Pelota que rebota

Física de pelotas que rebotan.

Una pelota que rebota. El movimiento no es del todo parabólico debido a la resistencia del aire .

La física de una pelota que rebota se refiere al comportamiento físico de las pelotas que rebotan , particularmente su movimiento antes, durante y después del impacto contra la superficie de otro cuerpo . Varios aspectos del comportamiento de una pelota que rebota sirven como introducción a la mecánica en los cursos de física de la escuela secundaria o de pregrado . Sin embargo, el modelado exacto del comportamiento es complejo y de interés en la ingeniería deportiva .

El movimiento de una pelota generalmente se describe por el movimiento del proyectil (que puede verse afectado por la gravedad , la resistencia , el efecto Magnus y la flotabilidad ), mientras que su impacto generalmente se caracteriza a través del coeficiente de restitución (que puede verse afectado por la naturaleza del bola, la naturaleza de la superficie de impacto, la velocidad del impacto, la rotación y las condiciones locales como la temperatura y la presión ). Para garantizar el juego limpio , muchos órganos rectores de deportes establecen límites al rebote de la pelota y prohíben alterar las propiedades aerodinámicas de la pelota. El rebote de las pelotas ha sido una característica de deportes tan antiguos como el juego de pelota mesoamericano . ^[1]

Fuerzas durante el vuelo y efecto sobre el movimiento.

Las fuerzas que actúan sobre una pelota que gira durante su vuelo son la fuerza gravitacional ( F _G ), la fuerza de arrastre ( F _D ), la fuerza de Magnus ( F _M ) y la fuerza de flotación ( F _B ).

El movimiento de una pelota que rebota obedece al movimiento del proyectil . ^{[2] [3]} Muchas fuerzas actúan sobre una pelota real, a saber, la fuerza gravitacional ( F _G ), la fuerza de arrastre debida a la resistencia del aire ( F _D ), la fuerza de Magnus debida al giro de la pelota ( F _M ) y la fuerza de flotación ( F _B ). En general, hay que utilizar la segunda ley de Newton teniendo en cuenta todas las fuerzas para analizar el movimiento de la pelota:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \mathbf {F} &=m\mathbf {a} ,\\\mathbf {F} _{\text{G}}+\mathbf {F} _{\text{D}}+\mathbf {F} _{\text{M}}+\mathbf {F} _{\text{B}}&=m\mathbf {a} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}},\end{aligned}}}$

donde m es la masa de la pelota. Aquí, a , v , r representan la aceleración , la velocidad y la posición de la pelota en el tiempo t .

Gravedad

Trayectoria de una pelota que rebota en un ángulo de 70° después del impacto sin resistencia  , con arrastre de Stokes  , y con arrastre de Newton  .

La fuerza gravitacional se dirige hacia abajo y es igual a ^[4]

${\displaystyle F_{\text{G}}=mg,}$

donde m es la masa de la pelota y g es la aceleración gravitacional , que en la Tierra varía entre9,764  m/s ² y9,834 m/ ^s2 . ^[5] Debido a que las otras fuerzas suelen ser pequeñas, el movimiento a menudo se idealiza como si estuviera únicamente bajo la influencia de la gravedad. Si sobre la pelota actúa únicamente la fuerza de la gravedad, la energía mecánica se conservará durante su vuelo. En este caso idealizado, las ecuaciones de movimiento están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=-g\mathbf {\hat {j}} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{\text{0}}+\mathbf {a} t,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2},\end{aligned}}}$

donde a , v y r denotan la aceleración, velocidad y posición de la pelota, y v ₀ y r ₀ son la velocidad inicial y la posición de la pelota, respectivamente.

Más específicamente, si la pelota rebota en un ángulo θ con el suelo, el movimiento en los ejes x e y (que representan el movimiento horizontal y vertical , respectivamente) se describe mediante ^[6]

Las ecuaciones implican que la altura máxima ( H ), el alcance ( R ) y el tiempo de vuelo ( T ) de una pelota que rebota en una superficie plana están dados por ^{[2] [6]}

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\sin ^{2}\left(\theta \right),\\R&={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin \left(2\theta \right),~{\text{and}}\\T&={\frac {2v_{0}}{g}}\sin \left(\theta \right).\end{aligned}}}$

Se pueden realizar más mejoras en el movimiento de la pelota teniendo en cuenta la resistencia del aire (y los efectos relacionados, como la resistencia y el viento ), el efecto Magnus y la flotabilidad . Como las bolas más ligeras aceleran más fácilmente, su movimiento tiende a verse más afectado por dichas fuerzas.

Arrastrar

El flujo de aire alrededor de la pelota puede ser laminar o turbulento dependiendo del número de Reynolds (Re), definido como:

${\displaystyle {\text{Re}}={\frac {\rho Dv}{\mu }},}$

donde ρ es la densidad del aire , μ la viscosidad dinámica del aire, D el diámetro de la pelota y v la velocidad de la pelota a través del aire. A una temperatura de20 °C , ρ =1,2 kg/m ³ y μ =1,8 × 10 ⁻⁵  Pa·s . ^[7]

Si el número de Reynolds es muy bajo (Re < 1), la fuerza de arrastre sobre la pelota se describe mediante la ley de Stokes : ^[8]

${\displaystyle F_{\text{D}}=6\pi \mu rv,}$

donde r es el radio de la pelota. Esta fuerza actúa en oposición a la dirección de la pelota (en la dirección de ). Sin embargo, para la mayoría de los balones deportivos, el número de Reynolds estará entre 10 ⁴ y 10 ⁵ y la ley de Stokes no se aplica. ^[9] En estos valores más altos del número de Reynolds, la fuerza de arrastre sobre la bola se describe mediante la ecuación de arrastre : ^[10] ${\displaystyle \textstyle -{\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle F_{\text{D}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{d}}Av^{2},}$

donde C _d es el coeficiente de arrastre y A el área de la sección transversal de la pelota.

El arrastre hará que la pelota pierda energía mecánica durante su vuelo y reducirá su alcance y altura, mientras que los vientos cruzados la desviarán de su trayectoria original. Los jugadores de deportes como el golf deben tener en cuenta ambos efectos.

efecto magnus

La fuerza de Magnus que actúa sobre una pelota con efecto de retroceso . Las líneas de flujo rizadas representan una estela turbulenta . El flujo de aire se ha desviado en la dirección de giro.

En tenis de mesa , un jugador experto puede aprovechar el giro de la pelota para afectar su trayectoria durante su vuelo y su reacción al impactar con una superficie. Con el efecto liftado , la pelota alcanza la altura máxima a medida que avanza (1) y luego se curva abruptamente hacia abajo (2). El impacto impulsa la pelota hacia adelante (3) y tenderá a rebotar hacia arriba al impactar la pala del jugador contrario . La situación es opuesta en el caso del backspin .

El giro de la pelota afectará su trayectoria a través del efecto Magnus . Según el teorema de Kutta-Joukowski , para una esfera que gira con un flujo de aire no viscoso, la fuerza de Magnus es igual a ^[11]

${\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {8}{3}}\pi r^{3}\rho \omega v,}$

donde r es el radio de la pelota, ω la velocidad angular (o velocidad de giro) de la pelota, ρ la densidad del aire y v la velocidad de la pelota con respecto al aire. Esta fuerza se dirige perpendicular al movimiento y perpendicular al eje de rotación (en la dirección de ). La fuerza se dirige hacia arriba para lograr un efecto de retroceso y hacia abajo para un efecto liftado. En realidad, el flujo nunca es invisible y el levantamiento Magnus se describe mejor en ^[12] ${\displaystyle \textstyle {\hat {\mathbf {\omega } }}\times {\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{L}}Av^{2},}$

donde ρ es la densidad del aire, C _L el coeficiente de sustentación , A el área de la sección transversal de la pelota y v la velocidad de la pelota con respecto al aire. El coeficiente de sustentación es un factor complejo que depende, entre otras cosas, de la relación rω / v , del número de Reynolds y de la rugosidad de la superficie . ^[12] En determinadas condiciones, el coeficiente de sustentación puede incluso ser negativo, cambiando la dirección de la fuerza Magnus (efecto Magnus inverso). ^{[4] [13] [14]}

En deportes como el tenis o el voleibol , el jugador puede utilizar el efecto Magnus para controlar la trayectoria de la pelota (por ejemplo, mediante efecto liftado o retroceso ) durante el vuelo. En el golf , el efecto es responsable de cortar y enganchar , que suelen ser perjudiciales para el golfista, pero también ayuda a aumentar el alcance de un drive y otros golpes. ^{[15] [16]} En el béisbol , los lanzadores utilizan el efecto para crear bolas curvas y otros lanzamientos especiales . ^[17]

La manipulación de la pelota es a menudo ilegal y suele estar en el centro de controversias sobre el críquet , como la que se produjo entre Inglaterra y Pakistán en agosto de 2006 . ^[18] En béisbol, el término ' spitball ' se refiere al recubrimiento ilegal de la pelota con saliva u otras sustancias para alterar la aerodinámica de la pelota. ^[19]

Flotabilidad

Cualquier objeto sumergido en un fluido como agua o aire experimentará una flotabilidad hacia arriba . ^[20] Según el principio de Arquímedes , esta fuerza de flotación es igual al peso del fluido desplazado por el objeto. En el caso de una esfera, esta fuerza es igual a

${\displaystyle F_{\text{B}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho g.}$

La fuerza de flotación suele ser pequeña en comparación con las fuerzas de arrastre y Magnus y, a menudo, puede despreciarse. Sin embargo, en el caso de una pelota de baloncesto, la fuerza de flotación puede ascender a aproximadamente el 1,5% del peso de la pelota. ^[20] Dado que la flotabilidad se dirige hacia arriba, actuará para aumentar el alcance y la altura de la pelota.

Impacto

La compresión (A→B) y descompresión (B→C) de una pelota que impacta contra una superficie. La fuerza del impacto suele ser proporcional a la distancia de compresión, al menos para compresiones pequeñas, y puede modelarse como una fuerza de resorte . ^{[21] [22]}

Cuando una pelota impacta una superficie, la superficie retrocede y vibra , al igual que la pelota, creando sonido y calor , y la pelota pierde energía cinética . Además, el impacto puede impartir cierta rotación a la pelota, transfiriendo parte de su energía cinética de traslación en energía cinética de rotación . Esta pérdida de energía suele caracterizarse (indirectamente) mediante el coeficiente de restitución (o COR, denotado e ): ^{[23] [nota 1]}

${\displaystyle e=-{\frac {v_{\text{f}}-u_{\text{f}}}{v_{\text{i}}-u_{\text{i}}}},}$

donde v _f y v _i son las velocidades final e inicial de la pelota, y u _f y u _i son las velocidades final e inicial que impactan la superficie, respectivamente. En el caso específico de que una pelota impacte sobre una superficie inamovible, el COR simplifica a

${\displaystyle e=-{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}.}$

Por lo tanto, para una pelota que se deja caer contra el suelo, el COR variará entre 0 (sin rebote, pérdida total de energía) y 1 (perfectamente rebotante, sin pérdida de energía). Un valor COR inferior a 0 o superior a 1 es teóricamente posible, pero indicaría que la pelota atravesó la superficie ( e < 0 ), o que la superficie no estaba "relajada" cuando la pelota impactó ( e > 1 ), como en el caso de una bola que cae sobre una plataforma accionada por un resorte.

Para analizar los componentes vertical y horizontal del movimiento, el COR a veces se divide en un COR normal ( e _y ) y un COR tangencial ( e _x ), definido como ^[24]

${\displaystyle e_{\text{y}}=-{\frac {v_{\text{yf}}-u_{\text{yf}}}{v_{\text{yi}}-u_{\text{yi}}}},}$

${\displaystyle e_{\text{x}}=-{\frac {(v_{\text{xf}}-r\omega _{\text{f}})-(u_{\text{xf}}-R\Omega _{\text{f}})}{(v_{\text{xi}}-r\omega _{\text{i}})-(u_{\text{xi}}-R\Omega _{\text{i}})}},}$

donde r y ω denotan el radio y la velocidad angular de la pelota, mientras que R y Ω denotan el radio y la velocidad angular de la superficie de impacto (como un bate de béisbol). En particular, rω es la velocidad tangencial de la superficie de la pelota, mientras que RΩ es la velocidad tangencial de la superficie de impacto. Estos son especialmente interesantes cuando la bola impacta la superficie en un ángulo oblicuo o cuando se trata de rotación .

Para una caída recta al suelo sin rotación, con solo la fuerza de gravedad actuando sobre la pelota, el COR se puede relacionar con varias otras cantidades mediante: ^{[22] [25]}

${\displaystyle e=\left|{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}\right|={\sqrt {\frac {K_{\text{f}}}{K_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {U_{\text{f}}}{U_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}={\frac {T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}}={\sqrt {\frac {gT_{\text{f}}^{2}}{8H_{\text{i}}}}}.}$

Aquí, K y U denotan la energía cinética y potencial de la pelota, H es la altura máxima de la pelota y T es el tiempo de vuelo de la pelota. Los subíndices 'i' y 'f' se refieren a los estados inicial (antes del impacto) y final (después del impacto) de la pelota. Asimismo, la pérdida de energía en el impacto se puede relacionar con el COR mediante

${\displaystyle {\text{Energy Loss}}={\frac {{K_{\text{i}}}-{K_{\text{f}}}}{K_{\text{i}}}}\times 100\%=\left(1-e^{2}\right)\times 100\%.}$

El COR de una pelota puede verse afectado por varias cosas, principalmente

• la naturaleza de la superficie de impacto (por ejemplo, césped, hormigón, malla de alambre) ^{[25] [26]}
• el material de la pelota (por ejemplo, cuero, caucho, plástico) ^[22]
• la presión dentro de la bola (si es hueca) ^[22]
• la cantidad de rotación inducida en la pelota en el momento del impacto ^[27]
• la velocidad del impacto ^{[21] [22] [26] [28]}

Las condiciones externas, como la temperatura, pueden cambiar las propiedades de la superficie de impacto o de la pelota, haciéndolas más flexibles o más rígidas. Esto, a su vez, afectará al CDR. ^[22] En general, la bola se deformará más a velocidades de impacto más altas y, en consecuencia, perderá más energía, disminuyendo su COR. ^{[22] [28]}

Giro y ángulo de impacto.

Las fuerzas que actúan sobre una pelota que gira durante el impacto son la fuerza de gravedad , la fuerza normal y la fuerza de fricción (que tiene en general un componente tanto "traslacional" como "rotacional"). Si la superficie tiene un ángulo, la fuerza de gravedad estaría en un ángulo con respecto a la superficie, mientras que las otras fuerzas permanecerían perpendiculares o paralelas a la superficie.

Al impactar contra el suelo, parte de la energía cinética de traslación se puede convertir en energía cinética de rotación y viceversa, dependiendo del ángulo de impacto y la velocidad angular de la bola. Si la pelota se mueve horizontalmente en el momento del impacto, la fricción tendrá un componente de "traslación" en la dirección opuesta al movimiento de la pelota. En la figura, la pelota se mueve hacia la derecha y, por lo tanto, tendrá un componente traslacional de fricción que empuja la pelota hacia la izquierda . Además, si la pelota gira en el momento del impacto, la fricción tendrá un componente "rotacional" en la dirección opuesta a la rotación de la pelota. En la figura, la pelota gira en el sentido de las agujas del reloj y el punto que impacta el suelo se mueve hacia la izquierda con respecto al centro de masa de la pelota . Por lo tanto, el componente rotacional de la fricción empuja la bola hacia la derecha . A diferencia de la fuerza normal y la fuerza de gravedad, estas fuerzas de fricción ejercerán un par sobre la pelota y cambiarán su velocidad angular ( ω ). ^{[29] [30] [31] [32]}

Pueden surgir tres situaciones: ^{[32] [33] [34]}

1. Si una pelota se impulsa hacia adelante con efecto de retroceso , la fricción de traslación y rotación actuará en las mismas direcciones. La velocidad angular de la pelota se reducirá después del impacto, al igual que su velocidad horizontal, y la pelota será impulsada hacia arriba , posiblemente incluso superando su altura original. También es posible que la pelota empiece a girar en dirección opuesta, e incluso rebote hacia atrás.
2. Si una pelota es impulsada hacia adelante con efecto liftado , el acto de fricción traslacional y rotacional actuará en direcciones opuestas. Lo que suceda exactamente depende de cuál de los dos componentes domine.
   1. Si la pelota gira mucho más rápido de lo que se movía, dominará la fricción rotacional. La velocidad angular de la pelota se reducirá después del impacto, pero su velocidad horizontal aumentará. La pelota será impulsada hacia adelante pero no excederá su altura original y seguirá girando en la misma dirección.
   2. Si la pelota se mueve mucho más rápido de lo que gira, dominará la fricción de traslación. La velocidad angular de la pelota aumentará después del impacto, pero su velocidad horizontal disminuirá. La pelota no excederá su altura original y seguirá girando en la misma dirección.

Si la superficie está inclinada en cierta cantidad θ , todo el diagrama rotaría θ , pero la fuerza de gravedad permanecería apuntando hacia abajo (formando un ángulo θ con la superficie). La gravedad tendría entonces una componente paralela a la superficie, lo que contribuiría a la fricción y, por tanto, a la rotación. ^[32]

En deportes de raqueta como el tenis de mesa o el racquetball , los jugadores expertos utilizarán efectos (incluido el efecto lateral ) para alterar repentinamente la dirección de la pelota cuando impacta una superficie, como el suelo o la raqueta de su oponente . De manera similar, en el cricket , existen varios métodos de bolos giratorios que pueden hacer que la bola se desvíe significativamente del campo .

bolas no esféricas

Las fuerzas que actúan sobre una pelota de fútbol americano o de rugby en el momento del impacto son la fuerza de gravedad , la fuerza normal y la fuerza de fricción . La fricción normalmente tendrá un componente "longitudinal" debido a la velocidad de la pelota y el giro "giratorio" y un componente "lateral" debido al giro "sobre el eje" de la pelota inducido por el lanzamiento.

El rebote de una pelota de forma ovalada (como las que se utilizan en el fútbol de parrilla o en el rugby ) es en general mucho menos predecible que el rebote de una pelota esférica. Dependiendo de la alineación de la pelota en el momento del impacto, la fuerza normal puede actuar delante o detrás del centro de masa de la pelota, y la fricción del suelo dependerá de la alineación de la pelota, así como de su rotación, giro y velocidad de impacto. Donde las fuerzas actúan con respecto al centro de masa de la pelota cambia a medida que la pelota rueda por el suelo, y todas las fuerzas pueden ejercer un torque sobre la pelota, incluidas la fuerza normal y la fuerza de gravedad. Esto puede hacer que la pelota rebote hacia adelante, hacia atrás o hacia los lados. Debido a que es posible transferir algo de energía cinética de rotación en energía cinética de traslación, incluso es posible que el COR sea mayor que 1, o que la velocidad de avance de la pelota aumente con el impacto. ^[35]

Varias bolas apiladas

Una demostración popular implica el rebote de múltiples bolas apiladas. Si se apila una pelota de tenis encima de una pelota de baloncesto y las dos se dejan caer al mismo tiempo, la pelota de tenis rebotará mucho más alto de lo que lo habría hecho si se hubiera dejado caer sola, incluso excediendo su altura de lanzamiento original. ^{[36] [37]} El resultado es sorprendente ya que aparentemente viola la conservación de la energía. ^[38] Sin embargo, tras una inspección más cercana, la pelota de baloncesto no rebota tan alto como lo habría hecho si la pelota de tenis no hubiera estado encima de ella, y transfirió parte de su energía a la pelota de tenis, impulsándola a una altura mayor. ^[36]

La explicación habitual implica considerar dos impactos separados: la pelota de baloncesto impacta contra el suelo y luego la pelota de baloncesto impacta con la pelota de tenis. ^{[36] [37] Suponiendo} colisiones perfectamente elásticas , la pelota de baloncesto que impacta el suelo a 1 m/s rebotaría a 1 m/s. La pelota de tenis que va a 1 m/s tendría entonces una velocidad de impacto relativa de 2 m/s, lo que significa que rebotaría a 2 m/s con respecto a la pelota de baloncesto, o 3 m/s con respecto al suelo, y triplicaría su velocidad. Velocidad de rebote en comparación con el impacto contra el suelo por sí solo. Esto implica que la pelota rebotaría 9 veces su altura original. ^{[nota 2]} En realidad, debido a colisiones inelásticas , la pelota de tenis aumentará su velocidad y altura de rebote en un factor menor, pero aún así rebotará más rápido y más alto de lo que lo haría por sí sola. ^[37]

Si bien la suposición de impactos separados no es realmente válida (las bolas permanecen en estrecho contacto entre sí durante la mayor parte del impacto), este modelo reproducirá resultados experimentales con buena concordancia ^[37] y se utiliza a menudo para comprender fenómenos más complejos. como el colapso del núcleo de las supernovas , ^[36] o las maniobras de tirachinas gravitacionales . ^[39]

Reglamento deportivo

Varios órganos rectores de deportes regulan el rebote de una pelota de diversas formas, algunas directas y otras indirectas.

• AFL : Regula la presión manométrica del balón para que esté entre62kPa y76kPa . ^[40]
• FIBA : Regula la presión manométrica para que la pelota rebote entre 1200 mm y 1400 mm (parte superior de la pelota) cuando se deja caer desde una altura de 1800 mm (parte inferior de la pelota). ^[41] Esto corresponde aproximadamente a un COR de 0,727 a 0,806. ^{[nota 3]}
• FIFA : Regula la presión manométrica del balón de fútbol para que esté entre0,6  atmósferas y1,1 atm al nivel del mar (61 a 111  kPa ). ^[42]
• FIVB : Regula la presión manométrica del balón de voleibol para que esté entre0,30  kg F /cm ² a0,325 kg _F /cm ² (29,4 a 31,9 kPa) para voleibol de interior , y0,175  kg F /cm ² a0,225 kg _F /cm ² (17,2 a 22,1 kPa) para voleibol de playa . ^{[43] [44]}
• ITF : Regula la altura del rebote de la pelota de tenis cuando se deja caer sobre un "bloque liso, rígido y horizontal de gran masa". Se permiten diferentes tipos de pelota para diferentes tipos de superficies. Cuando se deja caer desde una altura de 100 pulgadas (254 cm), el rebote debe ser de 54 a 60 pulgadas (137 a 152 cm) para las pelotas de Tipo 1, de 53 a 58 pulgadas (135 a 147 cm) para las pelotas de Tipo 2 y Tipo 3. y 48 a 53 pulgadas (122 a 135 cm) para pelotas de gran altitud. ^[45] Esto corresponde aproximadamente a un COR de 0,735–0,775 (bola tipo 1), 0,728–0,762 (bolas tipo 2 y 3) y 0,693–0,728 (bolas de gran altitud) cuando se deja caer sobre la superficie de prueba. ^{[nota 3]}
• ITTF : Regula la superficie de juego para que la pelota de tenis de mesa rebote aproximadamente 23 cm cuando se deja caer desde una altura de 30 cm. ^[46] Esto corresponde aproximadamente a un COR de aproximadamente 0,876 contra la superficie de juego. ^{[nota 3]}
• NBA : Regula la presión manométrica de la pelota de baloncesto para que esté entre 7,5 y 8,5  psi (51,7 a 58,6 kPa). ^[47]
• NFL : Regula la presión manométrica del balón de fútbol americano entre 12,5 y 13,5 psi (86 a 93 kPa). ^[48]
• R&A / USGA : Limita directamente el COR de la pelota de golf , que no debe exceder de 0,83 frente a un palo de golf . ^[49]

La presión del fútbol americano estuvo en el centro de la controversia sobre el desinflado . ^{[50] [51]} Algunos deportes no regulan las propiedades de rebote de las pelotas directamente, sino que especifican un método de construcción. En el béisbol , la introducción de una pelota a base de corcho ayudó a poner fin a la era de la pelota muerta y a desencadenar la era de la pelota viva . ^{[52] [53]}

Pelota que rebota mecánica cuántica

Considere el siguiente potencial al que está sometida una pelota que rebota:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}mgx&{\text{if }}x\geq 0\\\infty &{\text{if }}x<0\\\end{cases}}}$

Las soluciones de función de onda de lo anterior se pueden resolver mediante el método WKB considerando solo soluciones de paridad impar del potencial alternativo . Se identifican los puntos de inflexión clásicos y . Aplicando así la condición de cuantificación obtenida en WKB: ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$ ${\textstyle x_{1}=-{E \over mg}}$ ${\textstyle x_{2}={E \over mg}}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n_{\text{odd}}+1/2)\pi \hbar }$$

Dejando donde , resolviendo con dado , obtenemos la energía mecánica cuántica de una pelota que rebota: ^[54] ${\textstyle n_{\text{odd}}=2n-1}$ ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$ ${\textstyle E}$ ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$

$${\displaystyle E={\left(3\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \right)^{\frac {2}{3}} \over 2}(mg^{2}\hbar ^{2})^{\frac {1}{3}}.}$$

Este resultado también es consistente con el uso de la ecuación del estado ligado de una pared rígida sin necesidad de considerar un potencial alternativo.

Ver también

• Bola hinchable
• Lista de juegos de pelota

Notas

1. Aquí, v y u no son solo la magnitud de las velocidades, sino que también incluyen su dirección ( signo ).
2. Dado que la conservación de la energía mecánica implica , entonces es proporcional a . ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}mv_{\text{f}}^{2}=mgH_{\text{f}}}$ ${\displaystyle \textstyle H_{\text{f}}}$ ${\displaystyle v_{\text{f}}^{2}}$
3. Calculado usando y (si corresponde) el diámetro de la bola. El cálculo supone que la resistencia del aire es insignificante. ${\displaystyle \textstyle e={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}}$

Referencias

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Otras lecturas

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