Distribución de frecuencias de brechas preferenciales para primos de hasta 1.600 millones. Los picos ocurren en múltiplos de 6. [1]
Una brecha prima es la diferencia entre dos números primos sucesivos . La n -ésima brecha de primos, denotada g n o g ( p n ) es la diferencia entre los ( n + 1) -st y los n -ésimos números primos, es decir
Tenemos g 1 = 1, g 2 = g 3 = 2 y g 4 = 4. La secuencia ( g n ) de espacios primos se ha estudiado ampliamente; sin embargo, muchas preguntas y conjeturas siguen sin respuesta.
Por la definición de g n, todo primo se puede escribir como
Observaciones simples
La primera brecha, la más pequeña y la única prima impar , es la brecha de tamaño 1 entre 2, el único número primo par , y 3, el primer número primo impar. Todas las demás diferencias entre primos son iguales. Sólo hay un par de espacios consecutivos que tienen longitud 2: los espacios g 2 y g 3 entre los números primos 3, 5 y 7.
Para cualquier número entero n , el factorial n ! es el producto de todos los números enteros positivos hasta n inclusive . Luego en la secuencia
el primer término es divisible por 2, el segundo término es divisible por 3, y así sucesivamente. Por lo tanto, esta es una secuencia de n − 1 enteros compuestos consecutivos , y debe pertenecer a un espacio entre primos que tengan una longitud al menos n . Se deduce que hay espacios entre números primos que son arbitrariamente grandes, es decir, para cualquier número entero N , hay un número entero m con g m ≥ N.
Sin embargo, las brechas entre primos de n números pueden ocurrir en números mucho más pequeños que n !. Por ejemplo, el primer espacio entre primos de tamaño mayor que 14 ocurre entre los primos 523 y 541, mientras que 15! es el número mucho mayor 1307674368000.
La brecha promedio entre los primos aumenta a medida que el logaritmo natural de estos primos y, por lo tanto, la relación entre la brecha de los primos y los primos involucrados disminuye (y es asintóticamente cero). Esta es una consecuencia del teorema de los números primos . Desde una visión heurística, esperamos que la probabilidad de que la relación entre la longitud de la brecha y el logaritmo natural sea mayor o igual a un número positivo fijo k sea e − k ; en consecuencia, la relación puede ser arbitrariamente grande. De hecho, la relación entre la brecha y el número de dígitos de los números enteros involucrados aumenta sin límite. Esto es consecuencia de un resultado de Westzynthius. [2]
Por lo general, la relación de se llama mérito de la brecha g n . Informalmente, el mérito de una brecha g n puede considerarse como la relación entre el tamaño de la brecha en comparación con los tamaños promedio de las brechas principales en las proximidades de p n .
La brecha principal más grande conocida con extremos de brecha probable identificados tiene una longitud de 16 045 848, con números primos probables de 385 713 dígitos y un mérito M = 18,067, encontrada por Andreas Höglund en marzo de 2024. [3] La brecha principal más grande conocida con primos probados identificados como extremos de brecha tiene una longitud de 1.113.106 y un mérito de 25,90, con números primos de 18.662 dígitos encontrados por P. Cami, M. Jansen y JK Andersen. [4] [5]
En septiembre de 2022 [actualizar], el valor de mérito más grande conocido y el primero con mérito superior a 40, según lo descubierto por la red Gapcoin, es 41,93878373 con el número primo de 87 dígitos 293703234 0680225901587237661044194 6342570907557481176209858 8798217895728858676728143 227. La brecha entre este y el siguiente primo es 8350. [6] [7]
La relación Cramér-Shanks-Granville es la relación de g n / (ln( p n )) 2 . [6] Si descartamos valores anormalmente altos de la relación para los primos 2, 3, 7, entonces el mayor valor conocido de esta relación es 0,9206386 para el primo 1693182318746371. Se pueden encontrar otros términos de registro en OEIS : A111943 .
Decimos que g n es una brecha máxima , si g m < g n para todo m < n . En mayo de 2024 [actualizar], la brecha principal máxima más grande conocida tiene una longitud de 1572, encontrada por Craig Loizides. Es la 82.ª brecha entre primos máxima y ocurre después del primo 18571673432051830099. [11] Otros tamaños de brecha (máximos) récord se pueden encontrar en OEIS : A005250 , con los primos correspondientes p n en OEIS : A002386 , y los valores de n en OEIS : A005669 . Se conjetura que la secuencia de espacios máximos hasta el n -ésimo primo tiene aproximadamente términos [12] (ver tabla a continuación).
Otros resultados
Límites superiores
El postulado de Bertrand , probado en 1852, establece que siempre hay un número primo entre k y 2 k , por lo que en particular p n +1 < 2 p n , lo que significa g n < p n .
El teorema de los números primos , demostrado en 1896, dice que la longitud promedio de la brecha entre un primo p y el siguiente primo se aproximará asintóticamente a ln( p ), el logaritmo natural de p , para primos suficientemente grandes. La longitud real de la brecha podría ser mucho mayor o menor que esto. Sin embargo, se puede deducir del teorema de los números primos un límite superior para la longitud de los espacios entre primos:
Para cada hay un número tal que para todos
.
También se puede deducir que las brechas se vuelven arbitrariamente más pequeñas en proporción a los números primos: el cociente
Hoheisel (1930) fue el primero en demostrar [13] que existe una constante θ < 1 tal que
Hoheisel obtuvo el valor posible 32999/33000 para θ . Esto fue mejorado a 249/250 por Heilbronn , [14] y a θ = 3/4 + ε, para cualquier ε > 0, por Chudakov . [15]
Una mejora importante se debe a Ingham , [16] quien demostró que para alguna constante positiva c ,
Una consecuencia inmediata del resultado de Ingham es que siempre hay un número primo entre n 3 y ( n + 1) 3 , si n es suficientemente grande. [17] La hipótesis de Lindelöf implicaría que la fórmula de Ingham es válida para c cualquier número positivo: pero incluso esto no sería suficiente para implicar que existe un número primo entre n 2 y ( n + 1) 2 para n suficientemente grande (ver la hipótesis de Legendre). conjetura ). Para verificar esto, se necesitaría un resultado más sólido como la conjetura de Cramér .
Huxley en 1972 demostró que se puede elegir θ = 7/12 = 0,58(3). [18]
Un resultado, debido a Baker, Harman y Pintz en 2001, muestra que θ puede considerarse igual a 0,525. [19]
es decir, hay infinitas lagunas que no superan los 70 millones. [21] Un esfuerzo colaborativo del Proyecto Polymath para optimizar el límite de Zhang logró reducir el límite a 4680 el 20 de julio de 2013. [22] En noviembre de 2013, James Maynard introdujo un nuevo refinamiento del tamiz GPY , permitiéndole reducir el límite a 600 y demuestre que para cualquier m existe un intervalo acotado con un número infinito de traslaciones, cada una de las cuales contiene m números primos. [23] Utilizando las ideas de Maynard, el proyecto Polymath mejoró el límite a 246; [22] [24] asumiendo la conjetura de Elliott-Halberstam y su forma generalizada, el límite se ha reducido a 12 y 6, respectivamente. [22]
límites inferiores
En 1931, Erik Westzynthius demostró que las brechas máximas de primos crecen más que logarítmicamente. Es decir, [2]
En 1938, Robert Rankin demostró la existencia de una constante c > 0 tal que la desigualdad
es válido para infinitos valores de n , mejorando los resultados de Westzynthius y Paul Erdős . Más tarde demostró que se puede tomar cualquier constante c < e γ , donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . El valor de la constante c se mejoró en 1997 a cualquier valor inferior a 2 e γ . [25]
Paul Erdős ofreció un premio de 10.000 dólares por una prueba o refutación de que la constante c en la desigualdad anterior puede tomarse arbitrariamente grande. [26] Ford–Green–Konyagin–Tao y, de forma independiente, James Maynard demostraron que esto era correcto en 2014. [27] [28]
El resultado se mejoró aún más para
para infinitos valores de n por Ford-Green-Konyagin-Maynard-Tao. [29]
Siguiendo el espíritu del premio original de Erdős, Terence Tao ofreció 10.000 dólares por una prueba de que c puede tomarse arbitrariamente grande en esta desigualdad. [30]
También se han determinado los límites inferiores de las cadenas de números primos. [31]
Conjeturas sobre las brechas entre números primos
Función de brecha principal
Es posible obtener resultados aún mejores con la hipótesis de Riemann . Harald Cramér demostró [32] que la hipótesis de Riemann implica que la brecha g n satisface
usando la notación O grande . (De hecho, este resultado sólo necesita la hipótesis más débil de Lindelöf , si se puede tolerar un exponente infinitamente mayor. [33] ) Más tarde, conjeturó que las brechas son aún más pequeñas. En términos generales, la conjetura de Cramér establece que
Si esta conjetura es cierta, entonces la función satisface [34] Implica una forma fuerte de la conjetura de Cramér pero es inconsistente con las heurísticas de Granville y Pintz [35] [36] [37] que sugieren que infinitamente a menudo para cualquier donde denota el Constante de Euler-Mascheroni .
Mientras tanto, la conjetura de Oppermann es más débil que la conjetura de Cramér. El tamaño de la brecha esperado con la conjetura de Oppermann es del orden de
Como resultado, bajo la conjetura de Oppermann existe (probablemente ) para el cual todo número natural satisface
La conjetura de Andrica , que es una conjetura más débil que la de Oppermann, establece que [38]
La conjetura de Polignac establece que todo número par positivo k ocurre como una brecha prima infinitamente a menudo. El caso k = 2 es la conjetura de los primos gemelos . La conjetura aún no ha sido probada ni refutada para ningún valor específico de k , pero las mejoras en el resultado de Zhang analizadas anteriormente demuestran que es cierta para al menos un valor (actualmente desconocido) de k ≤ 246.
Como función aritmética
La brecha g n entre los números primos n- ésimo y ( n + 1) es un ejemplo de función aritmética . En este contexto, generalmente se denota como d n y se llama función de diferencias primas. [38] La función no es multiplicativa ni aditiva .
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enlaces externos
Thomas R. Nicely, Algunos resultados de la investigación computacional en números primos: teoría de números computacional. Este sitio web de referencia incluye una lista de todas las primeras brechas primarias de ocurrencia conocidas.
Armin Shams, Re-extendiendo el teorema de Chebyshev sobre la conjetura de Bertrand, no implica una constante "arbitrariamente grande" como algunos otros resultados reportados.
Chris Caldwell , Brechas entre números primos; una introducción elemental
Andrew Granville , números primos en intervalos de longitud limitada; Descripción general de los resultados obtenidos hasta el momento, incluido el trabajo de James Maynard de noviembre de 2013.