Restricción hamiltoniana de LQG

Restricción en la gravedad cuántica de bucles

En la formulación ADM de la relatividad general, uno divide el espacio-tiempo en porciones espaciales y tiempo, las variables básicas se consideran la métrica inducida , , en la porción espacial (la función de distancia inducida en la porción espacial por la métrica del espacio-tiempo), y su conjugado variable de impulso relacionada con la curvatura extrínseca, (esto nos dice cómo se curva el corte espacial con respecto al espacio-tiempo y es una medida de cómo evoluciona la métrica inducida en el tiempo). ^[1] Estas son las coordenadas canónicas métricas . ${\displaystyle q_{ab}(x)}$ ${\displaystyle K^{ab}(x)}$

Dinámicas como la evolución temporal de los campos están controladas por la restricción hamiltoniana .

La identidad de la restricción hamiltoniana es una cuestión abierta importante en la gravedad cuántica , al igual que la extracción de observables físicos de cualquier restricción específica de este tipo.

En 1986, Abhay Ashtekar introdujo un nuevo conjunto de variables canónicas, las variables Ashtekar, para representar una forma inusual de reescribir las variables canónicas métricas en cortes espaciales tridimensionales en términos de un campo calibre SU(2) y su variable complementaria. ^[2] El hamiltoniano se simplificó mucho en esta reformulación. Esto condujo a la representación en bucle de la relatividad general cuántica ^[3] y, a su vez, en bucle de la gravedad cuántica .

Dentro de la representación de la gravedad cuántica en bucle, Thomas Thiemann pudo formular un operador matemáticamente riguroso como propuesta como tal restricción. ^[4] Aunque este operador define una teoría cuántica completa y consistente, se han planteado dudas sobre la realidad física de esta teoría debido a inconsistencias con la relatividad general clásica (el álgebra de restricciones cuánticas se cierra, pero no es isomorfa al álgebra de restricciones clásica de GR, que se considera una prueba circunstancial de inconsistencias y definitivamente no una prueba de inconsistencias), por lo que se han propuesto variantes.

Expresiones clásicas para el hamiltoniano.

formulación métrica

La idea era cuantificar las variables canónicas y , convirtiéndolas en operadores que actúan sobre funciones de onda en el espacio de 3 métricas, y luego cuantificar el hamiltoniano (y otras restricciones). Sin embargo, este programa pronto se consideró tremendamente difícil por varias razones, una de las cuales es la naturaleza no polinómica de la restricción hamiltoniana: ${\displaystyle q_{ab}}$ ${\displaystyle \pi ^{ab}={\sqrt {q}}(K^{ab}-q^{ab}K_{c}^{c})}$

${\displaystyle H={\sqrt {\det(q)}}(K_{ab}K^{ab}-(K_{a}^{a})^{2}-\;^{3}R)}$

¿Dónde está la curvatura escalar de las tres métricas ? Al ser una expresión no polinómica en las variables canónicas y sus derivadas es muy difícil promoverla a operador cuántico. ${\displaystyle \;^{3}R}$ ${\displaystyle q_{ab}(x)}$

Expresión usando variables Ashtekar

Las variables de configuración de las variables de Ashtekar se comportan como un campo o conexión de calibre . Su impulso canónicamente conjugado es el campo o tríada "eléctrico" densitizado (densizado como ). Su conexión con la gravedad es que las tríadas densitizadas se pueden utilizar para reconstruir la métrica espacial mediante ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$

${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}}$.

Las tríadas densitizadas no son únicas y de hecho se puede realizar una rotación local en el espacio con respecto a los índices internos . En realidad, este es el origen de la invariancia de calibre. La conexión se puede utilizar para reconstruir la curvatura extrínseca. La relación está dada por ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle SU(2)}$

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$

donde está relacionado con la conexión de espín , , por y . ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{a\;\;i}^{\;\;j}}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$ ${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

En términos de variables Ashtekar , la expresión clásica de la restricción viene dada por

${\displaystyle H={\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$.

donde tensor de intensidad de campo del campo de calibre . Debido al factor, este no es polinomio en las variables de Ashtekar. Ya que imponemos la condición ${\displaystyle F_{ab}^{k}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle H=0}$,

en su lugar, podríamos considerar el hamiltoniano densitizado : ${\displaystyle {\tilde {H}}}$

${\displaystyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H=\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}=0}$.

Este hamiltoniano es ahora polinomio en las variables de Ashtekar. Este desarrollo generó nuevas esperanzas para el programa canónico de gravedad cuántica. ^[5] Aunque las variables de Ashtekar tienen la virtud de simplificar el hamiltoniano, tiene el problema de que las variables se convierten en números complejos. Cuando se cuantifica la teoría, es una tarea difícil asegurar que se recupere la relatividad general real en contraposición a la relatividad general compleja. También existen serias dificultades para convertir el hamiltoniano densificado en operador cuántico.

Una forma de abordar el problema de las condiciones de realidad era señalar que si tomamos la firma como , es decir, euclidiana en lugar de lorentziana, entonces se puede conservar la forma simple del hamiltoniano para variables reales. Se puede entonces definir lo que se llama rotación de Wick generalizada para recuperar la teoría de Lorentz. ^[6] Es una transformación de Wick en el espacio de fase y no tiene nada que ver con la continuación analítica del parámetro tiempo . ${\displaystyle (+,+,+,+)}$ ${\displaystyle t}$

Expresión para formulación real de variables Ashtekar.

Thomas Thiemann pudo abordar ambos problemas mencionados anteriormente. ^[4] Usó la conexión real.

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}}$

En variables reales de Ashtekar, el hamiltoniano completo es

${\displaystyle H=-\zeta {\frac {\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}}{\sqrt {\det(q)}}}+2{\zeta \beta ^{2}-1 \over \beta ^{2}}{\frac {({\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}-{\tilde {E}}_{j}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b})}{\sqrt {\det(q)}}}(A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i})(A_{b}^{j}-\Gamma _{b}^{j})=H_{E}+H'}$.

donde la constante es el parámetro de Barbero-Immirzi . ^[7] La ​​constante es -1 para la firma lorentziana y +1 para la firma euclidiana. Tienen una relación complicada con las tríadas desitizadas y causan serios problemas durante la cuantificación. Se puede considerar que las variables de Ashtekar eligen hacer que el segundo término más complicado desaparezca (el primer término se denota porque para la teoría euclidiana este término permanece para la elección real de ). También todavía tenemos el problema del factor. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle \beta =i}$ ${\displaystyle H_{E}}$ ${\displaystyle \beta =\pm 1}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

Thiemann pudo hacerlo funcionar de verdad . Primero podría simplificar lo problemático usando la identidad. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle \{A_{c}^{k},V\}={\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$

¿Dónde está el volumen? ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=\int d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int d^{3}x{\sqrt {|{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}\epsilon ^{ijk}\epsilon _{abc}|}}}$.

El primer término de la restricción hamiltoniana se convierte en

${\displaystyle H_{E}=\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}{\tilde {\epsilon }}^{abc}}$

al usar la identidad de Thiemann. Este soporte de Poisson se reemplaza por un conmutador tras la cuantificación. Resulta que se puede utilizar un truco similar para detectar el segundo término. ¿Por qué están dadas por las tríadas densitizadas ? Surge de la condición de compatibilidad. ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

${\displaystyle D_{a}E_{b}^{i}=0}$.

Podemos resolver esto de la misma manera que se puede calcular la conexión Levi-Civita a partir de la ecuación ; rotando los distintos índices y luego sumándolos y restándolos (consulte el artículo Conexión de giro para obtener más detalles sobre la derivación, aunque allí usamos una notación ligeramente diferente). Luego reescribimos esto en términos de la tríada densitizada usando eso . El resultado es complicado y no lineal, pero es una función homogénea de orden cero, ${\displaystyle \nabla _{c}g_{ab}=0}$ ${\displaystyle \det({\tilde {E}})=|\det(E)|^{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}={1 \over 2}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}[{\tilde {E}}_{a,b}^{j}-{\tilde {E}}_{b,a}^{j}+{\tilde {E}}_{j}^{c}{\tilde {E}}_{a}^{l}{\tilde {E}}_{c,b}^{l}]+{1 \over 4}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}{\Big [}2{\tilde {E}}_{a}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,b} \over \det({\tilde {E}})}-{\tilde {E}}_{b}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,a} \over \det({\tilde {E}})}{\Big ]}}$.

Para evitar los problemas introducidos por esta complicada relación, Thiemann primero define la cantidad invariante calibre de Gauss.

${\displaystyle K=\int d^{3}xK_{a}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{a}}$

donde , y señala que ${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle K_{a}^{i}=\{A_{a}^{i},K\}}$.

(esto se debe a que surge del hecho de que es el generador de la transformación canónica de reescalamiento constante, y es una función homogénea de orden cero). Entonces podemos escribir ${\displaystyle \{\Gamma _{a}^{i},K\}=0}$ ${\displaystyle \beta K}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}\mapsto {\tilde {E}}_{i}^{a}/\beta }$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i}=\beta K_{a}^{i}=\beta \{A_{a}^{i},K\}}$

y como tal encontrar una expresión en términos de la variable de configuración y para el segundo término del hamiltoniano ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle H'=\epsilon ^{abc}\epsilon _{ijk}\{A_{a}^{i},K\}\{A_{b}^{j},K\}\{A_{c}^{k},V\}}$.

¿Por qué es más fácil cuantificar ? Esto se debe a que se puede reescribir en términos de cantidades que ya sabemos cuantificar. Específicamente se puede reescribir como ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=-\{V,\int d^{3}xH_{E}\}}$

donde hemos utilizado que la traza densitizada integrada de la curvatura extrínseca es la "derivada temporal del volumen".

Acoplamiento a la materia

Acoplamiento al campo escalar

El lagrangiano para un campo escalar en el espacio-tiempo curvo

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -V(\varphi ))}$.

¿Dónde están los índices del espacio-tiempo? Definimos el momento conjugado del campo escalar con el habitual , el hamiltoniano se puede reescribir como, ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle {\tilde {\pi }}=\delta L/\delta {\dot {\varphi }}}$

${\displaystyle H=\int d^{3}xN\left({{\tilde {\pi }}^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}}+{\sqrt {\det(q)}}(q^{ab}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +V(\varphi ))\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$,

donde y son el lapso y el cambio. En las variables Ashtekar esto dice: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{a}}$

${\displaystyle H=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$

Como de costumbre, la restricción de difeomorfismo espacial (manchada) está asociada con la función de desplazamiento y el hamiltoniano (manchado) está asociado con la función de lapso . Entonces simplemente leemos el difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana, ${\displaystyle N^{a}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle C({\vec {N}})_{\varphi }=\int d^{3}xN^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$

${\displaystyle H(N)_{\varphi }=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)}$.

Estos deben sumarse (multiplicarse por ) al difeomorfismo espacial y a la restricción hamiltoniana del campo gravitacional, respectivamente. Esto representa el acoplamiento de la materia escalar a la gravedad. ${\displaystyle 8\pi G\beta }$

Acoplamiento al campo fermiónico

Existen problemas para acoplar la gravedad a los campos de espinores : no existen representaciones de espinores de dimensión finita del grupo de covarianza general. Sin embargo, por supuesto existen representaciones espinoriales del grupo de Lorentz . Este hecho se utiliza empleando campos de tétrada que describen un espacio tangente plano en cada punto del espacio-tiempo. Las matrices de Dirac se contraen sobre vierbiens, ${\displaystyle \gamma ^{I}}$

${\displaystyle \gamma ^{I}e_{I}^{a}(x)=\gamma ^{a}(x)}$.

Deseamos construir una ecuación de Dirac generalmente covariante. Bajo un espacio tangente plano, la transformación de Lorentz transforma el espinor como

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\epsilon ^{IJ}(x)\sigma _{IJ}}\psi }$

Hemos introducido transformaciones locales de Lorentz en un espacio plano tangente, por lo que es una función del espacio-tiempo. Esto significa que la derivada parcial de un espinor ya no es un tensor genuino. Como es habitual, se introduce un campo de conexión que nos permite calibrar el grupo de Lorentz. La derivada covariante definida con la conexión de espín es, ${\displaystyle \epsilon _{IJ}}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }^{IJ}}$

${\displaystyle \nabla _{a}\psi =(\partial _{a}-{i \over 4}\omega _{a}^{IJ}\sigma _{IJ})\psi }$,

y es un tensor genuino y la ecuación de Dirac se reescribe como

${\displaystyle (i\gamma ^{a}\nabla _{a}-m)\psi =0}$.

La acción de Dirac en forma covariante es

${\displaystyle S_{Dirac}={1 \over 2}\int _{\mathcal {M}}d^{4}x{\sqrt {-det(g)}}[{\overline {\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\nabla _{a}\Psi -{\overline {\nabla _{a}\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\Psi ]}$

donde es un biespinor de Dirac y es su conjugado. La derivada covariante se define para aniquilar la tétrada . ${\displaystyle \Psi =(\psi ,\eta )}$ ${\displaystyle {\overline {\Psi }}=(\Psi ^{*})^{T}\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \nabla _{a}}$ ${\displaystyle E_{a}^{I}}$

Acoplamiento al campo electromagnético

La acción de un campo electromagnético en el espacio-tiempo curvo es

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\mathcal {F}}_{\mu \nu }{\mathcal {F}}_{\alpha \beta })}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mu \nu }=\nabla ^{\mu }{\mathcal {A}}^{\nu }-\nabla ^{\nu }{\mathcal {A}}^{\mu }}$

es el tensor de intensidad de campo, en componentes

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{0a}={\mathcal {E}}^{a}}$

y ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{ab}=\epsilon ^{abc}B_{c}}$

donde el campo eléctrico está dado por

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{a}=-\nabla _{a}{\mathcal {A}}_{0}-{\dot {\mathcal {A}}}_{a}}$

y el campo magnético es.

${\displaystyle B^{a}=\epsilon ^{abc}\nabla _{b}{\mathcal {A}}_{c}}$.

El análisis clásico con la acción de Maxwell seguido de una formulación canónica utilizando la parametrización del indicador de tiempo da como resultado:

${\displaystyle H(N,N^{a},\Lambda )={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}xN{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{b}+B^{a}B^{b}]+N^{a}{\mathcal {F}}_{ab}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}+\Lambda \nabla _{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}}$

${\displaystyle B^{a}=\epsilon ^{abc}B_{c}\qquad \qquad {\tilde {\mathcal {E}}}^{a}=-{\sqrt {q}}N{\mathcal {F}}^{0a}}$

siendo y siendo las coordenadas canónicas. ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {E}}}^{a}}$

Acoplamiento al campo Yang-Mills

La acción para un campo Yang-Mills para algún grupo de calibre compacto en el espacio-tiempo curvo es ${\displaystyle G}$

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\mathcal {F}}_{\mu \nu }^{I}{\mathcal {F}}_{\alpha \beta }^{J}\delta _{IJ})}$

¿Dónde está la curvatura de alguna conexión? Para el modelo estándar . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G-}$ ${\displaystyle U(1)\times SU(2)\times SU(3)}$

${\displaystyle H={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}x{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{b}+B_{I}^{a}B_{I}^{b}]}$

Hamiltoniano total de materia acoplada a la gravedad.

La dinámica del sistema acoplado gravedad-materia se define simplemente añadiendo términos que definen la dinámica de la materia al hamiltoniano gravitacional. El hamiltoniano completo se describe por

${\displaystyle H=H_{Einstein}+H_{Maxwell}+H_{Yang-Mills}+H_{Dirac}+H_{Higgs}}$.

Restricción hamiltoniana cuántica

En esta sección discutimos la cuantificación del hamiltoniano de la gravedad pura, es decir, en ausencia de materia. El caso de inclusión de materia se analiza en la siguiente sección.

Las restricciones en su forma primitiva son bastante singulares y, por lo tanto, deberían "mancharse" mediante funciones de prueba apropiadas. El hamiltoniano se escribe como

${\displaystyle H(N)=\int d^{3}xN\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}\epsilon ^{abc}}$.

Por simplicidad, solo estamos considerando la parte "euclidiana" de la restricción hamiltoniana; la extensión a la restricción completa se puede encontrar en la literatura. En realidad, hay muchas opciones diferentes para funciones, por lo que uno termina con restricciones hamiltonianas (manchadas). Exigir que todos desaparezcan equivale a la descripción original.

La representación del bucle

El bucle de Wilson se define como

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$

donde indica una ruta de ordenamiento de modo que los factores para valores más pequeños de aparezcan a la izquierda, y donde satisfacen el álgebra, ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle su(2)}$

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}}$.

Es fácil ver a partir de esto que,

${\displaystyle Tr(T^{i}T^{j})-Tr(T^{j}T^{i})=2i\epsilon ^{ijk}Tr(T^{k})}$.

implica que . ${\displaystyle Tr(T^{i})=0}$

Los bucles de Wilson no son independientes entre sí y, de hecho, ciertas combinaciones lineales de ellos llamadas estados de red de espín forman una base ortonormal. Como las funciones de la red de espín forman una base, podemos expandir formalmente cualquier función invariante de calibre de Gauss como,

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]s_{\gamma }[A]}$.

Esto se llama transformación de bucle inverso. La transformación del bucle está dada por

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]s_{\gamma }[A]}$

y es análogo a lo que uno hace cuando pasa a la representación del momento en la mecánica cuántica,

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx)}$.

La transformación de bucle define la representación del bucle. Dado un operador en la representación de la conexión, ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]}$,

definimos por la transformación de bucle, ${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]s_{\gamma }[A]}$.

Esto implica que uno debe definir el operador correspondiente en la representación del bucle como ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]s_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A]}$,

o

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }s_{\gamma }[A])\Psi [A]}$,

donde nos referimos al operador pero con el orden de factor inverso. Evaluamos la acción de este operador en la red de espín como un cálculo en la representación de la conexión y reorganizamos el resultado como una manipulación puramente en términos de bucles (hay que recordar que al considerar la acción en la red de espín uno debe elegir el operador que desea transformar con el orden de factor opuesto al elegido para su acción sobre las funciones de onda ). Esto da el significado físico del operador . Por ejemplo, si fuera un difeomorfismo espacial, entonces se puede considerar que esto mantiene el campo de conexión del lugar donde está mientras se realiza un difeomorfismo espacial . Por tanto, el significado de es un difeomorfismo espacial sobre el argumento de . ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \Psi [A]}$ ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s_{\gamma }[A]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

El operador de holonomía en la representación del bucle es el operador de multiplicación,

${\displaystyle {\hat {h}}_{\gamma }\Psi [\eta ]=h_{\gamma }\Psi [\eta ]}$

Promoción de la restricción hamiltoniana a un operador cuántico

Promovemos la restricción hamiltoniana a un operador cuántico en la representación del bucle. Se introduce un procedimiento de regularización reticular. suponemos que el espacio se ha dividido en tetraedros . Se construye una expresión tal que el límite en el que los tetraedros se reducen de tamaño se aproxima a la expresión de la restricción hamiltoniana. ${\displaystyle \Delta }$

Para cada tetraedro, elija un vértice y llame a . Sean tres aristas que terminen en . Ahora construimos un bucle. ${\displaystyle v(\Delta )}$ ${\displaystyle s_{i}(\Delta )}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle v(\Delta )}$

${\displaystyle \alpha _{ij}=s_{i}(\Delta )\cdot s_{ij}(\Delta )\cdot s_{j}(\Delta )^{-1}}$

moviéndose luego a lo largo de la línea que une los puntos y que no lo son (que hemos denotado ) y luego regresando a lo largo . la holonomía ${\displaystyle s_{i}(\Delta )}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle v(\Delta )}$ ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle v(\Delta )}$ ${\displaystyle s_{j}}$

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}\approx I-(s_{k}^{a})A_{a}^{i}T_{i}}$

a lo largo de una línea en el límite el tetraedro se contrae se aproxima a la conexión a través de

${\displaystyle \lim _{\Delta \rightarrow v(\Delta )}h_{s_{k}}=I-A_{c}s_{k}^{c}}$

donde es un vector en la dirección del borde . Se puede demostrar que ${\displaystyle s_{k}^{c}}$ ${\displaystyle s_{k}}$

${\displaystyle \lim _{\Delta v\rightarrow (\Delta )}h_{\alpha _{ij}}=I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b}}$.

(Esto expresa el hecho de que el tensor de intensidad de campo, o curvatura, mide la holonomía alrededor de "bucles infinitesimales"). Nos vemos llevados a intentar

${\displaystyle H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}h_{\alpha _{ij}}h_{s_{k}}\{h_{s_{k}}^{-1},V\}{\big )}}$

donde la suma es sobre todos los tetraedros . Sustituyendo las holonomías, ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}(I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b})(I-A_{c}s_{k}^{c})\{(I+A_{d}s_{k}^{d}),V\}{\big )}}$.

La identidad tendrá un paréntesis de Poisson que desaparecerá con el volumen, por lo que la única contribución vendrá de la conexión. Como el corchete de Poisson ya es proporcional, sólo contribuye la parte de identidad de la holonomía fuera del corchete. Finalmente tenemos que la holonomía alrededor ; el término de identidad no contribuye ya que el corchete de Poisson es proporcional a una matriz de Pauli (ya que y la matriz constante se puede tomar fuera del corchete de Poisson) y se está tomando la traza. El término restante de produce el . Las tres longitudes que aparecen se combinan con la suma en el límite para producir una integral. ${\displaystyle s_{k}^{c}}$ ${\displaystyle h_{s_{k}}}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle A_{c}=A_{c}^{i}T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle h_{\alpha _{ij}}}$ ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle s}$

Esta expresión se puede promover inmediatamente a un operador en la representación del bucle, donde tanto las holonomías como el volumen se promueven a operadores bien definidos.

La triangulación se elige de manera que se adapte al estado de la red de espín en el que se actúa eligiendo los vértices y las líneas de forma adecuada. Habrá muchas líneas y vértices de la triangulación que no corresponden a líneas y vértices de la red de espín cuando se toma el límite. Debido a la presencia del volumen, la restricción hamiltoniana sólo contribuirá cuando haya al menos tres líneas no coplanares de un vértice.

Aquí sólo hemos considerado la acción de la restricción hamiltoniana sobre los vértices trivalentes. Calcular la acción en los vértices de valencia más altos es más complicado. Remitimos al lector al artículo de Borissov, De Pietri y Rovelli. ^[8]

Una teoría finita

El hamiltoniano no es invariante bajo difeomorfismos espaciales y por tanto su acción sólo puede definirse en el espacio cinemático. Se puede transferir su acción a estados invariantes de difeomorfismo. Como veremos, esto tiene implicaciones sobre dónde se agrega exactamente la nueva línea. Considere un estado tal que si las redes de espín y son difeomorfas entre sí. Tal estado no está en el espacio cinemático sino que pertenece al espacio dual más grande de un subespacio denso del espacio cinemático. Luego definimos la acción de de la siguiente manera, ${\displaystyle \langle \Psi |}$ ${\displaystyle \langle \Psi ,s\rangle =\langle \Psi ,s'\rangle }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(N)}$

${\displaystyle \langle {\hat {H}}(N)\Psi ,s\rangle =\lim _{\Delta \rightarrow v}\sum _{\Delta }\langle \Psi ,{\hat {H}}_{\Delta }(N)s\rangle }$.

La posición de la línea añadida es entonces irrelevante. Cuando uno proyecta sobre la posición de la línea no importa porque está trabajando en el espacio de estados invariantes del difeomorfismo y por lo tanto la línea se puede acercar "más cerca" o "más lejos" del vértice sin cambiar el resultado. ${\displaystyle \Psi }$

El difeomorfismo espacial juega un papel crucial en la construcción. Si las funciones no fueran invariantes del difeomorfismo, la línea agregada tendría que reducirse hasta el vértice y podrían aparecer posibles divergencias.

La misma construcción se puede aplicar al hamiltoniano de la relatividad general acoplado a la materia: campos escalares, campos de Yang-Mills, fermiones. En todos los casos la teoría es finita, libre de anomalías y bien definida. La gravedad parece actuar como un "regulador fundamental" de las teorías de la materia.

libre de anomalías

Las anomalías cuánticas ocurren cuando el álgebra de restricciones cuánticas tiene términos adicionales que no tienen contrapartes clásicas. Para recuperar la teoría semiclásica correcta, estos términos adicionales deben desaparecer, pero esto implica restricciones adicionales y reduce el número de grados de libertad de la teoría, haciéndola no física. Se puede demostrar que la restricción hamiltoniana de Theimann está libre de anomalías. ^{[ cita necesaria ]}

El núcleo de la restricción hamiltoniana

El núcleo es el espacio de estados que la restricción hamiltoniana aniquila. Se puede esbozar una construcción explícita del núcleo completo y riguroso del operador propuesto. Son los primeros con volumen distinto de cero y que no necesitan una constante cosmológica distinta de cero.

El espacio completo de soluciones al difeomorfismo espacial para todas las restricciones ya se encontró hace mucho tiempo. ^[9] E incluso estaba equipado con un producto interno natural inducido a partir del del espacio cinemático de Hilbert de soluciones a la restricción de Gauss. Sin embargo, no hay posibilidad de definir los operadores de restricción hamiltonianos correspondientes a (densamente) porque los operadores de restricción hamiltonianos no conservan los estados invariantes del difeomorfismo espacial. Por lo tanto, no se puede resolver simplemente la restricción del difeomorfismo espacial y luego la restricción hamiltoniana y, por lo tanto, la estructura del producto interno no se puede emplear en la construcción del producto interno físico. Este problema se puede evitar con el uso de la restricción Master (ver más abajo), permitiendo aplicar los resultados recién mencionados para obtener el espacio físico de Hilbert . ${\displaystyle C^{a}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$

Más por venir aquí...

Críticas a la restricción hamiltoniana

Recuperando el álgebra de restricciones. Clásicamente tenemos

${\displaystyle \{H(N),H(M)\}=C({\vec {K}})}$

dónde

${\displaystyle K^{a}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}(N\partial _{b}M-M\partial _{b}N)/(\det(q))}$

Como sabemos, en la representación del bucle, un operador autoadjunto genera difeomorfismos espaciales. Por lo tanto, no es posible implementar la relación en la teoría cuántica con infinitesimales , es como mucho posible con dffeomoefismos espaciales finitos. ${\displaystyle \{H(N),H(M)\}}$ ${\displaystyle {\vec {C}}}$

Ultra localidad del hamiltoniano: El hamiltoniano sólo actúa en los vértices y actúa "vistiendo" el vértice con líneas. No interconecta vértices ni cambia las valencias de las líneas (fuera del "vestido"). Las modificaciones que realiza el operador de restricción hamiltoniano en un vértice dado no se propagan por todo el gráfico sino que se limitan a una vecindad del vértice. De hecho, la acción repetida del hamiltoniano genera cada vez más aristas nuevas cada vez más cercanas al vértice y nunca se cruzan entre sí. En particular, no hay acción en los nuevos vértices creados. Esto implica, por ejemplo, que para superficies que encierran un vértice (definido invariantemente difeomorficamente) el área de tales superficies conmutaría con el hamiltoniano, lo que implica que no hay "evolución" de estas áreas, ya que es el hamiltoniano el que genera la "evolución". Esto sugiere que la teoría "no se ha propagado". Sin embargo, Thiemann señala que el hamiltoniano actúa en todas partes.

Existe la cuestión algo sutil de que , aunque están definidos en el espacio de Hilbert, no se conocen explícitamente (se conocen hasta un difeomorfismo espacial; existen por el axioma de elección ). ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$

Estas dificultades podrían abordarse mediante un nuevo enfoque: el programa de restricción Master.

Ampliación de la cuantificación a la inclusión de campos de materia

materia fermiónica

La teoría de Maxwell.

Tenga en cuenta que ambos tienen un peso de densidad 1. Como de costumbre, antes de la cuantificación, necesitamos expresar las restricciones (y otros observables) en términos de holonomías y flujos. ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {E}}}^{a},B^{a}}$

Tenemos un factor común de . Como antes, introducimos una descomposición celular y observamos, ${\displaystyle q_{ab}/{\sqrt {q}}}$

${\displaystyle {q_{ab} \over {\sqrt {q}}}(x)\propto \delta _{ij}\{A_{a}^{i}(x),{\sqrt {V}}\}\{A_{b}^{j}(x),{\sqrt {V}}\}}$.

Molinos de Yang

Aparte de la naturaleza no abeliana del campo de calibre, en la forma, las expresiones proceden de la misma manera que para el caso Maxwell.

Campo escalar - campo de Higgs

Los operadores de configuración elemental son análogos al operador de holonomía para variables de conexión y actúan por multiplicación como

${\displaystyle {\hat {h}}(x,\lambda )\Psi =e^{i\lambda \varphi (x)}\Psi }$.

Estos se denominan holonomías puntuales. La variable conjugada del punto de holonomía que se promueve a operador en la teoría cuántica se considera el momento del campo difuso.

${\displaystyle P(f)=\int d^{3}x\pi _{\varphi }(x)f(x)}$

donde es el campo de momento conjugado y es una función de prueba. Su paréntesis de Poisson viene dado por ${\displaystyle \pi _{\varphi }}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \{h(x,\lambda ),P(f)\}=i\lambda f(x)h(x,\lambda )}$.

En la teoría cuántica se busca una representación del soporte de Poisson como conmutador de los operadores elementales,

${\displaystyle [{\hat {h}}(x,\lambda ),{\hat {P}}(f)]=i\lambda f(x){\hat {h}}(x,\lambda )}$.

Finitud de la teoría con la inclusión de la materia

Thiemann ha ilustrado cómo las divergencias ultravioleta de la teoría cuántica ordinaria pueden interpretarse directamente como una consecuencia de la aproximación que ignora la naturaleza cuantificada y discreta de la geometría cuántica. Por ejemplo, Thiemann muestra cómo el operador de la participación hamiltoniana de Yang-Mills está bien definido siempre que lo tratemos como un operador, pero se vuelve infinito tan pronto como lo reemplazamos con un campo de fondo suave. ${\displaystyle E_{a}^{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

El programa de restricción Master

La restricción maestra

El Programa Maestro de Restricción ^[10] para la Gravedad Cuántica de Bucles (LQG) se propuso como una forma clásicamente equivalente de imponer el número infinito de ecuaciones de restricción hamiltonianas.

${\displaystyle H(x)=0}$

en términos de una única restricción maestra,

${\displaystyle M=\int d^{3}x{[H(x)]^{2} \over {\sqrt {\det q(x)}}}}$.

que involucra el cuadrado de las restricciones en cuestión. Tenga en cuenta que eran infinitos, mientras que la restricción Master es solo una. Está claro que si desaparece, también lo hacen los infinitos . Por el contrario, si todos los 's desaparecen, entonces también lo hace , por lo tanto son equivalentes. ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle M}$

La restricción Maestra implica un promedio apropiado en todo el espacio y, por lo tanto, es invariante bajo difeomorfismos espaciales (es invariante bajo "desplazamientos" espaciales, ya que es una suma de todos esos "desplazamientos" espaciales de una cantidad que se transforma en un escalar). Por lo tanto, su corchete de Poisson con la restricción de difeomorfismo espacial (manchado), es simple: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C({\vec {N}})}$

${\displaystyle \{M,C({\vec {N}})\}=0}$.

( también es invariante). Además, obviamente, como cualquier cantidad Poisson conmuta consigo misma, y ​​la restricción Maestra es una restricción única, satisface ${\displaystyle su(2)}$

${\displaystyle \{M,M\}=0}$.

También tenemos el álgebra habitual entre difeomorfismos espaciales. Esto representa una simplificación espectacular de la estructura de corchetes de Poisson.

Promoción a operador cuántico

Escribamos la expresión clásica en la forma

${\displaystyle M=\int d^{3}x{H(x)^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}(x)}=\int d^{3}x({H \over [\det(q)]^{1/4}})(x)\int d^{3}y\delta (x,y)({H \over [\det(q)]^{1/4}})(y)}$.

Esta expresión está regulada por una función de un parámetro tal que y . Definir ${\displaystyle \chi _{\epsilon }(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow 0}\chi _{\epsilon }(x,y)/\epsilon ^{3}=\delta (x,y)}$ ${\displaystyle \chi _{\epsilon }(x,x)=1}$

${\displaystyle V_{\epsilon ,x}=\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y){\sqrt {\det(q)}}(y)}$.

Ambos términos serán similares a la expresión de la restricción hamiltoniana excepto que ahora involucrará en lugar de lo que proviene del factor adicional . Eso es, ${\displaystyle \{A,{\sqrt {V_{\epsilon }}}\}}$ ${\displaystyle \{A,V\}}$ ${\displaystyle [\det(q)]^{1/4}}$

${\displaystyle M=\int d^{3}x\epsilon ^{abc}\{A_{c}^{k},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{ab}^{k}(x)\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y)\epsilon ^{a'b'c'}\{A_{c'}^{k'},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{a'b'}^{k'}(y)}$.

Por tanto, procedemos exactamente igual que para la restricción hamiltoniana e introducimos una partición en tetraedros, dividiendo ambas integrales en sumas,

${\displaystyle M=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\sum _{\Delta ,\Delta '}\chi (v(\Delta ),v(\Delta ')){\overline {C_{\epsilon }(\Delta )}}C_{\epsilon }(\Delta ')}$.

donde el significado de es similar al de . Esta es una enorme simplificación que se puede cuantificar con precisión con un simple cambio en la potencia del operador de volumen. Sin embargo, se puede demostrar que los operadores invariantes de difeomorfismo espacial que cambian el gráfico, como la restricción Master, no se pueden definir en el espacio cinemático de Hilbert . La salida es definir no on sino on . ${\displaystyle C_{\epsilon }(\Delta )}$ ${\displaystyle H_{\Delta }}$ ${\displaystyle C_{\epsilon }(\Delta )}$ ${\displaystyle H_{\Delta }}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$

Lo primero que se hace es que podemos calcular los elementos de la matriz del posible operador , es decir, calculamos la forma cuadrática . Nos gustaría que hubiera un operador único, positivo y autoadjunto cuyos elementos de la matriz se reproduzcan . Se ha demostrado que dicho operador existe y viene dado por la extensión de Friedrichs . ^{[11] [12]} ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$

Resolviendo la restricción Master e induciendo el espacio físico de Hilbert

Como se mencionó anteriormente, uno no puede simplemente resolver la restricción del difeomorfismo espacial y luego la restricción hamiltoniana, induciendo un producto interno físico a partir del producto interno del difeomorfismo espacial, porque la restricción hamiltoniana asigna estados invariantes del difeomorfismo espacial a estados invariantes del difeomorfismo no espacial. Sin embargo, como la restricción Master es espacialmente invariante en difeomorfismo, se puede definir en . Por lo tanto, finalmente podemos explotar todo el poder de los resultados mencionados anteriormente al obtenerlos de . ^[9] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$

Referencias

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2. Ashtekar, Abhay (3 de noviembre de 1986). "Nuevas variables para la gravedad clásica y cuántica". Cartas de revisión física . 57 (18). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 2244–2247. Código bibliográfico : 1986PhRvL..57.2244A. doi :10.1103/physrevlett.57.2244. ISSN  0031-9007. PMID  10033673.
3. Rovelli, Carlo; Smolin, Lee (5 de septiembre de 1988). "Teoría de nudos y gravedad cuántica". Cartas de revisión física . 61 (10). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1155–1158. Código bibliográfico : 1988PhRvL..61.1155R. doi :10.1103/physrevlett.61.1155. ISSN  0031-9007. PMID  10038716.
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5. Consulte el libro Conferencias sobre gravedad canónica no perturbativa para obtener más detalles sobre este y el desarrollo posterior. Publicado por primera vez en 1991. World Scientific Publishing Co. Pte. Limitado.
6. Thiemann, T (1 de junio de 1996). "Condiciones de la realidad que inducen transformaciones para la teoría de campos de calibre cuántico y la gravedad cuántica". Gravedad clásica y cuántica . 13 (6). Publicaciones del PIO: 1383–1403. arXiv : gr-qc/9511057 . Código Bib : 1996CQGra..13.1383T. doi :10.1088/0264-9381/13/6/012. ISSN  0264-9381. S2CID  250919582.
7. Barbero G., J. Fernando (15 de mayo de 1995). "Variables reales de Ashtekar para el espacio-tiempo característico de Lorentz". Revisión física D. 51 (10). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 5507–5510. arXiv : gr-qc/9410014 . Código bibliográfico : 1995PhRvD..51.5507B. doi :10.1103/physrevd.51.5507. ISSN  0556-2821. PMID  10018309.
8. Borissov, Roumen; Pietri, Roberto De; Rovelli, Carlo (1 de octubre de 1997). "Elementos de la matriz de la restricción hamiltoniana de Thiemann en gravedad cuántica de bucles". Gravedad clásica y cuántica . 14 (10). Publicación del PIO: 2793–2823. arXiv : gr-qc/9703090 . Código Bib : 1997CQGra..14.2793B. doi :10.1088/0264-9381/14/10/008. ISSN  0264-9381. S2CID  250737205.
9. Ashtekar, Abhay; Lewandowski, Jerzy; Marolf, Donald; Mourão, José; Thiemann, Thomas (1995). "Cuantización de teorías invariantes de difeomorfismo de conexiones con grados de libertad locales". Revista de Física Matemática . 36 (11). Publicación AIP: 6456–6493. arXiv : gr-qc/9504018 . Código bibliográfico : 1995JMP....36.6456A. doi : 10.1063/1.531252. ISSN  0022-2488. S2CID  56449004.
10. Thiemann, T (14 de marzo de 2006). "El Proyecto Phoenix: programa maestro de restricciones para la gravedad cuántica de bucles". Gravedad clásica y cuántica . 23 (7). Publicación del PIO: 2211–2247. arXiv : gr-qc/0305080 . Código Bib : 2006CQGra..23.2211T. doi :10.1088/0264-9381/23/7/002. ISSN  0264-9381. S2CID  16304158.
11. Thiemann, Thomas (14 de marzo de 2006). "Dinámica de espín cuántico: VIII. La restricción maestra". Gravedad clásica y cuántica . 23 (7). Publicación del PIO: 2249–2265. arXiv : gr-qc/0510011 . Código Bib : 2006CQGra..23.2249T. doi :10.1088/0264-9381/23/7/003. hdl : 11858/00-001M-0000-0013-4B4E-7 . ISSN  0264-9381. S2CID  29095312.
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enlaces externos

• Descripción general de Carlo Rovelli
• El artículo de Thiemann en Physics Letters
• Rovelli, Carlo (1998). "Bucle de gravedad cuántica". Reseñas vivas en relatividad . 1 (1): 1. arXiv : gr-qc/9710008 . Código Bib : 1998LRR.....1....1R. doi :10.12942/lrr-1998-1. PMC  5567241 . PMID  28937180.