Número de Pitágoras

En matemáticas , el número de Pitágoras o altura reducida de un cuerpo describe la estructura del conjunto de cuadrados del cuerpo. El número de Pitágoras p ( K ) de un cuerpo K es el entero positivo p más pequeño tal que toda suma de cuadrados en K es una suma de p cuadrados.

Un cuerpo pitagórico es un cuerpo con número pitagórico 1: es decir, toda suma de cuadrados ya es un cuadrado.

Ejemplos

Todo número real no negativo es un cuadrado, por lo tanto p ( R ) = 1.
Para un campo finito de característica impar , no todo elemento es un cuadrado, sino que todos son la suma de dos cuadrados, ^[1] por lo que p = 2.
Según el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange , todo número racional positivo es una suma de cuatro cuadrados, y no todos son sumas de tres cuadrados, por lo que p ( Q ) = 4.

Propiedades

Todo entero positivo aparece como el número de Pitágoras de algún campo formalmente real . ^[2]
El número de Pitágoras está relacionado con el Stufe por p ( F ) ≤ s ( F ) + 1. ^[3] Si F no es formalmente real entonces s ( F ) ≤ p ( F ) ≤ s ( F ) + 1, ^[4] y ambos casos son posibles: para F = C tenemos s = p = 1, mientras que para F = F ₅ tenemos s = 1, p = 2. ^[5]
Como consecuencia, el número de Pitágoras de un cuerpo no formalmente real es una potencia de 2, o 1 más que una potencia de 2. Todos estos casos ocurren: es decir, para cada par ( s , p ) de la forma (2 ^k ,2 ^k ) o (2 ^k ,2 ^k + 1), existe un cuerpo F tal que ( s ( F ), p ( F )) = ( s , p ). ^[6] Por ejemplo, cuerpos cuadráticamente cerrados (p. ej., C ) y cuerpos de característica 2 (p. ej., F ₂ ) dan ( s ( F ), p ( F )) = (1,1); para primos p ≡ 1 (mod 4), F _p y el cuerpo p -ádico Q _p dan (1,2); para primos p ≡ 3 (mod 4), F _p da (2,2), y Q _p da (2,3); Q ₂ da (4,4), y el campo de funciones Q ₂ ( X ) da (4,5).
El número de Pitágoras está relacionado con la altura de un cuerpo F : si F es formalmente real entonces h ( F ) es la potencia más pequeña de 2 que no es menor que p ( F ); si F no es formalmente real entonces h ( F ) = 2 s ( F ). ^[7]

Notas

^ Lam (2005) pág. 36
^ Lam (2005) pág. 398
^ Rajwade (1993) pág. 44
^ Rajwade (1993) pág. 228
^ Rajwade (1993) pág. 261
^ Lam (2005) pág. 396
^ Lam (2005) pág. 395

Referencias

Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN. 0-8218-1095-2.MR 2104929.Zbl 1068.11023 .
Rajwade, AR (1993). Squares . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 171. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-42668-5.Zbl 0785.11022 .