Conexión de giro

Una conexión en un haz de espinores.

En geometría diferencial y física matemática , una conexión de espín es una conexión en un haz de espín . Se induce, de manera canónica, a partir de la conexión afín . También puede considerarse como el campo de calibre generado por transformaciones locales de Lorentz . En algunas formulaciones canónicas de la relatividad general, una conexión de espín se define en cortes espaciales y también puede considerarse como el campo de calibre generado por rotaciones locales .

La conexión de espín se presenta en dos formas comunes: la conexión de espín Levi-Civita , cuando se deriva de la conexión Levi-Civita , y la conexión de espín afín , cuando se obtiene de la conexión afín. La diferencia entre ambas es que la conexión Levi-Civita es, por definición, la única conexión libre de torsión , mientras que la conexión afín (y por tanto la conexión de espín afín) puede contener torsión.

Definición

Sean los campos del marco de Lorentz local o vierbein (también conocido como tétrada), que es un conjunto de campos vectoriales de espacio-tiempo ortonormales que diagonalizan el tensor métrico donde es la métrica del espacio-tiempo y es la métrica de Minkowski . Aquí, las letras latinas denotan los índices del marco de Lorentz local; Los índices griegos denotan índices de coordenadas generales. Esto simplemente expresa que , cuando se escribe en términos de la base , es localmente plano. Los índices vierbein griegos se pueden subir o bajar según la métrica, es decir, o . Los índices vierbein latinos o "lorentzianos" se pueden subir o bajar en o respectivamente. Por ejemplo, y ${\displaystyle e_{\mu }^{\;\,a}}$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{\;\,a}e_{\nu }^{\;\,b}\eta _{ab},}$$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{ab}}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }^{\;\,a}}$ ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta ^{ab}}$ ${\displaystyle \eta _{ab}}$ ${\displaystyle e^{\mu a}=g^{\mu \nu }e_{\nu }^{\;\,a}}$ ${\displaystyle e_{\nu a}=\eta _{ab}e_{\nu }^{\;\,b}}$

La conexión de espín sin torsión viene dada por dónde están los símbolos de Christoffel . Esta definición debe considerarse como la definición de la conexión de espín libre de torsión, ya que, por convención, los símbolos de Christoffel se derivan de la conexión Levi-Civita , que es la única conexión libre de torsión y compatible métricamente en una variedad de Riemann. En general, no existe ninguna restricción: la conexión de espín también puede contener torsión. $${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}=e_{\nu }^{\ a}\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b}+e_{\nu }^{\ a}\partial _{\mu }e^{\nu b}=e_{\nu }^{\ a}\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b}-e^{\nu b}\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ a},}$$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }}$

Tenga en cuenta que utilizar la derivada covariante gravitacional del vector contravariante . La conexión de espín se puede escribir puramente en términos del campo de Vierbein como ^[1] que, por definición, es antisimétrico en sus índices internos . ${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}=e_{\nu }^{\ a}\partial _{;\mu }e^{\nu b}=e_{\nu }^{\ a}(\partial _{\mu }e^{\nu b}+\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b})}$ ${\displaystyle \partial _{;\mu }e^{\nu b}}$ ${\displaystyle e^{\nu b}}$ $${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}={\tfrac {1}{2}}e^{\nu a}(\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ b}-\partial _{\nu }e_{\mu }^{\ b})-{\tfrac {1}{2}}e^{\nu b}(\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ a}-\partial _{\nu }e_{\mu }^{\ a})-{\tfrac {1}{2}}e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial _{\rho }e_{\sigma c}-\partial _{\sigma }e_{\rho c})e_{\mu }^{\ c},}$$ ${\displaystyle a,b}$

La conexión de espín define una derivada covariante en tensores generalizados. Por ejemplo, su acción sobre es ${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle V_{\nu }^{\ a}}$ $${\displaystyle D_{\mu }V_{\nu }^{\ a}=\partial _{\mu }V_{\nu }^{\ a}+{{\omega _{\mu }}^{a}}_{b}V_{\nu }^{\ b}-\Gamma _{\ \nu \mu }^{\sigma }V_{\sigma }^{\ a}}$$

Ecuaciones de estructura de Cartan

En el formalismo de Cartan , la conexión de espín se utiliza para definir tanto la torsión como la curvatura. Estos son más fáciles de leer trabajando con formas diferenciales , ya que esto oculta parte de la profusión de índices. Las ecuaciones presentadas aquí son efectivamente una reformulación de las que se pueden encontrar en el artículo sobre la forma de conexión y la forma de curvatura . La principal diferencia es que estos conservan los índices del vierbein, en lugar de ocultarlos por completo. En términos más estrictos, el formalismo de Cartan debe interpretarse en su contexto histórico, como una generalización de la idea de una conexión afín a un espacio homogéneo ; todavía no es tan general como la idea de una conexión principal en un haz de fibras . Sirve como un punto intermedio adecuado entre la configuración más estrecha de la geometría riemanniana y la configuración del haz de fibras completamente abstracta, enfatizando así la similitud con la teoría de calibre . Tenga en cuenta que las ecuaciones estructurales de Cartan, tal como se expresan aquí, tienen un análogo directo: las ecuaciones de Maurer-Cartan para grupos de Lie (es decir, son las mismas ecuaciones, pero en una configuración y notación diferentes).

Al escribir los vierbeins como formas diferenciales para las coordenadas ortonormales en el paquete cotangente , la forma unidireccional de la conexión de espín afín es La forma 2 de la torsión está dada por mientras que la forma 2 de la curvatura es Estas dos ecuaciones, tomadas en conjunto, se denominan ecuaciones de estructura de Cartan . ^[2] La coherencia requiere que se obedezcan las identidades de Bianchi . La primera identidad de Bianchi se obtiene tomando la derivada exterior de la torsión: mientras que la segunda diferenciando la curvatura: La derivada covariante para una forma diferencial genérica de grado p se define por La segunda identidad de Bianchi luego se convierte en La diferencia entre una conexión con torsión, y la única conexión sin torsión viene dada por el tensor de contorsión . Las conexiones con la torsión se encuentran comúnmente en las teorías del teleparalelismo , la teoría de Einstein-Cartan , la teoría de calibre, la gravedad y la supergravedad . $${\displaystyle e^{a}=e_{\mu }^{\;\,a}dx^{\mu }}$$ $${\displaystyle \omega ^{ab}=\omega _{\mu }^{\;\;ab}dx^{\mu }}$$ $${\displaystyle \Theta ^{a}=de^{a}+\omega _{\;b}^{a}\wedge e^{b}}$$ $${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}={\tfrac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}$$ $${\displaystyle d\Theta ^{a}+\omega _{\;b}^{a}\wedge \Theta ^{b}=R_{\;\,b}^{a}\wedge e^{b}}$$ $${\displaystyle dR_{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge R_{\;\,b}^{c}-R_{\;\,c}^{a}\wedge \omega _{\;b}^{c}=0.}$$ ${\displaystyle V_{\;\,b}^{a}}$ $${\displaystyle DV_{\;\,b}^{a}=dV_{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge V_{\;\,b}^{c}-(-1)^{p}V_{\;\,c}^{a}\wedge \omega _{\;b}^{c}.}$$ $${\displaystyle DR_{\;\,b}^{a}=0.}$$

Derivación

metricidad

Es fácil deducir subiendo y bajando los índices según sea necesario que los campos de marco definidos por también satisfarán y . Esperamos que eso también aniquile la métrica de Minkowski . Esto implica que la conexión es antisimétrica en sus índices internos. Esto también se deduce tomando la derivada covariante gravitacional que implica que , en última instancia ,. Esto a veces se denomina condición de metricidad ; ^[2] es análogo a la condición de metricidad más comúnmente establecida: tenga en cuenta que esta condición se cumple solo para la conexión de espín Levi-Civita, y no para la conexión de espín afín en general. ${\displaystyle g_{\mu \nu }={e_{\mu }}^{a}{e_{\nu }}^{b}\eta _{ab}}$ ${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b}=\delta _{b}^{a}}$ ${\displaystyle {e_{\mu }}^{b}{e^{\nu }}_{b}=\delta _{\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle \eta _{ab}}$ $${\displaystyle D_{\mu }\eta _{ab}=\partial _{\mu }\eta _{ab}-{\omega _{\mu a}}^{c}\eta _{cb}-{\omega _{\mu b}}^{c}\eta _{ac}=0.}$$ ${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}=-{\omega _{\mu }}^{ba}.}$ ${\displaystyle \partial _{;\beta }({e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b})=0}$ ${\displaystyle \partial _{;\beta }{e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b}=-{e_{\mu }}^{a}\partial _{;\beta }{e^{\mu }}_{b}}$ ${\displaystyle {\omega _{\beta }}^{ab}=-{\omega _{\beta }}^{ba}}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu ;\alpha }=0.}$

Al sustituir la fórmula de los símbolos de Christoffel escritos en términos de , la conexión de espín se puede escribir completamente en términos de , donde la antisimetrización de índices tiene un factor implícito de 1/2. ${\displaystyle {\Gamma ^{\nu }}_{\sigma \mu }={\tfrac {1}{2}}g^{\nu \delta }\left(\partial _{\sigma }g_{\delta \mu }+\partial _{\mu }g_{\sigma \delta }-\partial _{\delta }g_{\sigma \mu }\right)}$ ${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}}$ ${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}}$ $${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}=e^{\nu [a}({{e_{\nu }}^{b]}}_{,\mu }-{{e_{\mu }}^{b]}}_{,\nu }+e^{\sigma |b]}{e_{\mu }}^{c}e_{\nu c,\sigma })}$$

Por la compatibilidad métrica

Esta fórmula se puede derivar de otra manera. Para resolver directamente la condición de compatibilidad para la conexión de espín , se puede utilizar el mismo truco que se utilizó para resolver los símbolos de Christoffel . Primer contrato la condición de compatibilidad para dar ${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}}$ ${\displaystyle \nabla _{\rho }g_{\alpha \beta }=0}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{\gamma }}_{\alpha \beta }}$ $${\displaystyle {e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}(\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}+{\omega _{[\alpha a}}^{d}\;e_{\beta ]d})=0.}$$

Luego, haz una permutación cíclica de los índices libres y , y suma y resta las tres ecuaciones resultantes: donde hemos usado la definición . La solución para la conexión de espín es ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab}+2{e^{\alpha }}_{b}\omega _{\alpha ac}=0}$$ ${\displaystyle \Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}}$ $${\displaystyle \omega _{\alpha ca}={\tfrac {1}{2}}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab}).}$$

De esto obtenemos la misma fórmula que antes.

Aplicaciones

La conexión de espín surge en la ecuación de Dirac cuando se expresa en el lenguaje del espaciotiempo curvo , véase Ecuación de Dirac en el espaciotiempo curvo . Específicamente, existen problemas para acoplar la gravedad a los campos de espinores : no hay representaciones de espinores de dimensión finita del grupo de covarianza general . Sin embargo, por supuesto existen representaciones espinoriales del grupo de Lorentz . Este hecho se utiliza empleando campos de tétrada que describen un espacio tangente plano en cada punto del espacio-tiempo. Las matrices de Dirac se contraen sobre vierbiens, ${\displaystyle \gamma ^{a}}$ $${\displaystyle \gamma ^{a}{e^{\mu }}_{a}(x)=\gamma ^{\mu }(x).}$$

Deseamos construir una ecuación de Dirac generalmente covariante. Bajo una transformación de Lorentz en un espacio tangente plano, el espinor se transforma como $${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\epsilon ^{ab}(x)\sigma _{ab}}\psi }$$

Hemos introducido transformaciones locales de Lorentz en el espacio tangente plano generado por 's, de modo que es función del espacio-tiempo. Esto significa que la derivada parcial de un espinor ya no es un tensor genuino. Como es habitual, se introduce un campo de conexión que nos permite calibrar el grupo de Lorentz. La derivada covariante definida con la conexión de espín es y es un tensor genuino y la ecuación de Dirac se reescribe como ${\displaystyle \sigma _{ab}}$ ${\displaystyle \epsilon _{ab}}$ ${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}}$ $${\displaystyle \nabla _{\mu }\psi =\left(\partial _{\mu }-{\tfrac {i}{4}}{\omega _{\mu }}^{ab}\sigma _{ab}\right)\psi =\left(\partial _{\mu }-{\tfrac {i}{4}}e^{\nu a}\partial _{;\mu }{e_{\nu }}^{b}\sigma _{ab}\right)\psi ,}$$ $${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0.}$$

La acción de los fermiones generalmente covariante acopla los fermiones a la gravedad cuando se agrega a la acción de Palatini tetrádica de primer orden , donde y es la curvatura de la conexión de espín. $${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{1 \over 2\kappa ^{2}}e\,{e^{\mu }}_{a}{e^{\nu }}_{b}{\Omega _{\mu \nu }}^{ab}[\omega ]+e{\overline {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi }$$ ${\textstyle e:=\det {e_{\mu }}^{a}={\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle {\Omega _{\mu \nu }}^{ab}}$

La formulación tetrádica de Palatini de la relatividad general, que es una formulación de primer orden de la acción de Einstein-Hilbert donde la tétrada y la conexión de espín son las variables independientes básicas. En la versión 3+1 de la formulación de Palatini, la información sobre la métrica espacial, está codificada en la tríada (versión espacial tridimensional de la tétrada). Aquí extendemos la condición de compatibilidad métrica a , es decir, y obtenemos una fórmula similar a la dada anteriormente pero para la conexión de espín espacial . ${\displaystyle q_{ab}(x)}$ ${\displaystyle e_{a}^{i}}$ ${\displaystyle D_{a}q_{bc}=0}$ ${\displaystyle e_{a}^{i}}$ ${\displaystyle D_{a}e_{b}^{i}=0}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{ij}}$

La conexión de espín espacial aparece en la definición de las variables de Ashtekar-Barbero, lo que permite reescribir la relatividad general 3+1 como un tipo especial de teoría de calibre de Yang-Mills . Uno define . La variable de conexión Ashtekar-Barbero se define entonces como donde y es la curvatura extrínseca y es el parámetro Immirzi . Teniendo como variable de configuración, el momento conjugado es la tríada densitizada . Con la relatividad general 3+1 reescrita como un tipo especial de teoría de calibre de Yang-Mills , permite la importación de técnicas no perturbativas utilizadas en la cromodinámica cuántica a la relatividad general cuántica canónica. ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\epsilon ^{ijk}\Gamma _{a}^{jk}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta c_{a}^{i}}$ ${\displaystyle c_{a}^{i}=c_{ab}e^{bi}}$ ${\displaystyle c_{ab}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle E_{a}^{i}=\left|\det(e)\right|e_{a}^{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

Ver también

• variables de ashtekar
• operador dirac
• conexión cartan
• Conexión Levi-Civita
• cálculo de ricci
• supergravedad
• tensor de torsión
• tensor de contorsión
• Ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo

Referencias

1. MB Green, JH Schwarz, E. Witten, "Teoría de supercuerdas", vol. 2.
2. Tohru Eguchi, Peter B. Gilkey y Andrew J. Hanson, "Gravitación, teorías de calibre y geometría diferencial", Physics Reports 66 (1980) págs.

• Hehl, FW; Von der Heyde, P.; Kerlick, GD; Nester, JM (1976), "Relatividad general con giro y torsión: fundamentos y perspectivas", Rev. Mod. Física. 48 , 393.
• Kibble, TWB (1961), "La invariancia de Lorentz y el campo gravitacional", J. Math. Física. 2 , 212.
• Poplawski, Nueva Jersey (2009), "Espacio-tiempo y campos", arXiv:0911.0334
• Sciama, DW (1964), "La estructura física de la relatividad general", Rev. Mod. Física. 36 , 463.