido en un intento de resolver el problema del límite de baja energía en las teorías de gravedad cuántica independientes del fondo. ^{[29] [30]} La idea ha llevado a la posibilidad de que la materia del modelo estándar se identifique con grados de libertad emergentes de algunas versiones de LQG (ver la sección a continuación: LQG y programas de investigación relacionados ).

Como Wightman enfatizó en la década de 1950, en las QFT de Minkowski las funciones puntuales ${\displaystyle n-}$

${\displaystyle W(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|\phi (x_{n})\dots \phi (x_{1})|0\rangle ,}$

determinar completamente la teoría. En particular, se pueden calcular las amplitudes de dispersión a partir de estas cantidades. Como se explica a continuación en la sección sobre las amplitudes de dispersión independientes del fondo , en el contexto independiente del fondo, las funciones puntuales se refieren a un estado y en la gravedad ese estado puede codificar naturalmente información sobre una geometría específica que luego puede aparecer en las expresiones de estas cantidades. En primer lugar, se ha demostrado que los cálculos LQG concuerdan en un sentido apropiado con las funciones puntuales calculadas en la relatividad general cuántica de baja energía efectiva. ${\displaystyle n-}$ ${\displaystyle n-}$

Dinámica mejorada y restricción maestra

La restricción maestra

El Programa de Restricción Maestra de Thiemann para Gravedad Cuántica de Bucles (LQG) fue propuesto como una forma clásicamente equivalente de imponer el número infinito de ecuaciones de restricción hamiltonianas en términos de una única restricción maestra , que involucra el cuadrado de las restricciones en cuestión. Una objeción inicial al uso de la restricción maestra fue que a primera vista no parecía codificar información sobre los observables; debido a que la restricción Maestra es cuadrática en la restricción, cuando uno calcula su corchete de Poisson con cualquier cantidad, el resultado es proporcional a la restricción, por lo tanto se desvanece cuando se imponen las restricciones y, como tal, no selecciona funciones particulares del espacio de fase. Sin embargo, se advirtió que la condición ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \{O,\{O,M\}\}_{M=0}=0,}$

es donde es al menos una función dos veces diferenciable en el espacio de fases es equivalente a ser un observable de Dirac débil con respecto a las restricciones en cuestión. Por lo tanto, la restricción maestra captura información sobre los observables. Debido a su importancia, se la conoce como ecuación maestra. ^[31] ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$

El hecho de que la restricción maestra del álgebra de Poisson sea un álgebra de Lie honesta abre la posibilidad de utilizar un método, conocido como promedio de grupo, para construir soluciones del número infinito de restricciones hamiltonianas, un producto interno físico sobre ellas y observables de Dirac a través de lo que se conoce como cuantificación algebraica refinada o RAQ. ^[32]

La restricción del maestro cuántico

Defina la restricción maestra cuántica (dejando de lado los problemas de regularización) como

${\displaystyle {\hat {M}}:=\int d^{3}x{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}^{\dagger }(x){\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x).}$

Obviamente,

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0}$

porque todo implica . Por el contrario, si entonces ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$ ${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$

${\displaystyle 0=\left\langle \Psi ,{\hat {M}}\Psi \right\rangle =\int d^{3}x\left\|{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \right\|^{2}\qquad Eq\;4}$

implica

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0}$.

Primero calcule los elementos de la matriz del posible operador , es decir, la forma cuadrática . es una forma cuadrática invariante al difeomorfismo y que cambia el grafo que no puede existir en el espacio cinemático de Hilbert , y debe definirse en . Dado que el operador de restricción maestro está densamente definido en , entonces es un operador positivo y simétrico en . Por lo tanto, la forma cuadrática asociada con es cerrable. El cierre de es la forma cuadrática de un operador autoadjunto único , llamado la extensión de Friedrichs de . Reetiquetamos como para simplificar. ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle H_{Kin}}$ ${\displaystyle H_{Diff}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle H_{Diff}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle H_{Diff}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$

Nótese que la presencia de un producto interno, es decir, la ecuación 4, significa que no hay soluciones superfluas, es decir, no hay ninguna que ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \not =0,}$

pero para cual . ${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$

También es posible construir una forma cuadrática para lo que se llama la restricción maestra extendida (que se analiza más adelante) en la que también interviene la integral ponderada del cuadrado de la restricción de difeomorfismo espacial (esto es posible porque no cambia el gráfico). ${\displaystyle Q_{M_{E}}}$ ${\displaystyle H_{Kin}}$ ${\displaystyle Q_{M_{E}}}$

El espectro de la restricción maestra puede no contener cero debido a efectos de ordenamiento normal o factorial que son finitos pero similares en naturaleza a las energías de vacío infinitas de las teorías de campos cuánticos dependientes del fondo. En este caso resulta físicamente correcto reemplazar con siempre que la "constante de ordenamiento normal" se anule en el límite clásico, es decir, ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}}$

${\displaystyle \lim _{\hbar \to 0}\min(spec({\hat {M}}))=0,}$

De modo que es una cuantificación válida de . ${\displaystyle {\hat {M}}'}$ ${\displaystyle M}$

Probando la restricción maestra

Las restricciones en su forma primitiva son bastante singulares, por lo que se integraron sobre funciones de prueba para obtener restricciones difusas. Sin embargo, parecería que la ecuación para la restricción maestra, dada anteriormente, es incluso más singular al involucrar el producto de dos restricciones primitivas (aunque integradas sobre el espacio). Elevar al cuadrado la restricción es peligroso ya que podría conducir a un comportamiento ultravioleta peor del operador correspondiente y, por lo tanto, el programa de restricción maestra debe abordarse con cuidado.

Al hacerlo, el programa de restricción maestra se ha probado satisfactoriamente en varios sistemas modelo con álgebras de restricciones no triviales, teorías de campo libre e interactuante. ^{[33] [34] [35] [36] [37]} La ​​restricción maestra para LQG se estableció como un operador autoadjunto positivo genuino y se demostró que el espacio de Hilbert físico de LQG no está vacío, ^[38] una prueba de consistencia que LQG debe pasar para ser una teoría viable de la relatividad general cuántica.

Aplicaciones de la restricción maestra

La restricción maestra se ha empleado en intentos de aproximar el producto interno físico y definir integrales de trayectoria más rigurosas. ^{[39] [40] [41] [42]}

El enfoque de discretizaciones consistentes para LQG, ^{[43] [44]} es una aplicación del programa de restricción maestro para construir el espacio de Hilbert físico de la teoría canónica.

Espuma giratoria de la restricción maestra

La restricción maestra se puede generalizar fácilmente para incorporar las demás restricciones. Entonces se la denomina restricción maestra extendida, denotada como . Podemos definir la restricción maestra extendida que impone tanto la restricción hamiltoniana como la restricción de difeomorfismo espacial como un solo operador, ${\displaystyle M_{E}}$

${\displaystyle M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}}$.

Establecer esta única restricción en cero es equivalente a y para todos en . Esta restricción implementa el difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana al mismo tiempo en el espacio de Hilbert cinemático. El producto interno físico se define entonces como ${\displaystyle H(x)=0}$ ${\displaystyle V_{a}(x)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle _{\text{Phys}}=\lim _{T\to \infty }\left\langle \phi ,\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}\psi \right\rangle }$

(como ). Se obtiene una representación de espuma de espín de esta expresión dividiendo el parámetro en pasos discretos y escribiendo ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ ${\displaystyle t}$

${\textstyle e^{it{\hat {M}}_{E}}=\lim _{n\to \infty }\left[e^{it{\hat {M}}_{E}/n}\right]^{n}=\lim _{n\to \infty }[1+it{\hat {M}}_{E}/n]^{n}.}$

La descripción de la espuma de espín se deduce entonces de la aplicación de en una red de espín, lo que da como resultado una combinación lineal de nuevas redes de espín cuyo gráfico y etiquetas se han modificado. Obviamente, se realiza una aproximación truncando el valor de a algún entero finito. Una ventaja de la restricción maestra extendida es que estamos trabajando en el nivel cinemático y, hasta ahora, solo aquí tenemos acceso a estados coherentes semiclásicos. Además, se pueden encontrar versiones de este operador de restricción maestra que no cambian el gráfico, que son el único tipo de operadores apropiados para estos estados coherentes. ${\displaystyle [1+it{\hat {M}}_{E}/n]}$ ${\displaystyle n}$

Gravedad cuántica algebraica (AQG)

El programa de restricción maestra ha evolucionado hasta convertirse en un tratamiento totalmente combinatorio de la gravedad conocido como gravedad cuántica algebraica (AQG). ^[45] El operador de restricción maestra que no cambia de grafos se adapta al marco de la gravedad cuántica algebraica. Si bien AQG está inspirado en LQG, difiere drásticamente de él porque en AQG no hay topología ni estructura diferencial fundamentalmente; es independiente del fondo en un sentido más generalizado y posiblemente podría tener algo que decir sobre el cambio de topología. En esta nueva formulación de la gravedad cuántica, los estados semiclásicos de AQG siempre controlan las fluctuaciones de todos los grados de libertad presentes. Esto hace que el análisis semiclásico de AQG sea superior al de LQG, y se ha avanzado en establecer que tiene el límite semiclásico correcto y en proporcionar contacto con la física de baja energía familiar. ^{[46] [47]}

Aplicaciones físicas de LQG

Entropía del agujero negro

Representación artística de dos agujeros negros fusionándose, un proceso en el que se respetan las leyes de la termodinámica.

La termodinámica de los agujeros negros es el área de estudio que busca reconciliar las leyes de la termodinámica con la existencia de horizontes de sucesos de agujeros negros . La conjetura de la relatividad general que establece que un agujero negro se caracteriza únicamente por su masa , su carga y su momento angular ; por lo tanto, no tiene entropía . Parece, entonces, que se puede violar la segunda ley de la termodinámica arrojando un objeto con entropía distinta de cero en un agujero negro. ^[48] El trabajo de Stephen Hawking y Jacob Bekenstein demostró que la segunda ley de la termodinámica se puede preservar asignando a cada agujero negro una entropía de agujero negro .

${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4\ell _{\text{P}}^{2}}},}$

donde es el área del horizonte de sucesos del agujero, es la constante de Boltzmann y es la longitud de Planck. ^[49] El hecho de que la entropía del agujero negro sea también la entropía máxima que se puede obtener mediante el límite de Bekenstein (en el que el límite de Bekenstein se convierte en una igualdad) fue la principal observación que condujo al principio holográfico . ^[48] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\textstyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$

Un descuido en la aplicación del teorema de no-cabello es la suposición de que los grados de libertad relevantes que explican la entropía del agujero negro deben ser de naturaleza clásica; ¿qué pasaría si fueran puramente mecánico-cuánticos y tuvieran una entropía distinta de cero? Esto es lo que se realiza en la derivación LQG de la entropía del agujero negro, y puede verse como una consecuencia de su independencia de fondo: el espacio-tiempo clásico del agujero negro surge del límite semiclásico del estado cuántico del campo gravitacional, pero hay muchos estados cuánticos que tienen el mismo límite semiclásico. Específicamente, en LQG ^[50] es posible asociar una interpretación geométrica cuántica a los microestados: Estas son las geometrías cuánticas del horizonte que son consistentes con el área, , del agujero negro y la topología del horizonte (es decir, esférico). LQG ofrece una explicación geométrica de la finitud de la entropía y de la proporcionalidad del área del horizonte. ^{[51] [52]} Estos cálculos se han generalizado a los agujeros negros en rotación. ^[53] ${\displaystyle A}$

Representación de geometrías cuánticas del horizonte. Las excitaciones de polímeros en el volumen perforan el horizonte, dotándolo de un área cuantizada. Intrínsecamente, el horizonte es plano, excepto en las perforaciones, donde adquiere un ángulo de déficit cuantizado o una cantidad de curvatura cuantizada. Estos ángulos de déficit suman . ${\displaystyle 4\pi }$

Es posible derivar, a partir de la formulación covariante de la teoría cuántica completa ( Spinfoam ), la relación correcta entre energía y área (1ª ley), la temperatura de Unruh y la distribución que produce la entropía de Hawking. ^[54] El cálculo hace uso de la noción de horizonte dinámico y se realiza para agujeros negros no extremos.

Un éxito reciente de la teoría en esta dirección es el cálculo de la entropía de todos los agujeros negros no singulares directamente a partir de la teoría e independientemente del parámetro de Immirzi . ^{[54] [55]} El resultado es la fórmula esperada , donde es la entropía y el área del agujero negro, derivada por Bekenstein y Hawking sobre bases heurísticas. Esta es la única derivación conocida de esta fórmula a partir de una teoría fundamental, para el caso de agujeros negros no singulares genéricos. Los intentos más antiguos de este cálculo tuvieron dificultades. El problema fue que aunque la gravedad cuántica de bucles predijo que la entropía de un agujero negro es proporcional al área del horizonte de eventos, el resultado dependía de un parámetro libre crucial en la teoría, el parámetro de Immirzi mencionado anteriormente. Sin embargo, no se conoce ningún cálculo del parámetro de Immirzi, por lo que se solucionó exigiendo un acuerdo con el cálculo de Bekenstein y Hawking de la entropía del agujero negro . ${\displaystyle S=A/4}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$

Radiación de Hawking en la gravedad cuántica de bucles

Se ha realizado un estudio detallado de la geometría cuántica de un horizonte de agujero negro utilizando la gravedad cuántica de bucles. ^[52] La cuantificación de bucles no reproduce el resultado para la entropía de un agujero negro descubierto originalmente por Bekenstein y Hawking, a menos que se elija el valor del parámetro Immirzi para cancelar otra constante que surja en la derivación. Sin embargo, condujo al cálculo de correcciones de orden superior a la entropía y la radiación de los agujeros negros.

En función de las fluctuaciones del área del horizonte, un agujero negro cuántico exhibe desviaciones del espectro de Hawking que serían observables si se observaran los rayos X de la radiación de Hawking de los agujeros negros primordiales en evaporación. ^[56] Los efectos cuánticos se centran en un conjunto de frecuencias discretas y no mezcladas muy pronunciadas en la parte superior del espectro de radiación de Hawking. ^[57]

Estrella de Planck

En 2014, Carlo Rovelli y Francesca Vidotto propusieron que hay una estrella de Planck dentro de cada agujero negro. ^[58] Basada en la LQG, la teoría establece que a medida que las estrellas colapsan en agujeros negros, la densidad de energía alcanza la densidad de energía de Planck, lo que provoca una fuerza repulsiva que crea una estrella. Además, la existencia de una estrella de este tipo resolvería la paradoja del cortafuegos del agujero negro y la paradoja de la información del agujero negro .

Cosmología cuántica de bucles

La literatura popular y técnica hace extensas referencias al tema relacionado con la LQG de la cosmología cuántica de bucles. La LQC fue desarrollada principalmente por Martin Bojowald. Se popularizó en Scientific American por predecir un Big Bounce antes del Big Bang . ^[59] La cosmología cuántica de bucles (LQC) es un modelo de simetría reducida de la relatividad general clásica cuantizada utilizando métodos que imitan los de la gravedad cuántica de bucles (LQG) que predice un "puente cuántico" entre las ramas cosmológicas en contracción y expansión.

Los logros de LQC han sido la resolución de la singularidad del Big Bang , la predicción de un Gran Rebote y un mecanismo natural para la inflación .

Los modelos LQC comparten características de los LQG y por lo tanto son un modelo de juguete útil. Sin embargo, los resultados obtenidos están sujetos a la restricción habitual de que una teoría clásica truncada, luego cuantificada, podría no mostrar el verdadero comportamiento de la teoría completa debido a la supresión artificial de los grados de libertad que podrían tener grandes fluctuaciones cuánticas en la teoría completa. Se ha argumentado que la evitación de singularidades en LQC se realiza mediante mecanismos que solo están disponibles en estos modelos restrictivos y que la evitación de singularidades en la teoría completa aún se puede obtener, pero mediante una característica más sutil de LQG. ^{[60] [61]}

Fenomenología de la gravedad cuántica de bucles

Los efectos de la gravedad cuántica son difíciles de medir porque la longitud de Planck es muy pequeña. Sin embargo, recientemente, físicos como Jack Palmer han comenzado a considerar la posibilidad de medir los efectos de la gravedad cuántica principalmente a partir de observaciones astrofísicas y detectores de ondas gravitacionales. La energía de esas fluctuaciones a escalas tan pequeñas causa perturbaciones espaciales que son visibles a escalas superiores.

Amplitudes de dispersión independientes del fondo

La gravedad cuántica de bucles se formula en un lenguaje independiente del fondo. No se supone a priori ningún espacio-tiempo, sino que se construye a partir de los propios estados de la teoría; sin embargo, las amplitudes de dispersión se derivan de funciones puntuales ( función de correlación ) y estas, formuladas en la teoría cuántica de campos convencional, son funciones de puntos de un espacio-tiempo de fondo. La relación entre el formalismo independiente del fondo y el formalismo convencional de la teoría cuántica de campos en un espacio-tiempo dado no es obvia, y no es obvio cómo recuperar cantidades de baja energía a partir de la teoría completamente independiente del fondo. Uno quisiera derivar las funciones puntuales de la teoría a partir del formalismo independiente del fondo, para compararlas con la expansión perturbativa estándar de la relatividad general cuántica y, por lo tanto, verificar que la gravedad cuántica de bucles produce el límite de baja energía correcto. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Se ha sugerido una estrategia para abordar este problema; ^[62] mediante el estudio de la amplitud límite, es decir, una integral de trayectoria sobre una región finita del espacio-tiempo, vista como una función del valor límite del campo. ^{[63] [64]} En la teoría cuántica de campos convencional, esta amplitud límite está bien definida ^{[65] [66]} y codifica la información física de la teoría; lo hace también en la gravedad cuántica, pero de una manera totalmente independiente del fondo. ^[67] Una definición generalmente covariante de las funciones de punto puede entonces basarse en la idea de que la distancia entre puntos físicos -argumentos de la función de punto está determinada por el estado del campo gravitacional en el límite de la región del espacio-tiempo considerada. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

De esta manera se han logrado avances en el cálculo de amplitudes de dispersión independientes del fondo mediante el uso de espumas de espín. Se trata de una forma de extraer información física de la teoría. Se ha afirmado que se ha reproducido el comportamiento correcto de las amplitudes de dispersión de gravitones y que se ha recuperado la gravedad clásica. "Hemos calculado la ley de Newton partiendo de un mundo sin espacio ni tiempo". – Carlo Rovelli.

Gravitones, teoría de cuerdas, supersimetría, dimensiones extra en LQG

Algunas teorías cuánticas de la gravedad postulan un campo cuántico de espín 2 que está cuantizado, dando lugar a los gravitones. En la teoría de cuerdas, generalmente se comienza con excitaciones cuantizadas sobre un fondo fijo clásico. Por lo tanto, esta teoría se describe como dependiente del fondo. Las partículas como los fotones, así como los cambios en la geometría del espacio-tiempo (gravitones), se describen como excitaciones en la hoja del mundo de cuerdas. La dependencia del fondo de la teoría de cuerdas puede tener consecuencias físicas, como la determinación del número de generaciones de quarks. En cambio, la gravedad cuántica de bucles, al igual que la relatividad general, es manifiestamente independiente del fondo, eliminando el fondo requerido en la teoría de cuerdas. La gravedad cuántica de bucles, al igual que la teoría de cuerdas, también tiene como objetivo superar las divergencias no renormalizables de las teorías cuánticas de campos.

La LQG no introduce un fondo y excitaciones que viven en dicho fondo, por lo que la LQG no utiliza gravitones como bloques de construcción. En cambio, se espera que se pueda recuperar una especie de límite semiclásico o límite de campo débil donde algo como "gravitones" aparecerá nuevamente. En cambio, los gravitones juegan un papel clave en la teoría de cuerdas, donde se encuentran entre el primer nivel (sin masa) de excitaciones de una supercuerda.

La gravedad cuántica de bucles se diferencia de la teoría de cuerdas en que está formulada en 3 y 4 dimensiones y sin supersimetría ni dimensiones extra de Kaluza-Klein , mientras que la última requiere que ambas sean verdaderas. Hasta la fecha, no hay evidencia experimental que confirme las predicciones de la teoría de cuerdas sobre supersimetría y dimensiones extra de Kaluza-Klein. En un artículo de 2003 "A Dialog on Quantum Gravity" ^[68] , Carlo Rovelli considera que el hecho de que la gravedad cuántica de bucles esté formulada en 4 dimensiones y sin supersimetría es una fortaleza de la teoría, ya que representa la explicación más parsimoniosa , consistente con los resultados experimentales actuales, sobre su rival, la teoría de cuerdas/M. Los defensores de la teoría de cuerdas a menudo señalarán el hecho de que, entre otras cosas, reproduce de manera demostrable las teorías establecidas de la relatividad general y la teoría cuántica de campos en los límites apropiados, algo que la gravedad cuántica de bucles ha tenido dificultades para hacer. En ese sentido, la conexión de la teoría de cuerdas con la física establecida puede considerarse más confiable y menos especulativa, a nivel matemático. La gravedad cuántica de bucles no tiene nada que decir sobre la materia (fermiones) en el universo.

Dado que la teoría LQG se ha formulado en 4 dimensiones (con y sin supersimetría) y la teoría M requiere supersimetría y 11 dimensiones, no ha sido posible una comparación directa entre las dos. Es posible extender el formalismo LQG convencional a la supergravedad de dimensiones superiores, la relatividad general con supersimetría y las dimensiones extra de Kaluza-Klein si la evidencia experimental establece su existencia. Por lo tanto, sería deseable tener cuantificaciones de bucles de supergravedad de dimensiones superiores a nuestra disposición para comparar estos enfoques. Se han publicado una serie de artículos que intentan esto. ^{[69] [70] [71] [72] [73] [74] [ 75] [76]} Más recientemente, Thiemann (y ex alumnos) han avanzado en el cálculo de la entropía de agujeros negros para la supergravedad en dimensiones superiores. Será útil comparar estos resultados con los cálculos de supercuerdas correspondientes. ^{[77] [78]}

LQG y programas de investigación relacionados

Varios grupos de investigación han intentado combinar LQG con otros programas de investigación: Johannes Aastrup, Jesper M. Grimstrup et al. combinan la geometría no conmutativa con la gravedad cuántica canónica y las variables de Ashtekar, ^[79] Laurent Freidel, Simone Speziale, et al., la teoría de espinores y twistores con la gravedad cuántica de bucles, ^{[80] [81]} y Lee Smolin et al. con la gravedad entrópica de Verlinde y la gravedad de bucles. ^[82] Stephon Alexander, Antonino Marciano y Lee Smolin han intentado explicar los orígenes de la quiralidad de fuerza débil en términos de las variables de Ashketar, que describen la gravedad como quiral, ^[83] y LQG con los campos de la teoría de Yang-Mills ^[84] en cuatro dimensiones. Sundance Bilson-Thompson , Hackett et al., ^{[85] [86]} han intentado introducir el modelo estándar a través de los grados de libertad de LQG como una propiedad emergente (empleando la idea de subsistemas sin ruido , una noción introducida en una situación más general para sistemas restringidos por Fotini Markopoulou-Kalamara et al.) ^[87].

Además, LQG ha establecido comparaciones filosóficas con la triangulación dinámica causal ^[88] y la gravedad asintóticamente segura ^[89] y la espuma de espín con la teoría de campos de grupo y la correspondencia AdS/CFT ^[90] Smolin y Wen han sugerido combinar LQG con líquido de red de cuerdas , tensores y grafismo cuántico de Smolin y Fotini Markopoulou-Kalamara . Existe el enfoque de discretizaciones consistentes. Además, Pullin y Gambini proporcionan un marco para conectar los enfoques canónicos y de integral de trayectorias con la gravedad cuántica. Pueden ayudar a reconciliar los enfoques de espuma de espín y representación de bucles canónicos. Una investigación reciente de Chris Duston y Matilde Marcolli introduce el cambio de topología a través de redes de topspin ^{[91] .}

Problemas y comparaciones con enfoques alternativos

Algunos de los principales problemas sin resolver en física son teóricos, es decir, las teorías existentes parecen incapaces de explicar un determinado fenómeno observado o resultado experimental. Los demás son experimentales, es decir, existe una dificultad para crear un experimento que permita poner a prueba una teoría propuesta o investigar un fenómeno con mayor detalle.

Muchos de estos problemas se aplican a LQG, incluidos:

• ¿Es posible concretar la mecánica cuántica y la relatividad general como una teoría totalmente consistente (quizás como una teoría cuántica de campos)?
• ¿El espacio-tiempo es fundamentalmente continuo o discreto?
• ¿Una teoría consistente implicaría una fuerza mediada por un gravitón hipotético, o sería un producto de una estructura discreta del propio espacio-tiempo (como en la gravedad cuántica de bucles)?
• ¿Existen desviaciones de las predicciones de la relatividad general en escalas muy pequeñas o muy grandes o en otras circunstancias extremas que se derivan de una teoría de la gravedad cuántica?

La teoría de la gravedad cuántica lineal (LQG) es una posible solución al problema de la gravedad cuántica, al igual que la teoría de cuerdas . Sin embargo, existen diferencias sustanciales. Por ejemplo, la teoría de cuerdas también aborda la unificación , la comprensión de todas las fuerzas y partículas conocidas como manifestaciones de una única entidad, postulando dimensiones adicionales y partículas y simetrías adicionales no observadas hasta ahora. Por el contrario, la LQG se basa únicamente en la teoría cuántica y la relatividad general y su alcance se limita a la comprensión de los aspectos cuánticos de la interacción gravitatoria. Por otro lado, las consecuencias de la LQG son radicales, porque cambian fundamentalmente la naturaleza del espacio y el tiempo y proporcionan una imagen física y matemática tentativa pero detallada del espacio-tiempo cuántico.

En la actualidad, no se ha demostrado que exista un límite semiclásico que recupere la relatividad general. Esto significa que sigue sin demostrarse que la descripción de LQG del espacio-tiempo en la escala de Planck tenga el límite continuo correcto (descrito por la relatividad general con posibles correcciones cuánticas). Específicamente, la dinámica de la teoría está codificada en la restricción hamiltoniana , pero no hay ningún hamiltoniano candidato . ^[92] Otros problemas técnicos incluyen encontrar el cierre fuera de capa del álgebra de restricción y el espacio vectorial del producto interno físico , el acoplamiento a los campos de materia de la teoría cuántica de campos , el destino de la renormalización del gravitón en la teoría de perturbaciones que conduce a la divergencia ultravioleta más allá de los 2 bucles (ver diagrama de Feynman de un bucle en el diagrama de Feynman ). ^[92]

Si bien ha habido una propuesta relacionada con la observación de singularidades desnudas , ^[93] y la relatividad doblemente especial como parte de un programa llamado cosmología cuántica de bucles , no hay ninguna observación experimental para la cual la gravedad cuántica de bucles haga una predicción que no esté hecha por el Modelo Estándar o la relatividad general (un problema que afecta a todas las teorías actuales de la gravedad cuántica). Debido a la falta mencionada anteriormente de un límite semiclásico, la LQG aún no ha reproducido siquiera las predicciones hechas por la relatividad general.

Una crítica alternativa es que la relatividad general puede ser una teoría de campo efectiva y, por lo tanto, la cuantificación ignora los grados fundamentales de libertad.

El satélite INTEGRAL de la ESA midió la polarización de fotones de diferentes longitudes de onda y logró establecer un límite en la granularidad del espacio ^[94] que es inferior a 10 ⁻⁴⁸ m o 13 órdenes de magnitud por debajo de la escala de Planck. ^{[ aclaración necesaria ]}

Véase también

• Problema del tiempo  – Conflicto conceptual entre la relatividad general y la mecánica cuántica
• Variables de Ashtekar  : variables utilizadas en la relatividad general
• C*-álgebra  : espacio vectorial complejo topológico
• Teoría de categorías  – Teoría general de estructuras matemáticas
• Relatividad doblemente especial  – Generalización de la relatividad especial
• Construcción de Gelfand–Naimark–Segal  : correspondencia en el análisis funcional
• Teoría de campos grupales  : teoría cuántica de campos con una variedad base de grupo de Lie
• Álgebra de Heyting  – Concepto matemático
• Restricción hamiltoniana  : restricción clave en algunas teorías que admiten formulaciones hamiltonianas
• Restricción hamiltoniana de LQG  – Restricción en gravedad cuántica de bucles
• Parámetro de Immirzi  : coeficiente numérico en la gravedad cuántica de bucles
• Invariante de nudo  : Función de un nudo que toma el mismo valor para nudos equivalentes
• Estado de Kodama  : solución de energía cero para la ecuación de Schrödinger en la gravedad cuántica de bucles
• Invariancia de Lorentz en la gravedad cuántica de bucles  – Aspecto de la gravedad cuántica de bucles
• Geometría no conmutativa  – Rama de las matemáticas
• Cálculo de Regge  : formalismo para producir aproximaciones simples de espacio-tiemposPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Nudo S  : clase de equivalencia de redes de espín
• Espuma de espín  : estructura topológica utilizada en una descripción de la gravedad cuántica
• Líquido de red de cuerdas  : modelo de física de materia condensada que involucra solo bucles cerrados
• Teoría de cuerdas  – Teoría de la estructura subatómica
• Supersimetría  – Simetría entre bosones y fermiones
• Teoría de topos  – Categoría matemática
• Teoría de Einstein-Cartan  : teoría clásica de la gravitación

Notas

Citas

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Obras citadas

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• Speziale, Simone; Wieland, Wolfgang (2012). "La estructura twistorial de las amplitudes de transición de la gravedad en bucle". Physical Review D . 86 (12): 124023. arXiv : 1207.6348 . Código Bibliográfico :2012PhRvD..86l4023S. doi :10.1103/PhysRevD.86.124023. S2CID  59406729.
• Thiemann, Thomas (1996). "Formulación libre de anomalías de la gravedad cuántica lorentziana no perturbativa de cuatro dimensiones". Physics Letters B . 380 (3–4): 257–264. arXiv : gr-qc/9606088 . Código Bibliográfico :1996PhLB..380..257T. doi :10.1016/0370-2693(96)00532-1. S2CID  8691449.
• Thiemann, Thomas (2003). "Conferencias sobre gravedad cuántica de bucles". Gravedad cuántica . Apuntes de clases de física . Vol. 631. págs. 41–135. arXiv : gr-qc/0210094 . Bibcode :2003LNP...631...41T. doi :10.1007/978-3-540-45230-0_3. ISBN : 978-3-540-40810-9.S2CID119151491  .​
• Thiemann, Thomas (2006a). "El Proyecto Phoenix: Programa maestro de restricciones para la gravedad cuántica de bucles". Gravedad clásica y cuántica . 23 (7): 2211–2247. arXiv : gr-qc/0305080 . Código Bibliográfico :2006CQGra..23.2211T. doi :10.1088/0264-9381/23/7/002. S2CID  16304158.
• Thiemann, Thomas (2006b). "Dinámica cuántica del espín: VIII. La restricción maestra". Gravedad clásica y cuántica . 23 (7): 2249–2265. arXiv : gr-qc/0510011 . Código Bibliográfico :2006CQGra..23.2249T. doi :10.1088/0264-9381/23/7/003. S2CID  29095312.
• Thiemann, Thomas (2008). Relatividad general canónica moderna . Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press . Sección 10.6. ISBN 978-0-521-74187-3.
• Tipler, P.; Llewellyn, R. (2008). Física moderna (5.ª ed.). WH Freeman and Co. , págs. 160-161. ISBN 978-0-7167-7550-8.

Lectura adicional

• Libros populares:
  • Rodolfo Gambini y Jorge Pullin , Gravedad cuántica de bucles para todos, World Scientific , 2020.
  • Carlo Rovelli , "La realidad no es lo que parece", Penguin, 2016.
  • Martin Bojowald , Érase una vez antes del tiempo: Una historia completa del universo 2010.
  • Carlo Rovelli , ¿Qué es el tiempo? ¿Qué es el espacio? , Di Renzo Editore, Roma, 2006.
  • Lee Smolin , Tres caminos hacia la gravedad cuántica , 2001.
• Artículos de revistas:
  • Lee Smolin , "Átomos del espacio y el tiempo", Scientific American , enero de 2004.
  • Martin Bojowald , "Siguiendo el rebote del universo", Scientific American , octubre de 2008.
• Obras introductorias, expositivas o críticas más fáciles:
  • Abhay Ashtekar , Gravedad y lo cuántico , impresión electrónica disponible como gr-qc/0410054 (2004).
  • John C. Baez y Javier P. Muniain, Campos de calibración, nudos y gravedad cuántica , World Scientific (1994).
  • Carlo Rovelli , Un diálogo sobre la gravedad cuántica , edición electrónica disponible como hep-th/0310077 (2003).
  • Carlo Rovelli y Francesca Vidotto , Covariant Loop Quantum Gravity , Cambridge (2014); borrador disponible en línea.
• Obras introductorias/expositivas más avanzadas:
  • Carlo Rovelli , Quantum Gravity , Cambridge University Press (2004); borrador disponible en línea.
  • Abhay Ashtekar , Nuevas perspectivas en la gravedad canónica , Bibliopolis (1988).
  • Abhay Ashtekar , Conferencias sobre gravedad canónica no perturbativa , World Scientific (1991).
  • Rodolfo Gambini y Jorge Pullin , Bucles, nudos, teorías de calibre y gravedad cuántica , Cambridge University Press (1996).
  • T. Thiemann La LQG – Cuerda: Cuantización de la gravedad cuántica de bucles de la teoría de cuerdas (2004).
  • Celada, Mariano; Gonzalez, Diego; Montesinos, Merced (2016). "Gravedad BF". Gravedad Clásica y Cuántica . 33 (21): 213001. arXiv : 1610.02020 . Bibcode :2016CQGra..33u3001C. doi :10.1088/0264-9381/33/21/213001. S2CID  119605468.
• Reseñas temáticas
  • Rovelli, Carlo (2011). "Conferencias de Zakopane sobre la gravedad de bucles". arXiv : 1102.3660 [gr-qc].
  • Rovelli, Carlo (1998). "Gravedad cuántica de bucles". Living Reviews in Relativity . 1 (1): 1. arXiv : gr-qc/9710008 . Bibcode :1998LRR.....1....1R. doi : 10.12942/lrr-1998-1 . PMC  5567241 . PMID  28937180.
  • Thiemann, Thomas (2003). "Conferencias sobre gravedad cuántica de bucles". Gravedad cuántica . Apuntes de clases de física . Vol. 631. págs. 41–135. arXiv : gr-qc/0210094 . Bibcode :2003LNP...631...41T. doi :10.1007/978-3-540-45230-0_3. ISBN : 978-3-540-40810-9.S2CID119151491  .​
  • Ashtekar, Abhay ; Lewandowski, Jerzy (2004). "Gravedad cuántica independiente del fondo: un informe de situación". Gravedad clásica y cuántica . 21 (15): R53–R152. arXiv : gr-qc/0404018 . Código Bibliográfico :2004CQGra..21R..53A. doi :10.1088/0264-9381/21/15/R01. S2CID  119175535.
  • Carlo Rovelli y Marcus Gaul, Gravedad cuántica de bucles y el significado de la invariancia del difeomorfismo , versión impresa disponible como gr-qc/9910079.
  • Lee Smolin , El caso de la independencia de fondo , versión impresa disponible como hep-th/0507235.
  • Alejandro Corichi , Loop Quantum Geometry: A primer ( Geometría cuántica de bucles: una introducción), e-print disponible como Loop Quantum Geometry: A primer (Geometría cuántica de bucles: una introducción).
  • Alejandro Pérez, Introducción a la gravedad cuántica de bucles y espumas de espín , e-print disponible como Introducción a la gravedad cuántica de bucles y espumas de espín.
• Artículos de investigación fundamentales:
  • Roger Penrose , Momento angular: una aproximación al espacio-tiempo combinatorio en Teoría cuántica y más allá , ed. Ted Bastin, Cambridge University Press, 1971.
  • Rovelli, Carlo ; Smolin, Lee (1988). "Teoría de nudos y gravedad cuántica". Physical Review Letters . 61 (10): 1155–1158. Bibcode :1988PhRvL..61.1155R. doi :10.1103/PhysRevLett.61.1155. PMID  10038716.
  • Rovelli, Carlo ; Smolin, Lee (1990). "Representación del espacio de bucles de la relatividad general cuántica". Física nuclear . B331 (1): 80–152. Código Bibliográfico :1990NuPhB.331...80R. doi :10.1016/0550-3213(90)90019-a.
  • Carlo Rovelli y Lee Smolin , Discreción de área y volumen en gravedad cuántica , Nucl. Phys., B442 (1995) 593–622, versión impresa disponible como arXiv : gr-qc/9411005.
  • Thiemann, Thomas (2007). "Gravedad cuántica de bucles: una visión desde dentro". Approaches to Fundamental Physics . Lecture Notes in Physics . Vol. 721. págs. 185–263. arXiv : hep-th/0608210 . Bibcode :2007LNP...721..185T. doi :10.1007/978-3-540-71117-9_10. ISBN 978-3-540-71115-5.S2CID119572847  .​

Enlaces externos

• Introducción a la Gravedad Cuántica de Bucles Clases online de Carlo Rovelli
• Gravedad cuántica de bucle covariante por Carlo Rovelli y Francesca Vidotto
• "Gravedad cuántica de bucles" de Carlo Rovelli Physics World, noviembre de 2003
• Espuma cuántica y bucle de gravedad cuántica
• Abhay Ashtekar: Artículos semipopulares. Algunos artículos populares excelentes, adecuados para principiantes, sobre el espacio, el tiempo, la RG y la LQG
• Gravedad cuántica de bucles: Lee Smolin
• Conferencias en línea sobre gravedad cuántica de bucles por Lee Smolin
• Redes de espín, espumas de espín y gravedad cuántica de bucles
• Revista Wired, Noticias: Más allá de la teoría de cuerdas
• El número especial de abril de 2006 de Scientific American, A Matter of Time, incluye el artículo de Lee Smolin LQG Átomos del espacio y el tiempo
• Septiembre de 2006, The Economist, artículo Looping the loop
• Telescopio espacial de rayos gamma de gran área: el telescopio espacial de rayos gamma Fermi Archivado el 18 de junio de 2008 en Wayback Machine
• Zenón se encuentra con la ciencia moderna. Artículo de Acta Physica Polonica B de ZK Silagadze.
• ¿El universo anterior al Big Bang dejó su huella en el cielo? Según un modelo basado en la teoría de la "gravedad cuántica de bucles", un universo padre que existió antes del nuestro podría haber dejado una huella ( New Scientist , 10 de abril de 2008)
• O'Dowd, Matt (15 de octubre de 2019). "Explicación de la gravedad cuántica de bucles". PBS Space Time – vía YouTube .