En matemáticas , el número de Pitágoras o altura reducida de un campo describe la estructura del conjunto de cuadrados del campo. El número de Pitágoras p ( K ) de un campo K es el entero positivo más pequeño p tal que cada suma de cuadrados en K es una suma de p cuadrados.
Un campo pitagórico es un campo con el número 1 de Pitágoras: es decir, toda suma de cuadrados ya es un cuadrado.
Ejemplos
Propiedades
- Cada número entero positivo ocurre como el número de Pitágoras de algún campo formalmente real . [2]
- El número de Pitágoras está relacionado con el Stufe por p ( F ) ≤ s ( F ) + 1. [3] Si F no es formalmente real entonces s ( F ) ≤ p ( F ) ≤ s ( F ) + 1, [4 ] y ambos casos son posibles: para F = C tenemos s = p = 1, mientras que para F = F 5 tenemos s = 1, p = 2. [5]
- Como consecuencia, el número de Pitágoras de un campo no formalmente real es una potencia de 2 o 1 más que una potencia de 2. Todos estos casos ocurren: es decir, para cada par ( s , p ) de la forma ( 2 k ,2 k ) o (2 k ,2 k + 1), existe un campo F tal que ( s ( F ), p ( F )) = ( s , p ). [6] Por ejemplo, campos cuadráticamente cerrados (por ejemplo, C ) y campos de característica 2 (por ejemplo, F 2 ) dan ( s ( F ), p ( F )) = (1,1); para primos p ≡ 1 (mod 4), F p y el campo p -ádico Q p dan (1,2); para primos p ≡ 3 (mod 4), F p da (2,2) y Q p da (2,3); Q 2 da (4,4), y el campo de función Q 2 ( X ) da (4,5).
- El número de Pitágoras está relacionado con la altura de un campo F : si F es formalmente real entonces h ( F ) es la potencia más pequeña de 2 que no es menor que p ( F ); si F no es formalmente real entonces h ( F ) = 2 s ( F ). [7]
Notas
- ^ Lam (2005) pág. 36
- ^ Lam (2005) pág. 398
- ^ Rajwade (1993) pág. 44
- ^ Rajwade (1993) pág. 228
- ^ Rajwade (1993) pág. 261
- ^ Lam (2005) pág. 396
- ^ Lam (2005) pág. 395
Referencias
