Teorema de Faltings

Las curvas de género > 1 sobre los racionales tienen sólo un número finito de puntos racionales

El teorema de Faltings es un resultado de la geometría aritmética , según el cual una curva de género mayor que 1 sobre el cuerpo de números racionales tiene solo un número finito de puntos racionales . Esto fue conjeturado en 1922 por Louis Mordell , ^[1] y conocido como la conjetura de Mordell hasta su demostración en 1983 por Gerd Faltings . ^[2] La conjetura fue generalizada más tarde reemplazando por cualquier cuerpo de números . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Fondo

Sea una curva algebraica no singular de género sobre . Entonces el conjunto de puntos racionales sobre puede determinarse de la siguiente manera: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle C}$

• Cuando no hay puntos o hay infinitos, en tales casos se puede tratar como una sección cónica . ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle C}$
• Cuando , si hay puntos, entonces es una curva elíptica y sus puntos racionales forman un grupo abeliano finitamente generado . (Este es el teorema de Mordell , posteriormente generalizado al teorema de Mordell-Weil ). Además, el teorema de torsión de Mazur restringe la estructura del subgrupo de torsión. ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle C}$
• Cuando , según el teorema de Falting, sólo tiene un número finito de puntos racionales. ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle C}$

Pruebas

Igor Shafarevich conjeturó que sólo hay un número finito de clases de isomorfismo de variedades abelianas de dimensión fija y grado de polarización fijo sobre un cuerpo numérico fijo con buena reducción fuera de un conjunto finito fijo de lugares . ^[3] Aleksei Parshin demostró que la conjetura de finitud de Shafarevich implicaría la conjetura de Mordell, utilizando lo que ahora se llama el truco de Parshin. ^[4]

Gerd Faltings demostró la conjetura de finitud de Shafarevich utilizando una reducción conocida a un caso de la conjetura de Tate , junto con herramientas de la geometría algebraica , incluida la teoría de los modelos de Néron . ^[5] La idea principal de la prueba de Faltings es la comparación de las alturas de Faltings y las alturas ingenuas a través de las variedades modulares de Siegel . ^[a]

Pruebas posteriores

• Paul Vojta dio una prueba basada en la aproximación diofántica . ^[6] Enrico Bombieri encontró una variante más elemental de la prueba de Vojta. ^[7]
• Brian Lawrence y Akshay Venkatesh dieron una prueba basada en la teoría p -ádica de Hodge , tomando prestados también algunos de los ingredientes más fáciles de la prueba original de Faltings. ^[8]

Consecuencias

El artículo de Faltings de 1983 tuvo como consecuencias una serie de afirmaciones que ya se habían conjeturado previamente:

• La conjetura de Mordell de que una curva de género mayor que 1 sobre un cuerpo de números tiene sólo un número finito de puntos racionales;
• El teorema de isogenia sostiene que las variedades abelianas con módulos de Tate isomorfos (como -módulos con acción de Galois) son isógenas . ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$

Un ejemplo de aplicación del teorema de Falting es una forma débil del último teorema de Fermat : para cualquier número fijo hay como máximo un número finito de soluciones enteras primitivas ( soluciones coprimas por pares ) para , ya que para ellas la curva de Fermat tiene un género mayor que 1. ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$

Generalizaciones

Debido al teorema de Mordell-Weil , el teorema de Faltings puede reformularse como una afirmación sobre la intersección de una curva con un subgrupo finitamente generado de una variedad abeliana . La generalización mediante la sustitución por una variedad semiabeliana , por una subvariedad arbitraria de y por un subgrupo arbitrario de rango finito de conduce a la conjetura de Mordell-Lang , que fue demostrada en 1995 por McQuillan ^[9] siguiendo el trabajo de Laurent, Raynaud , Hindry, Vojta y Faltings . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Otra generalización de dimensiones superiores del teorema de Faltings es la conjetura de Bombieri-Lang que sostiene que si es una variedad pseudocanónica (es decir, una variedad de tipo general) sobre un cuerpo de números , entonces no es denso de Zariski en . Paul Vojta ha propuesto conjeturas aún más generales . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X(k)}$ ${\displaystyle X}$

La conjetura de Mordell para campos de funciones fue demostrada por Yuri Ivanovich Manin ^[10] y por Hans Grauert ^[11] . En 1990, Robert F. Coleman encontró y solucionó un problema en la demostración de Manin. ^[12]

Notas

1. "Faltings relaciona las dos nociones de altura por medio del espacio de módulos de Siegel... Es la idea principal de la prueba". Bloch, Spencer (1984). "La prueba de la conjetura de Mordell". The Mathematical Intelligencer . 6 (2): 44. doi :10.1007/BF03024155. S2CID  306251.

Citas

1. Mordell 1922.
2. Faltando 1983; Faltando 1984.
3. Shafarevich 1963.
4. Parshin 1968.
5. Faltando 1983.
6. Vojta 1991.
7. Bomberi 1990.
8. Lawrence y Venkatesh 2020.
9. McQuillan 1995.
10. Manín 1963.
11. Grauert 1965.
12. Coleman 1990.

Referencias

• Bombieri, Enrico (1990). "Revisión de la conjetura de Mordell". Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci . 17 (4): 615–640. MR  1093712.
• Coleman, Robert F. (1990). "Demostración de Manin de la conjetura de Mordell sobre cuerpos de funciones". L'Enseignement Mathématique . 2e Série. 36 (3): 393–427. ISSN  0013-8584. MR  1096426.
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. , eds. (1986). Geometría aritmética. Documentos de la conferencia celebrada en la Universidad de Connecticut, Storrs, Connecticut, del 30 de julio al 10 de agosto de 1984. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4613-8655-1. ISBN 0-387-96311-1.Sr .  0861969.→ Contiene una traducción al inglés de Faltings (1983)
• Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Teoremas de finitud para variedades abelianas en campos numéricos]. Inventiones Mathematicae (en alemán). 73 (3): 349–366. Código Bib : 1983 InMat..73..349F. doi :10.1007/BF01388432. SEÑOR  0718935.
• Faltings, Gerd (1984). "Errata: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae (en alemán). 75 (2): 381. doi : 10.1007/BF01388572 . SEÑOR  0732554.
• Faltings, Gerd (1991). "Aproximación diofántica en variedades abelianas". Ann. of Math. 133 (3): 549–576. doi :10.2307/2944319. JSTOR  2944319. MR  1109353.
• Faltings, Gerd (1994). "El caso general de la conjetura de S. Lang". En Cristante, Valentino; Messing, William (eds.). Simposio Barsotti sobre geometría algebraica. Documentos del simposio celebrado en Abano Terme, del 24 al 27 de junio de 1991. Perspectivas en matemáticas. San Diego, CA: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-197270-4.Señor 1307396  .
• Grauert, Hans (1965). "Mordells Vermutung über racional Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 25 (25): 131-149. doi :10.1007/BF02684399. ISSN  1618-1913. SEÑOR  0222087.
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Geometría diofántica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 201. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-1210-2. ISBN. 0-387-98981-1.Señor 1745599  .→ Da la prueba de Vojta del teorema de Faltings.
• Lang, Serge (1997). Estudio de la geometría diofántica . Springer-Verlag . págs. 101-122. ISBN 3-540-61223-8.
• Lawrence, Brian; Venkatesh, Akshay (2020). "Problemas diofánticos y aplicaciones del período p -ádico". Invent. Math . 221 (3): 893–999. arXiv : 1807.02721 . doi :10.1007/s00222-020-00966-7.
• Manin, Ju. Yo (1963). "Puntos racionales en curvas algebraicas sobre campos funcionales". Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (en ruso). 27 : 1395-1440. ISSN  0373-2436. SEÑOR  0157971.(Traducción: Manin, Yu. (1966). "Puntos racionales en curvas algebraicas sobre campos de funciones". American Mathematical Society Translations . Serie 2. 59 : 189–234. doi :10.1090/trans2/050/11. ISBN 9780821817506. ISSN  0065-9290.)
• McQuillan, Michael (1995). "Puntos de división en variedades semi-abelianas". Invent. Math . 120 (1): 143–159. doi :10.1007/BF01241125.
• Mordell, Louis J. (1922). "Sobre las soluciones racionales de la ecuación indeterminada de tercer y cuarto grados". Proc. Cambridge Philos. Soc . 21 : 179–192.
• Paršin, AN (1970). "Quelques conjectures de finitude en géométrie diophantienne" (PDF) . Actes du Congrès International des Mathématiciens . vol. Tomo 1. Niza: Gauthier-Villars (publicado en 1971). págs. 467–471. SEÑOR  0427323. Archivado desde el original (PDF) el 24 de septiembre de 2016 . Consultado el 11 de junio de 2016 .
• Parshin, AN (2001) [1994]. "Conjetura de Mordell". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press .
• Parshin, AN (1968). "Curvas algebraicas sobre cuerpos de funciones I". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 32 (5): 1191–1219. Código Bibliográfico :1968IzMat...2.1145P. doi :10.1070/IM1968v002n05ABEH000723.
• Shafarevich, IR (1963). "Campos numéricos algebraicos". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos : 163–176.
• Vojta, Paul (1991). "Teorema de Siegel en el caso compacto". Ann. of Math. 133 (3): 509–548. doi :10.2307/2944318. JSTOR  2944318. MR  1109352.