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Geometría aritmética

La curva hiperelíptica definida por tiene sólo un número finito de puntos racionales (como los puntos y ) según el teorema de Falting .

En matemáticas, la geometría aritmética es, en líneas generales, la aplicación de técnicas de la geometría algebraica a problemas de teoría de números . [1] La geometría aritmética se centra en la geometría diofántica , el estudio de los puntos racionales de las variedades algebraicas . [2] [3]

En términos más abstractos, la geometría aritmética puede definirse como el estudio de esquemas de tipo finito sobre el espectro del anillo de números enteros . [4]

Descripción general

Los objetos clásicos de interés en la geometría aritmética son los puntos racionales: conjuntos de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas sobre cuerpos numéricos , cuerpos finitos , cuerpos p-ádicos o cuerpos de funciones , es decir, cuerpos que no son algebraicamente cerrados excluyendo los números reales . Los puntos racionales pueden caracterizarse directamente mediante funciones de altura que miden su complejidad aritmética. [5]

La estructura de las variedades algebraicas definidas sobre cuerpos no algebraicamente cerrados se ha convertido en un área central de interés que surgió con el desarrollo abstracto moderno de la geometría algebraica. Sobre cuerpos finitos, la cohomología étale proporciona invariantes topológicos asociados a las variedades algebraicas. [6] La teoría de Hodge p-ádica proporciona herramientas para examinar cuándo las propiedades cohomológicas de las variedades sobre los números complejos se extienden a aquellas sobre cuerpos p-ádicos . [7]

Historia

Siglo XIX: la geometría aritmética temprana

A principios del siglo XIX, Carl Friedrich Gauss observó que existen soluciones enteras distintas de cero para ecuaciones polinómicas homogéneas con coeficientes racionales si existen soluciones racionales distintas de cero. [8]

En la década de 1850, Leopold Kronecker formuló el teorema de Kronecker-Weber , introdujo la teoría de divisores y estableció numerosas conexiones entre la teoría de números y el álgebra . Luego conjeturó su " liebster Jugendtraum " ("sueño más querido de la juventud"), una generalización que luego Hilbert propuso en una forma modificada como su duodécimo problema , que describe el objetivo de que la teoría de números opere solo con anillos que sean cocientes de anillos polinómicos sobre los números enteros. [9]

Principios y mediados del siglo XX: desarrollos algebraicos y las conjeturas de Weil

A finales de la década de 1920, André Weil demostró profundas conexiones entre la geometría algebraica y la teoría de números con su trabajo de doctorado que condujo al teorema de Mordell-Weil que demuestra que el conjunto de puntos racionales de una variedad abeliana es un grupo abeliano finitamente generado . [10]

Los fundamentos modernos de la geometría algebraica se desarrollaron a partir del álgebra conmutativa contemporánea , incluida la teoría de valoración y la teoría de ideales de Oscar Zariski y otros en las décadas de 1930 y 1940. [11]

En 1949, André Weil planteó las históricas conjeturas de Weil sobre las funciones zeta locales de las variedades algebraicas sobre cuerpos finitos. [12] Estas conjeturas ofrecieron un marco entre la geometría algebraica y la teoría de números que impulsó a Alexander Grothendieck a reformular los fundamentos haciendo uso de la teoría de haces (junto con Jean-Pierre Serre ), y más tarde la teoría de esquemas, en los años 1950 y 1960. [13] Bernard Dwork demostró una de las cuatro conjeturas de Weil (racionalidad de la función zeta local) en 1960. [14] Grothendieck desarrolló la teoría de cohomología étale para demostrar dos de las conjeturas de Weil (junto con Michael Artin y Jean-Louis Verdier ) en 1965. [6] [15] La última de las conjeturas de Weil (un análogo de la hipótesis de Riemann ) sería finalmente demostrada en 1974 por Pierre Deligne . [16]

Mediados y finales del siglo XX: avances en modularidad, métodos p-ádicos y más

Entre 1956 y 1957, Yutaka Taniyama y Goro Shimura plantearon la conjetura de Taniyama-Shimura (ahora conocida como el teorema de modularidad) que relaciona las curvas elípticas con las formas modulares . [17] [18] Esta conexión conduciría finalmente a la primera prueba del Último Teorema de Fermat en teoría de números a través de técnicas de geometría algebraica de levantamiento de modularidad desarrolladas por Andrew Wiles en 1995. [19]

En la década de 1960, Goro Shimura introdujo las variedades de Shimura como generalizaciones de curvas modulares . [20] Desde 1979, las variedades de Shimura han desempeñado un papel crucial en el programa Langlands como un ámbito natural de ejemplos para probar conjeturas. [21]

En artículos de 1977 y 1978, Barry Mazur demostró la conjetura de torsión dando una lista completa de los posibles subgrupos de torsión de las curvas elípticas sobre los números racionales. La primera prueba de Mazur de este teorema dependía de un análisis completo de los puntos racionales en ciertas curvas modulares . [22] [23] En 1996, la prueba de la conjetura de torsión fue extendida a todos los cuerpos numéricos por Loïc Merel . [24]

En 1983, Gerd Faltings demostró la conjetura de Mordell , demostrando que una curva de género mayor que 1 tiene sólo un número finito de puntos racionales (donde el teorema de Mordell-Weil sólo demuestra la generación finita del conjunto de puntos racionales en oposición a la finitud). [25] [26]

En 2001, la prueba de las conjeturas locales de Langlands para GL n se basó en la geometría de ciertas variedades de Shimura. [27]

En la década de 2010, Peter Scholze desarrolló espacios perfectoides y nuevas teorías de cohomología en geometría aritmética sobre cuerpos p-ádicos con aplicación a representaciones de Galois y ciertos casos de la conjetura de monodromía de peso . [28] [29]

Véase también

Referencias

  1. ^ Sutherland, Andrew V. (5 de septiembre de 2013). «Introducción a la geometría aritmética» (PDF) . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
  2. ^ Klarreich, Erica (28 de junio de 2016). «Peter Scholze y el futuro de la geometría aritmética» . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
  3. ^ Poonen, Bjorn (2009). "Introducción a la geometría aritmética" (PDF) . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
  4. ^ Geometría aritmética en el laboratorio n
  5. ^ Lang, Serge (1997). Encuesta sobre geometría diofántica . Springer-Verlag . Págs. 43-67. ISBN. 3-540-61223-8.Zbl 0869.11051  .
  6. ^ ab Grothendieck, Alexander (1960). "La teoría de la cohomología de las variedades algebraicas abstractas". Proc. Internat. Congress Math. (Edimburgo, 1958) . Cambridge University Press . págs. 103–118. MR  0130879.
  7. ^ Serre, Jean-Pierre (1967). "Currículum vitae del curso, 1965-1966". Anuario del Collège de France . París: 49–58.
  8. ^ Mordell, Louis J. (1969). Ecuaciones diofánticas . Academic Press. pág. 1. ISBN 978-0125062503.
  9. ^ Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). El compañero de Princeton para las matemáticas. Princeton University Press. págs. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2.
  10. ^ A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques , Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reimpreso en el volumen 1 de sus artículos recopilados ISBN 0-387-90330-5 . 
  11. ^ Zariski, Oscar (2004) [1935]. Abhyankar, Shreeram S. ; Lipman, Joseph ; Mumford, David (eds.). Superficies algebraicas. Clásicos en matemáticas (segunda edición suplementaria). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58658-6.Sr. 0469915  .
  12. ^ Weil, André (1949). "Números de soluciones de ecuaciones en cuerpos finitos". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 55 (5): 497–508. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . ISSN:  0002-9904. MR:  0029393.Reimpreso en Oeuvres Scientifiques/Collected Papers de André Weil ISBN 0-387-90330-5 
  13. ^ Serre, Jean-Pierre (1955). "Faisceaux Algebriques Coherentes". Los Anales de las Matemáticas . 61 (2): 197–278. doi :10.2307/1969915. JSTOR  1969915.
  14. ^ Dwork, Bernard (1960). "Sobre la racionalidad de la función zeta de una variedad algebraica". American Journal of Mathematics . 82 (3). American Journal of Mathematics, vol. 82, núm. 3: 631–648. doi :10.2307/2372974. ISSN  0002-9327. JSTOR  2372974. MR  0140494.
  15. ^ Grothendieck, Alejandro (1995) [1965]. "Fórmula de Lefschetz y racionalidad de las funciones L". Seminario Bourbaki . vol. 9. París: Société Mathématique de France . págs. 41–55. SEÑOR  1608788.
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  17. ^ Taniyama, Yutaka (1956). "Problema 12". Sugaku (en japonés). 7 : 269.
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  20. ^ Shimura, Goro (2003). Obras completas de Goro Shimura . Springer Nature. ISBN 978-0387954158.
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  26. ^ Faltings, Gerd (1984). "Errata: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae (en alemán). 75 (2): 381. doi : 10.1007/BF01388572 . SEÑOR  0732554.
  27. ^ Harris, Michael ; Taylor, Richard (2001). La geometría y cohomología de algunas variedades simples de Shimura. Anales de estudios matemáticos. Vol. 151. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-09090-0.Señor 1876802  .
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  29. ^ Scholze, Peter. «Perfectoid spaces: A survey» (PDF) . Universidad de Bonn . Consultado el 4 de noviembre de 2018 .