Desigualdad triangular

Tres ejemplos de desigualdad de triángulos para triángulos con lados de longitud $x$ , $y$ , $z$ . El ejemplo superior muestra un caso en el que $z$ es mucho menor que la suma $x + y$ de los otros dos lados, y el ejemplo inferior muestra un caso en el que el lado $z$ es sólo ligeramente menor que $x + y$ .

En matemáticas , la desigualdad del triángulo establece que para cualquier triángulo , la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera debe ser mayor o igual a la longitud del lado restante. ^[1]^[2] Esta afirmación permite la inclusión de triángulos degenerados , pero algunos autores, especialmente aquellos que escriben sobre geometría elemental, excluirán esta posibilidad, dejando fuera la posibilidad de igualdad. ^[3] Si $x$ , $y$ y $z$ son las longitudes de los lados del triángulo, sin que ningún lado sea mayor que $z$ , entonces la desigualdad del triángulo establece que

z\leq x+y,

con igualdad sólo en el caso degenerado de un triángulo con área cero.

En la geometría euclidiana y algunas otras geometrías, la desigualdad del triángulo es un teorema sobre distancias y se escribe usando vectores y longitudes de vectores ( normas ):

\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|\leq \|\mathbf {x} \|+\|\mathbf {y} \|,

donde la longitud $z$ del tercer lado ha sido reemplazada por la suma vectorial $x + y$ . Cuando $xey$ son números reales , pueden verse como vectores en , y la desigualdad del triángulo expresa una relación entre $valores$ absolutos . $\mathbb {R} ^{1}$

En geometría euclidiana, para los triángulos rectángulos la desigualdad del triángulo es consecuencia del teorema de Pitágoras , y para los triángulos generales, consecuencia de la ley de los cosenos , aunque puede demostrarse sin estos teoremas. La desigualdad se puede ver intuitivamente en cualquiera o . La figura de la derecha muestra tres ejemplos que comienzan con una clara desigualdad (arriba) y se acercan a la igualdad (abajo). En el caso euclidiano, la igualdad ocurre solo si el triángulo tiene un ángulo de $180°$ y dos ángulos $de 0°$ , lo que hace que los tres vértices sean colineales , como se muestra en el ejemplo inferior. Así, en geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

En geometría esférica , la distancia más corta entre dos puntos es un arco de círculo máximo , pero la desigualdad del triángulo se cumple siempre que se restrinja que la distancia entre dos puntos en una esfera sea la longitud de un segmento de línea esférico menor (es decir, uno con ángulo central en $[0, π]$ ) con esos puntos finales. ^[4]^[5]

La desigualdad del triángulo es una propiedad definitoria de las normas y medidas de distancia . Esta propiedad debe establecerse como teorema para cualquier función propuesta a tales efectos para cada espacio en particular: por ejemplo, espacios como los números reales , los espacios euclidianos , los espacios L p ( $p \geq 1$ ) y los espacios producto internos .

Geometría euclidiana

Euclides demostró la desigualdad del triángulo para distancias en geometría plana usando la construcción de la figura. ^[6] Comenzando con el triángulo $ABC$ , se construye un triángulo isósceles con un lado tomado como $BC$ y el otro cateto igual $BD$ a lo largo de la extensión del lado $AB$ . Luego se argumenta que el ángulo $β$ tiene una medida mayor que el ángulo $α$ , por lo que el lado $AD$ es más largo que el lado $AC$ . Sin embargo:

{\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}},

entonces la suma de las longitudes de los lados $AB$ y $BC$ es mayor que la longitud de $AC$ . Esta prueba aparece en los Elementos de Euclides , Libro 1, Proposición 20. ^[7]

Expresión matemática de la restricción de los lados de un triángulo.

Para un triángulo adecuado, la desigualdad del triángulo, como se expresa en palabras, se traduce literalmente en tres desigualdades (dado que un triángulo adecuado tiene longitudes de lados $a, b, c$ que son todas positivas y excluye el caso degenerado de área cero):

a+b>c,\quad b+c>a,\quad c+a>b.

Se puede demostrar que una forma más sucinta de este sistema de desigualdad es

|ab|<c<a+b.

Otra forma de decirlo es

\max(a,b,c)<a+b+c-\max(a,b,c)

Insinuando

2\max(a,b,c)<a+b+c

y por tanto la longitud del lado más largo es menor que el semiperímetro .

Una formulación matemáticamente equivalente es que el área de un triángulo con lados $a, b, c$ debe ser un número real mayor que cero. La fórmula de Heron para el área es

{\begin{alineado}4\cdot {\text{área}}&={\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+ bc)}}\\&={\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{ 2}+2b^{2}c^{2}}}.\end{aligned}}

En términos de cualquiera de las expresiones de área, la desigualdad del triángulo impuesta en todos los lados es equivalente a la condición de que la expresión bajo el signo de la raíz cuadrada sea real y mayor que cero (por lo que la expresión del área es real y mayor que cero).

La desigualdad del triángulo proporciona dos restricciones más interesantes para triángulos cuyos lados son $a, b, c$ , donde $a \geq b \geq c$ y es la proporción áurea , como $\phi$

1<{\frac {a+c}{b}}<3

1\leq \min \left({\frac {a}{b}},{\frac {b}{c}}\right)<\phi .

^[8]

Triángulo rectángulo

En el caso de los triángulos rectángulos, la desigualdad del triángulo se especializa en la afirmación de que la hipotenusa es mayor que cualquiera de los dos lados y menor que su suma. ^[9]

La segunda parte de este teorema ya está establecida anteriormente para cualquier lado de cualquier triángulo. La primera parte se establece utilizando la figura inferior. En la figura, considere el triángulo rectángulo $ADC$ . Se construye un triángulo isósceles $ABC con lados iguales$ $AB = AC$ . Según el postulado del triángulo , los ángulos del triángulo rectángulo $ADC$ satisfacen:

\alpha +\gamma =\pi /2\ .

Asimismo, en el triángulo isósceles $ABC$ , los ángulos satisfacen:

2\beta +\gamma =\pi \ .

Por lo tanto,

\alpha =\pi /2-\gamma ,\ \mathrm {mientras} \ \beta =\pi /2-\gamma /2\ ,

y así, en particular,

\alpha <\beta \ .

Eso significa que el lado $AD$ , que es opuesto al ángulo $α$ , es más corto que el lado $AB$ , que es opuesto al ángulo mayor $β$ . Pero $AB = AC$ . Por eso:

{\overline {AC}}>{\overline {AD}}\ .

Una construcción similar muestra $AC > DC$ , estableciendo el teorema.

Una prueba alternativa (también basada en el postulado del triángulo) procede considerando tres posiciones para el punto $B$ : ^[10] (i) como se muestra (que debe demostrarse), o (ii) $B$ coincidente con $D$ (lo que significaría que los isósceles triángulo tenía dos ángulos rectos como ángulos base más el ángulo del vértice $γ$ , lo que violaría el postulado del triángulo ), o por último, (iii) $B$ interior al triángulo rectángulo entre los puntos $A$ y $D$ (en cuyo caso el ángulo $ABC$ es un ángulo exterior de un triángulo rectángulo $BDC$ y por lo tanto mayor que $π /2$ , lo que significa que el otro ángulo base del triángulo isósceles también es mayor que $π /2$ y su suma excede $π$ en violación del postulado del triángulo).

Este teorema que establece desigualdades es perfeccionado por el teorema de Pitágoras a la igualdad de que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos catetos.

Ejemplos de uso

Considere un triángulo cuyos lados están en una progresión aritmética y sean los lados $a, a + d, a + 2 d$ . Entonces la desigualdad del triángulo requiere que

{\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&2a+3d,\\0&<&a+d&<&2a+2d,\\0&<&a+2d&<&2a+d.\end{array}}

Para satisfacer todas estas desigualdades se requiere

a>0{\text{ and }}-{\frac {a}{3}}<d<a.

^[11]

Cuando se elige $d$ tal que $d = a /3$ , se genera un triángulo rectángulo que siempre es similar al triple pitagórico con lados $3$ , $4$ , $5$ .

Ahora considere un triángulo cuyos lados están en una progresión geométrica y sean los lados $a, ar, ar 2$ . Entonces la desigualdad del triángulo requiere que

{\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&ar+ar^{2},\\0&<&ar&<&a+ar^{2},\\0&<&\!ar^{2}&<&a+ar.\end{array}}

La primera desigualdad requiere $a > 0$ ; en consecuencia, puede dividirse y eliminarse. Con $a > 0$ , la desigualdad media sólo requiere $r > 0$ . Esto ahora deja que la primera y la tercera desigualdad deban satisfacerse.

{\begin{aligned}r^{2}+r-1&{}>0\\r^{2}-r-1&{}<0.\end{aligned}}

La primera de estas desigualdades cuadráticas requiere que $r$ se extienda en la región más allá del valor de la raíz positiva de la ecuación cuadrática $r 2 + r - 1 = 0$ , es decir, $r > φ - 1$ donde $φ$ es la proporción áurea . La segunda desigualdad cuadrática requiere que $r$ esté entre 0 y la raíz positiva de la ecuación cuadrática $r 2 - r - 1 = 0$ , es decir, $0 < r < φ$ . Los requisitos combinados dan como resultado que $r$ esté confinado al rango

\varphi -1<r<\varphi \,{\text{ and }}a>0.

^[12]

Cuando $r$ se elige la razón común tal que $r = \sqrt φ$ genera un triángulo rectángulo que siempre es similar al triángulo de Kepler .

Generalización a cualquier polígono.

La desigualdad del triángulo se puede extender por inducción matemática a caminos poligonales arbitrarios, mostrando que la longitud total de dicho camino no es menor que la longitud de la línea recta entre sus puntos finales. En consecuencia, la longitud de cualquier lado del polígono es siempre menor que la suma de las longitudes de los otros lados del polígono.

Ejemplo de desigualdad poligonal generalizada para un cuadrilátero

Considere un cuadrilátero cuyos lados están en una progresión geométrica y sean los lados $a, ar, ar 2, ar 3$ . Entonces la desigualdad poligonal generalizada requiere que

{\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&ar+ar^{2}+ar^{3}\\0&<&ar&<&a+ar^{2}+ar^{3}\\0&<&ar^{2}&<&a+ar+ar^{3}\\0&<&ar^{3}&<&a+ar+ar^{2}.\end{array}}

Estas desigualdades para $a > 0$ se reducen a lo siguiente

r^{3}+r^{2}+r-1>0

r^{3}-r^{2}-r-1<0.

^[13]

Los polinomios del lado izquierdo de estas dos desigualdades tienen raíces que son la constante de Tribonacci y su recíproco. En consecuencia, $r$ está limitado al rango $1/ t < r < t$ donde $t$ es la constante de Tribonacci.

Relación con los caminos más cortos

La longitud del arco de una curva se define como el límite superior mínimo de las longitudes de las aproximaciones poligonales.

Esta generalización se puede utilizar para demostrar que la curva más corta entre dos puntos en la geometría euclidiana es una línea recta.

Ningún camino poligonal entre dos puntos es más corto que la línea entre ellos. Esto implica que ninguna curva puede tener una longitud de arco menor que la distancia entre sus puntos finales. Por definición, la longitud del arco de una curva es el límite superior mínimo de las longitudes de todas las aproximaciones poligonales de la curva. El resultado para caminos poligonales muestra que la línea recta entre los puntos finales es la más corta de todas las aproximaciones poligonales. Debido a que la longitud del arco de la curva es mayor o igual a la longitud de cada aproximación poligonal, la curva en sí no puede ser más corta que la trayectoria de la línea recta. ^[14]

Conversar

Lo inverso del teorema de desigualdad del triángulo también es cierto: si tres números reales son tales que cada uno es menor que la suma de los demás, entonces existe un triángulo con estos números como longitudes de lados y con área positiva; y si un número es igual a la suma de los otros dos, existe un triángulo degenerado (es decir, con área cero) con estos números como longitudes de sus lados.

En cualquier caso, si las longitudes de los lados son $a$ , $b$ , $c$ , podemos intentar colocar un triángulo en el plano euclidiano como se muestra en el diagrama. Necesitamos demostrar que existe un número real $h$ consistente con los valores $a$ , $b$ y $c$ , en cuyo caso este triángulo existe.

Por el teorema de Pitágoras tenemos $b 2 = h 2 + d 2$ y $a 2 = h 2 + (c - d) 2$ según la figura de la derecha. Restarlos produce $a 2 - b 2 = c 2 - 2 cd$ . Esta ecuación nos permite expresar $d$ en términos de los lados del triángulo:

d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.

Para la altura del triángulo tenemos que $h 2 = b 2 - d 2$ . Reemplazando $d$ con la fórmula dada anteriormente, tenemos

h^{2}=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}.

Para que un número real $h$ satisfaga esto, $h 2$ debe ser no negativo:

{\begin{aligned}0&\leq b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\[4pt]0&\leq \left(b-{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\left(b+{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\\[4pt]0&\leq \left(a^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-a^{2}\right)\\[6pt]0&\leq (a+b-c)(a-b+c)(b+c+a)(b+c-a)\\[6pt]0&\leq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\end{aligned}}

lo cual se cumple si la desigualdad del triángulo se satisface para todos los lados. Por lo tanto, existe un número real consistente con los lados y el triángulo existe. Si la desigualdad de cada triángulo se cumple estrictamente y el triángulo no es degenerado (tiene área positiva); pero si una de las desigualdades se cumple con igualdad, entonces el triángulo es degenerado. $h$ $a,b,c$ $h>0$ $h=0$

Generalización a dimensiones superiores.

El área de una cara triangular de un tetraedro es menor o igual a la suma de las áreas de las otras tres caras triangulares. De manera más general, en el espacio euclidiano el hipervolumen de una $(n - 1 )$ - faceta de un $n$ - simplex es menor o igual a la suma de los hipervolúmenes de las otras $n$ facetas.

Así como la desigualdad del triángulo se generaliza a una desigualdad poligonal, la desigualdad para un simplex de cualquier dimensión se generaliza a un politopo de cualquier dimensión: el hipervolumen de cualquier faceta de un politopo es menor o igual a la suma de los hipervolúmenes de las facetas restantes. .

En algunos casos, la desigualdad tetraédrica es más fuerte que varias aplicaciones de la desigualdad triangular. Por ejemplo, la desigualdad del triángulo parece permitir la posibilidad de cuatro puntos $A$ , $B$ , $C$ y $Z$ en el espacio euclidiano tales que las distancias

AB = BC = CA = 26

AZ = BZ = CZ = 14

Sin embargo, los puntos con tales distancias no pueden existir: el área del triángulo equilátero $ABC$ 26–26–26 es $169 \sqrt 3$ , que es mayor que tres veces $39 \sqrt 3$ , el área de un triángulo isósceles 26–14–14 (todo por Fórmula de Herón ), por lo que la disposición está prohibida por la desigualdad tetraédrica.

Espacio vectorial normado

Desigualdad triangular para normas de vectores.

En un espacio vectorial normado $V$ , una de las propiedades definitorias de la norma es la desigualdad del triángulo:

\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad \forall \,x,y\in V

es decir, la norma de la suma de dos vectores es como máximo tan grande como la suma de las normas de los dos vectores. Esto también se conoce como subaditividad . Para que cualquier función propuesta se comporte como norma, debe satisfacer este requisito. ^[15]

Si el espacio normado es euclidiano o, más generalmente, estrictamente convexo , entonces si y sólo si el triángulo formado por $x$ , $y$ y $x$ $+$ $y$ es degenerado, es decir, $x$ e $y$ están en el mismo rayo, es decir, $x$ $= 0$ o $y$ $= 0$ , o $x$ $=$ $α y$ para algunos $α$ $> 0$ . Esta propiedad caracteriza espacios normados estrictamente convexos como los espacios $ℓ$ $p$ $con 1 <$ $p$ $< \infty$ . Sin embargo, hay espacios normados en los que esto no es cierto. Por ejemplo, considere el avión con la norma $ℓ$ $1$ (la distancia de Manhattan ) y denote $x$ $= (1, 0)$ e $y$ $= (0, 1)$ . Entonces el triángulo formado por $x$ , $y$ , y $x$ $+$ $y$ , no es degenerado pero $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$

\|x+y\|=\|(1,1)\|=|1|+|1|=2=\|x\|+\|y\|.

Normas de ejemplo

Valor absoluto como norma para la recta real . Para ser una norma, la desigualdad del triángulo requiere que el valor absoluto satisfaga para cualquier número real $x$ e $y$ : $|x+y|\leq |x|+|y|,$ lo cual hace.

Prueba: ^[16]

-\left\vert x\right\vert \leq x\leq \left\vert x\right\vert

-\left\vert y\right\vert \leq y\leq \left\vert y\right\vert

Después de agregar,

-(\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert )\leq x+y\leq \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert

Utilice el hecho de que (con $b$ reemplazado por $x$ $+$ $y$ y $a$ por ), tenemos $\left\vert b\right\vert \leq a\Leftrightarrow -a\leq b\leq a$ $\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert$

|x+y|\leq |x|+|y|

La desigualdad triangular es útil en el análisis matemático para determinar la mejor estimación superior del tamaño de la suma de dos números, en términos de los tamaños de los números individuales.

También hay una estimación más baja, que se puede encontrar usando la desigualdad del triángulo inverso que establece que para cualquier número real $x$ e $y$ :

|x-y|\geq {\biggl |}|x|-|y|{\biggr |}.

Producto interior como norma en un espacio de producto interior . Si la norma surge de un producto interno (como es el caso de los espacios euclidianos), entonces la desigualdad triangular se deriva de la desigualdad de Cauchy-Schwarz de la siguiente manera: Dados los vectores y , y denotando el producto interno como : ^[17] $x$ $y$ $\langle x,y\rangle$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en igualdad si y sólo si xey $son linealmente$ $dependientes$ . La desigualdad se convierte en igualdad para linealmente dependiente y si y sólo si uno de los vectores $x$ o $y$ es un escalar no negativo del otro. $\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \leq 2\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|$ $x$ $y$

Al sacar la raíz cuadrada del resultado final se obtiene la desigualdad del triángulo.

norma $p$ : una norma comúnmente utilizada es la $norma p$ : $\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\ ,$ donde $x i$ son los componentes del vector $x$ . Para $p = 2$ la norma $p se convierte en la$ norma euclidiana : $\|x\|_{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\right)^{1/2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{1/2}\ ,$ que es el teorema de Pitágoras en $n$ -dimensiones, un caso muy especial que corresponde a una norma de producto interno. Excepto en el caso $p = 2$ , la norma $p$ no es una norma de producto interno, porque no satisface la ley del paralelogramo . La desigualdad triangular para valores generales de $p$ se llama desigualdad de Minkowski . ^[18] Toma la forma: $\|x+y\|_{p}\leq \|x\|_{p}+\|y\|_{p}\ .$

Espacio métrico

En un espacio métrico $M$ con métrica $d$ , la desigualdad del triángulo es un requisito de la distancia :

d(x,\ z)\leq d(x,\ y)+d(y,\ z)\ ,

para todo $x$ , $y$ , $z$ en $M$ . Es decir, la distancia de $x$ a $z$ es como máximo tan grande como la suma de la distancia de $x$ a $y$ y la distancia de $y$ a $z$ .

La desigualdad del triángulo es responsable de la mayor parte de la estructura interesante en un espacio métrico, es decir, la convergencia. Esto se debe a que los requisitos restantes para una métrica son bastante simplistas en comparación. Por ejemplo, el hecho de que cualquier secuencia convergente en un espacio métrico sea una secuencia de Cauchy es una consecuencia directa de la desigualdad del triángulo, porque si elegimos cualquier $x n$ y $x m$ tales que $d (x n, x) < ε /2$ y $d (x m, x) < ε /2$ , donde $ε > 0$ es dado y arbitrario (como en la definición de un límite en un espacio métrico), entonces por la desigualdad del triángulo, $d (x n, x m) \leq d (x n, x) + d (x m, x) < ε /2 + ε /2 = ε$ , de modo que la secuencia ${x n}$ es una secuencia de Cauchy, por definición.

Esta versión de la desigualdad del triángulo se reduce a la indicada anteriormente en el caso de espacios vectoriales normados donde se induce una métrica mediante $d (x, y) ≔ ‖ x - y ‖$ , siendo $x - y$ el vector que apunta desde el punto $y$ a $x$ .

Desigualdad del triángulo inverso

La desigualdad del triángulo inverso es una formulación alternativa lógicamente equivalente de la desigualdad del triángulo que proporciona límites inferiores en lugar de límites superiores. Para geometría plana, la afirmación es: ^[19]

Cualquier lado de un triángulo es mayor o igual a la diferencia entre los otros dos lados .

En el caso de un espacio vectorial normado, la afirmación es:

{\bigg |}\|x\|-\|y\|{\bigg |}\leq \|x-y\|,

o para espacios métricos, . Esto implica que tanto la norma como la distancia desde la función son continuas de Lipschitz con constante de Lipschitz $1$ y, por lo tanto, son en particular uniformemente continuas . $|d(x,z)-d(y,z)|\leq d(x,y)$ $\|\cdot \|$ $z$ $d(z,\cdot )$

La prueba de la desigualdad del triángulo inverso a la habitual se utiliza para encontrar: $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$

\|x\|=\|(x-y)+y\|\leq \|x-y\|+\|y\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|,

\|y\|=\|(y-x)+x\|\leq \|y-x\|+\|x\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\geq -\|x-y\|,

Combinando estas dos declaraciones se obtiene:

-\|x-y\|\leq \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|\Rightarrow {\bigg |}\|x\|-\|y\|{\bigg |}\leq \|x-y\|.

A la inversa, la prueba de la desigualdad del triángulo a partir de la desigualdad del triángulo inverso funciona en dos casos:

Si entonces por la desigualdad del triángulo inverso, , $\|x+y\|-\|x\|\geq 0,$ $\|x+y\|-\|x\|={\bigg |}\|x+y\|-\|x\|{\bigg |}\leq \|(x+y)-x\|=\|y\|\Rightarrow \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

y si entonces trivialmente por la no negatividad de la norma. $\|x+y\|-\|x\|<0,$ $\|x\|+\|y\|\geq \|x\|>\|x+y\|$

Así, en ambos casos encontramos que . $\|x\|+\|y\|\geq \|x+y\|$

Para espacios métricos, la prueba de la desigualdad del triángulo inverso se encuentra de manera similar mediante:

$d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)\Rightarrow d(x,y)\geq d(x,z)-d(y,z)$

$d(z,x)+d(x,y)\geq d(z,y)\Rightarrow d(x,y)\geq d(y,z)-d(x,z)$

Juntando estas ecuaciones encontramos:

$d(x,y)\geq |d(x,z)-d(y,z)|$

Y a la inversa, partiendo de la desigualdad del triángulo inverso, podemos usar nuevamente dos casos:

Si , entonces , $d(x,z)-d(y,z)\geq 0$ $d(x,y)\geq |d(x,z)-d(y,z)|=d(x,z)-d(y,z)\Rightarrow d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$

y si luego nuevamente por la no negatividad de la métrica. $d(x,z)-d(y,z)<0,$ $d(x,y)+d(y,z)\geq d(y,z)>d(x,z)$

Así, en ambos casos encontramos que . $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$

Desigualdad de triángulos para similitud coseno

Al aplicar la función coseno a la desigualdad del triángulo y a la desigualdad del triángulo inverso para longitudes de arco y emplear las fórmulas de suma y resta de ángulos para los cosenos, se deduce inmediatamente que

\operatorname {sim} (x,z)\geq \operatorname {sim} (x,y)\cdot \operatorname {sim} (y,z)-{\sqrt {\left(1-\operatorname {sim} (x,y)^{2}\right)\cdot \left(1-\operatorname {sim} (y,z)^{2}\right)}}

\operatorname {sim} (x,z)\leq \operatorname {sim} (x,y)\cdot \operatorname {sim} (y,z)+{\sqrt {\left(1-\operatorname {sim} (x,y)^{2}\right)\cdot \left(1-\operatorname {sim} (y,z)^{2}\right)}}\,.

Con estas fórmulas, es necesario calcular una raíz cuadrada para cada triple de vectores ${x, y, z}$ que se examina en lugar de $arccos(sim(x, y))$ para cada par de vectores ${x, y}$ examinados, y Podría haber una mejora en el rendimiento cuando el número de triples examinados es menor que el número de pares examinados.

Inversión en el espacio de Minkowski

La métrica espacial de Minkowski no es definida positiva, lo que significa que puede tener signo o desaparecer, incluso si el vector $x$ es distinto de cero. Además, si $x$ e $y$ son vectores temporales que se encuentran en el cono de luz futuro, la desigualdad del triángulo se invierte: $\eta _{\mu \nu }$ $\|x\|^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$

\|x+y\|\geq \|x\|+\|y\|.

Un ejemplo físico de esta desigualdad es la paradoja de los gemelos en la relatividad especial . La misma forma invertida de la desigualdad se cumple si ambos vectores se encuentran en el cono de luz pasado y si uno o ambos son vectores nulos. El resultado se mantiene en dimensiones para cualquier . Si el plano definido por y es similar a un espacio (y por lo tanto un subespacio euclidiano), entonces se cumple la desigualdad triangular habitual. $n+1$ $n\geq 1$ $x$ $y$

Ver también

Notas

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Referencias

Pedoe, Daniel (1988). Geometría: un curso completo . Dover. ISBN 0-486-65812-0..
Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill . ISBN 0-07-054235-X..

enlaces externos

Desigualdad del triángulo en ProofWiki