Restricción hamiltoniana

Restricción clave en algunas teorías que admiten formulaciones hamiltonianas

La restricción hamiltoniana surge de cualquier teoría que admita una formulación hamiltoniana y sea invariante respecto de la reparametrización . La restricción hamiltoniana de la relatividad general es un ejemplo importante y no trivial.

En el contexto de la relatividad general, la restricción hamiltoniana se refiere técnicamente a una combinación lineal de restricciones de difeomorfismos espaciales y temporales que reflejan la reparametrización de la teoría en coordenadas tanto espaciales como temporales. Sin embargo, la mayoría de las veces el término restricción hamiltoniana se reserva para la restricción que genera difeomorfismos temporales.

El ejemplo más simple: el sistema de reloj y péndulo parametrizado

Parametrización

En su presentación habitual, la mecánica clásica parece otorgar al tiempo un papel especial como variable independiente. Sin embargo, esto no es necesario. La mecánica puede formularse para tratar la variable del tiempo en el mismo plano que las demás variables en un espacio de fases extendido, parametrizando la(s) variable(s) temporal(es) en términos de una variable de parámetro común, aunque no especificada. Las variables del espacio de fases están en el mismo plano.

Introducimos como etiquetado de parámetros no físicos diferentes correlaciones posibles entre la lectura horaria del reloj y el alargamiento del péndulo. es un parámetro no físico y hay muchas opciones diferentes para él. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \tau }$

Digamos que nuestro sistema está compuesto por un péndulo que ejecuta un movimiento armónico simple y un reloj. Mientras que el sistema podría describirse clásicamente mediante una posición x=x(t), con x definida como una función del tiempo, también es posible describir el mismo sistema como x( ) y t( ), donde la relación entre x y t no está especificada directamente. En cambio, x y t están determinados por el parámetro , que es simplemente un parámetro del sistema, que posiblemente no tenga un significado objetivo por sí mismo. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

El sistema se describiría por la posición de un péndulo desde el centro, denotada , y la lectura del reloj, denotada . Ponemos estas variables en el mismo plano introduciendo un parámetro ficticio , cuya 'evolución' con respecto a nos lleva continuamente a través de cada correlación posible entre el desplazamiento y la lectura del reloj. Obviamente, la variable puede reemplazarse por cualquier función monótona , . Esto es lo que hace que el sistema sea invariante a la reparametrización. Nótese que por esta invariancia a la reparametrización la teoría no puede predecir el valor de o para un valor dado de , sino solo la relación entre estas cantidades. La dinámica está determinada entonces por esta relación. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle x(\tau ),\;\;\;\;t(\tau )}$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau '=f(\tau )}$ ${\displaystyle x(\tau )}$ ${\displaystyle t(\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$

Dinámica de este sistema invariante a la reparametrización

La acción para el oscilador armónico parametrizado es entonces donde y son coordenadas canónicas y y son sus momentos conjugados respectivamente y representan nuestro espacio de fase extendido (mostraremos que podemos recuperar las ecuaciones de Newton habituales a partir de esta expresión). Escribiendo la acción como identificamos como $${\displaystyle S=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p+{dt \over d\tau }p_{t}-\lambda \left(p_{t}+{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\right)\right],}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{t}}$ $${\displaystyle S=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p+{dt \over d\tau }p_{t}-{\mathcal {H}}(x,t;p,p_{t})\right]}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}(x,t,\lambda ;p,p_{t})=\lambda \left(p_{t}+{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\right).}$$

Las ecuaciones de Hamilton para son las que dan una restricción, ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle {\partial {\mathcal {H}} \over \partial \lambda }=0}$$ $${\displaystyle C=p_{t}+{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}=0.}$$

${\displaystyle C}$es nuestra restricción hamiltoniana! También se podría obtener de la ecuación de movimiento de Euler-Lagrange, notando que la acción depende de pero no de su derivada. Entonces las variables del espacio de fase extendido , , , y están restringidas a tomar valores en esta hipersuperficie de restricción del espacio de fase extendido. Nos referimos a la restricción hamiltoniana "manchada" donde es un número arbitrario. La restricción hamiltoniana "manchada" nos dice cómo una variable del espacio de fase extendido (o función de la misma) evoluciona con respecto a : (estas son en realidad las otras ecuaciones de Hamilton). Estas ecuaciones describen un flujo u órbita en el espacio de fase. En general, tenemos para cualquier función del espacio de fase . A medida que la restricción hamiltoniana Poisson conmuta consigo misma, se preserva a sí misma y, por lo tanto, a la hipersuperficie de la restricción. Las posibles correlaciones entre cantidades mensurables como y luego corresponden a "órbitas" generadas por la restricción dentro de la superficie de restricción, cada órbita particular diferenciada de las demás por, digamos, también medir el valor de, digamos, junto con y en un instante; Después de determinar la órbita particular, para cada medición podemos predecir el valor que tomará. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{t}}$ ${\displaystyle \lambda C}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle {dx \over d\tau }=\{x,\lambda C\},\;\;\;\;{dp \over d\tau }=\{p,\lambda C\}\;\;\;\;\;\;{dt \over d\tau }=\{t,\lambda C\},\;\;\;\;{dp_{t} \over d\tau }=\{p_{t},\lambda C\}}$$ $${\displaystyle {dF(x,p,t,p_{t}) \over d\tau }=\{F(x,p,t,p_{t}),\lambda C\}}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x(\tau )}$ ${\displaystyle t(\tau )}$ ${\displaystyle p(\tau )}$ ${\displaystyle x(\tau )}$ ${\displaystyle t(\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t(\tau )}$ ${\displaystyle x(\tau )}$

Desparametrización

Las otras ecuaciones de la mecánica hamiltoniana son $${\displaystyle {dx \over d\tau }={\partial {\mathcal {H}} \over \partial p},\;\;\;\;{dp \over d\tau }=-{\partial {\mathcal {H}} \over \partial x};\;\;\;\;\;\;{dt \over d\tau }={\partial {\mathcal {H}} \over \partial p_{t}},\;\;\;\;{dp_{t} \over d\tau }={\partial {\mathcal {H}} \over \partial t}.}$$

Al sustituir nuestra acción estos dan, $${\displaystyle {dx \over d\tau }=\lambda {p \over m},\;\;\;\;{dp \over d\tau }=-\lambda m\omega ^{2}x;\;\;\;\;\;\;{dt \over d\tau }=\lambda ,\;\;\;\;{dp_{t} \over d\tau }=0,}$$

Éstas representan las ecuaciones fundamentales que gobiernan nuestro sistema.

En el caso del sistema de reloj y péndulo parametrizado podemos por supuesto recuperar las ecuaciones de movimiento habituales en las que la variable independiente es: ${\displaystyle t}$

Ahora bien, esto se puede deducir por ${\displaystyle dx/dt}$ ${\displaystyle dp/dt}$

$${\displaystyle {dx \over dt}={dx \over d\tau }{\Big /}{dt \over d\tau }={\lambda p/m \over \lambda }={p \over m}}$$ $${\displaystyle {dp \over dt}={dp \over d\tau }{\Big /}{dt \over d\tau }={-\lambda m\omega ^{2}x \over \lambda }=-m\omega ^{2}x.}$$

Recuperamos la ecuación diferencial habitual para el oscilador armónico simple, $${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-\omega ^{2}x.}$$

También tenemos o ${\displaystyle dp_{t}/dt=dp_{t}/d\tau {\big /}dt/d\tau =0}$ ${\displaystyle p_{t}=\mathrm {const} .}$

¡Nuestra restricción hamiltoniana se ve entonces fácilmente como la condición de constancia de la energía! La desparametrización y la identificación de una variable temporal con respecto a la cual todo evoluciona es el proceso opuesto a la parametrización. Resulta en general que no todos los sistemas invariantes a la reparametrización pueden desparametrizarse. La relatividad general es un ejemplo físico de primera línea (aquí las coordenadas espacio-temporales corresponden a lo no físico y el hamiltoniano es una combinación lineal de restricciones que generan difeomorfismos espaciales y temporales). ${\displaystyle \tau }$

Razón por la cual podríamos desparametrizar aquí

La razón subyacente por la que podríamos desparametrizar (aparte del hecho de que ya sabemos que fue una reparametrización artificial en primer lugar) es la forma matemática de la restricción, es decir, $${\displaystyle C=p_{t}+C'(x,p).}$$

Sustituimos la restricción hamiltoniana en la acción original y obtenemos la acción estándar para el oscilador armónico. La relatividad general es un ejemplo de una teoría física en la que la restricción hamiltoniana no tiene la forma matemática anterior en general y, por lo tanto, no se puede desparametrizar en general. $${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p+{dt \over d\tau }p_{t}-\lambda (p_{t}+C'(x,p))\right]\\&=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p-{dt \over d\tau }C'(x,p)\right]\\&=\int dt\left[{dx \over dt}p-{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\right]\end{aligned}}}$$

Hamiltoniano de la relatividad general clásica

En la formulación ADM de la relatividad general , se divide el espacio-tiempo en porciones espaciales y tiempo, las variables básicas se toman como la métrica inducida , , en la porción espacial (la métrica inducida en la porción espacial por la métrica del espacio-tiempo), y su variable de momento conjugada relacionada con la curvatura extrínseca, , (esto nos dice cómo se curva la porción espacial con respecto al espacio-tiempo y es una medida de cómo la métrica inducida evoluciona en el tiempo). ^[1] Estas son las coordenadas canónicas métricas . ${\displaystyle q_{ab}(x)}$ ${\displaystyle K^{ab}(x)}$

La dinámica como la evolución temporal de los campos está controlada por la restricción hamiltoniana .

La identidad de la restricción hamiltoniana es una cuestión abierta importante en la gravedad cuántica , como lo es la extracción de observables físicos a partir de cualquier restricción específica de ese tipo.

En 1986, Abhay Ashtekar introdujo un nuevo conjunto de variables canónicas, las variables Ashtekar, para representar una forma inusual de reescribir las variables canónicas métricas en las porciones espaciales tridimensionales en términos de un campo de calibración SU(2) y su variable complementaria. ^[2] El hamiltoniano se simplificó mucho en esta reformulación. Esto condujo a la representación de bucles de la relatividad general cuántica y, a su vez, a la gravedad cuántica de bucles . ^[3]

Dentro de la representación de la gravedad cuántica de bucles, Thiemann formuló un operador matemáticamente riguroso como propuesta como tal restricción. ^[4] Aunque este operador define una teoría cuántica completa y consistente, se han planteado dudas ^{[¿ por quién? ]} en cuanto a la realidad física de esta teoría debido a inconsistencias con la relatividad general clásica (el álgebra de restricciones cuántica cierra, pero no es isomorfa al álgebra de restricciones clásica de la RG, que se ve como evidencia circunstancial de inconsistencias definitivamente no una prueba de inconsistencias), por lo que se han propuesto variantes.

Formulación métrica

La idea era cuantificar las variables canónicas y , convirtiéndolas en operadores que actúan sobre funciones de onda en el espacio de 3-métricas, y luego cuantificar el hamiltoniano (y otras restricciones). Sin embargo, este programa pronto se consideró desalentadoramente difícil por varias razones, una de ellas siendo la naturaleza no polinómica de la restricción hamiltoniana: donde es la curvatura escalar de las tres métricas . Al ser una expresión no polinómica en las variables canónicas y sus derivadas es muy difícil promover a un operador cuántico . ${\displaystyle q_{ab}}$ ${\displaystyle \pi ^{ab}={\sqrt {q}}(K^{ab}-q^{ab}K_{c}^{c})}$ $${\displaystyle H={\sqrt {\det(q)}}(K_{ab}K^{ab}-(K_{a}^{a})^{2}-{}^{3}R)}$$ ${\displaystyle \;^{3}R}$ ${\displaystyle q_{ab}(x)}$

Expresión que utiliza variables de Ashtekar

Las variables de configuración de las variables de Ashtekar se comportan como un campo o conexión de calibración . Su momento conjugado canónicamente es el campo o tríada "eléctrica" ​​densificada (densificada como ). ¿Qué tienen que ver estas variables con la gravedad? Las tríadas densificadas se pueden utilizar para reconstruir la métrica espacial mediante ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$

$${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}.}$$

Las tríadas densificadas no son únicas y, de hecho, se puede realizar una rotación local en el espacio con respecto a los índices internos . Este es, en realidad, el origen de la invariancia de calibración. La conexión se puede utilizar para reconstruir la curvatura extrínseca. La relación está dada por ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle SU(2)}$

$${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$$

donde está relacionado con la conexión de espín , , por y . ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{a\;\;i}^{\;\;j}}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$ ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

En términos de las variables Ashtekar, la expresión clásica de la restricción viene dada por,

$${\displaystyle H={\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}.}$$

donde el tensor de intensidad de campo del campo de calibración . Debido al factor esto no es polinómico en las variables de Ashtekar. Ya que imponemos la condición ${\displaystyle F_{ab}^{k}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\textstyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

$${\displaystyle H=0,}$$

Podríamos considerar en su lugar el hamiltoniano densificado,

$${\displaystyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H=\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}=0.}$$

Este hamiltoniano es ahora polinomial de las variables de Ashtekar. Este desarrollo generó nuevas esperanzas para el programa de gravedad cuántica canónica. ^[5] Aunque las variables de Ashtekar tenían la virtud de simplificar el hamiltoniano, tienen el problema de que las variables se vuelven complejas. Cuando uno cuantiza la teoría es una tarea difícil asegurar que se recupera la relatividad general real en oposición a la relatividad general compleja. También hubo serias dificultades para promover el hamiltoniano densificado a un operador cuántico.

Una forma de abordar el problema de las condiciones de la realidad fue notar que si tomamos la firma como , que es euclidiana en lugar de lorentziana, entonces se puede conservar la forma simple del hamiltoniano para pero para variables reales. Entonces se puede definir lo que se llama una rotación de Wick generalizada para recuperar la teoría lorentziana. ^[6] Generalizada ya que es una transformación de Wick en el espacio de fases y no tiene nada que ver con la continuación analítica del parámetro de tiempo . ${\displaystyle (+,+,+,+)}$ ${\displaystyle t}$

Expresión para la formulación real de las variables de Ashtekar

Thomas Thiemann abordó ambos problemas anteriores. ^[4] Utilizó la conexión real

$${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}}$$

En las variables reales de Ashtekar, el hamiltoniano completo es

$${\displaystyle H=-\zeta {\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}+2{\zeta \beta ^{2}-1 \over \beta ^{2}}{({\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}-{\tilde {E}}_{j}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}) \over {\sqrt {\det(q)}}}(A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i})(A_{b}^{j}-\Gamma _{b}^{j})=H_{E}+H'.}$$

donde la constante es el parámetro de Barbero-Immirzi . ^[7] La ​​constante es -1 para la firma de Lorentz y +1 para la firma euclidiana. Tienen una relación complicada con las tríadas densificadas y causan serios problemas en la cuantificación. Las variables de Ashtekar pueden verse como la elección de hacer que el segundo término más complicado se desvanezca (el primer término se denota porque para la teoría euclidiana este término permanece para la elección real de ). También todavía tenemos el problema del factor. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle \beta =i}$ ${\displaystyle H_{E}}$ ${\displaystyle \beta =\pm 1}$ ${\textstyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

Thiemann fue capaz de hacer que funcionara en la realidad . Primero pudo simplificar lo problemático usando la identidad ${\displaystyle \beta }$ ${\textstyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

$${\displaystyle \{A_{c}^{k},V\}={\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$$

¿Dónde está el volumen? ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle V=\int d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int d^{3}x{\sqrt {\left|{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}\epsilon ^{ijk}\epsilon _{abc}\right|}}.}$$

El primer término de la restricción hamiltoniana se convierte en

$${\displaystyle H_{E}=\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}{\tilde {\epsilon }}^{abc}}$$

al utilizar la identidad de Thiemann. Este corchete de Poisson se reemplaza por un conmutador al cuantificar. Resulta que se puede utilizar un truco similar para determinar el segundo término. ¿Por qué se dan por las tríadas densificadas ? En realidad, se debe a la ley de Gauss. ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

$${\displaystyle D_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0.}$$

Podemos resolver esto de la misma manera que se puede calcular la conexión de Levi-Civita a partir de la ecuación ; rotando los diversos índices y luego sumándolos y restándolos. El resultado es complicado y no lineal. Para evitar los problemas introducidos por esta complicada relación, Thiemann define primero la cantidad invariante de calibre de Gauss ${\displaystyle \nabla _{c}g_{ab}=0}$

$${\displaystyle K=\int d^{3}xK_{a}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{a}}$$

donde , y señala que ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

$${\displaystyle K_{a}^{i}=\{A_{a}^{i},K\}.}$$

Entonces podemos escribir

$${\displaystyle A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i}=\beta K_{a}^{i}=\beta \{A_{a}^{i},K\}}$$

y como tal encontramos una expresión en términos de la variable de configuración y . Obtenemos para el segundo término del hamiltoniano ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle H'=\epsilon ^{abc}\epsilon _{ijk}\{A_{a}^{i},K\}\{A_{b}^{j},K\}\{A_{c}^{k},V\}.}$$

¿Por qué es más fácil cuantificar ? Esto se debe a que se puede reescribir en términos de cantidades que ya sabemos cómo cuantificar. En concreto, se puede reescribir como ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle K=-\left\{V,\int d^{3}xH_{E}\right\}}$$

donde hemos utilizado que la traza densificada integrada de la curvatura extrínseca es la "derivada temporal del volumen".

Referencias

1. Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald. Gravitación . Nueva York: WH Freeman and company.
2. Ashtekar, Abhay (3 de noviembre de 1986). "Nuevas variables para la gravedad clásica y cuántica". Physical Review Letters . 57 (18). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 2244–2247. doi :10.1103/physrevlett.57.2244. ISSN  0031-9007.
3. Rovelli, Carlo; Smolin, Lee (5 de septiembre de 1988). "Teoría de nudos y gravedad cuántica". Physical Review Letters . 61 (10). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1155–1158. doi :10.1103/physrevlett.61.1155. ISSN  0031-9007.
4. Thiemann, T. (1996). "Formulación libre de anomalías de la gravedad cuántica lorentziana no perturbativa de cuatro dimensiones". Physics Letters B . 380 (3–4). Elsevier BV: 257–264. arXiv : gr-qc/9606088 . doi :10.1016/0370-2693(96)00532-1. ISSN  0370-2693.
5. Véase el libro Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity para obtener más detalles sobre este tema y su desarrollo posterior. Publicado por primera vez en 1991. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
6. Thiemann, T (1 de junio de 1996). "Condiciones de realidad que inducen transformaciones para la teoría de campos de calibración cuántica y la gravedad cuántica". Gravedad clásica y cuántica . 13 (6). IOP Publishing: 1383–1403. arXiv : gr-qc/9511057 . doi :10.1088/0264-9381/13/6/012. ISSN  0264-9381.
7. Barbero G., J. Fernando (15 de mayo de 1995). "Variables reales de Ashtekar para espacios-tiempos de firma lorentziana". Physical Review D . 51 (10). American Physical Society (APS): 5507–5510. arXiv : gr-qc/9410014 . doi :10.1103/physrevd.51.5507. ISSN  0556-2821.

Enlaces externos

• Reseña de Carlo Rovelli
• Buena información sobre LQG