Acción de Palatini Tetradic

La acción de Einstein-Hilbert para la relatividad general se formuló por primera vez puramente en términos de la métrica del espacio-tiempo. Tomar la métrica y la conexión afín como variables independientes en el principio de acción fue considerado por primera vez por Palatini ^[1] . Se llama formulación de primer orden ya que las variables sobre las que se varía involucran solo hasta las primeras derivadas en la acción y, por lo tanto, no complican demasiado las ecuaciones de Euler-Lagrange con términos derivados más altos. La acción tetrádica de Palatini es otra formulación de primer orden de la acción de Einstein-Hilbert en términos de un par diferente de variables independientes, conocidas como campos de marco y la conexión de espín . El uso de campos de marco y conexiones de espín son esenciales en la formulación de una acción fermiónica generalmente covariante (ver el artículo conexión de espín para más discusión sobre esto) que acopla fermiones a la gravedad cuando se agrega a la acción tetrádica de Palatini.

Esto no sólo es necesario para acoplar los fermiones a la gravedad y hace que la acción tetrádica sea de algún modo más fundamental para la versión métrica, sino que la acción de Palatini es también un trampolín hacia acciones más interesantes como la acción de Palatini autodual que puede verse como la base lagrangiana para la formulación de la gravedad canónica de Ashtekar (véase las variables de Ashtekar ) o la acción de Holst que es la base de la versión de variables reales de la teoría de Ashtekar. Otra acción importante es la acción de Plebanski (véase la entrada sobre el modelo de Barrett-Crane ), y demostrar que da la relatividad general bajo ciertas condiciones implica demostrar que se reduce a la acción de Palatini bajo estas condiciones.

Aquí presentamos definiciones y calculamos las ecuaciones de Einstein a partir de la acción de Palatini en detalle. Estos cálculos se pueden modificar fácilmente para la acción de Palatini autodual y la acción de Holst.

Algunas definiciones

Primero debemos introducir el concepto de tétradas. Una tétrada es una base vectorial ortonormal en función de la cual la métrica del espacio-tiempo parece localmente plana.

${\displaystyle g_{\alpha \beta }=e_{\alpha }^{I}e_{\beta }^{J}\eta _{IJ}}$

donde es la métrica de Minkowski. Las tétradas codifican la información sobre la métrica espacio-temporal y se tomarán como una de las variables independientes en el principio de acción. ${\displaystyle \eta _{IJ}={\text{diag}}(-1,1,1,1)}$

Ahora bien, si se va a operar con objetos que tienen índices internos, es necesario introducir una derivada apropiada (derivada covariante). Introducimos una derivada covariante arbitraria mediante

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }V_{I}=\partial _{\alpha }V_{I}+{\omega _{\alpha I}}^{J}V_{J}.}$

Donde es una conexión de espín (Lorentz) de una forma (la derivada aniquila la métrica de Minkowski ). Definimos una curvatura mediante ${\displaystyle {\omega _{\alpha I}}^{J}}$ ${\displaystyle \eta _{IJ}}$

${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}=({\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }-{\mathcal {D}}_{\beta }{\mathcal {D}}_{\alpha })V_{I}}$

Nosotros obtenemos

${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}=2\partial _{[\alpha }{\omega _{\beta ]}}^{IJ}+2{\omega _{[\alpha }}^{IK}{\omega _{\beta ]K}}^{J}}$.

Introducimos la derivada covariante que aniquila la tétrada,

${\displaystyle \nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0}$.

La conexión está completamente determinada por la tétrada. La acción de ésta sobre el tensor generalizado está dada por ${\displaystyle V_{\beta }^{I}}$

${\displaystyle \nabla _{\alpha }V_{\beta }^{I}=\partial _{\alpha }V_{\beta }^{I}-\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }V_{\gamma }^{I}+{\omega _{\alpha J}}^{I}V_{\beta }^{J}.}$

Definimos una curvatura por ${\displaystyle {R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$

${\displaystyle {R_{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}=(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha })V_{I}.}$

Esto se relaciona fácilmente con la curvatura habitual definida por

${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }=(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha })V_{\gamma }}$

Sustituyendo en esta expresión (ver detalles a continuación), se obtiene: ${\displaystyle V_{\gamma }=V_{I}e_{\gamma }^{I}}$

${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta },\quad R_{\alpha \beta }={R_{\alpha \gamma I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma },R={R_{\alpha \beta }}^{IJ}e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }}$

para el tensor de Riemann , el tensor de Ricci y el escalar de Ricci respectivamente.

La acción tetrádica de Palatini

El escalar de Ricci de esta curvatura se puede expresar como La acción se puede escribir ${\displaystyle e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}.}$

${\displaystyle S_{H-P}=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$

donde pero ahora es una función del campo de marco. ${\displaystyle e={\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle g}$

Derivaremos las ecuaciones de Einstein variando esta acción con respecto a la tétrada y la conexión de espín como cantidades independientes.

Como atajo para realizar el cálculo introducimos una conexión compatible con la tétrada, ^[2] La conexión asociada a esta derivada covariante está completamente determinada por la tétrada. La diferencia entre las dos conexiones que hemos introducido es un campo definido por ${\displaystyle \nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0.}$ ${\displaystyle {C_{\alpha I}}^{J}}$

${\displaystyle {C_{\alpha I}}^{J}V_{J}=\left(D_{\alpha }-\nabla _{\alpha }\right)V_{I}.}$

Podemos calcular la diferencia entre las curvaturas de estas dos derivadas covariantes (ver más abajo para más detalles),

${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-{R_{\alpha \beta }}^{IJ}=\nabla _{[\alpha }{C_{\beta ]}}^{IJ}+{C_{[\alpha }}^{IM}{C_{\beta ]M}}^{J}}$

La razón de este cálculo intermedio es que es más fácil calcular la variación reexpresando la acción en términos de y y notando que la variación con respecto a es la misma que la variación con respecto a (cuando se mantiene fija la tétrada). La acción se convierte en ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}$ ${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$ ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}$

${\displaystyle S_{H-P}=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\left({R_{\alpha \beta }}^{IJ}+\nabla _{[\alpha }{C_{\beta ]}}^{IJ}+{C_{[\alpha }}^{IM}{C_{\beta ]M}}^{J}\right)}$

Primero variamos con respecto a . El primer término no depende de, por lo que no contribuye. El segundo término es una derivada total. El último término da ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}$ ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}$

${\displaystyle e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}{C_{bK}}^{N}=0.}$

Mostramos a continuación que esto implica que como el prefactor no es degenerado. Esto nos dice que coincide con cuando actúa sobre objetos con solo índices internos. Por lo tanto, la conexión está completamente determinada por la tétrada y coincide con . Para calcular la variación con respecto a la tétrada necesitamos la variación de . De la fórmula estándar ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}=0}$ ${\displaystyle e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle e=\det e_{\alpha }^{I}}$

${\displaystyle \delta \det(a)=\det(a)\left(a^{-1}\right)_{ji}\delta a_{ij}}$

tenemos . O al usar , esto se convierte en . Calculamos la segunda ecuación variando con respecto a la tétrada, ${\displaystyle \delta e=ee_{I}^{\alpha }\delta e_{\alpha }^{I}}$ ${\displaystyle \delta \left(e_{\alpha }^{I}e_{I}^{\alpha }\right)=0}$ ${\displaystyle \delta e=-ee_{\alpha }^{I}\delta e_{I}^{\alpha }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S_{H-P}&=\int d^{4}x\;e\left(\left(\delta e_{I}^{\alpha }\right)e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}+e_{I}^{\alpha }\left(\delta e_{J}^{\beta }\right){\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-e_{\gamma }^{K}\left(\delta e_{K}^{\gamma }\right)e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}\right)\\&=2\int d^{4}x\;e\left(e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-{1 \over 2}e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\delta }e_{\alpha }^{I}{\Omega _{\gamma \delta }}^{MN}\right)\left(\delta e_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$

Se obtiene, después de sustituir lo dado por la ecuación de movimiento anterior, ${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$ ${\displaystyle {R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$

${\displaystyle e_{J}^{\gamma }{R_{\alpha \gamma }}^{IJ}-{1 \over 2}{R_{\gamma \delta }}^{MN}e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\delta }e_{\alpha }^{I}=0}$

que, después de multiplicarlo por , nos dice que el tensor de Einstein de la métrica definida por las tétradas se anula. Por lo tanto, hemos demostrado que la variación de Palatini de la acción en forma tetrádica produce las ecuaciones de Einstein habituales . ${\displaystyle e_{I\beta }}$ ${\displaystyle R_{\alpha \beta }-{\tfrac {1}{2}}Rg_{\alpha \beta }}$

Generalizaciones de la acción de Palatini

Cambiamos la acción añadiendo un término

${\displaystyle -{1 \over 2\gamma }ee_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{MN}[\omega ]{\epsilon ^{IJ}}_{MN}}$

Esto modifica la acción de Palatini a

${\displaystyle S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{P^{IJ}}_{MN}{\Omega _{\alpha \beta }}^{MN}}$

dónde

${\displaystyle {P^{IJ}}_{MN}=\delta _{M}^{[I}\delta _{N}^{J]}-{1 \over 2\gamma }{\epsilon ^{IJ}}_{MN}.}$

La acción dada arriba es la acción de Holst, introducida por Holst ^[3] y es el parámetro de Barbero-Immirzi cuyo papel fue reconocido por Barbero ^[4] e Immirizi. ^[5] La formulación autodual corresponde a la elección . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =-i}$

Es fácil demostrar que estas acciones dan las mismas ecuaciones. Sin embargo, el caso correspondiente a debe realizarse por separado (véase el artículo Acción de Palatini autodual ). Supongamos que , entonces tiene una inversa dada por ${\displaystyle \gamma =\pm i}$ ${\displaystyle \gamma \not =\pm i}$ ${\displaystyle {P^{IJ}}_{MN}}$

${\displaystyle {(P^{-1})_{IJ}}^{MN}={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}+1}}\left(\delta _{I}^{[M}\delta _{J}^{N]}+{\frac {1}{2\gamma }}{\epsilon _{IJ}}^{MN}\right).}$

(nótese que esto diverge para ). Como existe esta inversa, la generalización del prefactor también será no degenerada y, como tal, se obtienen condiciones equivalentes a partir de la variación con respecto a la conexión. Nuevamente obtenemos . Mientras que la variación con respecto a la tétrada produce la ecuación de Einstein más un término adicional. Sin embargo, este término adicional desaparece por simetrías del tensor de Riemann. ${\displaystyle \gamma =\pm i}$ ${\displaystyle e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}}$ ${\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}=0}$

Detalles del cálculo

Relación de la curvatura usual con la curvatura de índice mixto

El tensor de curvatura de Riemann habitual se define por ${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }}$

${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{\gamma }.}$

Para encontrar la relación con el tensor de curvatura de índice mixto sustituyamos ${\displaystyle V_{\gamma }=e_{\gamma }^{I}V_{I}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{\gamma }\\&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)\left(e_{\gamma }^{I}V_{I}\right)\\&=e_{\gamma }^{I}\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{I}\\&=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta }V_{\delta }\end{aligned}}}$

donde hemos utilizado . Como esto es cierto para todos, obtenemos ${\displaystyle \nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0}$ ${\displaystyle V_{\delta }}$

${\displaystyle {R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta }}$.

Usando esta expresión encontramos

${\displaystyle R_{\alpha \beta }={R_{\alpha \gamma \beta }}^{\gamma }={R_{\alpha \gamma I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma }.}$

La contratación sobre y nos permite escribir el escalar de Ricci ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle R={R_{\alpha \beta }}^{IJ}e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }.}$

Diferencia entre curvaturas

La derivada definida por sólo sabe cómo actuar sobre índices internos. Sin embargo, nos parece conveniente considerar una extensión sin torsión a los índices del espacio-tiempo. Todos los cálculos serán independientes de esta elección de extensión. Aplicando dos veces sobre , ${\displaystyle D_{\alpha }V_{I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}}$ ${\displaystyle V_{I}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }V_{I}={\mathcal {D}}_{\alpha }(\nabla _{\beta }V_{I}+{C_{\beta I}}^{J}V_{J})=\nabla _{\alpha }\left(\nabla _{\beta }V_{I}+{C_{\beta I}}^{J}V_{J}\right)+{C_{\alpha I}}^{K}\left(\nabla _{b}V_{K}+{C_{\beta K}}^{J}V_{J}\right)+{\overline {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }\left(\nabla _{\gamma }V_{I}+{C_{\gamma I}}^{J}V_{J}\right)}$

donde no es importante, sólo necesitamos notar que es simétrico en y ya que es libre de torsión. Entonces ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Omega _{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}&=\left({\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }-{\mathcal {D}}_{\beta }{\mathcal {D}}_{\alpha }\right)V_{I}\\&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{I}+\nabla _{\alpha }\left({C_{\beta I}}^{J}V_{J}\right)-\nabla _{\beta }\left({C_{\alpha I}}^{J}V_{J}\right)+{C_{\alpha I}}^{K}\nabla _{\beta }V_{K}-{C_{\beta I}}^{K}\nabla _{\alpha }V_{K}+{C_{\alpha I}}^{K}{C_{\beta K}}^{J}V_{J}-{C_{\beta I}}^{K}{C_{\alpha K}}^{J}V_{J}\\&={R_{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}+\left(\nabla _{\alpha }{C_{\beta I}}^{J}-\nabla _{\beta }{C_{\alpha I}}^{J}+{C_{\alpha I}}^{K}{C_{\beta K}}^{J}-{C_{\beta _{I}}}^{K}{C_{\alpha K}}^{J}\right)V_{J}\end{aligned}}}$

Por eso:

${\displaystyle {\Omega _{ab}}^{IJ}-{R_{ab}}^{IJ}=2\nabla _{[a}{C_{b]}}^{IJ}+2{C_{[a}}^{IK}{C_{b]K}}^{J}}$

Variando la acción con respecto al campo C α I J {\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}

Esperaríamos también aniquilar la métrica de Minkowski . Si también suponemos que la derivada covariante aniquila la métrica de Minkowski (que entonces se dice que no tiene torsión), tenemos: ${\displaystyle \nabla _{a}}$ ${\displaystyle \eta _{IJ}=e_{\beta I}e_{J}^{\beta }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }}$

${\displaystyle 0=({\mathcal {D}}_{\alpha }-\nabla _{\alpha })\eta _{IJ}={C_{\alpha I}}^{K}\eta _{KJ}+{C_{aJ}}^{K}\eta _{IK}=C_{\alpha IJ}+C_{\alpha JI}.}$

Reticente

${\displaystyle C_{\alpha IJ}=C_{\alpha [IJ]}.}$

Del último término de la acción tenemos que varía con respecto a ${\displaystyle {C_{\alpha I}}^{J},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S_{EH}&=\delta \int d^{4}x\;e\;e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\beta }{C_{[\gamma }}^{MK}{C_{\beta ]K}}^{N}\\&=\delta \int d^{4}x\;e\;e_{M}^{[\gamma }e_{N}^{\beta ]}{C_{\gamma }}^{MK}{C_{\beta K}}^{N}\\&=\delta \int d^{4}x\;e\;e^{M[\gamma }e_{N}^{\beta ]}{C_{\gamma M}}^{K}{C_{\beta K}}^{N}\\&=\int d^{4}x\;ee^{M[\gamma }e_{N}^{\beta ]}\left(\delta _{\gamma }^{\alpha }\delta _{M}^{I}\delta _{J}^{K}{C_{\beta K}}^{N}+{C_{\gamma M}}^{K}\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{K}^{I}\delta _{J}^{N}\right)\delta {C_{\alpha I}}^{J}\\&=\int d^{4}x\;e\left(e^{I[\alpha }e_{N}^{\beta ]}{C_{\beta J}}^{N}+e^{M[\beta }e_{J}^{\alpha ]}{C_{\beta M}}^{I}\right)\delta {C_{\alpha I}}^{J}\end{aligned}}}$

o

${\displaystyle e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}{C_{\beta J}}^{K}+e^{K[\beta }e_{J}^{\alpha ]}C_{\beta KI}=0}$

o

${\displaystyle {C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{[\alpha }e_{J}^{\beta ]}+{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}=0.}$

donde hemos utilizado . Esto se puede escribir de forma más compacta como ${\displaystyle C_{\beta KI}=-C_{\beta IK}}$

${\displaystyle e_{M}^{[\alpha }e_{N}^{\beta ]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}{C_{\beta K}}^{N}=0.}$

Desaparición de C α I J {\displaystyle {C_{\alpha }}^{IJ}}

Demostraremos siguiendo la referencia “Geometrodynamics vs. Connection Dynamics” ^[6] que

${\displaystyle {C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{[\alpha }e_{J}^{\beta ]}+{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}=0\quad Eq.1}$

implica Primero definimos el campo tensorial del espacio-tiempo por ${\displaystyle {C_{\alpha I}}^{J}=0.}$

${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }:=C_{\alpha IJ}e_{\beta }^{I}e_{\gamma }^{J}.}$

Entonces la condición es equivalente a . Contrayendo la ecuación 1 con uno se calcula que ${\displaystyle C_{\alpha IJ}=C_{\alpha [IJ]}}$ ${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\alpha [\beta \gamma ]}}$ ${\displaystyle e_{\alpha }^{I}e_{\gamma }^{J}}$

${\displaystyle {C_{\beta J}}^{I}e_{\gamma }^{J}e_{I}^{\beta }=0.}$

Como lo tenemos Lo escribimos como ${\displaystyle {S_{\alpha \beta }}^{\gamma }={C_{\alpha I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma },}$ ${\displaystyle {S_{\beta \gamma }}^{\beta }=0.}$

${\displaystyle ({C_{\beta I}}^{J}e_{J}^{\beta })e_{\gamma }^{I}=0,}$

y como son invertibles esto implica ${\displaystyle e_{\alpha }^{I}}$

${\displaystyle {C_{\beta I}}^{J}e_{J}^{\beta }=0.}$

Por lo tanto, los términos y de la ecuación 1 se desvanecen y la ecuación 1 se reduce a ${\displaystyle {C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\beta }e_{J}^{\alpha },}$ ${\displaystyle {C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\alpha }e_{K}^{\beta }}$

${\displaystyle {C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{J}^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\beta }e_{K}^{\alpha }=0.}$

Si ahora contratamos esto con , obtenemos ${\displaystyle e_{\gamma }^{I}e_{\delta }^{J}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left({C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{J}^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\beta }e_{K}^{\alpha }\right)e_{\gamma }^{I}e_{\delta }^{J}\\&={C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{\gamma }^{I}\delta _{\delta }^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}\delta _{\gamma }^{\beta }e_{K}^{\alpha }e_{\delta }^{J}\\&={C_{\delta I}}^{K}e_{\gamma }^{I}e_{K}^{\alpha }-{C_{\gamma J}}^{K}e_{\delta }^{J}e_{K}^{\alpha }\end{aligned}}}$

o

${\displaystyle {S_{\gamma \delta }}^{\alpha }={S_{(\gamma \delta )}}^{\alpha }.}$

Como tenemos y , podemos intercambiar sucesivamente los dos primeros y luego los dos últimos índices con el cambio de signo apropiado cada vez para obtener, ${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\alpha [\beta \gamma ]}}$ ${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=S_{(\alpha \beta )\gamma }}$

${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\beta \alpha \gamma }=-S_{\beta \gamma \alpha }=-S_{\gamma \beta \alpha }=S_{\gamma \alpha \beta }=S_{\alpha \gamma \beta }=-S_{\alpha \beta \gamma }}$

Reticente

${\displaystyle S_{\alpha \beta \gamma }=0,}$

o

${\displaystyle C_{\alpha IJ}e_{\beta }^{I}e_{\gamma }^{J}=0,}$

y como son invertibles, obtenemos . Este es el resultado deseado. ${\displaystyle e_{\alpha }^{I}}$ ${\displaystyle C_{\alpha IJ}=0}$

Véase también

• Tensor de Lanczos
• Tensor de Weyl

Referencias

1. A. Palatini (1919) Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton , Rend. Circo. Estera. Palermo 43 , 203-212 [Traducción al inglés de R.Hojman y C. Mukku en PG Bergmann y V. De Sabbata (eds.) Cosmology and Gravitation, Plenum Press, Nueva York (1980)]
2. A. Ashtekar "Conferencias sobre la gravedad canónica no perturbativa" (con contribuciones invitadas), Bibliopolis, Nápoles 19988.
3. Holst, Sören (15 de mayo de 1996). "Hamiltoniano de Barbero derivado de una acción generalizada de Hilbert-Palatini". Physical Review D . 53 (10): 5966–5969. arXiv : gr-qc/9511026 . Código Bibliográfico :1996PhRvD..53.5966H. doi :10.1103/physrevd.53.5966. ISSN  0556-2821. PMID  10019884. S2CID  15959938.
4. Barbero G., J. Fernando (1995-05-15). "Variables reales de Ashtekar para espacios-tiempos de firma lorentziana". Physical Review D . 51 (10): 5507–5510. arXiv : gr-qc/9410014 . Código Bibliográfico :1995PhRvD..51.5507B. doi :10.1103/physrevd.51.5507. ISSN  0556-2821. PMID  10018309. S2CID  16314220.
5. Immirzi, Giorgio (1997-10-01). "Conexiones reales y complejas para la gravedad canónica". Gravedad clásica y cuántica . 14 (10). IOP Publishing: L177–L181. arXiv : gr-qc/9612030 . Bibcode :1997CQGra..14L.177I. doi :10.1088/0264-9381/14/10/002. ISSN  0264-9381. S2CID  5795181.
6. Romano, Joseph D. (1993). "Geometrodynamics vs. connection dynamics". Relatividad general y gravitación . 25 (8): 759–854. arXiv : gr-qc/9303032 . Código Bibliográfico :1993GReGr..25..759R. doi :10.1007/bf00758384. ISSN  0001-7701. S2CID  119359223.