Clase cuadrada

En un anillo conmutativo, una clase de equivalencia módulo cuadrados

En matemáticas, específicamente en álgebra abstracta , una clase cuadrada de un cuerpo es un elemento del grupo de clases cuadradas , el grupo cociente del grupo multiplicativo de elementos distintos de cero en el cuerpo módulo los elementos cuadrados del cuerpo. Cada clase cuadrada es un subconjunto de los elementos distintos de cero (un coconjunto del grupo multiplicativo) que consiste en los elementos de la forma xy ² donde x es un elemento fijo particular e y abarca todos los elementos del cuerpo distintos de cero. ^[1] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{\times }/F^{\times 2}}$

Por ejemplo, si , el cuerpo de los números reales , entonces es simplemente el grupo de todos los números reales distintos de cero (con la operación de multiplicación) y es el subgrupo de los números positivos (ya que cada número positivo tiene una raíz cuadrada real ). El cociente de estos dos grupos es un grupo con dos elementos, correspondientes a dos clases laterales : el conjunto de los números positivos y el conjunto de los números negativos. Por lo tanto, los números reales tienen dos clases cuadradas, los números positivos y los números negativos. ^[1] ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle F^{\times }}$ ${\displaystyle F^{\times 2}}$

Las clases cuadradas se estudian frecuentemente en relación con la teoría de las formas cuadráticas . ^[2] La razón es que si es un espacio vectorial y es una forma cuadrática y es un elemento de tal que , entonces para todo , y por lo tanto a veces es más conveniente hablar de las clases cuadradas que representa la forma cuadrática. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle q:V\to F}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle q(v)=a\in F^{\times }}$ ${\displaystyle u\in F^{\times }}$ ${\displaystyle q(uv)=au^{2}}$

Todo elemento del grupo de clases cuadradas es una involución . De ello se deduce que, si el número de clases cuadradas de un cuerpo es finito, debe ser una potencia de dos . ^[2]

Referencias

1. Salzmann, H. (2007), Los campos clásicos: características estructurales de los números reales y racionales, Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 112, Cambridge University Press, pág. 295, ISBN 9780521865166.
2. Szymiczek, Kazimierz (1997), Álgebra bilineal: Introducción a la teoría algebraica de formas cuadráticas, Álgebra, lógica y aplicaciones, vol. 7, CRC Press, págs. 29, 109, ISBN 9789056990763.