En matemáticas , el grupo de Brauer-Wall o supergrupo de Brauer o grupo de Brauer graduado para un cuerpo F es un grupo BW( F ) que clasifica álgebras de división central graduadas de dimensión finita sobre el cuerpo. Fue definido por primera vez por Terry Wall (1964) como una generalización del grupo de Brauer .
El grupo de Brauer de un cuerpo F es el conjunto de las clases de similitud de álgebras centrales simples de dimensión finita sobre F bajo la operación de producto tensorial , donde dos álgebras se denominan similares si los conmutantes de sus módulos simples son isomorfos . Cada clase de similitud contiene un álgebra de división única, por lo que los elementos del grupo de Brauer también pueden identificarse con clases de isomorfismo de álgebras de división centrales de dimensión finita. La construcción análoga para Z /2 Z - álgebras graduadas define el grupo de Brauer-Wall BW( F ). [1]
Propiedades
- El grupo Brauer B( F ) se inyecta en BW( F ) al asignar un CSA A al álgebra graduada que es A en grado cero.
- Wall (1964, teorema 3) demostró que existe una secuencia exacta
- 0 → B( F ) → BW( F ) → Q( F ) → 0
- donde Q( F ) es el grupo de extensiones cuadráticas graduadas de F , definidas como una extensión de Z /2 por F * / F *2 con multiplicación ( e , x )( f , y ) = ( e + f , (−1) ef xy ). La función de BW( F ) en Q( F ) es el invariante de Clifford definido al asignar un álgebra al par que consiste en su grado y determinante .
Ejemplos
- BW( C ) es isomorfo a Z /2 Z . Este es un aspecto algebraico de la periodicidad de Bott [ cita requerida ] del período 2 para el grupo unitario. Las 2 álgebras de superdivisión son C , C [γ] donde γ es un elemento impar del cuadrado 1 que conmuta con C .
- BW( R ) es isomorfo a Z /8 Z . Este es un aspecto algebraico de la periodicidad de Bott [ cita requerida ] del período 8 para el grupo ortogonal. Las 8 álgebras de superdivisión son R , R [ε], C [ε], H [δ], H , H [ε], C [δ], R [δ] donde δ y ε son elementos impares de los cuadrados −1 y 1, de modo que la conjugación por ellos en números complejos es conjugación compleja .
Notas
- ^ Lam (2005) págs. 98-99
- ^ Lam (2005) pág. 113
- ^ Lam (2005) pág. 115
Referencias
- Deligne, Pierre (1999), "Notas sobre espinores", en Deligne, Pierre ; Etingof, Pavel ; Freed, Daniel S. ; Jeffrey, Lisa C. ; Kazhdan, David ; Morgan, John W. ; Morrison, David R. ; Witten, Edward (eds.), Campos y cuerdas cuánticas: un curso para matemáticos, vol. 1, Material del Año especial sobre teoría cuántica de campos celebrado en el Instituto de estudios avanzados, Princeton, NJ, 1996-1997, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 99-135, ISBN 978-0-8218-1198-6, Sr. 1701598
- Lam, Tsit-Yuen (2005), Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 67, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2, MR 2104929, Zbl 1068.11023
- Wall, CTC (1964), "Grupos de Brauer graduados", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1964 (213): 187–199, doi :10.1515/crll.1964.213.187, ISSN 0075-4102, MR 0167498, S2CID 115679955 , Zbl 0125.01904
