Rendimiento futuro de un bono
El tipo forward es el rendimiento futuro de un bono . Se calcula utilizando la curva de rendimiento . Por ejemplo, el rendimiento de una letra del Tesoro a tres meses dentro de seis meses es un tipo de interés a plazo . [1]
Cálculo de la tasa a plazo
Para extraer el tipo de interés a plazo, necesitamos la curva de rendimiento de cupón cero .
Estamos tratando de encontrar la tasa de interés futura para un período de tiempo , y expresada en años , dada la tasa para el período de tiempo y la tasa para el período de tiempo . Para hacer esto, utilizamos la propiedad de que los ingresos de invertir a una tasa durante un período de tiempo y luego reinvertir esos ingresos a una tasa durante un período de tiempo son iguales a los ingresos de invertir a una tasa durante un período de tiempo .![{\ Displaystyle r_ {1,2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (t_{1},t_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle t_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle t_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle r_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (0,t_{1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle r_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (0,t_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle r_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (0,t_{1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle r_ {1,2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (t_{1},t_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle r_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (0,t_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Depende del modo de cálculo de la tasa ( simple , compuesto anualmente o compuesto continuamente ), lo que produce tres resultados diferentes.
Matemáticamente dice lo siguiente:
Tarifa sencilla
![{\displaystyle (1+r_{1}t_{1})(1+r_{1,2}(t_{2}-t_{1}))=1+r_{2}t_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Resolviendo para los rendimientos:![{\ Displaystyle r_ {1,2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De este modo![{\displaystyle r_{1,2}={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\left({\frac {1+r_{2}t_{2}}{1+r_ {1}t_{1}}}-1\derecha)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La fórmula del factor de descuento para el período (0, t) expresada en años, siendo la tasa para este período , la tasa a plazo se puede expresar en términos de factores de descuento:![{\displaystyle \Delta _ {t}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{t}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle DF(0,t)={\frac {1}{(1+r_{t}\,\Delta _ {t})}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{1,2}={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\left({\frac {DF(0,t_{1})}{DF(0, t_{2})}}-1\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tasa compuesta anual
![{\displaystyle (1+r_{1})^{t_{1}}(1+r_{1,2})^{t_{2}-t_{1}}=(1+r_{2})^ {t_ {2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Resolviendo para los rendimientos:![{\ Displaystyle r_ {1,2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{1,2}=\left({\frac {(1+r_{2})^{t_{2}}}{(1+r_{1})^{t_{1}}} }\right)^{1/(t_{2}-t_{1})}-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La fórmula del factor de descuento para el período (0, t ) expresada en años, siendo la tasa para este período , la tasa a plazo se puede expresar en términos de factores de descuento:![{\displaystyle \Delta _ {t}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{t}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle DF(0,t)={\frac {1}{(1+r_{t})^{\Delta _ {t}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{1,2}=\left({\frac {DF(0,t_{1})}{DF(0,t_{2})}}\right)^{1/(t_{2) }-t_{1})}-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tasa continuamente compuesta
![{\displaystyle e^{r_{2}\cdot t_{2}}=e^{r_{1}\cdot t_{1}}\cdot \ e^{r_{1,2}\cdot \left(t_ {2}-t_{1}\right)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Resolviendo para los rendimientos:![{\ Displaystyle r_ {1,2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- PASO 1→
![{\displaystyle e^{r_{2}\cdot t_{2}}=e^{r_{1}\cdot t_{1}+r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{) 1}\derecha)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- PASO 2→
![{\displaystyle \ln \left(e^{r_{2}\cdot t_{2}}\right)=\ln \left(e^{r_{1}\cdot t_{1}+r_{1,2 }\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- PASO 3→
![{\displaystyle r_{2}\cdot t_{2}=r_{1}\cdot t_{1}+r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- PASO 4→
![{\displaystyle r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)=r_{2}\cdot t_{2}-r_{1}\cdot t_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- PASO 5→
![{\displaystyle r_{1,2}={\frac {r_{2}\cdot t_{2}-r_{1}\cdot t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La fórmula del factor de descuento para el período (0, t ) expresada en años, siendo la tasa para este período , la tasa a plazo se puede expresar en términos de factores de descuento: ![{\displaystyle \Delta _ {t}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{t}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle DF(0,t)=e^{-r_{t}\,\Delta _ {t}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{1,2}={\frac {\ln \left(DF\left(0,t_{1}\right)\right)-\ln \left(DF\left(0,t_{2) }\right)\right)}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {-\ln \left({\frac {DF\left(0,t_{2}\right)}{ DF\left(0,t_{1}\right)}}\right)}{t_{2}-t_{1}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es el tipo de cambio a plazo entre tiempo y tiempo , ![{\ Displaystyle t_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle t_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es el rendimiento cupón cero para el período de tiempo , ( k = 1,2).![{\displaystyle (0,t_{k})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Instrumentos relacionados
Ver también
Referencias
- ^ Fabozzi, Vamsi.K (2012), The Handbook of Fixed Income Securities (Séptima ed.), Nueva York: kvrv, p. 148, ISBN 978-0-07-144099-8.