En el análisis funcional , una disciplina dentro de las matemáticas , dada una C*-álgebra A , la construcción de Gelfand–Naimark–Segal establece una correspondencia entre *-representaciones cíclicas de A y ciertos funcionales lineales en A (llamados estados ). La correspondencia se muestra mediante una construcción explícita de la *-representación a partir del estado. Lleva el nombre de Israel Gelfand , Mark Naimark e Irving Segal .
Una *-representación de una C*-álgebra A en un espacio de Hilbert H es una aplicación de π de A en el álgebra de operadores acotados en H tal que
Un estado en una C*-álgebra A es una funcional lineal positiva f de norma 1. Si A tiene un elemento unitario multiplicativo, esta condición es equivalente a f (1) = 1.
Para una representación π de una C*-álgebra A en un espacio de Hilbert H , un elemento ξ se denomina vector cíclico si el conjunto de vectores
es densa en H , en cuyo caso π se denomina representación cíclica . Cualquier vector distinto de cero de una representación irreducible es cíclico. Sin embargo, los vectores distintos de cero en una representación cíclica general pueden no ser cíclicos.
Sea π una *-representación de una C*-álgebra A en el espacio de Hilbert H y ξ un vector cíclico de norma unitaria para π. Entonces es un estado de A .
Por el contrario, cada estado de A puede verse como un estado vectorial como el anterior, bajo una representación canónica adecuada.
Teorema. [1] — Dado un estado ρ de A , existe una *-representación π de A que actúa sobre un espacio de Hilbert H con vector cíclico unitario distinguido ξ tal que para cada a en A .
Definir en A una forma sesquilínea semidefinida
Por la desigualdad de Cauchy–Schwarz , los elementos degenerados, a en A que satisfacen ρ( a* a )= 0, forman un subespacio vectorial I de A . Por un argumento C*-algebraico, se puede demostrar que I es un ideal izquierdo de A (conocido como el núcleo izquierdo de ρ). De hecho, es el ideal izquierdo más grande en el espacio nulo de ρ . El espacio cociente de A por el subespacio vectorial I es un espacio de producto interno con el producto interno definido por . La completitud de Cauchy de A / I en la norma inducida por este producto interno es un espacio de Hilbert, que denotamos por H .Si A tiene una identidad multiplicativa 1, entonces es inmediato que la clase de equivalencia ξ en el espacio de Hilbert GNS H que contiene 1 es un vector cíclico para la representación anterior. Si A no es unitario, tome una identidad aproximada { e λ } para A . Dado que los funcionales lineales positivos están acotados, las clases de equivalencia de la red { e λ } convergen a algún vector ξ en H , que es un vector cíclico para π .
De la definición del producto interno en el espacio de Hilbert GNS H se desprende claramente que el estado ρ puede recuperarse como un estado vectorial en H. Esto demuestra el teorema.El método utilizado para producir una *-representación a partir de un estado de A en la prueba del teorema anterior se denomina construcción GNS . Para un estado de un C*-álgebra A , la representación GNS correspondiente está determinada esencialmente de manera única por la condición, como se ve en el teorema siguiente.
Teorema. [2] — Dado un estado ρ de A , sean π, π' *-representaciones de A en espacios de Hilbert H , H ′ respectivamente cada uno con vectores cíclicos de norma unitaria ξ ∈ H , ξ' ∈ H ′ tales que para todo . Entonces π, π' son *-representaciones unitariamente equivalentes, es decir, hay un operador unitario U de H a H ′ tal que π'( a ) = Uπ( a )U* para todo a en A . El operador U que implementa la equivalencia unitaria mapea π( a )ξ a π'( a )ξ' para todo a en A .
La construcción GNS es el núcleo de la prueba del teorema de Gelfand–Naimark que caracteriza a las C*-álgebras como álgebras de operadores. La AC*-álgebra tiene suficientes estados puros (ver más abajo) para que la suma directa de las representaciones GNS irreducibles correspondientes sea fiel .
La suma directa de las representaciones GNS correspondientes de todos los estados se denomina representación universal de A. La representación universal de A contiene todas las representaciones cíclicas. Como cada *-representación es una suma directa de representaciones cíclicas, se deduce que cada *-representación de A es un sumando directo de alguna suma de copias de la representación universal.
Si Φ es la representación universal de una C*-álgebra A , el cierre de Φ( A ) en la topología del operador débil se denomina álgebra de von Neumann envolvente de A . Puede identificarse con el doble dual A** .
También es importante la relación entre las representaciones * irreducibles y los puntos extremos del conjunto convexo de estados. Una representación π en H es irreducible si y sólo si no hay subespacios cerrados de H que sean invariantes bajo todos los operadores π( x ) distintos de H mismo y el subespacio trivial {0}.
Teorema : El conjunto de estados de una C*-álgebra A con un elemento unitario es un conjunto compacto convexo bajo la topología débil-*. En general, (independientemente de si A tiene o no un elemento unitario) el conjunto de funcionales positivos de norma ≤ 1 es un conjunto compacto convexo.
Ambos resultados se derivan inmediatamente del teorema de Banach-Alaoglu .
En el caso conmutativo unitario, para el C*-álgebra C ( X ) de funciones continuas en algún compacto X , el teorema de representación de Riesz–Markov–Kakutani dice que los funcionales positivos de norma ≤ 1 son precisamente las medidas positivas de Borel en X con masa total ≤ 1. Se deduce del teorema de Krein–Milman que los estados extremales son las medidas de masa puntual de Dirac.
Por otra parte, una representación de C ( X ) es irreducible si y solo si es unidimensional. Por lo tanto, la representación GNS de C ( X ) correspondiente a una medida μ es irreducible si y solo si μ es un estado extremal. Esto es, de hecho, cierto para las C*-álgebras en general.
Teorema — Sea A una C*-álgebra. Si π es una *-representación de A en el espacio de Hilbert H con un vector cíclico de norma unitaria ξ, entonces π es irreducible si y solo si el estado correspondiente f es un punto extremo del conjunto convexo de funcionales lineales positivos en A de norma ≤ 1.
Para demostrar este resultado se observa primero que una representación es irreducible si y sólo si el conmutante de π( A ), denotado por π( A )', consiste en múltiplos escalares de la identidad.
Cualquier funcional lineal positivo g en A dominado por f tiene la forma para algún operador positivo T g en π( A )' con 0 ≤ T ≤ 1 en el orden de operadores. Esta es una versión del teorema de Radon-Nikodym .
Para tal g , se puede escribir f como una suma de funcionales lineales positivos: f = g + g' . Por lo tanto, π es unitariamente equivalente a una subrepresentación de π g ⊕ π g' . Esto demuestra que π es irreducible si y solo si cualquier π g es unitariamente equivalente a π, es decir, g es un múltiplo escalar de f , lo que prueba el teorema.
Los estados extremos suelen denominarse estados puros . Nótese que un estado es un estado puro si y solo si es extremal en el conjunto convexo de estados.
Los teoremas anteriores para las álgebras C* son válidos de manera más general en el contexto de las álgebras B* con identidad aproximada.
El teorema de factorización de Stinespring que caracteriza mapas completamente positivos es una generalización importante de la construcción GNS.
El artículo de Gelfand y Naimark sobre el teorema de Gelfand-Naimark se publicó en 1943. [3] Segal reconoció la construcción que estaba implícita en este trabajo y la presentó en forma más precisa. [4]
En su artículo de 1947, Segal demostró que, para cualquier sistema físico que pueda describirse mediante un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert, es suficiente considerar las representaciones irreducibles de un álgebra C*. En teoría cuántica, esto significa que el álgebra C* es generada por los observables. Esto, como señaló Segal, había sido demostrado anteriormente por John von Neumann sólo para el caso específico de la teoría no relativista de Schrödinger-Heisenberg. [5]
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