grupo witt

Término de álgebra

En matemáticas , un grupo de Witt de un campo , llamado así en honor a Ernst Witt , es un grupo abeliano cuyos elementos están representados por formas bilineales simétricas sobre el campo.

Definición

Fijar un campo k de característica no igual a dos. Se supondrá que todos los espacios vectoriales son de dimensión finita . Decimos que dos espacios dotados de formas bilineales simétricas son equivalentes si uno puede obtenerse del otro añadiendo un espacio cuadrático metabólico , es decir, cero o más copias de un plano hiperbólico , la forma bilineal simétrica bidimensional no degenerada con un vector de norma 0. ^[1] Cada clase está representada por la forma central de una descomposición de Witt . ^[2]

El grupo de Witt de k es el grupo abeliano W ( k ) de clases de equivalencia de formas bilineales simétricas no degeneradas, correspondiendo la operación de grupo a la suma directa ortogonal de formas. Es generado aditivamente por las clases de formas unidimensionales. ^[3] Aunque las clases pueden contener espacios de diferente dimensión, la paridad de la dimensión es constante en una clase y por lo tanto rk : W ( k ) → Z /2 Z es un homomorfismo . ^[4]

Los elementos de orden finito del grupo de Witt tienen orden una potencia de 2; ^{[5] [6]} el subgrupo de torsión es el núcleo del mapa functorial de W ( k ) a W ( k ^py ), donde k ^py es la clausura pitagórica de k ; ^[7] es generado por las formas de Pfister con una suma de cuadrados distinta de cero. ^[8] Si k no es formalmente real , entonces el grupo de Witt es torsión , con exponente una potencia de 2. ^[9] La altura del campo k es el exponente de la torsión en el grupo de Witt, si esta es finita, o ∞ en caso contrario. ^[8] ${\displaystyle \langle \!\langle w\rangle \!\rangle =\langle 1,-w\rangle }$ ${\displaystyle w}$

Estructura de anillo

Al grupo Witt de k se le puede dar una estructura de anillo conmutativa , utilizando el producto tensorial de formas cuadráticas para definir el producto del anillo. A esto a veces se le llama anillo de Witt W ( k ), aunque el término "anillo de Witt" también se usa a menudo para un anillo de vectores de Witt completamente diferente .

Para discutir la estructura de este anillo asumimos que k tiene una característica distinta de 2, de modo que podemos identificar formas bilineales simétricas y formas cuadráticas.

El núcleo del homomorfismo de rango mod 2 es un ideal primo , I , del anillo de Witt ^[4] denominado ideal fundamental . ^[10] Los homomorfismos de anillo de W ( k ) a Z corresponden a los ordenamientos de campo de k , tomando la firma con respecto al ordenamiento. ^[10] El anillo Witt es un anillo Jacobson . ^[9] Es un anillo noetheriano si y sólo si hay un número finito de clases cuadradas ; es decir, si los cuadrados en k forman un subgrupo de índice finito en el grupo multiplicativo de k . ^[11]

Si k no es formalmente real, el ideal fundamental es el único ideal primo de W ^[12] y consta precisamente de los elementos nilpotentes ; ^[9] W es un anillo local y tiene dimensión de Krull 0. ^[13]

Si k es real, entonces los elementos nilpotentes son precisamente aquellos de orden aditivo finito, y éstos a su vez son las formas cuyas firmas son todas cero; ^[14] W tiene dimensión Krull 1. ^[13]

Si k es un campo pitagórico real , entonces los divisores cero de W son los elementos para los cuales alguna firma es cero; de lo contrario, los divisores cero son exactamente el ideal fundamental. ^{[5] [15]}

Si k es un campo ordenado con cono positivo P, entonces la ley de inercia de Sylvester se cumple para formas cuadráticas sobre k y la firma define un homomorfismo de anillo de W ( k ) a Z , con el núcleo como ideal primo K _P. Estos ideales primos están en biyección con los ordenamientos X _k de k y constituyen el espectro ideal primo mínimo MinSpec  W ( k ) de W ( k ). La biyección es un homeomorfismo entre MinSpec  W ( k ) con la topología de Zariski y el conjunto de ordenamientos Xk con la topología de _Harrison . ^[dieciséis]

La enésima potencia del ideal fundamental se genera de forma aditiva mediante las n formas de Pfister . ^[17]

Ejemplos

• El anillo de Witt de C , y de hecho cualquier campo algebraicamente cerrado o cuadráticamente cerrado , es Z /2 Z. ^[18]
• El anillo de Witt de R es Z. ^[18]
• El anillo de Witt de un campo finito F _q con q impar es Z /4 Z si q ≡ 3 mod 4 e isomorfo al anillo de grupo ( Z /2 Z )[ F* / F* ² ] si q ≡ 1 mod 4. ^[19]
• El anillo de Witt de un campo local con ideal máximo de norma congruente con 1 módulo 4 es isomorfo al anillo de grupo ( Z /2 Z )[ V ] donde V es el grupo 4 de Klein . ^[20]
• El anillo de Witt de un campo local con ideal máximo de norma congruente con 3 módulo 4 es ( Z /4 Z )[ C ₂ ] donde C ₂ es un grupo cíclico de orden 2. ^[20]
• El anillo de Witt de Q ₂ es de orden 32 y viene dado por ^[21]

${\displaystyle \mathbf {Z} _{8}[s,t]/\langle 2s,2t,s^{2},t^{2},st-4\rangle .}$

Invariantes

Ciertas invariantes de forma cuadrática pueden considerarse funciones en clases de Witt. Hemos visto que la dimensión mod 2 es una función sobre clases: el discriminante también está bien definido. La invariante de Hasse de forma cuadrática es nuevamente una función bien definida en clases de Witt con valores en el grupo de Brauer del campo de definición. ^[22]

Rango y discriminante

Definimos un anillo sobre K , Q ( K ), como un conjunto de pares ( d ,  e ) con d en K* / K* ² y e en Z /2 Z . La suma y la multiplicación se definen por:

${\displaystyle (d_{1},e_{1})+(d_{2},e_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2})}$

${\displaystyle (d_{1},e_{1})\cdot (d_{2},e_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2}).}$

Luego hay un homomorfismo de anillo sobreyectivo de W ( K ) a este obtenido al asignar una clase al discriminante y clasificar mod 2. El núcleo es I ² . ^[23] Se puede considerar que los elementos de Q clasifican extensiones cuadráticas graduadas de K. ^[24]

Grupo Brauer-Wall

El triple de discriminante, rango mod 2 e invariante de Hasse define un mapa desde W ( K ) hasta el grupo de Brauer-Wall BW ( K ). ^[25]

Anillo de Witt de un campo local.

Sea K un campo local completo con valoración v , uniformizador π y campo residual k de característica no igual a 2. Hay una inyección W ( k ) → W ( K ) que levanta la forma diagonal ⟨ a ₁ ,... a _n ⟩ a ⟨ u ₁ ,... u _n ⟩ donde u _i es una unidad de K con imagen a _i en k . Esto produce

${\displaystyle W(K)=W(k)\oplus \langle \pi \rangle \cdot W(k)}$

identificando W ( k ) con su imagen en W ( K ). ^[26]

Anillo Witt de un campo numérico

Sea K un campo numérico . Para formas cuadráticas sobre K , existe un invariante de Hasse ±1 para cada lugar finito correspondiente a los símbolos de Hilbert . Los invariantes de una forma sobre un campo numérico son precisamente la dimensión, el discriminante, todos los invariantes locales de Hasse y las firmas provenientes de incrustaciones reales. ^[27]

Definimos el anillo de símbolos sobre K , Sym( K ), como un conjunto de tripletas ( d , e , f  ) con d en K* / K* ² , e en Z /2 y f una secuencia de elementos ±1 indexados por los lugares de K , sujeto a la condición de que todos los términos de f , excepto un número finito, sean +1, que el valor en lugares complejos sea +1 y que el producto de todos los términos en f sea +1. Sea [ a , b ] la secuencia de símbolos de Hilbert: satisface las condiciones de f que acabamos de establecer. ^[28]

Definimos la suma y la multiplicación de la siguiente manera:

${\displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})+(d_{2},e_{2},f_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2},[d_{1},d_{2}][-d_{1}d_{2},(-1)^{e_{1}e_{2}}]f_{1}f_{2})}$

${\displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})\cdot (d_{2},e_{2},f_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2},[d_{1},d_{2}]^{1+e_{1}e_{2}}f_{1}^{e_{2}}f_{2}^{e_{1}})\ .}$

Luego hay un homomorfismo de anillo sobreyectivo de W ( K ) a Sym ( K ) obtenido al asignar una clase al discriminante, rango mod 2 y la secuencia de invariantes de Hasse. El núcleo es I ³ . ^[29]

El anillo simbólico es una creación del grupo Brauer-Wall. ^[30]

Anillo de Witt de los racionales.

El teorema de Hasse-Minkowski implica que hay una inyección ^[31]

${\displaystyle W(\mathbf {Q} )\rightarrow W(\mathbf {R} )\oplus \prod _{p}W(\mathbf {Q} _{p})\ .}$

Hacemos esto concreto y calculamos la imagen utilizando el "homomorfismo del segundo residuo" W( Q _p ) → W( F _p ). Compuesto con el mapa W( Q ) → W( Q _p ) obtenemos un homomorfismo de grupo ∂ _p : W( Q ) → W( F _p ) (para p = 2 definimos ∂ ₂ como la valoración 2-ádica del discriminante, tomado mod 2).

Entonces tenemos una secuencia exacta dividida ^[32]

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow W(\mathbf {Q} )\rightarrow \mathbf {Z} /2\oplus \bigoplus _{p\neq 2}W(\mathbf {F} _{p})\rightarrow 0\ }$

que se puede escribir como un isomorfismo

${\displaystyle W(\mathbf {Q} )\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\oplus \bigoplus _{p\neq 2}W(\mathbf {F} _{p})\ }$

donde el primer componente es la firma. ^[33]

Anillo de Witt y teoría K de Milnor

Sea k un campo de característica no igual a 2. Las potencias del ideal I de formas de dimensión par ("ideal fundamental") en forma de filtración descendente y se puede considerar el anillo graduado asociado , es decir, la suma directa de cocientes . Sea la forma cuadrática considerada como elemento del anillo de Witt. Entonces es un elemento de I y correspondientemente un producto de la forma ${\displaystyle W(k)}$ ${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle ax^{2}}$ ${\displaystyle \langle a\rangle -\langle 1\rangle }$

${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =(\langle a_{1}\rangle -\langle 1\rangle )\cdots (\langle a_{n}\rangle -\langle 1\rangle )}$

es un elemento de John Milnor en un artículo de 1970 ^[34] demostró que el mapeo desde a que envía a es multilineal y mapea elementos de Steinberg (elementos tales que para algunos y tales que uno tiene ) a cero. Esto significa que este mapeo define un homomorfismo desde el anillo de Milnor de k hasta el anillo de Witt graduado. Milnor demostró también que este homomorfismo envía elementos divisibles por 2 a cero y que es sobreyectivo. En el mismo artículo formuló la conjetura de que este homomorfismo es un isomorfismo para todos los campos k (de característica diferente de 2). Esto se conoció como la conjetura de Milnor sobre formas cuadráticas. ${\displaystyle I^{n}.}$ ${\displaystyle (k^{*})^{n}}$ ${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle a_{i}+a_{j}=1}$

La conjetura fue probada por Dmitry Orlov, Alexander Vishik y Vladimir Voevodsky ^[35] en 1996 (publicado en 2007) para el caso , lo que llevó a una mayor comprensión de la estructura de formas cuadráticas en campos arbitrarios. ${\displaystyle {\textrm {char}}(k)=0}$

Anillo Grothendieck-Witt

El anillo de Grothendieck-Witt GW es una construcción relacionada generada por clases de isometría de espacios cuadráticos no singulares con suma dada por suma ortogonal y multiplicación dada por producto tensorial. Dado que en GW no se identifican dos espacios que difieren en un plano hiperbólico , es necesario introducir formalmente el inverso de la suma a través de la construcción descubierta por Grothendieck (ver grupo de Grothendieck ). Existe un homomorfismo natural GW → Z dado por dimensión: un campo es cuadráticamente cerrado si y sólo si es un isomorfismo. ^[18] Los espacios hiperbólicos generan un ideal en GW y el anillo de Witt W es el cociente. ^[36] La potencia exterior le da al anillo de Grothendieck-Witt la estructura adicional de un anillo λ . ^[37]

Ejemplos

• El anillo de Grothendieck-Witt de C , y de hecho cualquier campo algebraicamente cerrado o cuadráticamente cerrado , es Z. ^[18]
• El anillo de Grothendieck-Witt de R es isomorfo al anillo del grupo Z [ C ₂ ], donde C ₂ es un grupo cíclico de orden 2. ^[18]
• El anillo de Grothendieck-Witt de cualquier campo finito de característica impar es Z ⊕ Z /2 Z con multiplicación trivial en el segundo componente. ^[38] El elemento (1, 0) corresponde a la forma cuadrática ⟨ a ⟩ donde a no es un cuadrado en el cuerpo finito.
• El anillo de Grothendieck-Witt de un campo local con ideal máximo de norma congruente con 1 módulo 4 es isomorfo a Z ⊕ ( Z /2 Z ) ³ . ^[20]
• El anillo de Grothendieck-Witt de un campo local con ideal máximo de norma congruente con 3 módulo 4 es Z' ⊕ Z /4 Z ⊕ Z /2 Z . ^[20]

Anillo de Grothendieck-Witt y grupos de esferas de homotopía estable motívica

Fabien Morel ^{[39] [40]} demostró que el anillo de Grothendieck-Witt de un campo perfecto es isomorfo al grupo de esferas de homotopía estable motívica π _0,0 (S ^0,0 ) (ver " Teoría de homotopía A¹ ").

Equivalencia de Witt

Se dice que dos campos son equivalentes de Witt si sus anillos de Witt son isomorfos.

Para los campos globales existe un principio de local a global: dos campos globales son equivalentes a Witt si y sólo si existe una biyección entre sus lugares tal que los campos locales correspondientes sean equivalentes a Witt. ^[41] En particular, dos campos numéricos K y L son equivalentes de Witt si y sólo si hay una biyección T entre los lugares de K y los lugares de L y un isomorfismo de grupo t entre sus grupos de clases cuadradas , preservando el grado 2 Hilbert símbolos. En este caso el par ( T , t ) se llama equivalencia de reciprocidad o equivalencia de símbolo de Hilbert de grado 2 . ^[42] También se han estudiado algunas variaciones y extensiones de esta condición, como la " equivalencia del símbolo de Hilbert de grado domesticado". ^[43]

Generalizaciones

Los grupos de Witt también se pueden definir de la misma manera para formas simétricas sesgadas , y para formas cuadráticas , y más generalmente formas ε-cuadráticas , sobre cualquier *-anillo R.

Los grupos resultantes (y sus generalizaciones) se conocen como grupos L simétricos de dimensión par L ^{2 k} ( R ) y grupos L cuadráticos de dimensión par L _{2 k} ( R ). Los L -grupos cuadráticos son 4-periódicos, siendo L ₀ ( R ) el grupo Witt de formas cuadráticas (1) (simétricas), y L ₂ ( R ) siendo el grupo Witt de formas cuadráticas (−1) ( sesgado-simétrico); Los grupos L simétricos no son 4-periódicos para todos los anillos, por lo que proporcionan una generalización menos exacta.

Los grupos L son objetos centrales en la teoría de la cirugía y forman uno de los tres términos de la secuencia exacta de la cirugía .

Ver también

• Altura reducida de un campo.

Notas

1. Milnor y Husemoller (1973) pág. 14
2. Lorenz (2008) pág. 30
3. Milnor y Husemoller (1973) pág. sesenta y cinco
4. Milnor y Husemoller (1973) pág. 66
5. Lorenz (2008) pág. 37
6. Milnor y Husemoller (1973) pág. 72
7. Lam (2005) pág. 260
8. Lam (2005) pág. 395
9. Lorenz (2008) p. 35
10. Lorenz (2008) pág. 31
11. Lam (2005) pág. 32
12. Lorenz (2008) pág. 33
13. Lam (2005) pág. 280
14. Lorenz (2008) pág. 36
15. Lam (2005) pág. 282
16. Lam (2005) págs. 277–280
17. Lam (2005) p.316
18. Lam (2005) pág. 34
19. Lam (2005) p.37
20. Lam (2005) p.152
21. Lam (2005) p.166
22. Lam (2005) p.119
23. Conner y Perlis (1984) p.12
24. Lam (2005) p.113
25. Lam (2005) p.117
26. Garibaldi, Merkurjev y Serre (2003) p.64
27. Conner y Perlis (1984) p.16
28. Conner y Perlis (1984) páginas 16-17
29. Conner y Perlis (1984) p.18
30. Lam (2005) p.116
31. Lam (2005) p.174
32. Lam (2005) p.175
33. Lam (2005) p.178
34. Milnor, John Willard (1970), "Teoría K algebraica y formas cuadráticas", Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318–344, doi :10.1007/BF01425486, ISSN  0020-9910, MR  0260844
35. Orlov, Dmitri; Vishik, Alejandro; Voevodsky, Vladimir (2007), "Una secuencia exacta para K _* ^M /2 con aplicaciones a formas cuadráticas", Annals of Mathematics , 165 (1): 1–13, arXiv : math/0101023 , doi :10.4007/annals.2007.165 .1
36. Lam (2005) pág. 28
37. Garibaldi, Merkurjev y Serre (2003) p.63
38. Lam (2005) p.36, Teorema 3.5
39. , Sobre el motívico estable π ₀ del espectro de la esfera, en: Axiomatic, Enriched and Motivic Homotopy Theory, págs. 219–260, JPC Greenlees (ed.), 2004 Kluwer Academic Publishers.
40. Fabien Morel, A ¹ -Topología algebraica sobre un campo. Apuntes de conferencias de matemáticas 2052, Springer Verlag, 2012.
41. Perlis, R.; Szymiczek, K.; Conner, PE; Litherland, R. (1994). "Emparejar Witts con campos globales". En Jacob, William B.; et al. (eds.). Avances recientes en geometría algebraica real y formas cuadráticas . Contemporáneo. Matemáticas. vol. 155. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 365–387. ISBN 0-8218-5154-3. Zbl  0807.11024.
42. Szymiczek, Kazimierz (1997). "Equivalencia de campos numéricos con símbolos de Hilbert". Monte Tatra. Matemáticas. Público . 11 : 7–16. Zbl  0978.11012.
43. Czogała, A. (1999). "Equivalencia de campos numéricos con símbolos de Hilbert dóciles de mayor grado". Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo . 69 : 175–185. doi :10.1007/bf02940871. Zbl  0968.11038.

Referencias

• Conner, Pierre E .; Perlis, Robert (1984). "Un estudio de formas de seguimiento de campos numéricos algebraicos" . Serie de Matemática Pura. vol. 2. Científico mundial. ISBN 9971-966-05-0. Zbl  0551.10017.
• Garibaldi, Saltar ; Merkurjev, Alejandro ; Serre, Jean-Pierre (2003). "Invariantes cohomológicas en la cohomología de Galois" . Ciclo de conferencias universitarias. vol. 28. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-3287-5. Zbl  1159.12311.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 67. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1095-2. SEÑOR  2104929. Zbl  1068.11023.
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, SEÑOR  1878556, Zbl  0984.00001
• Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con Estructura, Álgebras y Temas Avanzados . Saltador. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.
• Milnor, Juan ; Husemoller, Dale (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol. 73. Springer-Verlag . ISBN 3-540-06009-X. Zbl  0292.10016.
• Witt, Ernst (1936), "Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Korpern", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 176 (3): 31–44, Zbl  0015.05701

Otras lecturas

• Balmer, Paul (2005). "Grupos de ingenio". En Friedlander, Eric M.; Grayson, DR (eds.). Manual de teoría K. vol. 2. Springer-Verlag . págs. 539–579. ISBN 3-540-23019-X. Zbl  1115.19004.

enlaces externos

• Anillos de Witt en la enciclopedia de matemáticas de Springer