Grupo Witt

Término de álgebra

En matemáticas , un grupo de Witt de un campo , llamado así en honor a Ernst Witt , es un grupo abeliano cuyos elementos están representados por formas bilineales simétricas sobre el campo.

Definición

Fijemos un cuerpo k de característica no igual a dos. Se supondrá que todos los espacios vectoriales son de dimensión finita . Decimos que dos espacios dotados de formas bilineales simétricas son equivalentes si uno puede obtenerse del otro sumando un espacio cuadrático metabólico , es decir, cero o más copias de un plano hiperbólico , la forma bilineal simétrica bidimensional no degenerada con un vector de norma 0. ^[1] Cada clase está representada por la forma central de una descomposición de Witt . ^[2]

El grupo de Witt de k es el grupo abeliano W ( k ) de clases de equivalencia de formas bilineales simétricas no degeneradas, con la operación de grupo correspondiente a la suma directa ortogonal de formas. Se genera de forma aditiva por las clases de formas unidimensionales. ^[3] Aunque las clases pueden contener espacios de diferente dimensión, la paridad de la dimensión es constante a lo largo de una clase y por lo tanto rk : W ( k ) → Z /2 Z es un homomorfismo . ^[4]

Los elementos de orden finito en el grupo de Witt tienen orden de potencia de 2; ^{[5] [6]} el subgrupo de torsión es el núcleo de la función de W ( k ) a W ( k ^py ), donde k ^py es la clausura pitagórica de k ; ^[7] es generado por las formas de Pfister con una suma de cuadrados distinta de cero. ^[8] Si k no es formalmente real , entonces el grupo de Witt es torsión , con exponente de potencia de 2. ^[9] La altura del cuerpo k es el exponente de la torsión en el grupo de Witt, si este es finito, o ∞ en caso contrario. ^[8] ${\displaystyle \langle \!\langle w\rangle \!\rangle =\langle 1,-w\rangle }$ ${\displaystyle w}$

Estructura de anillo

Al grupo de Witt de k se le puede dar una estructura de anillo conmutativo , utilizando el producto tensorial de formas cuadráticas para definir el producto de anillo. Esto a veces se denomina anillo de Witt W ( k ), aunque el término "anillo de Witt" también se utiliza a menudo para un anillo completamente diferente de vectores de Witt .

Para discutir la estructura de este anillo asumimos que k tiene una característica distinta de 2, de modo que podemos identificar formas bilineales simétricas y formas cuadráticas.

El núcleo del homomorfismo de rango módulo 2 es un ideal primo , I , del anillo de Witt ^[4] denominado ideal fundamental . ^[10] Los homomorfismos de anillo de W ( k ) a Z corresponden a los ordenamientos de campo de k , al tomar la firma con respectivo al ordenamiento. ^[10] El anillo de Witt es un anillo de Jacobson . ^[9] Es un anillo noetheriano si y solo si hay un número finito de clases cuadradas ; es decir, si los cuadrados en k forman un subgrupo de índice finito en el grupo multiplicativo de k . ^[11]

Si k no es formalmente real, el ideal fundamental es el único ideal primo de W ^[12] y consiste precisamente en los elementos nilpotentes ; ^[9] W es un anillo local y tiene dimensión de Krull 0. ^[13]

Si k es real, entonces los elementos nilpotentes son precisamente aquellos de orden aditivo finito, y estos a su vez son las formas cuyas firmas son todas cero; ^[14] W tiene dimensión de Krull 1. ^[13]

Si k es un campo pitagórico real , entonces los divisores de cero de W son los elementos para los cuales alguna firma es cero; de lo contrario, los divisores de cero son exactamente el ideal fundamental. ^{[5] [15]}

Si k es un campo ordenado con cono positivo P entonces la ley de inercia de Sylvester se cumple para formas cuadráticas sobre k y la signatura define un homomorfismo de anillo de W ( k ) a Z , con núcleo un ideal primo K _P . Estos ideales primos están en biyección con los ordenamientos X _k de k y constituyen el espectro ideal primo mínimo MinSpec  W ( k ) de W ( k ). La biyección es un homeomorfismo entre MinSpec  W ( k ) con la topología de Zariski y el conjunto de ordenamientos X _k con la topología de Harrison . ^[16]

La n -ésima potencia del ideal fundamental se genera aditivamente mediante las n - formas de Pfister . ^[17]

Ejemplos

• El anillo de Witt de C , y de hecho de cualquier campo algebraicamente cerrado o cuadráticamente cerrado , es Z /2 Z . ^[18]
• El anillo de Witt de R es Z . ^[18]
• El anillo de Witt de un cuerpo finito F _q con q impar es Z /4 Z si q ≡ 3 mod 4 e isomorfo al anillo de grupo ( Z /2 Z )[ F* / F* ² ] si q ≡ 1 mod 4. ^[19]
• El anillo de Witt de un campo local con ideal máximo de norma congruente con 1 módulo 4 es isomorfo al anillo de grupo ( Z /2 Z )[ V ] donde V es el 4-grupo de Klein . ^[20]
• El anillo de Witt de un campo local con ideal máximo de norma congruente con 3 módulo 4 es ( Z /4 Z )[ C ₂ ] donde C ₂ es un grupo cíclico de orden 2. ^[20]
• El anillo de Witt de Q ₂ es de orden 32 y está dado por ^[21]

${\displaystyle \mathbf {Z} _{8}[s,t]/\langle 2s,2t,s^{2},t^{2},st-4\rangle .}$

Invariantes

Ciertos invariantes de una forma cuadrática pueden considerarse funciones de clases de Witt. Hemos visto que la dimensión módulo 2 es una función de clases: el discriminante también está bien definido. El invariante de Hasse de una forma cuadrática es nuevamente una función bien definida de clases de Witt con valores en el grupo de Brauer del cuerpo de definición. ^[22]

Rango y discriminante

Definimos un anillo sobre K , Q ( K ), como un conjunto de pares ( d ,  e ) con d en K* / K* ² y e en Z /2 Z . La suma y la multiplicación se definen por:

${\displaystyle (d_{1},e_{1})+(d_{2},e_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2})}$

${\displaystyle (d_{1},e_{1})\cdot (d_{2},e_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2}).}$

Luego hay un homomorfismo de anillo sobreyectivo de W ( K ) a este obtenido al mapear una clase a un discriminante y rango módulo 2. El núcleo es I ² . ^[23] Los elementos de Q pueden considerarse como extensiones cuadráticas graduadas clasificadoras de K . ^[24]

Grupo Brauer-Wall

El triple de discriminante, rango módulo 2 e invariante de Hasse define una función desde W ( K ) al grupo Brauer–Wall BW( K ). ^[25]

Anillo de Witt de un campo local

Sea K un cuerpo local completo con valoración v , uniformizador π y cuerpo de residuos k de característica distinta de 2. Hay una inyección W ( k ) → W ( K ) que eleva la forma diagonal ⟨ a ₁ ,... a _n ⟩ a ⟨ u ₁ ,... u _n ⟩ donde u _i es una unidad de K con imagen a _i en k . Esto produce

${\displaystyle W(K)=W(k)\oplus \langle \pi \rangle \cdot W(k)}$

identificando W ( k ) con su imagen en W ( K ). ^[26]

Anillo de Witt de un cuerpo numérico

Sea K un cuerpo de números . Para formas cuadráticas sobre K , existe un invariante de Hasse ±1 para cada lugar finito correspondiente a los símbolos de Hilbert . Los invariantes de una forma sobre un cuerpo de números son precisamente la dimensión, el discriminante, todos los invariantes de Hasse locales y las firmas provenientes de incrustaciones reales. ^[27]

Definimos el anillo de símbolos sobre K , Sym( K ), como un conjunto de tripletas ( d , e , f  ) con d en K* / K* ² , e en Z /2 y f una secuencia de elementos ±1 indexada por los lugares de K , sujeta a la condición de que todos los términos de f excepto un número finito sean +1, que el valor en lugares complejos sea +1 y que el producto de todos los términos en f sea +1. Sea [ a , b ] la secuencia de símbolos de Hilbert: satisface las condiciones sobre f recién enunciadas. ^[28]

Definimos la suma y la multiplicación de la siguiente manera:

${\displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})+(d_{2},e_{2},f_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2},[d_{1},d_{2}][-d_{1}d_{2},(-1)^{e_{1}e_{2}}]f_{1}f_{2})}$

${\displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})\cdot (d_{2},e_{2},f_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2},[d_{1},d_{2}]^{1+e_{1}e_{2}}f_{1}^{e_{2}}f_{2}^{e_{1}})\ .}$

Luego hay un homomorfismo de anillo sobreyectivo de W ( K ) a Sym( K ) obtenido al mapear una clase a un discriminante, rango módulo 2, y la secuencia de invariantes de Hasse. El núcleo es I ³ . ^[29]

El anillo simbólico es una realización del grupo Brauer-Wall. ^[30]

Anillo de los racionales de Witt

El teorema de Hasse-Minkowski implica que hay una inyección ^[31]

${\displaystyle W(\mathbf {Q} )\rightarrow W(\mathbf {R} )\oplus \prod _{p}W(\mathbf {Q} _{p})\ .}$

Hacemos esto concreto, y calculamos la imagen, usando el "homomorfismo de segundo residuo" W( Q _p ) → W( F _p ). Compuesto con la función W( Q ) → W( Q _p ) obtenemos un homomorfismo de grupo ∂ _p : W( Q ) → W( F _p ) (para p = 2 definimos ∂ ₂ como la valoración 2-ádica del discriminante, tomada módulo 2).

Tenemos entonces una secuencia exacta dividida ^[32]

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow W(\mathbf {Q} )\rightarrow \mathbf {Z} /2\oplus \bigoplus _{p\neq 2}W(\mathbf {F} _{p})\rightarrow 0\ }$

que puede escribirse como un isomorfismo

${\displaystyle W(\mathbf {Q} )\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\oplus \bigoplus _{p\neq 2}W(\mathbf {F} _{p})\ }$

donde el primer componente es la firma. ^[33]

Anillo de Witt y teoría K de Milnor

Sea k un cuerpo de característica no igual a 2. Las potencias del ideal I de formas de dimensión par ("ideal fundamental") en forma de filtración descendente y se puede considerar el anillo graduado asociado , que es la suma directa de cocientes . Sea la forma cuadrática considerada como un elemento del anillo de Witt. Entonces es un elemento de I y correspondientemente un producto de la forma ${\displaystyle W(k)}$ ${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle ax^{2}}$ ${\displaystyle \langle a\rangle -\langle 1\rangle }$

${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =(\langle a_{1}\rangle -\langle 1\rangle )\cdots (\langle a_{n}\rangle -\langle 1\rangle )}$

es un elemento de John Milnor en un artículo de 1970 ^[34] demostró que la aplicación de a que envía a es multilineal y asigna elementos de Steinberg (elementos tales que para algún y tal que uno tiene ) a cero. Esto significa que esta aplicación define un homomorfismo del anillo de Milnor de k al anillo graduado de Witt. Milnor mostró también que este homomorfismo envía elementos divisibles por 2 a cero y que es sobreyectivo. En el mismo artículo hizo una conjetura de que este homomorfismo es un isomorfismo para todos los cuerpos k (de característica diferente de 2). Esto se conoció como la conjetura de Milnor sobre formas cuadráticas. ${\displaystyle I^{n}.}$ ${\displaystyle (k^{*})^{n}}$ ${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle a_{i}+a_{j}=1}$

La conjetura fue probada por Dmitry Orlov, Alexander Vishik y Vladimir Voevodsky ^[35] en 1996 (publicada en 2007) para el caso , lo que llevó a una mayor comprensión de la estructura de las formas cuadráticas sobre campos arbitrarios. ${\displaystyle {\textrm {char}}(k)=0}$

Anillo de Grothendieck-Witt

El anillo de Grothendieck-Witt GW es una construcción relacionada generada por clases de isometría de espacios cuadráticos no singulares con adición dada por suma ortogonal y multiplicación dada por producto tensorial. Dado que dos espacios que difieren por un plano hiperbólico no se identifican en GW , la inversa para la adición necesita ser introducida formalmente a través de la construcción que fue descubierta por Grothendieck (ver grupo de Grothendieck ). Hay un homomorfismo natural GW → Z dado por dimensión: un cuerpo es cuadráticamente cerrado si y solo si este es un isomorfismo. ^[18] Los espacios hiperbólicos generan un ideal en GW y el anillo de Witt W es el cociente. ^[36] La potencia exterior le da al anillo de Grothendieck-Witt la estructura adicional de un λ-anillo . ^[37]

Ejemplos

• El anillo de Grothendieck-Witt de C , y de hecho de cualquier campo algebraicamente cerrado o campo cuadráticamente cerrado , es Z . ^[18]
• El anillo de Grothendieck-Witt de R es isomorfo al anillo de grupo Z [ C ₂ ], donde C ₂ es un grupo cíclico de orden 2. ^[18]
• El anillo de Grothendieck-Witt de cualquier cuerpo finito de característica impar es Z ⊕ Z /2 Z con multiplicación trivial en el segundo componente. ^[38] El elemento (1, 0) corresponde a la forma cuadrática ⟨ a ⟩ donde a no es un cuadrado en el cuerpo finito.
• El anillo de Grothendieck-Witt de un campo local con ideal máximo de norma congruente con 1 módulo 4 es isomorfo a Z ⊕ ( Z /2 Z ) ³ . ^[20]
• El anillo de Grothendieck-Witt de un cuerpo local con ideal máximo de norma congruente con 3 módulo 4 es Z' ⊕ Z /4 Z ⊕ Z /2 Z . ^[20]

Anillo de Grothendieck-Witt y grupos de homotopía estables motívicos de esferas

Fabien Morel ^{[39] [40]} demostró que el anillo de Grothendieck-Witt de un campo perfecto es isomorfo al grupo de homotopía estable motívico de esferas π _0,0 (S ^0,0 ) (ver " Teoría de homotopía A¹ ").

Equivalencia de Witt

Se dice que dos campos son equivalentes de Witt si sus anillos de Witt son isomorfos.

Para los cuerpos globales existe un principio local-a-global: dos cuerpos globales son equivalentes de Witt si y solo si hay una biyección entre sus lugares tal que los cuerpos locales correspondientes son equivalentes de Witt. ^[41] En particular, dos cuerpos numéricos K y L son equivalentes de Witt si y solo si hay una biyección T entre los lugares de K y los lugares de L y un isomorfismo de grupo t entre sus grupos de clase cuadrada , preservando los símbolos de Hilbert de grado 2. En este caso el par ( T , t ) se denomina equivalencia de reciprocidad o equivalencia de símbolo de Hilbert de grado 2. ^[42] También se han estudiado algunas variaciones y extensiones de esta condición, como la "equivalencia de símbolo de Hilbert de grado l domesticado" . [ 43 ^]

Generalizaciones

Los grupos de Witt también pueden definirse de la misma manera para formas antisimétricas , y para formas cuadráticas , y más generalmente para formas ε-cuadráticas , sobre cualquier *-anillo R.

Los grupos resultantes (y generalizaciones de los mismos) se conocen como los grupos L simétricos de dimensión par L ^{2 k} ( R ) y los grupos L cuadráticos de dimensión par L _{2 k} ( R ). Los grupos L cuadráticos son 4-periódicos, siendo L ₀ ( R ) el grupo de Witt de las formas (1)-cuadráticas (simétricas), y L ₂ ( R ) el grupo de Witt de las formas (−1)-cuadráticas (antisimétricas); los grupos L simétricos no son 4-periódicos para todos los anillos, por lo tanto proporcionan una generalización menos exacta.

Los grupos L son objetos centrales en la teoría de la cirugía y forman uno de los tres términos de la secuencia exacta de la cirugía .

Véase también

• Altura reducida de un campo

Notas

1. Milnor y Husemoller (1973) pág. 14
2. Lorenz (2008) pág. 30
3. Milnor y Husemoller (1973) pág. 65
4. Milnor y Husemoller (1973) pág. 66
5. Lorenz (2008) pág. 37
6. Milnor y Husemoller (1973) pág. 72
7. Lam (2005) pág. 260
8. Lam (2005) pág. 395
9. Lorenz (2008) pág. 35
10. Lorenz (2008) pág. 31
11. Lam (2005) pág. 32
12. Lorenz (2008) pág. 33
13. Lam (2005) pág. 280
14. Lorenz (2008) pág. 36
15. Lam (2005) pág. 282
16. Lam (2005) págs. 277–280
17. Lam (2005) pág. 316
18. Lam (2005) pág. 34
19. Lam (2005) pág. 37
20. Lam (2005) pág. 152
21. Lam (2005) pág. 166
22. Lam (2005) pág. 119
23. Conner y Perlis (1984) pág. 12
24. Lam (2005) pág. 113
25. Lam (2005) pág. 117
26. Garibaldi, Merkurjev y Serre (2003) p.64
27. Conner y Perlis (1984) pág. 16
28. Conner y Perlis (1984) págs. 16-17
29. Conner y Perlis (1984) pág. 18
30. Lam (2005) pág. 116
31. Lam (2005) pág. 174
32. Lam (2005) pág. 175
33. Lam (2005) pág. 178
34. Milnor, John Willard (1970), "Teoría K algebraica y formas cuadráticas", Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318–344, doi :10.1007/BF01425486, ISSN  0020-9910, MR  0260844
35. Orlov, Dmitry; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007), "Una secuencia exacta para K _* ^M /2 con aplicaciones a formas cuadráticas", Anales de Matemáticas , 165 (1): 1–13, arXiv : math/0101023 , doi :10.4007/annals.2007.165.1
36. Lam (2005) pág. 28
37. Garibaldi, Merkurjev y Serre (2003) p.63
38. Lam (2005) p.36, Teorema 3.5
39. , Sobre el estable motívico π ₀ del espectro de la esfera, en: Axiomatic, Enriched and Motivic Homotopy Theory, págs. 219-260, JPC Greenlees (ed.), 2004 Kluwer Academic Publishers.
40. Fabien Morel, A ¹ - Topología algebraica sobre un cuerpo. Apuntes de clase de matemáticas 2052, Springer Verlag, 2012.
41. Perlis, R.; Szymiczek, K.; Conner, PE; Litherland, R. (1994). "Matching Witts with global fields". En Jacob, William B.; et al. (eds.). Avances recientes en geometría algebraica real y formas cuadráticas . Contemp. Math. Vol. 155. Providence, RI: American Mathematical Society . págs. 365–387. ISBN. 0-8218-5154-3.Zbl 0807.11024  .
42. Szymiczek, Kazimierz (1997). "Equivalencia de campos numéricos con símbolos de Hilbert". Monte Tatra. Matemáticas. Público . 11 : 7–16. Zbl  0978.11012.
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Referencias

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• Garibaldi, Skip ; Merkurjev, Alexander ; Serre, Jean-Pierre (2003). Invariantes cohomológicos en la cohomología de Galois . Serie de conferencias universitarias. Vol. 28. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-3287-5.Zbl 1159.12311  .
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN. 0-8218-1095-2.MR  2104929.Zbl 1068.11023  .​
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001
• Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con estructura, álgebras y temas avanzados . Springer. ISBN 978-0-387-72487-4.Zbl 1130.12001  .
• Milnor, Juan ; Husemoller, Dale (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol. 73. Springer-Verlag . ISBN 3-540-06009-X.Zbl 0292.10016  .
• Witt, Ernst (1936), "Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Korpern", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 176 (3): 31–44, Zbl  0015.05701

Lectura adicional

• Balmer, Paul (2005). "Grupos de Witt". En Friedlander, Eric M.; Grayson, DR (eds.). Manual de teoría K. Vol. 2. Springer-Verlag . Págs. 539–579. ISBN. 3-540-23019-X.Zbl 1115.19004  .

Enlaces externos

• Anillos de Witt en la enciclopedia Springer de matemáticas