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En finanzas , un modelo reticular [1] es una técnica aplicada a la valoración de derivados , donde se requiere un modelo de tiempo discreto . Para las opciones sobre acciones , un ejemplo típico sería la fijación de precios de una opción americana , donde se requiere una decisión sobre el ejercicio de la opción en "todos" los momentos (cualquier momento) antes e incluyendo el vencimiento. Un modelo continuo, por otro lado, como Black–Scholes , solo permitiría la valoración de opciones europeas , donde el ejercicio es en la fecha de vencimiento de la opción . Para los derivados de tipos de interés, los modelos reticulares son además útiles porque abordan muchos de los problemas encontrados con los modelos continuos, como el pull to par . [2] El método también se utiliza para valorar ciertas opciones exóticas , donde debido a la dependencia de la trayectoria en el pago, los métodos de Monte Carlo para la fijación de precios de opciones no tienen en cuenta las decisiones óptimas de terminar el derivado mediante un ejercicio anticipado, [3] aunque ahora existen métodos para resolver este problema .
En general, el enfoque consiste en dividir el tiempo entre ahora y el vencimiento de la opción en N períodos discretos. En el momento específico n , el modelo tiene un número finito de resultados en el momento n + 1, de modo que cada cambio posible en el estado del mundo entre n y n + 1 se captura en una rama. Este proceso se repite hasta que se mapea cada ruta posible entre n = 0 y n = N. Luego, se estiman las probabilidades para cada ruta de n a n + 1. Los resultados y las probabilidades fluyen hacia atrás a través del árbol hasta que se calcula un valor justo de la opción hoy.
Para las acciones y las materias primas, la aplicación es la siguiente. El primer paso es rastrear la evolución de la(s) variable(s) subyacente(s) clave de la opción, comenzando con el precio spot de hoy , de modo que este proceso sea consistente con su volatilidad; generalmente se supone un movimiento browniano log-normal con volatilidad constante. [4] El siguiente paso es valorar la opción de forma recursiva: retrocediendo desde el paso de tiempo final, donde tenemos el valor de ejercicio en cada nodo; y aplicando una valoración neutral al riesgo en cada nodo anterior, donde el valor de la opción es el valor actual ponderado por la probabilidad de los nodos ascendentes y descendentes en el paso de tiempo posterior. Consulte el Modelo de fijación de precios de opciones binomiales § Método para obtener más detalles, así como Precios racionales § Valoración neutral al riesgo para la derivación de la lógica y las fórmulas.
Como se indicó anteriormente, el enfoque de red es particularmente útil para valorar las opciones estadounidenses , donde la elección de ejercer la opción anticipadamente o mantener la opción puede modelarse en cada combinación discreta de tiempo/precio; esto también es cierto para las opciones de Bermudas . Por razones similares, las opciones reales y las opciones sobre acciones de los empleados a menudo se modelan utilizando un marco de red, aunque con supuestos modificados. En cada uno de estos casos, un tercer paso es determinar si la opción se ejercerá o se mantendrá, y luego aplicar este valor en el nodo en cuestión. Algunas opciones exóticas , como las opciones de barrera , también se modelan fácilmente aquí; para otras opciones dependientes de la trayectoria , se preferiría la simulación . (Aunque se han desarrollado métodos basados en árboles. [5] [6] )
El modelo de celosía más simple es el modelo binomial de fijación de precios de opciones ; [7] el método estándar ("canónico" [8] ) es el propuesto por Cox , Ross y Rubinstein (CRR) en 1979; véase el diagrama para las fórmulas. Se han desarrollado más de 20 métodos más, [9] cada uno "derivado bajo una variedad de suposiciones" en lo que respecta al desarrollo del precio del subyacente. [4] En el límite , a medida que aumenta el número de pasos de tiempo, estos convergen a la distribución Log-normal y, por lo tanto, producen el "mismo" precio de opción que Black-Scholes: para lograr esto, estos buscarán de diversas maneras coincidir con los momentos centrales , los momentos brutos y/o los momentos logarítmicos del subyacente en cada paso de tiempo, medidos discretamente . Se diseñan mejoras adicionales para lograr estabilidad relativa a Black-Scholes a medida que cambia el número de pasos de tiempo. De hecho, los modelos más recientes están diseñados en torno a la convergencia directa a Black-Scholes. [9]
Una variante del binomial es el árbol trinomial , [10] [11] desarrollado por Phelim Boyle en 1986. Aquí, el precio de la acción puede permanecer sin cambios a lo largo del paso de tiempo, y la valoración de la opción se basa entonces en el valor de la acción en los nodos ascendente, descendente y medio en el paso de tiempo posterior. En cuanto al binomial, existe una gama similar (aunque más pequeña) de métodos. Se considera que el modelo trinomial [12] produce resultados más precisos que el modelo binomial cuando se modelan menos pasos de tiempo y, por lo tanto, se utiliza cuando la velocidad computacional o los recursos pueden ser un problema. Para las opciones vainilla , a medida que aumenta el número de pasos, los resultados convergen rápidamente y, en ese caso, se prefiere el modelo binomial debido a su implementación más sencilla. Para las opciones exóticas, el modelo trinomial (o adaptaciones) a veces es más estable y preciso, independientemente del tamaño del paso.
Varias de las griegas se pueden estimar directamente en la red, donde las sensibilidades se calculan utilizando diferencias finitas . [13] Delta y gamma , al ser sensibilidades del valor de la opción con respecto al precio, se aproximan dadas las diferencias entre los precios de las opciones (con su spot relacionado) en el mismo paso de tiempo. Theta , la sensibilidad al tiempo, también se estima dado el precio de la opción en el primer nodo del árbol y el precio de la opción para el mismo spot en un paso de tiempo posterior. (Segundo paso de tiempo para trinomial, tercero para binomial. Dependiendo del método, si el "factor de bajada" no es el inverso del "factor de subida", este método no será preciso). Para rho , la sensibilidad a las tasas de interés, y vega , la sensibilidad a la volatilidad de entrada, la medición es indirecta, ya que el valor debe calcularse una segunda vez en una nueva red construida con estas entradas ligeramente alteradas, y la sensibilidad aquí también se devuelve mediante una diferencia finita. Véase también Fugit , el tiempo estimado para el ejercicio, que normalmente se calcula utilizando una red.
Cuando es importante incorporar la sonrisa de volatilidad , o superficie , se pueden construir árboles implícitos . Aquí, el árbol se resuelve de tal manera que reproduce con éxito los precios de mercado seleccionados (todos), a través de varios strikes y vencimientos. Estos árboles así "garantizan que todas las opciones estándar europeas (con strikes y vencimientos que coinciden con los nodos del árbol) tendrán valores teóricos que coincidan con sus precios de mercado". [14] Usando la red calibrada uno puede entonces fijar el precio de las opciones con combinaciones de strike/vencimiento no cotizadas en el mercado, de tal manera que estos precios sean consistentes con los patrones de volatilidad observados. Existen tanto árboles binomiales implícitos , a menudo Rubinstein IBT (R-IBT), [15] y árboles trinomiales implícitos , a menudo Derman -Kani- Chriss [14] (DKC; reemplazando al DK-IBT [16] ). El primero es más fácil de construir, pero es consistente con un solo vencimiento; Este último será coherente con, pero al mismo tiempo requiere, precios conocidos (o interpolados ) en todos los pasos de tiempo y nodos. (DKC es efectivamente un modelo de volatilidad local discretizado ).
En cuanto a la construcción, para un R-IBT el primer paso es recuperar las "Probabilidades Neutrales al Riesgo Implícitas de Finalización" de los precios spot. Luego, asumiendo que todos los caminos que conducen al mismo nodo final tienen la misma probabilidad neutral al riesgo, se adjunta una "probabilidad de camino" a cada nodo final. A partir de entonces, "es tan simple como Uno-Dos-Tres", y una recursión hacia atrás de tres pasos permite recuperar las probabilidades de los nodos para cada paso de tiempo. La valoración de opciones luego procede de manera estándar, con estos sustituidos por p . Para DKC, el primer paso es recuperar los precios de estado correspondientes a cada nodo en el árbol, de modo que sean consistentes con los precios de opciones observados (es decir, con la superficie de volatilidad). A continuación, se encuentran las probabilidades ascendentes, descendentes y medias para cada nodo de modo que: estas sumen 1; los precios spot adyacentes en el paso de tiempo evolucionan de manera neutral al riesgo, incorporando el rendimiento por dividendos ; los precios de estado "crecen" de manera similar a la tasa libre de riesgo. [17] (La solución aquí es iterativa por paso de tiempo en lugar de simultánea). En cuanto a los R-IBT, la valoración de opciones se realiza entonces mediante recursión hacia atrás estándar.
Como alternativa, los árboles binomiales de Edgeworth [18] permiten una asimetría y una curtosis especificadas por el analista en los retornos de precios spot; véase la serie de Edgeworth . Este enfoque es útil cuando el comportamiento del subyacente se aleja (notablemente) de la normalidad. Un uso relacionado es calibrar el árbol a la sonrisa (o superficie) de volatilidad, mediante una "elección juiciosa" [19] de valores de parámetros: cotizadas aquí, las opciones con diferentes precios de ejercicio devolverán diferentes volatilidades implícitas. Para cotizar opciones americanas, una distribución final generada por Edgeworth puede combinarse con una R-IBT. Este enfoque está limitado en cuanto al conjunto de pares de asimetría y curtosis para los que hay distribuciones válidas disponibles. Los árboles binomiales de Johnson más recientes [20] utilizan la "familia" de distribuciones de Johnson , ya que es capaz de acomodar todos los pares posibles.
Para múltiples subyacentes , se pueden construir redes multinomiales [21] , aunque la cantidad de nodos aumenta exponencialmente con la cantidad de subyacentes. Como alternativa, las opciones de cesta , por ejemplo, se pueden valorar utilizando una "distribución aproximada" [22] a través de un árbol de Edgeworth (o Johnson).
Los enrejados se utilizan comúnmente para valorar opciones sobre bonos , swaptions y otros derivados de tipos de interés [23] [24]. En estos casos, la valoración es en gran medida como la anterior, pero requiere un paso adicional, cero, de construcción de un árbol de tipos de interés, en el que se basa entonces el precio del subyacente. El siguiente paso también difiere: el precio del subyacente se construye aquí mediante "inducción hacia atrás", es decir, fluye hacia atrás desde el vencimiento, acumulando el valor actual de los flujos de efectivo programados en cada nodo, en lugar de fluir hacia adelante desde la fecha de valoración como se ha indicado anteriormente. El paso final, la valoración de opciones, procede entonces de forma estándar. Véase la parte superior para ver el gráfico y el lateral para ver la descripción.
La red inicial se construye discretizando un modelo de tasa a corto plazo , como Hull-White o Black Derman Toy , o un modelo basado en tasa a plazo , como el modelo de mercado LIBOR o HJM . En cuanto a la renta variable, también se pueden emplear árboles trinomiales para estos modelos; [25] este suele ser el caso de los árboles Hull-White.
En el modelo HJM, [26] la condición de no arbitraje implica que existe una medida de probabilidad de martingala , así como una restricción correspondiente en los "coeficientes de deriva" de los tipos forward. Estos, a su vez, son funciones de la(s) volatilidad(es) de los tipos forward. [27] Una expresión discretizada "simple" [28] para la deriva permite entonces que los tipos forward se expresen en una red binomial. Para estos modelos basados en tipos forward, dependiendo de los supuestos de volatilidad, la red podría no recombinarse. [29] [26] (Esto significa que un "movimiento ascendente" seguido de un "movimiento descendente" no dará el mismo resultado que un "movimiento descendente" seguido de un "movimiento ascendente"). En este caso, la red a veces se denomina "arbusto", y el número de nodos crece exponencialmente como una función del número de pasos de tiempo. También está disponible una metodología de árbol binomial recombinante para el modelo de mercado de la Libor. [30]
En cuanto a los modelos de tipos de interés a corto plazo, estos se clasifican, a su vez, en categorías adicionales: estarán basados en el equilibrio ( Vasicek y CIR ) o libres de arbitraje ( Ho–Lee y posteriores ). Esta distinción: para los modelos basados en el equilibrio, la curva de rendimiento es una salida del modelo, mientras que para los modelos libres de arbitraje, la curva de rendimiento es una entrada al modelo. [31] En el primer caso, el enfoque es "calibrar" los parámetros del modelo, de modo que los precios de los bonos producidos por el modelo, en su forma continua, se ajusten mejor a los precios de mercado observados. [32] Luego, el árbol se construye como una función de estos parámetros. En el último caso, la calibración se realiza directamente en la red: el ajuste se realiza tanto a la estructura temporal actual de los tipos de interés (es decir, la curva de rendimiento ), como a la estructura de volatilidad correspondiente . Aquí, la calibración significa que el árbol de tipos de interés reproduce los precios de los bonos cupón cero —y cualquier otro valor sensible a los tipos de interés— utilizados para construir la curva de rendimiento ; Obsérvese el paralelismo con los árboles implícitos para la equidad anterior y compárese con Bootstrapping (finanzas) . Para los modelos que suponen una distribución normal (como Ho-Lee), la calibración se puede realizar analíticamente, mientras que para los modelos log-normales la calibración se realiza mediante un algoritmo de búsqueda de raíces ; véase, por ejemplo, la descripción en recuadro del modelo Black–Derman–Toy .
La estructura de volatilidad (es decir, el espaciado vertical de los nodos) refleja aquí la volatilidad de las tasas durante el trimestre u otro período correspondiente al intervalo de tiempo reticular. (Algunos analistas utilizan la " volatilidad realizada ", es decir, de las tasas aplicables históricamente para el intervalo de tiempo; para ser coherentes con el mercado, los analistas generalmente prefieren utilizar los precios actuales de los límites de las tasas de interés y la volatilidad implícita para los precios Black-76 de cada componente de la cápsula ; véase Límite de las tasas de interés § Volatilidades implícitas ). Dado este vínculo funcional con la volatilidad, observe ahora la diferencia resultante en la construcción relativa a los árboles implícitos de acciones: para las tasas de interés, la volatilidad se conoce para cada intervalo de tiempo, y los valores de los nodos (es decir, las tasas de interés) deben resolverse para probabilidades neutrales al riesgo especificadas; Por otro lado, en el caso de las acciones, no se puede especificar una única volatilidad por paso de tiempo, es decir, tenemos una "sonrisa" y el árbol se construye resolviendo las probabilidades correspondientes a valores específicos del subyacente en cada nodo.
Una vez calibrada, la red de tipos de interés se utiliza en la valoración de varios de los instrumentos de renta fija y derivados. [26] El enfoque para las opciones sobre bonos se describe a continuación; cabe señalar que este enfoque aborda el problema del pull to par experimentado en los enfoques de forma cerrada; véase el modelo de Black-Scholes § Valuing bond options . Para las swaptions la lógica es casi idéntica, sustituyendo swaps por bonos en el paso 1, y swaptions por opciones sobre bonos en el paso 2. Para los topes (y pisos) se combinan los pasos 1 y 2: en cada nodo el valor se basa en los nodos relevantes en el paso posterior, más, para cualquier caplet ( floorlet ) que venza en el paso de tiempo, la diferencia entre su tipo de referencia y el tipo a corto plazo en el nodo (y reflejando la fracción de recuento de días correspondiente y el valor nocional intercambiado). En el caso de los bonos con opción de compra y de venta, se requeriría un tercer paso: en cada nodo del intervalo de tiempo, incorporar el efecto de la opción incorporada en el precio del bono y/o en el precio de la opción antes de retroceder un intervalo de tiempo (y teniendo en cuenta que estas opciones no son mutuamente excluyentes, por lo que un bono puede tener varias opciones incorporadas; [33] los valores híbridos se tratan a continuación). En el caso de otros derivados de tipos de interés más exóticos , se realizan ajustes similares en los pasos 1 y siguientes. En el caso de los "griegos", en gran medida como en el caso de las acciones, véase la siguiente sección.
Un enfoque alternativo para modelar las opciones sobre bonos (estadounidenses), en particular las que se ejecutan sobre la base del rendimiento al vencimiento (YTM), emplea métodos de red de acciones modificados. [34] Aquí, el analista construye un árbol CRR de YTM, aplicando un supuesto de volatilidad constante, y luego calcula el precio del bono como una función de este rendimiento en cada nodo; los precios aquí son, por lo tanto, de aproximación a la par. El segundo paso es incorporar cualquier estructura temporal de volatilidad construyendo un árbol DKC correspondiente (basado en cada segundo paso temporal en el árbol CRR: ya que DKC es trinomial mientras que CRR es binomial) y luego usar esto para la valoración de opciones.
Desde la crisis financiera de 2007-2008 , la fijación de precios de swaps se realiza (en general) bajo un " marco de múltiples curvas ", mientras que anteriormente se hacía a partir de una única curva "autodescuenta"; véase Swaps de tipos de interés § Valuación y fijación de precios . Aquí, los pagos se establecen como una función de la LIBOR específica para el plazo en cuestión, mientras que el descuento se realiza a la tasa OIS . Para acomodar esto en el marco reticular, la tasa OIS y la tasa LIBOR relevante se modelan conjuntamente en un árbol tridimensional, construido de tal manera que las tasas de swap de LIBOR coincidan. [35] Una vez logrado el paso cero, la valoración procederá en gran medida como antes, utilizando los pasos 1 y siguientes, pero aquí con flujos de efectivo basados en la "dimensión" LIBOR, y descontando utilizando los nodos correspondientes de la "dimensión" OIS.
Los valores híbridos , que incorporan características similares a las de las acciones y los bonos, también se valoran utilizando árboles. [36] Para los bonos convertibles (CB), el enfoque de Tsiveriotis y Fernandes (1998) [37] es dividir el valor del bono en cada nodo en un componente de "capital", que surge de las situaciones en las que el CB se convertirá, y un componente de "deuda", que surge de las situaciones en las que el CB se canjea. En consecuencia, se construyen árboles gemelos donde el descuento se realiza a la tasa libre de riesgo y ajustada al riesgo crediticio respectivamente, siendo la suma el valor del CB. [38] Existen otros métodos que, de manera similar, combinan un árbol de tipo de acciones con un árbol de tasa corta. [39] Un enfoque alternativo, publicado originalmente por Goldman Sachs (1994), [40] no desacopla los componentes, sino que el descuento se realiza a una tasa de interés libre de riesgo y riesgosa ponderada por la probabilidad de conversión dentro de un solo árbol. Véase Bono convertible § Valoración , Bono convertible contingente .
En términos más generales, el capital social puede considerarse como una opción de compra sobre la empresa: [41] cuando el valor de la empresa es menor que el valor de la deuda pendiente, los accionistas elegirían no pagar la deuda de la empresa; elegirían pagarla (y no liquidarla , es decir, ejercer su opción ) en caso contrario. Se han desarrollado modelos de red para el análisis del capital social en este caso, [42] [43] particularmente en lo que se refiere a empresas en dificultades . [44] En relación con esto, en lo que respecta a la fijación de precios de la deuda corporativa, la relación entre la responsabilidad limitada de los accionistas y los posibles procedimientos del Capítulo 11 también se ha modelado mediante red. [45]
El cálculo de las "griegas" para los derivados de tipos de interés se realiza como en el caso de las acciones. Sin embargo, existe un requisito adicional, en particular para los valores híbridos: es decir, estimar las sensibilidades relacionadas con los cambios generales en los tipos de interés. En el caso de un bono con una opción incorporada , los cálculos estándar de duración y convexidad basados en el rendimiento al vencimiento no consideran cómo los cambios en los tipos de interés alterarán los flujos de efectivo debido al ejercicio de la opción. Para abordar esto, se introducen la duración efectiva y la convexidad . Aquí, de manera similar a rho y vega anteriores, el árbol de tipos de interés se reconstruye para un desplazamiento paralelo ascendente y luego descendente en la curva de rendimiento y estas medidas se calculan numéricamente dados los cambios correspondientes en el valor del bono. [46]
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