Stufe (álgebra)

En la teoría de campos , una rama de las matemáticas , el Stufe (/ ʃtuːfə /; alemán: nivel) s ( F ) de un campo F es el menor número de cuadrados que suman −1. Si −1 no se puede escribir como una suma de cuadrados, s ( F ) = . En este caso, F es un campo formalmente real . Albrecht Pfister demostró que Stufe, si es finito, es siempre una potencia de 2 y que, a la inversa, toda potencia de 2 ocurre. ^[1] ${\displaystyle \infty }$

potencias de 2

Si entonces para algún número natural . ^{[1] [2]} ${\displaystyle s(F)\neq \infty }$ ${\displaystyle s(F)=2^{k}}$ ${\displaystyle k}$

Prueba: Sea elegido tal que . Dejar . Luego hay elementos tales que ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle 2^{k}\leq s(F)<2^{k+1}}$ ${\displaystyle n=2^{k}}$ ${\displaystyle s=s(F)}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{s}\in F\setminus \{0\}}$

${\displaystyle 0=\underbrace {1+e_{1}^{2}+\cdots +e_{n-1}^{2}} _{=:\,a}+\underbrace {e_{n}^{2}+\cdots +e_{s}^{2}} _{=:\,b}\;.}$

Ambos y son sumas de cuadrados, y , ya que de lo contrario , contrario al supuesto de . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle s(F)<2^{k}}$ ${\displaystyle k}$

Según la teoría de las formas de Pfister , el producto es en sí mismo una suma de cuadrados, es decir, para algunos . Pero como también tenemos , y por lo tanto ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ab=c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}}$ ${\displaystyle c_{i}\in F}$ ${\displaystyle a+b=0}$ ${\displaystyle -a^{2}=ab}$

${\displaystyle -1={\frac {ab}{a^{2}}}=\left({\frac {c_{1}}{a}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {c_{n}}{a}}\right)^{2},}$

y por lo tanto . ${\displaystyle s(F)=n=2^{k}}$

Característica positiva

Cualquier campo con característica positiva tiene . ^[3] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle s(F)\leq 2}$

Prueba: Dejemos . Basta probar la pretensión de . ${\displaystyle p=\operatorname {char} (F)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Si entonces , entonces . ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle -1=1=1^{2}}$ ${\displaystyle s(F)=1}$

Si consideramos el conjunto de cuadrados. es un subgrupo de índice en el grupo cíclico con elementos. Así contiene exactamente elementos, y también . Ya que solo tiene elementos en total, y no puede ser disjunto , es decir, hay con y así . ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle S=\{x^{2}:x\in \mathbb {F} _{p}\}}$ ${\displaystyle S\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ ${\displaystyle p-1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\tfrac {p+1}{2}}}$ ${\displaystyle -1-S}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -1-S}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle S\ni x^{2}=-1-y^{2}\in -1-S}$ ${\displaystyle -1=x^{2}+y^{2}}$

Propiedades

El Stufe s ( F ) está relacionado con el número de Pitágoras p ( F ) por p ( F ) ≤ s ( F ) + 1. ^[4] Si F no es formalmente real entonces s ( F ) ≤ p ( F ) ≤ s ( F ) + 1. ^{[5] [6]} El orden aditivo de la forma (1), y por tanto el exponente del grupo de Witt de F, es igual a 2 s ( F ). ^{[7] [8]}

Ejemplos

• El Stufe de un campo cuadráticamente cerrado es 1. ^[8]
• El Stufe de un campo numérico algebraico es ∞, 1, 2 o 4 (teorema de Siegel). ^[9] Algunos ejemplos son Q , Q (√−1), Q (√−2) y Q (√−7). ^[7]
• El Stufe de un campo finito GF( q ) es 1 si q ≡ 1 mod 4 y 2 si q ≡ 3 mod 4. ^{[3] [8] [10]}
• La Stufe de un campo local de característica de residuo impar es igual a la de su campo de residuo. La Stufe del campo 2-ádico Q ₂ es 4. ^[9]

Notas

1. Rajwade (1993) p.13
2. Lam (2005) p.379
3. Rajwade (1993) p.33
4. Rajwade (1993) p.44
5. Rajwade (1993) p.228
6. Lam (2005) p.395
7. Milnor y Husemoller (1973) p.75
8. Lam (2005) p.380
9. Lam (2005) p.381
10. Singh, Sahib (1974). "Estufa de un campo finito". Fibonacci trimestral . 12 : 81–82. ISSN  0015-0517. Zbl  0278.12008.

Referencias

• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 67. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl  1068.11023.
• Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 73. Springer-Verlag . ISBN 3-540-06009-X. Zbl  0292.10016.
• Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 171. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.

Otras lecturas

• Knebusch, Manfred; Scharlau, Winfried (1980). Teoría algebraica de formas cuadráticas. Métodos genéricos y formas de Pfister . Seminario del DMV. vol. 1. Notas tomadas por Heisook Lee . Boston - Basilea - Stuttgart: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-1206-8. Zbl  0439.10011.