En álgebra, un anillo de Hilbert o un anillo de Jacobson es un anillo en el que cada ideal primo es una intersección de ideales primitivos . Para los anillos conmutativos, los ideales primitivos son los mismos que los ideales maximales, por lo que en este caso un anillo de Jacobson es uno en el que cada ideal primo es una intersección de ideales maximales.
Los anillos de Jacobson fueron introducidos independientemente por Wolfgang Krull (1951, 1952), quien los nombró en honor a Nathan Jacobson debido a su relación con los radicales de Jacobson , y por Oscar Goldman (1951), quien los nombró anillos de Hilbert en honor a David Hilbert debido a su relación con el Nullstellensatz de Hilbert .
Anillos de Jacobson y el Nullstellensatz
El Nullstellensatz de Hilbert de la geometría algebraica es un caso especial de la afirmación de que el anillo polinómico en un número finito de variables sobre un cuerpo es un anillo de Hilbert. Una forma general del Nullstellensatz afirma que si R es un anillo de Jacobson, entonces también lo es cualquier R -álgebra S finitamente generada . Además, el pullback de cualquier ideal maximal J de S es un ideal maximal I de R , y S/J es una extensión finita del cuerpo R/I .
En particular, un morfismo de tipo finito de anillos de Jacobson induce un morfismo de los espectros máximos de los anillos. Esto explica por qué para variedades algebraicas sobre cuerpos es a menudo suficiente trabajar con los ideales máximos en lugar de con todos los ideales primos, como se hacía antes de la introducción de los esquemas . Para anillos más generales, como los anillos locales , ya no es cierto que los morfismos de los anillos induzcan morfismos de los espectros máximos, y el uso de ideales primos en lugar de ideales máximos proporciona una teoría más clara.
Ejemplos
- Cualquier campo es un anillo de Jacobson.
- Cualquier dominio de ideales principales o dominio de Dedekind con radical de Jacobson cero es un anillo de Jacobson. En los dominios de ideales principales y dominios de Dedekind, los ideales primos distintos de cero ya son máximos, por lo que lo único que hay que comprobar es si el ideal cero es una intersección de ideales máximos. Pedir que el radical de Jacobson sea cero garantiza esto. En los dominios de ideales principales y dominios de Dedekind, el radical de Jacobson se anula si y solo si hay infinitos ideales primos.
- Cualquier álgebra finitamente generada sobre un anillo de Jacobson es un anillo de Jacobson. En particular, cualquier álgebra finitamente generada sobre un cuerpo o los números enteros, como el anillo de coordenadas de cualquier conjunto algebraico afín, es un anillo de Jacobson.
- Un anillo local tiene exactamente un ideal máximo, por lo que es un anillo de Jacobson exactamente cuando ese ideal máximo es el único ideal primo. Por lo tanto, cualquier anillo local conmutativo con dimensión de Krull cero es Jacobson, pero si la dimensión de Krull es 1 o más, el anillo no puede ser Jacobson.
- (Amitsur 1956) demostró que cualquier álgebra generada contablemente sobre un campo incontable es un anillo de Jacobson.
- Las álgebras de Tate sobre campos no arquimedianos son anillos de Jacobson.
- Un anillo conmutativo R es un anillo de Jacobson si y sólo si R [ x ], el anillo de polinomios sobre R , es un anillo de Jacobson. [1]
Caracterizaciones
Las siguientes condiciones en un anillo conmutativo R son equivalentes:
- R es un anillo de Jacobson
- Todo ideal primo de R es una intersección de ideales máximos.
- Todo ideal radical es una intersección de ideales máximos.
- Todo ideal de Goldman es máximo.
- Todo anillo cociente de R por un ideal primo tiene un radical de Jacobson cero .
- En cada anillo cociente, el radical nil es igual al radical de Jacobson.
- Toda álgebra finitamente generada sobre R que sea un cuerpo se genera finitamente como un R -módulo. ( Lema de Zariski )
- Todo ideal primo P de R tal que R / P tiene un elemento x con ( R / P )[x −1 ] un cuerpo es un ideal primo maximal.
- El espectro de R es un espacio de Jacobson , lo que significa que cada subconjunto cerrado es la clausura del conjunto de puntos cerrados que contiene.
- (Para anillos noetherianos R ): R no tiene ideales primos P tales que R / P sea un anillo semilocal unidimensional .
Notas
Referencias
- Amitsur, Shimshon A. (1956), "Álgebras sobre campos infinitos", Actas de la American Mathematical Society , 7 (1): 35–48, doi : 10.2307/2033240 , ISSN 0002-9939, JSTOR 2033240, MR 0075933
- Eisenbud, David (30 de marzo de 1995). Álgebra conmutativa . Springer. ISBN 0-387-94269-6.
- Goldman, Oscar (1951), "Los anillos de Hilbert y Hilbert Nullstellensatz", Mathematische Zeitschrift , 54 (2): 136–140, doi :10.1007/BF01179855, ISSN 0025-5874, MR 0044510
- Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 : sección 10. doi :10.1007/bf02684343. SEÑOR 0217086.
- "Jacobson_ring", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Kaplansky, Irving (1974), Anillos conmutativos (edición revisada), University of Chicago Press , ISBN 0-226-42454-5, Sr. 0345945
- Krull, Wolfgang (1951), "Jacobsonsche Ringe, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimensionstheorie", Mathematische Zeitschrift , 54 (4): 354–387, doi :10.1007/BF01238035, ISSN 0025-5874, SEÑOR 0047622
- Krull, Wolfgang (1952), "Jacobsonsches Radikal und Hilbertscher Nullstellensatz", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Cambridge, Mass., 1950, vol. 2, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 56–64, MR 0045097, archivado desde el original el 2014-11-29 , consultado el 2013-01-03
