constante de movimiento

En mecánica , una constante de movimiento es una cantidad física conservada durante todo el movimiento, que impone de hecho una restricción al movimiento. Sin embargo, es una restricción matemática , la consecuencia natural de las ecuaciones de movimiento , más que una restricción física (que requeriría fuerzas de restricción adicionales). Los ejemplos comunes incluyen energía , momento lineal , momento angular y el vector de Laplace-Runge-Lenz (para las leyes de fuerza del cuadrado inverso ).

Aplicaciones

Las constantes de movimiento son útiles porque permiten derivar las propiedades del movimiento sin resolver las ecuaciones de movimiento . En casos afortunados, incluso la trayectoria del movimiento puede derivarse como la intersección de isosuperficies correspondientes a las constantes de movimiento. Por ejemplo, la construcción de Poinsot muestra que la rotación sin torsión de un cuerpo rígido es la intersección de una esfera (conservación del momento angular total) y un elipsoide (conservación de energía), una trayectoria que de otro modo podría ser difícil de derivar y visualizar. Por tanto, la identificación de constantes de movimiento es un objetivo importante en mecánica .

Métodos para identificar constantes de movimiento.

Existen varios métodos para identificar constantes de movimiento.

• El enfoque más simple pero menos sistemático es la derivación intuitiva ("psíquica"), en la que se supone que una cantidad es constante (quizás debido a datos experimentales ) y luego se demuestra matemáticamente que se conserva durante todo el movimiento.
• Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi proporcionan un método sencillo y de uso común para identificar constantes de movimiento, particularmente cuando el hamiltoniano adopta formas funcionales reconocibles en coordenadas ortogonales .
• Another approach is to recognize that a conserved quantity corresponds to a symmetry of the Lagrangian. Noether's theorem provides a systematic way of deriving such quantities from the symmetry. For example, conservation of energy results from the invariance of the Lagrangian under shifts in the origin of time, conservation of linear momentum results from the invariance of the Lagrangian under shifts in the origin of space (translational symmetry) and conservation of angular momentum results from the invariance of the Lagrangian under rotations. The converse is also true; every symmetry of the Lagrangian corresponds to a constant of motion, often called a conserved charge or current.
• A quantity ${\displaystyle A}$ is a constant of the motion if its total time derivative is zero
  $${\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+\{A,H\},}$$
  which occurs when ${\displaystyle A}$'s Poisson bracket with the Hamiltonian equals minus its partial derivative with respect to time^[1]
  $${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=-\{A,H\}.}$$

Another useful result is Poisson's theorem, which states that if two quantities ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ are constants of motion, so is their Poisson bracket ${\displaystyle \{A,B\}}$.

A system with n degrees of freedom, and n constants of motion, such that the Poisson bracket of any pair of constants of motion vanishes, is known as a completely integrable system. Such a collection of constants of motion are said to be in involution with each other. For a closed system (Lagrangian not explicitly dependent on time), the energy of the system is a constant of motion (a conserved quantity).

In quantum mechanics

An observable quantity Q will be a constant of motion if it commutes with the Hamiltonian, H, and it does not itself depend explicitly on time. This is because

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \,}$$

$${\displaystyle [H,Q]=HQ-QH\,}$$

Derivation

Say there is some observable quantity Q which depends on position, momentum and time,

$${\displaystyle Q=Q(x,p,t)}$$

And also, that there is a wave function which obeys Schrödinger's equation

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi .}$$

Taking the time derivative of the expectation value of Q requires use of the product rule, and results in

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle &={\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|Q\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=\left({\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|\right)Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|Q\left({\frac {d}{dt}}\left|\psi \right\rangle \right)\\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle H\psi \right|Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|Q\left|H\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|HQ\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|QH\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \end{aligned}}}$$

So finally,

Comment

Para un estado arbitrario de un sistema de mecánica cuántica, si H y Q conmutan, es decir, si

$${\displaystyle \left[H,Q\right]=0}$$

Q

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0}$$

Pero si es una función propia del hamiltoniano, entonces incluso si ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \left[H,Q\right]\neq 0}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0}$$

Q

Derivación

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left(HQ-QH\right)|\psi \rangle }$$

$${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle \,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle &=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(E\langle \psi |Q|\psi \rangle -E\langle \psi |Q|\psi \rangle \right)\\[1ex]&=0\end{aligned}}}$$

Relevancia para el caos cuántico

En general, un sistema integrable tiene constantes de movimiento distintas a la energía. Por el contrario, la energía es la única constante de movimiento en un sistema no integrable ; Estos sistemas se denominan caóticos. En general, un sistema mecánico clásico sólo puede cuantificarse si es integrable; En 2006, no se conoce ningún método consistente para cuantificar sistemas dinámicos caóticos.

integral de movimiento

Una constante de movimiento se puede definir en un campo de fuerza dado como cualquier función de las coordenadas del espacio de fase (posición y velocidad, o posición y momento) y el tiempo que es constante a lo largo de una trayectoria. Un subconjunto de las constantes de movimiento son las integrales de movimiento , o primeras integrales , definidas como cualquier función de únicamente las coordenadas del espacio de fases que son constantes a lo largo de una órbita. Toda integral de movimiento es una constante de movimiento, pero lo contrario no es cierto porque una constante de movimiento puede depender del tiempo. ^[2] Ejemplos de integrales de movimiento son el vector de momento angular, o un hamiltoniano sin dependencia del tiempo, como . Un ejemplo de una función que es una constante de movimiento pero no una integral de movimiento sería la función de un objeto que se mueve a velocidad constante en una dimensión. ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {v} }$ ${\textstyle H(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle C(x,v,t)=x-vt}$

Observables de Dirac

Para extraer información física de las teorías de calibre , se construyen observables invariantes de calibre o se fija un calibre. En un lenguaje canónico, esto generalmente significa construir funciones que conmutan en modo Poisson en la superficie de restricción con el medidor generando restricciones de primera clase o fijar el flujo de estas últimas seleccionando puntos dentro de cada órbita del medidor. Estos observables invariantes de calibre son, por tanto, las "constantes de movimiento" de los generadores de calibre y se denominan observables de Dirac.

Referencias

1. Landau, L.; Lifshitz, E. (1960). Mecánica . Prensa de Pérgamo. pag. 135.ISBN​ 0-7506-2896-0.
2. Binney, J. y Tremaine, S.: Dinámica galáctica. Prensa de la Universidad de Princeton. 27 de enero de 2008. ISBN 9780691130279. Consultado el 5 de mayo de 2011 .

• Griffiths, David J. (2004). Introducción a la Mecánica Cuántica (2ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.