Anillo λ

En álgebra , un anillo λ o anillo lambda es un anillo conmutativo junto con algunas operaciones λ ⁿ sobre él que se comportan como las potencias exteriores de los espacios vectoriales . Muchos anillos considerados en la teoría K tienen una estructura de anillo λ natural. Los anillos λ también proporcionan un formalismo poderoso para estudiar una acción de las funciones simétricas sobre el anillo de polinomios , recuperando y extendiendo muchos resultados clásicos (Lascoux (2003)).

Los anillos λ fueron introducidos por Grothendieck  (1957, 1958, p. 148). Para más información sobre los anillos λ, véase Atiyah y Tall (1969), Knutson (1973), Hazewinkel (2009) y Yau (2010).

Motivación

Si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo k , entonces podemos formar la suma directa V ⊕  W , el producto tensorial V ⊗  W , y la n -ésima potencia exterior de V , Λ ⁿ ( V ). Todos estos son nuevamente espacios vectoriales de dimensión finita sobre k . Las mismas tres operaciones de suma directa, producto tensorial y potencia exterior también están disponibles cuando se trabaja con representaciones k -lineales de un grupo finito , cuando se trabaja con fibrados vectoriales sobre algún espacio topológico y en situaciones más generales.

Los anillos λ están diseñados para abstraer las propiedades algebraicas comunes de estas tres operaciones, donde también permitimos inversas formales con respecto a la operación de suma directa. (Estas inversas formales también aparecen en los grupos de Grothendieck , por lo que los grupos aditivos subyacentes de la mayoría de los anillos λ son grupos de Grothendieck). La adición en el anillo corresponde a la suma directa, la multiplicación en el anillo corresponde al producto tensorial y las operaciones λ a las potencias exteriores. Por ejemplo, el isomorfismo

${\displaystyle \Lambda ^{2}(V\oplus W)\cong \Lambda ^{2}(V)\oplus \left(\Lambda ^{1}(V)\otimes \Lambda ^{1}(W)\right)\oplus \Lambda ^{2}(W)}$

corresponde a la fórmula

${\displaystyle \lambda ^{2}(x+y)=\lambda ^{2}(x)+\lambda ^{1}(x)\lambda ^{1}(y)+\lambda ^{2}(y)}$

válido en todos los anillos λ, y el isomorfismo

${\displaystyle \Lambda ^{1}(V\otimes W)\cong \Lambda ^{1}(V)\otimes \Lambda ^{1}(W)}$

corresponde a la fórmula

${\displaystyle \lambda ^{1}(xy)=\lambda ^{1}(x)\lambda ^{1}(y)}$

Válido en todos los anillos λ. Los operadores λ de orden superior se rigen por fórmulas análogas, pero (mucho) más complicadas.

Motivación con paquetes de vectores

Si tenemos una secuencia corta y exacta de fibrados vectoriales sobre un esquema suave ${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}''\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}'\to 0,}$

Entonces, localmente, para un vecindario abierto suficientemente pequeño , tenemos el isomorfismo ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \bigwedge ^{n}{\mathcal {E}}|_{U}\cong \bigoplus _{i+j=n}\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}}'|_{U}\otimes \bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''|_{U}}$

Ahora, en el grupo de Grothendieck de (que en realidad es un anillo), obtenemos esta ecuación local de forma global y gratuita, a partir de las relaciones de equivalencia definitorias . Por lo tanto, ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\bigwedge ^{n}{\mathcal {E}}\right]&=\left[\bigoplus _{i+j=n}\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}}'\otimes \bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''\right]\\&=\sum _{i+j=n}\left[\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}}'\right]\cdot \left[\bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''\right]\end{aligned}}}$

demostrando la relación básica en un anillo λ, ^[1] que

${\displaystyle \lambda ^{n}(x+y)=\sum _{i+j=n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{j}(y).}$

Definición

Un anillo λ es un anillo conmutativo R junto con las operaciones λ ⁿ  : R → R para cada entero no negativo n . Se requiere que estas operaciones tengan las siguientes propiedades válidas para todos los x ,  y en R y todos los n, m  ≥ 0:

• λ0 ( x ) = ¹
• λ1 ( ^x ) = x
• λ ⁿ (1) = 0 si n  ≥ 2
• λ ^norte ( x  +  y ) = Σ _{yo + j = norte}  λ ^yo ( x ) λ ^j ( y )
• λ ⁿ ( xy ) = P _n ( λ ¹ ( x ), ..., λ ⁿ ( x ), λ ¹ ( y ), ..., λ ⁿ ( y ))
• λ ^norte (λ ^m ( x )) = P _{n , m} (λ ¹ ( x ), ..., λ ^mn ( x ))

donde P _n y P _n,m son ciertos polinomios universales con coeficientes enteros que describen el comportamiento de potencias exteriores en productos tensoriales y bajo composición. Estos polinomios pueden definirse de la siguiente manera.

Sean e ₁ , ..., e _mn los polinomios simétricos elementales en las variables X ₁ , ..., X _mn . Entonces P _{n , m} es el único polinomio en nm variables con coeficientes enteros tal que P _n,m ( e ₁ , ..., e _mn ) es el coeficiente de t ⁿ en la expresión

${\displaystyle \prod _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}\leq mn}(1+tX_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}})}$  

(Tal polinomio existe porque la expresión es simétrica en X _i y los polinomios simétricos elementales generan todos los polinomios simétricos.)

Ahora, sean e ₁ , ..., e _n los polinomios simétricos elementales en las variables X ₁ , ..., X _n y f ₁ , ..., f _n los polinomios simétricos elementales en las variables Y ₁ , ..., Y _n . Entonces P _n es el único polinomio en 2 n variables con coeficientes enteros tales que P _n ( e ₁ , ..., e _n , f ₁ , ..., f _n ) es el coeficiente de t ⁿ en la expresión

${\displaystyle \prod _{i,j=1}^{n}(1+tX_{i}Y_{j})}$

Variaciones

Los anillos λ definidos anteriormente son llamados "anillos λ especiales" por algunos autores, quienes usan el término "anillo λ" para un concepto más general donde se eliminan las condiciones en λ ⁿ (1), λ ⁿ ( xy ) y λ ^m (λ ⁿ ( x )).

Ejemplos

• El anillo Z de números enteros , con los coeficientes binomiales como operaciones (que también se definen para x negativo ) es un λ-anillo. De hecho, esta es la única λ-estructura en Z. Este ejemplo está estrechamente relacionado con el caso de los espacios vectoriales de dimensión finita mencionados en la sección Motivación anterior, identificando cada espacio vectorial con su dimensión y recordando que . ${\displaystyle \lambda ^{n}(x)={x \choose n}}$ ${\displaystyle \dim(\Lambda ^{n}(k^{x}))={x \choose n}}$
• De manera más general, cualquier anillo binomial se convierte en un anillo λ si definimos las λ-operaciones como los coeficientes binomiales, λ ⁿ ( x ) = (^xn
  _​). En estos anillos λ, todas las operaciones de Adams son la identidad.
• La teoría K K( X ) de un espacio topológico X es un anillo λ, con las operaciones lambda inducidas al tomar potencias externas de un fibrado vectorial.
• Dado un grupo G y un cuerpo base k , el anillo de representación R ( G ) es un anillo λ; las λ-operaciones son inducidas por las potencias exteriores de k -representaciones lineales del grupo G .
• El anillo Λ _Z de funciones simétricas es un λ-anillo. En los coeficientes enteros las λ-operaciones se definen por coeficientes binomiales como antes, y si e ₁ , e ₂ , ... denotan las funciones simétricas elementales, establecemos λ ⁿ ( e ₁ ) = e _n . Utilizando los axiomas para las λ-operaciones, y el hecho de que las funciones e _k son algebraicamente independientes y generan el anillo Λ _Z , esta definición puede extenderse de una manera única para convertir Λ _Z en un λ-anillo. De hecho, este es el λ-anillo libre en un generador, siendo el generador e ₁ . (Yau (2010, p.14)).

Otras propiedades y definiciones

Cada anillo λ tiene característica 0 y contiene el anillo λ Z como un subanillo λ.

Muchas nociones del álgebra conmutativa pueden extenderse a los λ-anillos. Por ejemplo, un λ-homomorfismo entre los λ-anillos R y S es un homomorfismo de anillo f : R → S tal que f (λ ⁿ ( x )) = λ ⁿ ( f ( x )) para todo x en R y todo n ≥ 0. Un λ-ideal en el λ-anillo R es un ideal I en R tal que λ ⁿ ( x ) ϵ I para todo x en R y todo n ≥ 1.

Si x es un elemento de un anillo λ y m es un entero no negativo tal que λ ^m ( x ) ≠ 0 y λ ⁿ ( x ) = 0 para todo n > m , escribimos dim( x ) = m y llamamos al elemento x de dimensión finita. No todos los elementos necesitan ser de dimensión finita. Tenemos dim( x + y ) ≤ dim( x ) + dim( y ) y el producto de elementos unidimensionales es unidimensional .

Véase también

• Clase Chern
• Función simétrica
• Teoría K
• Operación Adams
• Exponencial pletístico

Referencias

1. Pieter Belmans (23 de octubre de 2014). "Tres filtraciones en el anillo de Grothendieck de un proyecto".

• Atiyah, MF; Tall, DO (1969), "Representaciones de grupo, anillos λ y el homomorfismo J", Topology , 8 : 253–297, doi :10.1016/0040-9383(69)90015-9, MR  0244387
• Expo 0 y V de Berthelot, Pierre ; Alejandro Grothendieck ; Luc Illusie , eds. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des junctions et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Apuntes de clases de matemáticas 225 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . xii+700. doi :10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8.Sr. 0354655  .
• Grothendieck, Alexander (1957), "Anillos λ especiales", inédito
• Grothendieck, Alexander (1958), "La théorie desclasses de Chern", Bull. Soc. Matemáticas. Francia , 86 : 137–154, SEÑOR  0116023
• Hazewinkel, Michiel (2009), "Vectores de Witt. I.", Manual de álgebra. vol. 6 , Ámsterdam: Elsevier/Holanda Septentrional, págs. 319–472, arXiv : 0804.3888 , doi :10.1016/S1570-7954(08)00207-6, ISBN 978-0-444-53257-2, Sr.  2553661
• Knutson, Donald (1973), Anillos λ y la teoría de la representación del grupo simétrico , Lecture Notes in Mathematics, vol. 308, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0069217, MR  0364425
• Lascoux, Alain (2003), Funciones simétricas y operadores combinatorios en polinomios (PDF) , CBMS Reg. Conf. Ser. en Matemáticas 99, American Mathematical Society
• Soulé, C.; Abramovich, Dan; Burnol, J.-F.; Kramer, Jürg (1992). Lecciones sobre geometría de Arakelov . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 33. Trabajo conjunto con H. Gillet. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-47709-3.Zbl 0812.14015  .
• Yau, Donald (2010), Anillos lambda, Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., doi :10.1142/7664, ISBN 978-981-4299-09-1, Sr.  2649360