Hipérbola

Plane curve: conic section

Una hipérbola es una curva abierta con dos ramas, la intersección de un plano con ambas mitades de un cono doble . El plano no tiene por qué ser paralelo al eje del cono; la hipérbola será simétrica en cualquier caso.

Hipérbola (roja): características

En matemáticas , una hipérbola es un tipo de curva suave que se encuentra en un plano , definida por sus propiedades geométricas o por ecuaciones para las que es el conjunto solución. Una hipérbola tiene dos partes, llamadas componentes o ramas conectadas, que son imágenes especulares una de la otra y se asemejan a dos arcos infinitos . La hipérbola es uno de los tres tipos de sección cónica , formada por la intersección de un plano y un cono doble . (Las otras secciones cónicas son la parábola y la elipse . Un círculo es un caso especial de elipse). Si el plano interseca ambas mitades del cono doble pero no pasa por el vértice de los conos, entonces la cónica es una hipérbola.

Además de ser una sección cónica, una hipérbola puede surgir como el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos fijos es constante, como una curva para cada punto de la cual los rayos a dos focos fijos son reflexiones a través de la línea tangente en ese punto, o como la solución de ciertas ecuaciones cuadráticas bivariadas como la relación recíproca ^[1] En aplicaciones prácticas, una hipérbola puede surgir como la trayectoria seguida por la sombra de la punta del gnomon de un reloj de sol , la forma de una órbita abierta como la de un objeto celeste que excede la velocidad de escape del cuerpo gravitacional más cercano, o la trayectoria de dispersión de una partícula subatómica , entre otras. ${\displaystyle xy=1.}$

Cada rama de la hipérbola tiene dos brazos que se van haciendo más rectos (curvatura inferior) a medida que se alejan del centro de la hipérbola. Los brazos diagonalmente opuestos, uno de cada rama, tienden en el límite a una línea común, llamada asíntota de esos dos brazos. Por lo tanto, hay dos asíntotas, cuya intersección está en el centro de simetría de la hipérbola, que puede considerarse como el punto de espejo sobre el que cada rama se refleja para formar la otra rama. En el caso de la curva, las asíntotas son los dos ejes de coordenadas . ^[1] ${\displaystyle y(x)=1/x}$

Las hipérbolas comparten muchas de las propiedades analíticas de las elipses, como la excentricidad , el foco y la directriz . Normalmente, la correspondencia se puede realizar con nada más que un cambio de signo en algún término. Muchos otros objetos matemáticos tienen su origen en la hipérbola, como los paraboloides hiperbólicos (superficies en forma de silla de montar), los hiperboloides ("cestas de basura"), la geometría hiperbólica ( la célebre geometría no euclidiana de Lobachevsky ), las funciones hiperbólicas (sinh, cosh, tanh, etc.) y los espacios girovectoriales (una geometría propuesta para su uso tanto en la relatividad como en la mecánica cuántica que no es euclidiana ).

Etimología e historia

La palabra hipérbola deriva del griego ὑπερβολή , que significa «sobre-arrojado» o «excesivo», de donde también deriva el término inglés hipérbole . Las hipérbolas fueron descubiertas por Menecmo en sus investigaciones sobre el problema de doblar el cubo , pero entonces se las llamaba secciones de conos obtusos. ^[2] Se cree que el término hipérbola fue acuñado por Apolonio de Perge ( c.  262  – c.  190 a. C. ) en su obra definitiva sobre las secciones cónicas , las Cónicas . ^[3] Los nombres de las otras dos secciones cónicas generales, la elipse y la parábola , derivan de las palabras griegas correspondientes para «deficiente» y «aplicada»; los tres nombres son préstamos de la terminología pitagórica anterior que se refería a una comparación del lado de rectángulos de área fija con un segmento de línea dado. El rectángulo podría ser "aplicado" al segmento (es decir, tener una longitud igual), ser más corto que el segmento o exceder el segmento. ^[4]

Definiciones

Como lugar geométrico de puntos

Hipérbola: definición por las distancias de los puntos a dos puntos fijos (focos)

Hipérbola: definición con directriz circular

Una hipérbola se puede definir geométricamente como un conjunto de puntos ( lugar geométrico de puntos ) en el plano euclidiano:

Una hipérbola es un conjunto de puntos, tal que para cualquier punto del conjunto, la diferencia absoluta de las distancias a dos puntos fijos (los focos ) es constante, usualmente denotada por : ^[5] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |PF_{1}|,\,|PF_{2}|}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle 2a,\,a>0}$ $${\displaystyle H=\left\{P:\left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a\right\}.}$$

El punto medio del segmento de línea que une los focos se llama centro de la hipérbola. ^[6] La línea que pasa por los focos se llama eje mayor . Contiene los vértices , que tienen distancia al centro. La distancia de los focos al centro se llama distancia focal o excentricidad lineal . El cociente es la excentricidad . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{a}}}$ ${\displaystyle e}$

La ecuación se puede ver de una manera diferente (ver diagrama): Si es el círculo con punto medio y radio , entonces la distancia de un punto de la rama derecha al círculo es igual a la distancia al foco : se llama directriz circular (relacionada con el foco ) de la hipérbola. ^{[7] [8]} Para obtener la rama izquierda de la hipérbola, uno tiene que usar la directriz circular relacionada con . Esta propiedad no debe confundirse con la definición de una hipérbola con ayuda de una directriz (línea) a continuación. ${\displaystyle \left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a}$
${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ $${\displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}$$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

Hipérbola con ecuacióny = A / x

Rotar el sistema de coordenadas para describir una hipérbola rectangular como gráfica de una función

Tres hipérbolas rectangulares con los ejes de coordenadas como asíntotas rojo: A = 1; magenta: A = 4; azul: A = 9 ${\displaystyle y=A/x}$

Si el sistema de coordenadas xy se gira alrededor del origen por el ángulo y se asignan nuevas coordenadas , entonces . La hipérbola rectangular (cuyos semiejes son iguales) tiene la nueva ecuación . Resolviendo para se obtiene ${\displaystyle +45^{\circ }}$ ${\displaystyle \xi ,\eta }$ ${\displaystyle x={\tfrac {\xi +\eta }{\sqrt {2}}},\;y={\tfrac {-\xi +\eta }{\sqrt {2}}}}$
${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-y^{2}}{a^{2}}}=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {2\xi \eta }{a^{2}}}=1}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ={\tfrac {a^{2}/2}{\xi }}\ .}$

Así, en un sistema de coordenadas xy la gráfica de una función con ecuación es una hipérbola rectangular enteramente en el primer y tercer cuadrantes con ${\displaystyle f:x\mapsto {\tfrac {A}{x}},\;A>0\;,}$ $${\displaystyle y={\frac {A}{x}}\;,A>0\;,}$$

• los ejes de coordenadas como asíntotas ,
• la línea como eje mayor , ${\displaystyle y=x}$
• El centro y el semieje ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• Los vértices ${\displaystyle \left({\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left(-{\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;,}$
• El semi-lato recto y el radio de curvatura en los vértices. ${\displaystyle p=a={\sqrt {2A}}\;,}$
• La excentricidad lineal y la excentricidad ${\displaystyle c=2{\sqrt {A}}}$ ${\displaystyle e={\sqrt {2}}\;,}$
• la tangente en el punto ${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{x_{0}^{2}}}x+2{\tfrac {A}{x_{0}}}}$ ${\displaystyle (x_{0},A/x_{0})\;.}$

Una rotación de la hipérbola original da como resultado una hipérbola rectangular enteramente en el segundo y cuarto cuadrantes, con las mismas asíntotas, centro, semilato recto, radio de curvatura en los vértices, excentricidad lineal y excentricidad que para el caso de rotación, con ecuación ${\displaystyle -45^{\circ }}$ ${\displaystyle +45^{\circ }}$ $${\displaystyle y=-{\frac {A}{x}}\;,~~A>0\;,}$$

• los semiejes ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• la línea como eje mayor, ${\displaystyle y=-x}$
• Los vértices ${\displaystyle \left(-{\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left({\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;.}$

Al desplazar la hipérbola con ecuación de modo que el nuevo centro sea , se obtiene la nueva ecuación y las nuevas asíntotas son y . Los parámetros de forma permanecen inalterados. ${\displaystyle y={\frac {A}{x}},\ A\neq 0\ ,}$ ${\displaystyle (c_{0},d_{0})}$ $${\displaystyle y={\frac {A}{x-c_{0}}}+d_{0}\;,}$$ ${\displaystyle x=c_{0}}$ ${\displaystyle y=d_{0}}$ ${\displaystyle a,b,p,c,e}$

Por la propiedad directriz

Hipérbola: propiedad directriz

Hipérbola: definición con propiedad directriz

Las dos rectas alejadas del centro y paralelas al eje menor se llaman directrices de la hipérbola (ver diagrama). ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$

Para un punto arbitrario de la hipérbola, el cociente de la distancia a un foco y a la directriz correspondiente (ver diagrama) es igual a la excentricidad: La prueba para el par se sigue del hecho de que y satisfacen la ecuación El segundo caso se demuestra análogamente. ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}\,.}$$ ${\displaystyle F_{1},l_{1}}$ ${\displaystyle |PF_{1}|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}$ $${\displaystyle |PF_{1}|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0\ .}$$

Lápiz de cónicas con un vértice común y un semilargo recto común

La afirmación inversa también es verdadera y puede utilizarse para definir una hipérbola (de manera similar a la definición de una parábola):

Para cualquier punto (foco), cualquier recta (directriz) no pasante y cualquier número real con el conjunto de puntos (lugar geométrico de los puntos), para el cual el cociente de las distancias al punto y a la recta es es una hipérbola. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}}$$

(La elección da como resultado una parábola y si una elipse .) ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e<1}$

Prueba

Sea y supongamos que es un punto en la curva. La directriz tiene ecuación . Con , la relación produce las ecuaciones ${\displaystyle F=(f,0),\ e>0}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$ ${\displaystyle P=(x,y)}$ ${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\tfrac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$y ${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

La sustitución da Esta es la ecuación de una elipse ( ) o una parábola ( ) o una hipérbola ( ). Todas estas cónicas no degeneradas tienen en común el origen como vértice (ver diagrama). ${\displaystyle p=f(1+e)}$ $${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2px-y^{2}=0.}$$ ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

Si , introduzca nuevos parámetros de modo que , y entonces la ecuación anterior se convierte en que es la ecuación de una hipérbola con centro , el eje x como eje mayor y el semieje mayor/menor . ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle e^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$ $${\displaystyle {\frac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$ ${\displaystyle (-a,0)}$ ${\displaystyle a,b}$

Hipérbola: construcción de una directriz

Construcción de una directriz

Debido a que el punto de la directriz (ver diagrama) y el foco son inversos con respecto a la inversión del círculo en el círculo (en el diagrama verde), el punto se puede construir utilizando el teorema de Tales (no se muestra en el diagrama). La directriz es la perpendicular a la línea que pasa por el punto . ${\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle {\overline {F_{1}F_{2}}}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

Construcción alternativa de ${\displaystyle E_{1}}$ : El cálculo muestra que el punto es la intersección de la asíntota con su perpendicular (ver diagrama). ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

Como sección plana de un cono

Hipérbola (roja): dos vistas de un cono y dos esferas de Dandelin d ₁ , d ₂

La intersección de un cono doble vertical con un plano que no pasa por el vértice y cuya pendiente es mayor que la pendiente de las líneas del cono es una hipérbola (ver diagrama: curva roja). Para demostrar la propiedad definitoria de una hipérbola (ver arriba) se utilizan dos esferas de Dandelin , que son esferas que tocan el cono a lo largo de círculos , y el plano de intersección (hipérbola) en los puntos y . Resulta que: son los focos de la hipérbola. ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

1. Sea un punto arbitrario de la curva de intersección. ${\displaystyle P}$
2. La generatriz del cono que contiene interseca al círculo en el punto y al círculo en un punto . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle B}$
3. Los segmentos de línea y son tangentes a la esfera y, por lo tanto, tienen la misma longitud. ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ ${\displaystyle d_{1}}$
4. Los segmentos de línea y son tangentes a la esfera y, por lo tanto, tienen la misma longitud. ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ ${\displaystyle d_{2}}$
5. El resultado es: es independiente del punto de la hipérbola , porque no importa dónde se encuentre el punto, debe estar en los círculos , y el segmento de línea debe cruzar el vértice. Por lo tanto, a medida que el punto se mueve a lo largo de la curva roja (hipérbola), el segmento de línea simplemente gira alrededor del vértice sin cambiar su longitud. ${\displaystyle |PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

Construcción con clavijas y cuerdas

Hipérbola: construcción con clavijas y cuerdas

La definición de una hipérbola por sus focos y sus directrices circulares (ver arriba) se puede utilizar para dibujar un arco de la misma con ayuda de alfileres, una cuerda y una regla: ^[9]

0. Elige los focos , los vértices y una de las directrices circulares , por ejemplo (círculo con radio ) ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$
1. Se fija una regla en un punto que puede girar libremente . El punto está marcado a una distancia de . ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 2a}$
2. Se prepara una cuerda con longitud . ${\displaystyle |AB|}$
3. Un extremo de la cuerda está fijado en un punto de la regla, el otro extremo está fijado en el punto . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{1}}$
4. Tome un bolígrafo y sujete la cuerda firmemente contra el borde de la regla.
5. Al girar la regla, el lápiz dibuja un arco de la rama derecha de la hipérbola, debido a (ver la definición de una hipérbola por directrices circulares ). ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle |PF_{1}|=|PB|}$

Generación de Steiner de una hipérbola

Hipérbola: Generación de Steiner

Hipérbola y = 1/ x : Generación de Steiner

El siguiente método para construir puntos individuales de una hipérbola se basa en la generación de Steiner de una sección cónica no degenerada :

Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y , respectivamente) y una aplicación proyectiva pero no perspectiva de sobre , entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada. ${\displaystyle B(U),B(V)}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

Para la generación de puntos de la hipérbola se utilizan los lápices en los vértices . Sea un punto de la hipérbola y . El segmento de recta se divide en n segmentos igualmente espaciados y esta división se proyecta paralelamente con la diagonal como dirección sobre el segmento de recta (ver diagrama). La proyección paralela es parte de la proyección proyectiva entre los lápices en y necesarios. Los puntos de intersección de dos rectas cualesquiera relacionadas y son puntos de la hipérbola definida de forma única. ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle A=(a,y_{0}),B=(x_{0},0)}$ ${\displaystyle {\overline {BP}}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}A_{i}}$ ${\displaystyle S_{2}B_{i}}$

Observaciones:

• La subdivisión podría extenderse más allá de los puntos y así obtener más puntos, pero la determinación de los puntos de intersección sería más imprecisa. Una mejor idea es extender los puntos ya construidos por simetría (ver animación). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• La generación de Steiner también existe para elipses y parábolas.
• La generación de Steiner a veces se denomina método del paralelogramo porque se pueden utilizar otros puntos en lugar de los vértices, que comienzan con un paralelogramo en lugar de un rectángulo.

Ángulos inscritos para hipérbolasy = a /( x − b ) + cy la forma de 3 puntos

Hipérbola: teorema del ángulo inscrito

Una hipérbola con ecuación está determinada de forma única por tres puntos con coordenadas x e y diferentes . Una forma sencilla de determinar los parámetros de forma es utilizar el teorema del ángulo inscrito para hipérbolas: ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c,\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Para medir un ángulo entre dos líneas con ecuaciones en este contexto se utiliza el cociente ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}\ ,m_{1},m_{2}\neq 0}$ $${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\ .}$$

De manera análoga al teorema del ángulo inscrito para círculos se obtiene el

Teorema del ángulo inscrito para hipérbolas ^{[10] [11]}  —  Para cuatro puntos (ver diagrama) la siguiente afirmación es verdadera: ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,4,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k}$

Los cuatro puntos están en una hipérbola con ecuación si y solo si los ángulos en y son iguales en el sentido de la medida anterior. Esto significa que si ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ $${\displaystyle {\frac {(y_{4}-y_{1})}{(x_{4}-x_{1})}}{\frac {(x_{4}-x_{2})}{(y_{4}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}}$$

La prueba se puede obtener mediante un cálculo sencillo. Si los puntos están en una hipérbola, se puede suponer que la ecuación de la hipérbola es . ${\displaystyle y=a/x}$

Una consecuencia del teorema del ángulo inscrito para las hipérbolas es la

Forma de 3 puntos de la ecuación de una hipérbola  :  la ecuación de la hipérbola determinada por 3 puntos es la solución de la ecuación para . ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k}$ $${\displaystyle {\frac {({\color {red}y}-y_{1})}{({\color {green}x}-x_{1})}}{\frac {({\color {green}x}-x_{2})}{({\color {red}y}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}}$$ ${\displaystyle {\color {red}y}}$

Como imagen afín de la hipérbola unitariax2 - y2 = 1​

La hipérbola como imagen afín de la hipérbola unitaria

Otra definición de hipérbola utiliza transformaciones afines :

Cualquier hipérbola es la imagen afín de la hipérbola unitaria con ecuación . ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

Representación paramétrica

Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , donde es una matriz regular (su determinante no es 0) y es un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , la hipérbola unitaria se mapea sobre la hipérbola. ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\pm \cosh(t),\sinh(t)),t\in \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\ .}$$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$es el centro, un punto de la hipérbola y un vector tangente en este punto. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$

Vértices

En general, los vectores no son perpendiculares. Es decir, en general no son los vértices de la hipérbola, sino que apuntan en las direcciones de las asíntotas. El vector tangente en el punto es Como en un vértice la tangente es perpendicular al eje mayor de la hipérbola, se obtiene el parámetro de un vértice de la ecuación y, por lo tanto, de donde se obtiene ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}\pm {\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\ .}$$ ${\displaystyle t_{0}}$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\right)=0}$$ $${\displaystyle \coth(2t_{0})=-{\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}+{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\ ,}$$

$${\displaystyle t_{0}={\tfrac {1}{4}}\ln {\tfrac {\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}{\left({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}}.}$$

Se utilizaron las fórmulas , , y . ${\displaystyle \cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x}$ ${\displaystyle 2\sinh x\cosh x=\sinh 2x}$ ${\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\tfrac {x+1}{x-1}}}$

Los dos vértices de la hipérbola son ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm \left({\vec {f}}_{1}\cosh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\sinh t_{0}\right).}$

Representación implícita

Resolviendo la representación paramétrica para mediante la regla de Cramer y utilizando , se obtiene la representación implícita ${\displaystyle \cosh t,\sinh t}$ ${\displaystyle \;\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t-1=0\;}$ $${\displaystyle \det \left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}-\det \left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}-\det \left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}=0.}$$

Hipérbola en el espacio

La definición de hipérbola en esta sección da una representación paramétrica de una hipérbola arbitraria, incluso en el espacio, si se permite que haya vectores en el espacio. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

Como imagen afín de la hipérbolay = 1/ x

Hipérbola como imagen afín de y = 1/ x

Como la hipérbola unitaria es afínmente equivalente a la hipérbola , una hipérbola arbitraria puede considerarse como la imagen afín (ver sección anterior) de la hipérbola : ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle y=1/x\,}$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\quad t\neq 0\,.}$$

${\displaystyle M:{\vec {f}}_{0}}$es el centro de la hipérbola, los vectores tienen las direcciones de las asíntotas y es un punto de la hipérbola. El vector tangente es En un vértice la tangente es perpendicular al eje mayor. Por lo tanto y el parámetro de un vértice es ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}}$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}.}$$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0}$$

$${\displaystyle t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\frac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}.}$$

${\displaystyle \left|{\vec {f}}\!_{1}\right|=\left|{\vec {f}}\!_{2}\right|}$es equivalente a y son los vértices de la hipérbola. ${\displaystyle t_{0}=\pm 1}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$

Las siguientes propiedades de una hipérbola se demuestran fácilmente utilizando la representación de una hipérbola presentada en esta sección.

Construcción de tangentes

Construcción de tangentes: asíntotas y P dadas → tangente

El vector tangente se puede reescribir mediante factorización: Esto significa que $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}\left({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)\ .}$$

La diagonal del paralelogramo es paralela a la tangente en el punto de la hipérbola (ver diagrama). ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle M:\ {\vec {f}}_{0},\ A={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t,\ B:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\ P:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$ ${\displaystyle P}$

Esta propiedad proporciona una forma de construir la tangente en un punto de la hipérbola.

Esta propiedad de una hipérbola es una versión afín de la degeneración de tres puntos del teorema de Pascal . ^[12]

Área del paralelogramo gris

El área del paralelogramo gris en el diagrama anterior es y, por lo tanto, es independiente del punto . La última ecuación se deduce de un cálculo para el caso, donde es un vértice y la hipérbola en su forma canónica. ${\displaystyle MAPB}$ $${\displaystyle {\text{Area}}=\left|\det \left(t{\vec {f}}_{1},{\tfrac {1}{t}}{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\left|\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\cdots ={\frac {a^{2}+b^{2}}{4}}}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

Construcción de puntos

Construcción de puntos: se dan las asíntotas y P _{1 →} P ₂

Para una hipérbola con representación paramétrica (para simplificar el centro es el origen) se cumple lo siguiente: ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$

Para dos puntos cualesquiera, los puntos ${\displaystyle P_{1}:\ {\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ P_{2}:\ {\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}}$

$${\displaystyle A:\ {\vec {a}}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}},\ B:\ {\vec {b}}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}}}$$

son colineales con el centro de la hipérbola (ver diagrama).

La prueba simple es una consecuencia de la ecuación . ${\displaystyle {\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {b}}}$

Esta propiedad proporciona la posibilidad de construir puntos de una hipérbola si se dan las asíntotas y un punto.

Esta propiedad de una hipérbola es una versión afín de la degeneración de 4 puntos del teorema de Pascal . ^[13]

Triángulo tangente-asíntota

Hipérbola: tangente-asíntota-triangulo

Para simplificar, el centro de la hipérbola puede ser el origen y los vectores tienen la misma longitud. Si no se cumple el último supuesto, se puede aplicar primero una transformación de parámetros (ver arriba) para que el supuesto sea verdadero. Por lo tanto , los vértices abarcan el eje menor y se obtiene y . ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$ ${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})}$ ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a}$ ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b}$

Para los puntos de intersección de la tangente en el punto con las asíntotas se obtienen los puntos El área del triángulo se puede calcular mediante un determinante 2 × 2: (ver reglas para determinantes ). es el área del rombo generado por . El área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales. Las diagonales son los semiejes de la hipérbola. Por lo tanto: ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}}$ $${\displaystyle C=2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D={\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}.}$$ ${\displaystyle M,C,D}$ $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\Big |}\det \left(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=2{\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}}$$ ${\displaystyle \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle a,b}$

El área del triángulo es independiente del punto de la hipérbola: ${\displaystyle MCD}$ ${\displaystyle A=ab.}$

Reciprocidad de un círculo

La reciprocidad de un círculo B en un círculo C siempre produce una sección cónica como una hipérbola. El proceso de "reciprocidad en un círculo C " consiste en reemplazar cada línea y punto en una figura geométrica por su polo y polar correspondientes , respectivamente. El polo de una línea es la inversión de su punto más cercano al círculo C , mientras que el polar de un punto es el inverso, es decir, una línea cuyo punto más cercano a C es la inversión del punto.

La excentricidad de la sección cónica obtenida por reciprocidad es la relación entre las distancias entre los centros de los dos círculos y el radio r del círculo de reciprocidad C. Si B y C representan los puntos en los centros de los círculos correspondientes, entonces

$${\displaystyle e={\frac {\overline {BC}}{r}}.}$$

Como la excentricidad de una hipérbola es siempre mayor que uno, el centro B debe estar fuera del círculo alternativo C.

Esta definición implica que la hipérbola es tanto el lugar geométrico de los polos de las rectas tangentes al círculo B como la envolvente de las rectas polares de los puntos de B. A la inversa, el círculo B es la envolvente de los polares de los puntos de la hipérbola y el lugar geométrico de los polos de las rectas tangentes a la hipérbola. Dos rectas tangentes a B no tienen polos (finitos) porque pasan por el centro C del círculo de reciprocidad C ; las polares de los puntos tangentes correspondientes en B son las asíntotas de la hipérbola. Las dos ramas de la hipérbola corresponden a las dos partes del círculo B que están separadas por estos puntos tangentes.

Ecuación cuadrática

Una hipérbola también se puede definir como una ecuación de segundo grado en las coordenadas cartesianas en el plano , ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0,}$$

siempre que las constantes y satisfagan la condición determinante ${\displaystyle A_{xx},}$ ${\displaystyle A_{xy},}$ ${\displaystyle A_{yy},}$ ${\displaystyle B_{x},}$ ${\displaystyle B_{y},}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle D:={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0.}$$

Este determinante se denomina convencionalmente discriminante de la sección cónica. ^[14]

Un caso especial de hipérbola (la hipérbola degenerada que consiste en dos líneas que se intersecan) ocurre cuando otro determinante es cero:

$${\displaystyle \Delta :={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{vmatrix}}=0.}$$

Este determinante a veces se denomina discriminante de la sección cónica. ^[15] ${\displaystyle \Delta }$

Los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener a partir de las coordenadas conocidas del centro del semieje mayor y del semieje menor , y del ángulo de rotación (el ángulo desde el eje horizontal positivo hasta el eje mayor de la hipérbola) utilizando las fórmulas: ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle (x_{\circ },y_{\circ })}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{xx}&=-a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta ,&B_{x}&=-A_{xx}x_{\circ }-A_{xy}y_{\circ },\\[1ex]A_{yy}&=-a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta ,&B_{y}&=-A_{xy}x_{\circ }-A_{yy}y_{\circ },\\[1ex]A_{xy}&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\sin \theta \cos \theta ,&C&=A_{xx}x_{\circ }^{2}+2A_{xy}x_{\circ }y_{\circ }+A_{yy}y_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

Estas expresiones pueden derivarse de la ecuación canónica

$${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}-{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$

por una traslación y rotación de las coordenadas : ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}X&={\phantom {+}}\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{alignedat}}}$$

Dada la parametrización general anterior de la hipérbola en coordenadas cartesianas, la excentricidad se puede encontrar utilizando la fórmula en Sección cónica#Excentricidad en términos de coeficientes .

El centro de la hipérbola se puede determinar a partir de las fórmulas ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}B_{x}&A_{xy}\\B_{y}&A_{yy}\end{vmatrix}}\,,\\[1ex]y_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}A_{xx}&B_{x}\\A_{xy}&B_{y}\end{vmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

En términos de nuevas coordenadas, la ecuación definitoria de la hipérbola se puede escribir ${\displaystyle \xi =x-x_{c}}$ ${\displaystyle \eta =y-y_{c},}$

$${\displaystyle A_{xx}\xi ^{2}+2A_{xy}\xi \eta +A_{yy}\eta ^{2}+{\frac {\Delta }{D}}=0.}$$

Los ejes principales de la hipérbola forman un ángulo con el eje positivo que está dado por ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \tan(2\varphi )={\frac {2A_{xy}}{A_{xx}-A_{yy}}}.}$$

Al girar los ejes de coordenadas de modo que el eje esté alineado con el eje transversal, la ecuación adquiere su forma canónica. ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

Los semiejes mayor y menor están definidos por las ecuaciones ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}},\\[1ex]b^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{2}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}},\end{aligned}}}$$

donde y son las raíces de la ecuación cuadrática ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

$${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(A_{xx}+A_{yy}\right)\lambda +D=0.}$$

A modo de comparación, la ecuación correspondiente para una hipérbola degenerada (que consta de dos líneas que se cruzan) es

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$$

La línea tangente a un punto dado de la hipérbola está definida por la ecuación ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

$${\displaystyle Ex+Fy+G=0}$$

donde y se definen por ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=A_{xx}x_{0}+A_{xy}y_{0}+B_{x},\\[1ex]F&=A_{xy}x_{0}+A_{yy}y_{0}+B_{y},\\[1ex]G&=B_{x}x_{0}+B_{y}y_{0}+C.\end{aligned}}}$$

La recta normal a la hipérbola en el mismo punto viene dada por la ecuación

$${\displaystyle F(x-x_{0})-E(y-y_{0})=0.}$$

La recta normal es perpendicular a la recta tangente y ambas pasan por el mismo punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$

De la ecuación

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\qquad 0<b\leq a,}$$

El foco izquierdo es y el foco derecho es donde es la excentricidad. Denote las distancias desde un punto a los focos izquierdo y derecho como y Para un punto en la rama derecha, ${\displaystyle (-ae,0)}$ ${\displaystyle (ae,0),}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}.}$

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a,}$$

y para un punto en la rama izquierda,

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

Si es un punto en la hipérbola la distancia al punto focal izquierdo es ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle r_{1}^{2}=(x+ae)^{2}+y^{2}=x^{2}+2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex+a)^{2}.}$$

Al punto focal derecho la distancia es

$${\displaystyle r_{2}^{2}=(x-ae)^{2}+y^{2}=x^{2}-2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex-a)^{2}.}$$

Si es un punto en la rama derecha de la hipérbola entonces y ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle ex>a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=ex+a,\\r_{2}&=ex-a.\end{aligned}}}$$

Restando estas ecuaciones se obtiene

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a.}$$

Si es un punto en la rama izquierda de la hipérbola entonces y ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle ex<-a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=-ex-a,\\r_{2}&=-ex+a.\end{aligned}}}$$

Restando estas ecuaciones se obtiene

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

En coordenadas cartesianas

Ecuación

Si se introducen coordenadas cartesianas de modo que el origen sea el centro de la hipérbola y el eje x sea el eje mayor, entonces la hipérbola se denomina de apertura este-oeste y

Los focos son los puntos , ^[6] ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\ F_{2}=(-c,0)}$

Los vértices son . ^[6] ${\displaystyle V_{1}=(a,0),\ V_{2}=(-a,0)}$

Para un punto arbitrario la distancia al foco es y al segundo foco . Por lo tanto el punto está sobre la hipérbola si se cumple la siguiente condición . Eliminar las raíces cuadradas mediante elevaciones adecuadas y utilizar la relación para obtener la ecuación de la hipérbola: ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (c,0)}$ ${\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ $${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a\ .}$$ ${\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

Esta ecuación se llama forma canónica de una hipérbola, porque cualquier hipérbola, independientemente de su orientación relativa a los ejes cartesianos y sin importar la ubicación de su centro, puede transformarse a esta forma mediante un cambio de variables, dando una hipérbola que es congruente con la original (ver más abajo).

Los ejes de simetría o ejes principales son el eje transversal (que contiene el segmento de longitud 2 a con puntos finales en los vértices) y el eje conjugado (que contiene el segmento de longitud 2 b perpendicular al eje transversal y con punto medio en el centro de la hipérbola). ^[6] A diferencia de una elipse, una hipérbola tiene solo dos vértices: . Los dos puntos en los ejes conjugados no están en la hipérbola. ${\displaystyle (a,0),\;(-a,0)}$ ${\displaystyle (0,b),\;(0,-b)}$

De la ecuación se deduce que la hipérbola es simétrica con respecto a ambos ejes de coordenadas y, por tanto, simétrica con respecto al origen.

Excentricidad

Para una hipérbola en la forma canónica anterior, la excentricidad está dada por

$${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$$

Dos hipérbolas son geométricamente similares entre sí, lo que significa que tienen la misma forma, de modo que una puede transformarse en la otra mediante movimientos rígidos hacia la izquierda y la derecha , rotación , toma de una imagen especular y escala (aumento), si y solo si tienen la misma excentricidad.

Asíntotas

Hipérbola: semiejes a , b , excentricidad lineal c , semilado recto p

Hipérbola: 3 propiedades

Resolviendo la ecuación (anterior) de la hipérbola para se obtiene De esto se deduce que la hipérbola se aproxima a las dos líneas para valores grandes de . Estas dos líneas se intersecan en el centro (origen) y se denominan asíntotas de la hipérbola ^[16] ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}.}$$ $${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x}$$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$

Con la ayuda de la segunda figura se puede ver que

${\displaystyle {\color {blue}{(1)}}}$La distancia perpendicular desde un foco a cualquier asíntota es (el semieje menor). ${\displaystyle b}$

De la forma normal de Hesse de las asíntotas y de la ecuación de la hipérbola se obtiene: ^[17] ${\displaystyle {\tfrac {bx\pm ay}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0}$

${\displaystyle {\color {magenta}{(2)}}}$El producto de las distancias desde un punto en la hipérbola a ambas asíntotas es la constante que también puede escribirse en términos de la excentricidad e como ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {b}{e}}\right)^{2}.}$

De la ecuación de la hipérbola (arriba) se puede derivar: ${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$

${\displaystyle {\color {green}{(3)}}}$El producto de las pendientes de las rectas desde un punto P hasta los dos vértices es la constante ${\displaystyle b^{2}/a^{2}\ .}$

Además, de (2) arriba se puede demostrar que ^[17]

${\displaystyle {\color {red}{(4)}}}$ El producto de las distancias desde un punto en la hipérbola hasta las asíntotas a lo largo de líneas paralelas a las asíntotas es la constante ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}+b^{2}}{4}}.}$

Recto semilato

La longitud de la cuerda que pasa por uno de los focos, perpendicular al eje mayor de la hipérbola, se llama lado recto . La mitad de esta es el semilato recto . Un cálculo muestra que el semilato recto también puede considerarse como el radio de curvatura en los vértices. ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}.}$$ ${\displaystyle p}$

Tangente

La forma más sencilla de determinar la ecuación de la tangente en un punto es derivar implícitamente la ecuación de la hipérbola. Denotando dy/dx como y′ , esto produce Con respecto a , la ecuación de la tangente en el punto es ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle {\frac {2x}{a^{2}}}-{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0\ \Rightarrow \ y'={\frac {x}{y}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\ \Rightarrow \ y={\frac {x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x-x_{0})+y_{0}.}$$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ $${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}x-{\frac {y_{0}}{b^{2}}}y=1.}$$

Una línea tangente particular distingue la hipérbola de las otras secciones cónicas. ^[18] Sea f la distancia desde el vértice V (tanto en la hipérbola como en su eje a través de los dos focos) hasta el foco más cercano. Entonces, la distancia, a lo largo de una línea perpendicular a ese eje, desde ese foco hasta un punto P en la hipérbola es mayor que 2 f . La tangente a la hipérbola en P interseca ese eje en el punto Q en un ángulo ∠PQV mayor que 45°.

Hipérbola rectangular

En el caso de la hipérbola se denomina rectangular (o equilátera ), porque sus asíntotas se cortan en ángulos rectos. Para este caso, la excentricidad lineal es , la excentricidad y el semilato recto . La gráfica de la ecuación es una hipérbola rectangular. ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle c={\sqrt {2}}a}$ ${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p=a}$ ${\displaystyle y=1/x}$

Parametric representation with hyperbolic sine/cosine

Using the hyperbolic sine and cosine functions ${\displaystyle \cosh ,\sinh }$, a parametric representation of the hyperbola ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ can be obtained, which is similar to the parametric representation of an ellipse: $${\displaystyle (\pm a\cosh t,b\sinh t),\,t\in \mathbb {R} \ ,}$$which satisfies the Cartesian equation because ${\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1.}$

Further parametric representations are given in the section Parametric equations below.

Here a = b = 1 giving the unit hyperbola in blue and its conjugate hyperbola in green, sharing the same red asymptotes.

Conjugate hyperbola

Exchange ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}}$ and ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$ to obtain the equation of the conjugate hyperbola (see diagram): $${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1\ ,}$$ also written as $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1\ .}$$

A hyperbola and its conjugate may have diameters which are conjugate. In the theory of special relativity, such diameters may represent axes of time and space, where one hyperbola represents events at a given spatial distance from the center, and the other represents events at a corresponding temporal distance from the center.

In polar coordinates

Hyperbola: Polar coordinates with pole = focus

Hyperbola: Polar coordinates with pole = center

Animated plot of Hyperbola by using ${\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cos \theta }}}$

Origin at the focus

The polar coordinates used most commonly for the hyperbola are defined relative to the Cartesian coordinate system that has its origin in a focus and its x-axis pointing towards the origin of the "canonical coordinate system" as illustrated in the first diagram.

In this case the angle ${\displaystyle \varphi }$ is called true anomaly.

Relative to this coordinate system one has that

$${\displaystyle r={\frac {p}{1\mp e\cos \varphi }},\quad p={\frac {b^{2}}{a}}}$$

and

$${\displaystyle -\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right).}$$

Origin at the center

With polar coordinates relative to the "canonical coordinate system" (see second diagram) one has that

$${\displaystyle r={\frac {b}{\sqrt {e^{2}\cos ^{2}\varphi -1}}}.\,}$$

For the right branch of the hyperbola the range of ${\displaystyle \varphi }$ is $${\displaystyle -\arccos \left({\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left({\frac {1}{e}}\right).}$$

Eccentricity

When using polar coordinates, the eccentricity of the hyperbola can be expressed as ${\displaystyle \sec \varphi _{\text{max}}}$ where ${\displaystyle \varphi _{\text{max}}}$ is the limit of the angular coordinate. As ${\displaystyle \varphi }$ approaches this limit, r approaches infinity and the denominator in either of the equations noted above approaches zero, hence:^[19]: 219

$${\displaystyle e^{2}\cos ^{2}\varphi _{\text{max}}-1=0}$$

$${\displaystyle 1\pm e\cos \varphi _{\text{max}}=0}$$

$${\displaystyle \implies e=\sec \varphi _{\text{max}}}$$

Parametric equations

A hyperbola with equation ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ can be described by several parametric equations:

1. Through hyperbolic trigonometric functions $${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a\cosh t,\\y=b\sinh t,\end{cases}}\qquad t\in \mathbb {R} .}$$
2. As a rational representation $${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a{\dfrac {t^{2}+1}{2t}},\\[1ex]y=b{\dfrac {t^{2}-1}{2t}},\end{cases}}\qquad t>0}$$
3. Through circular trigonometric functions $${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {a}{\cos t}}=a\sec t,\\y=\pm b\tan t,\end{cases}}\qquad 0\leq t<2\pi ,\ t\neq {\frac {\pi }{2}},\ t\neq {\frac {3}{2}}\pi .}$$
4. With the tangent slope as parameter:
   A parametric representation, which uses the slope ${\displaystyle m}$ of the tangent at a point of the hyperbola can be obtained analogously to the ellipse case: Replace in the ellipse case ${\displaystyle b^{2}}$ by ${\displaystyle -b^{2}}$ and use formulae for the hyperbolic functions. One gets $${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}},{\frac {-b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}}\right),\quad |m|>b/a.}$$ Here, ${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$ is the upper, and ${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$ the lower half of the hyperbola. The points with vertical tangents (vertices ${\displaystyle (\pm a,0)}$) are not covered by the representation.
   The equation of the tangent at point ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ is $${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}.}$$ This description of the tangents of a hyperbola is an essential tool for the determination of the orthoptic of a hyperbola.

Hyperbolic functions

A ray through the unit hyperbola ${\displaystyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}$ at the point ${\displaystyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}$, where ${\displaystyle a}$ is twice the area between the ray, the hyperbola, and the ${\displaystyle x}$-axis. For points on the hyperbola below the ${\displaystyle x}$-axis, the area is considered negative.

Just as the trigonometric functions are defined in terms of the unit circle, so also the hyperbolic functions are defined in terms of the unit hyperbola, as shown in this diagram. In a unit circle, the angle (in radians) is equal to twice the area of the circular sector which that angle subtends. The analogous hyperbolic angle is likewise defined as twice the area of a hyperbolic sector.

Let ${\displaystyle a}$ be twice the area between the ${\displaystyle x}$ axis and a ray through the origin intersecting the unit hyperbola, and define ${\textstyle (x,y)=(\cosh a,\sinh a)=(x,{\sqrt {x^{2}-1}})}$ as the coordinates of the intersection point. Then the area of the hyperbolic sector is the area of the triangle minus the curved region past the vertex at ${\displaystyle (1,0)}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{2}}&={\frac {xy}{2}}-\int _{1}^{x}{\sqrt {t^{2}-1}}\,dt\\[1ex]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-1}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right),\end{aligned}}}$$which simplifies to the area hyperbolic cosine $${\displaystyle a=\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}$$Solving for ${\displaystyle x}$ yields the exponential form of the hyperbolic cosine: $${\displaystyle x=\cosh a={\frac {e^{a}+e^{-a}}{2}}.}$$From ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ one gets $${\displaystyle y=\sinh a={\sqrt {\cosh ^{2}a-1}}={\frac {e^{a}-e^{-a}}{2}},}$$and its inverse the area hyperbolic sine: $${\displaystyle a=\operatorname {arsinh} y=\ln \left(y+{\sqrt {y^{2}+1}}\right).}$$Other hyperbolic functions are defined according to the hyperbolic cosine and hyperbolic sine, so for example $${\displaystyle \operatorname {tanh} a={\frac {\sinh a}{\cosh a}}={\frac {e^{2a}-1}{e^{2a}+1}}.}$$

Properties

Reflection property

Hyperbola: the tangent bisects the lines through the foci

The tangent at a point ${\displaystyle P}$ bisects the angle between the lines ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}.}$ This is called the optical property or reflection property of a hyperbola.^[20]

Proof

Let ${\displaystyle L}$ be the point on the line ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ with the distance ${\displaystyle 2a}$ to the focus ${\displaystyle F_{2}}$ (see diagram, ${\displaystyle a}$ is the semi major axis of the hyperbola). Line ${\displaystyle w}$ is the bisector of the angle between the lines ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}}$. In order to prove that ${\displaystyle w}$ is the tangent line at point ${\displaystyle P}$, one checks that any point ${\displaystyle Q}$ on line ${\displaystyle w}$ which is different from ${\displaystyle P}$ cannot be on the hyperbola. Hence ${\displaystyle w}$ has only point ${\displaystyle P}$ in common with the hyperbola and is, therefore, the tangent at point ${\displaystyle P}$.
From the diagram and the triangle inequality one recognizes that ${\displaystyle |QF_{2}|<|LF_{2}|+|QL|=2a+|QF_{1}|}$ holds, which means: ${\displaystyle |QF_{2}|-|QF_{1}|<2a}$. But if ${\displaystyle Q}$ is a point of the hyperbola, the difference should be ${\displaystyle 2a}$.

Midpoints of parallel chords

Hyperbola: the midpoints of parallel chords lie on a line.

Hyperbola: the midpoint of a chord is the midpoint of the corresponding chord of the asymptotes.

The midpoints of parallel chords of a hyperbola lie on a line through the center (see diagram).

The points of any chord may lie on different branches of the hyperbola.

The proof of the property on midpoints is best done for the hyperbola ${\displaystyle y=1/x}$. Because any hyperbola is an affine image of the hyperbola ${\displaystyle y=1/x}$ (see section below) and an affine transformation preserves parallelism and midpoints of line segments, the property is true for all hyperbolas:
For two points ${\displaystyle P=\left(x_{1},{\tfrac {1}{x_{1}}}\right),\ Q=\left(x_{2},{\tfrac {1}{x_{2}}}\right)}$ of the hyperbola ${\displaystyle y=1/x}$

the midpoint of the chord is ${\displaystyle M=\left({\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},\cdots \right)=\cdots ={\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}}\;\left(1,{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\right)\ ;}$

the slope of the chord is ${\displaystyle {\frac {{\tfrac {1}{x_{2}}}-{\tfrac {1}{x_{1}}}}{x_{2}-x_{1}}}=\cdots =-{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\ .}$

For parallel chords the slope is constant and the midpoints of the parallel chords lie on the line ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\;x\ .}$

Consequence: for any pair of points ${\displaystyle P,Q}$ of a chord there exists a skew reflection with an axis (set of fixed points) passing through the center of the hyperbola, which exchanges the points ${\displaystyle P,Q}$ and leaves the hyperbola (as a whole) fixed. A skew reflection is a generalization of an ordinary reflection across a line ${\displaystyle m}$, where all point-image pairs are on a line perpendicular to ${\displaystyle m}$.

Because a skew reflection leaves the hyperbola fixed, the pair of asymptotes is fixed, too. Hence the midpoint ${\displaystyle M}$ of a chord ${\displaystyle PQ}$ divides the related line segment ${\displaystyle {\overline {P}}\,{\overline {Q}}}$ between the asymptotes into halves, too. This means that ${\displaystyle |P{\overline {P}}|=|Q{\overline {Q}}|}$. This property can be used for the construction of further points ${\displaystyle Q}$ of the hyperbola if a point ${\displaystyle P}$ and the asymptotes are given.

If the chord degenerates into a tangent, then the touching point divides the line segment between the asymptotes in two halves.

Orthogonal tangents – orthoptic

Hyperbola with its orthoptic (magenta)

For a hyperbola ${\textstyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\,a>b}$ the intersection points of orthogonal tangents lie on the circle ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}$.
This circle is called the orthoptic of the given hyperbola.

The tangents may belong to points on different branches of the hyperbola.

In case of ${\displaystyle a\leq b}$ there are no pairs of orthogonal tangents.

Pole-polar relation for a hyperbola

Hyperbola: pole-polar relation

Any hyperbola can be described in a suitable coordinate system by an equation ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$. The equation of the tangent at a point ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ of the hyperbola is ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}y}{b^{2}}}=1.}$ If one allows point ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ to be an arbitrary point different from the origin, then

point ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)}$ is mapped onto the line ${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$, not through the center of the hyperbola.

This relation between points and lines is a bijection.

The inverse function maps

line ${\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}$ onto the point ${\displaystyle \left(-{\frac {ma^{2}}{d}},-{\frac {b^{2}}{d}}\right)}$ and

line ${\displaystyle x=c,\ c\neq 0}$ onto the point ${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{c}},0\right)\ .}$

Such a relation between points and lines generated by a conic is called pole-polar relation or just polarity. The pole is the point, the polar the line. See Pole and polar.

By calculation one checks the following properties of the pole-polar relation of the hyperbola:

• For a point (pole) on the hyperbola the polar is the tangent at this point (see diagram: ${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$).
• For a pole ${\displaystyle P}$ outside the hyperbola the intersection points of its polar with the hyperbola are the tangency points of the two tangents passing ${\displaystyle P}$ (see diagram: ${\displaystyle P_{2},\ p_{2},\ P_{3},\ p_{3}}$).
• For a point within the hyperbola the polar has no point with the hyperbola in common. (see diagram: ${\displaystyle P_{4},\ p_{4}}$).

Remarks:

1. The intersection point of two polars (for example: ${\displaystyle p_{2},p_{3}}$) is the pole of the line through their poles (here: ${\displaystyle P_{2},P_{3}}$).
2. The foci ${\displaystyle (c,0),}$ and ${\displaystyle (-c,0)}$ respectively and the directrices ${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}$ and ${\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}$ respectively belong to pairs of pole and polar.

Pole-polar relations exist for ellipses and parabolas, too.

Other properties

• The following are concurrent: (1) a circle passing through the hyperbola's foci and centered at the hyperbola's center; (2) either of the lines that are tangent to the hyperbola at the vertices; and (3) either of the asymptotes of the hyperbola.^[21][22]
• The following are also concurrent: (1) the circle that is centered at the hyperbola's center and that passes through the hyperbola's vertices; (2) either directrix; and (3) either of the asymptotes.^[22]
• Since both the transverse axis and the conjugate axis are axes of symmetry, the symmetry group of a hyperbola is the Klein four-group.
• The rectangular hyperbolas xy = constant admit group actions by squeeze mappings which have the hyperbolas as invariant sets.

Arc length

The arc length of a hyperbola does not have an elementary expression. The upper half of a hyperbola can be parameterized as

$${\displaystyle y=b{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}.}$$

Then the integral giving the arc length ${\displaystyle s}$ from ${\displaystyle x_{1}}$ to ${\displaystyle x_{2}}$ can be computed as:

$${\displaystyle s=b\int _{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {1+\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\sinh ^{2}v}}\,\mathrm {d} v.}$$

After using the substitution ${\displaystyle z=iv}$, this can also be represented using the incomplete elliptic integral of the second kind ${\displaystyle E}$ with parameter ${\displaystyle m=k^{2}}$:

$${\displaystyle s=ib{\Biggr [}E\left(iv\,{\Biggr |}\,1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right){\Biggr ]}_{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}.}$$

Using only real numbers, this becomes^[23]

$${\displaystyle s=b\left[F\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)-E\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)+{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\tanh ^{2}v}}\,\sinh v\right]_{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{2}}{a}}}}$$

where ${\displaystyle F}$ is the incomplete elliptic integral of the first kind with parameter ${\displaystyle m=k^{2}}$ and ${\displaystyle \operatorname {gd} v=\arctan \sinh v}$ is the Gudermannian function.

Derived curves

Sinusoidal spirals (rⁿ = –1ⁿ cos(nθ), θ = π/2) in polar coordinates and their equivalents in rectangular coordinates:

  n = −2: Equilateral hyperbola

  n = −1: Line

  n = −1/2: Parabola

  n = 1/2: Cardioid

  n = 1: Circle

  n = 2: Lemniscate of Bernoulli

Several other curves can be derived from the hyperbola by inversion, the so-called inverse curves of the hyperbola. If the center of inversion is chosen as the hyperbola's own center, the inverse curve is the lemniscate of Bernoulli; the lemniscate is also the envelope of circles centered on a rectangular hyperbola and passing through the origin. If the center of inversion is chosen at a focus or a vertex of the hyperbola, the resulting inverse curves are a limaçon or a strophoid, respectively.

Elliptic coordinates

A family of confocal hyperbolas is the basis of the system of elliptic coordinates in two dimensions. These hyperbolas are described by the equation

$${\displaystyle \left({\frac {x}{c\cos \theta }}\right)^{2}-\left({\frac {y}{c\sin \theta }}\right)^{2}=1}$$

where the foci are located at a distance c from the origin on the x-axis, and where θ is the angle of the asymptotes with the x-axis. Every hyperbola in this family is orthogonal to every ellipse that shares the same foci. This orthogonality may be shown by a conformal map of the Cartesian coordinate system w = z + 1/z, where z= x + iy are the original Cartesian coordinates, and w=u + iv are those after the transformation.

Other orthogonal two-dimensional coordinate systems involving hyperbolas may be obtained by other conformal mappings. For example, the mapping w = z² transforms the Cartesian coordinate system into two families of orthogonal hyperbolas.

Conic section analysis of the hyperbolic appearance of circles

Central projection of circles on a sphere: The center O of projection is inside the sphere, the image plane is red.
As images of the circles one gets a circle (magenta), ellipses, hyperbolas and lines. The special case of a parabola does not appear in this example.
(If center O were on the sphere, all images of the circles would be circles or lines; see stereographic projection).

Besides providing a uniform description of circles, ellipses, parabolas, and hyperbolas, conic sections can also be understood as a natural model of the geometry of perspective in the case where the scene being viewed consists of circles, or more generally an ellipse. The viewer is typically a camera or the human eye and the image of the scene a central projection onto an image plane, that is, all projection rays pass a fixed point O, the center. The lens plane is a plane parallel to the image plane at the lens O.

The image of a circle c is

1. a circle, if circle c is in a special position, for example parallel to the image plane and others (see stereographic projection),
2. an ellipse, if c has no point with the lens plane in common,
3. a parabola, if c has one point with the lens plane in common and
4. a hyperbola, if c has two points with the lens plane in common.

(Special positions where the circle plane contains point O are omitted.)

These results can be understood if one recognizes that the projection process can be seen in two steps: 1) circle c and point O generate a cone which is 2) cut by the image plane, in order to generate the image.

One sees a hyperbola whenever catching sight of a portion of a circle cut by one's lens plane. The inability to see very much of the arms of the visible branch, combined with the complete absence of the second branch, makes it virtually impossible for the human visual system to recognize the connection with hyperbolas.

Applications

Hyperbolas as declination lines on a sundial

The contact zone of a level supersonic aircraft's shockwave on flat ground (yellow) is a part of a hyperbola as the ground intersects the cone parallel to its axis.

Sundials

Hyperbolas may be seen in many sundials. On any given day, the sun revolves in a circle on the celestial sphere, and its rays striking the point on a sundial traces out a cone of light. The intersection of this cone with the horizontal plane of the ground forms a conic section. At most populated latitudes and at most times of the year, this conic section is a hyperbola. In practical terms, the shadow of the tip of a pole traces out a hyperbola on the ground over the course of a day (this path is called the declination line). The shape of this hyperbola varies with the geographical latitude and with the time of the year, since those factors affect the cone of the sun's rays relative to the horizon. The collection of such hyperbolas for a whole year at a given location was called a pelekinon by the Greeks, since it resembles a double-bladed axe.

Multilateration

A hyperbola is the basis for solving multilateration problems, the task of locating a point from the differences in its distances to given points — or, equivalently, the difference in arrival times of synchronized signals between the point and the given points. Such problems are important in navigation, particularly on water; a ship can locate its position from the difference in arrival times of signals from a LORAN or GPS transmitters. Conversely, a homing beacon or any transmitter can be located by comparing the arrival times of its signals at two separate receiving stations; such techniques may be used to track objects and people. In particular, the set of possible positions of a point that has a distance difference of 2a from two given points is a hyperbola of vertex separation 2a whose foci are the two given points.

Path followed by a particle

The path followed by any particle in the classical Kepler problem is a conic section. In particular, if the total energy E of the particle is greater than zero (that is, if the particle is unbound), the path of such a particle is a hyperbola. This property is useful in studying atomic and sub-atomic forces by scattering high-energy particles; for example, the Rutherford experiment demonstrated the existence of an atomic nucleus by examining the scattering of alpha particles from gold atoms. If the short-range nuclear interactions are ignored, the atomic nucleus and the alpha particle interact only by a repulsive Coulomb force, which satisfies the inverse square law requirement for a Kepler problem.^[24]

Korteweg–de Vries equation

The hyperbolic trig function ${\displaystyle \operatorname {sech} \,x}$ appears as one solution to the Korteweg–de Vries equation which describes the motion of a soliton wave in a canal.

Angle trisection

Trisecting an angle (AOB) using a hyperbola of eccentricity 2 (yellow curve)

As shown first by Apollonius of Perga, a hyperbola can be used to trisect any angle, a well studied problem of geometry. Given an angle, first draw a circle centered at its vertex O, which intersects the sides of the angle at points A and B. Next draw the line segment with endpoints A and B and its perpendicular bisector ${\displaystyle \ell }$. Construct a hyperbola of eccentricity e=2 with ${\displaystyle \ell }$ as directrix and B as a focus. Let P be the intersection (upper) of the hyperbola with the circle. Angle POB trisects angle AOB.

To prove this, reflect the line segment OP about the line ${\displaystyle \ell }$ obtaining the point P' as the image of P. Segment AP' has the same length as segment BP due to the reflection, while segment PP' has the same length as segment BP due to the eccentricity of the hyperbola.^[25] As OA, OP', OP and OB are all radii of the same circle (and so, have the same length), the triangles OAP', OPP' and OPB are all congruent. Therefore, the angle has been trisected, since 3×POB = AOB.^[26]

Efficient portfolio frontier

In portfolio theory, the locus of mean-variance efficient portfolios (called the efficient frontier) is the upper half of the east-opening branch of a hyperbola drawn with the portfolio return's standard deviation plotted horizontally and its expected value plotted vertically; according to this theory, all rational investors would choose a portfolio characterized by some point on this locus.

Biochemistry

In biochemistry and pharmacology, the Hill equation and Hill-Langmuir equation respectively describe biological responses and the formation of protein–ligand complexes as functions of ligand concentration. They are both rectangular hyperbolae.

Hyperbolas as plane sections of quadrics

Hyperbolas appear as plane sections of the following quadrics:

• Elliptic cone
• Hyperbolic cylinder
• Hyperbolic paraboloid
• Hyperboloid of one sheet
• Hyperboloid of two sheets

• 
  Elliptic cone
• 
  Hyperbolic cylinder
• 
  Hyperbolic paraboloid
• 
  Hyperboloid of one sheet
• 
  Hyperboloid of two sheets

See also

Other conic sections

• Circle
• Ellipse
• Parabola
• Degenerate conic

Other related topics

• Elliptic coordinates, an orthogonal coordinate system based on families of ellipses and hyperbolas.
• Hyperbolic growth
• Hyperbolic partial differential equation
• Hyperbolic sector
• Hyperboloid structure
• Hyperbolic trajectory
• Hyperboloid
• Multilateration
• Rotation of axes
• Translation of axes
• Unit hyperbola

Notes

1. Oakley 1944, p. 17.
2. Heath, Sir Thomas Little (1896), "Chapter I. The discovery of conic sections. Menaechmus", Apollonius of Perga: Treatise on Conic Sections with Introductions Including an Essay on Earlier History on the Subject, Cambridge University Press, pp. xvii–xxx.
3. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011), A History of Mathematics, Wiley, p. 73, ISBN 9780470630563, It was Apollonius (possibly following up a suggestion of Archimedes) who introduced the names "ellipse" and "hyperbola" in connection with these curves.
4. Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Vol. One), Allyn and Bacon, pp. 30–31
5. Protter & Morrey 1970, pp. 308–310.
6. Protter & Morrey 1970, p. 310.
7. Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), New Horizons in Geometry, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, p. 251, ISBN 978-0-88385-354-2
8. The German term for this circle is Leitkreis which can be translated as "Director circle", but that term has a different meaning in the English literature (see Director circle).
9. Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, Leyden, 1659, p. 327
10. E. Hartmann: Lecture Note 'Planar Circle Geometries', an Introduction to Möbius-, Laguerre- and Minkowski Planes, p. 93
11. W. Benz: Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer (1973)
12. Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes, S. 33, (PDF; 757 kB)
13. Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes, S. 32, (PDF; 757 kB)
14. Fanchi, John R. (2006). Math refresher for scientists and engineers. John Wiley and Sons. Section 3.2, pages 44–45. ISBN 0-471-75715-2.
15. Korn, Granino A; Korn, Theresa M. (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review (second ed.). Dover Publ. p. 40.
16. Protter & Morrey 1970, pp. APP-29–APP-30.
17. Mitchell, Douglas W., "A property of hyperbolas and their asymptotes", Mathematical Gazette 96, July 2012, 299–301.
18. J. W. Downs, Practical Conic Sections, Dover Publ., 2003 (orig. 1993): p. 26.
19. Casey, John, (1885) "A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle, and conic sections, containing an account of its most recent extensions, with numerous examples"
20. Coffman, R. T.; Ogilvy, C. S. (1963), "The 'Reflection Property' of the Conics", Mathematics Magazine, 36 (1): 11–12, doi:10.2307/2688124
    Flanders, Harley (1968), "The Optical Property of the Conics", American Mathematical Monthly, 75 (4): 399, doi:10.2307/2313439

    Brozinsky, Michael K. (1984), "Reflection Property of the Ellipse and the Hyperbola", College Mathematics Journal, 15 (2): 140–42, doi:10.2307/2686519

21. "Hyperbola". Mathafou.free.fr. Archived from the original on 4 March 2016. Retrieved 26 August 2018.
22. "Properties of a Hyperbola". Archived from the original on 2017-02-02. Retrieved 2011-06-22.
23. Carlson, B. C. (2010), "Elliptic Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
24. Heilbron, John L. (1968). "The Scattering of α and β Particles and Rutherford's Atom". Archive for History of Exact Sciences. 4 (4): 247–307. doi:10.1007/BF00411591. ISSN 0003-9519. JSTOR 41133273.
25. Since 2 times the distance of P to ${\displaystyle \ell }$ is PP' which is equal to BP by directrix-focus property
26. This construction is due to Pappus of Alexandria (circa 300 A.D.) and the proof comes from Kazarinoff 1970, p. 62.

References

• Kazarinoff, Nicholas D. (1970), Ruler and the Round, Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-113-9
• Oakley, C. O., Ph.D. (1944), An Outline of the Calculus, New York: Barnes & Noble{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042

External links

• "Hipérbola", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Derivación de la hipérbola en la convergencia según Apolonio
• Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, 1659
• Weisstein, Eric W. "Hiperbola". MundoMatemático .