Desigualdad de Minkowski

Desigualdad que establece que los espacios L ^p son espacios vectoriales normados

En análisis matemático , la desigualdad de Minkowski establece que los espacios L p son espacios vectoriales normados . Sea un espacio de medida , sea y sea y elementos de Entonces está en y tenemos la desigualdad triangular con igualdad para si y solo si y son linealmente dependientes positivamente ; es decir, para algún o Aquí, la norma está dada por: si o en el caso por el supremo esencial ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{p}(S).}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle L^{p}(S),}$ $${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=\lambda g}$ ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ ${\displaystyle g=0.}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$$ ${\displaystyle p<\infty ,}$ ${\displaystyle p=\infty }$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.}$$

La desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular . De hecho, es un caso especial del hecho más general donde es fácil ver que el lado derecho satisface la desigualdad triangular. ${\displaystyle L^{p}(S).}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$$

Al igual que la desigualdad de Hölder , la desigualdad de Minkowski se puede especializar en secuencias y vectores utilizando la medida de conteo : para todos los números reales (o complejos ) y donde es la cardinalidad de (el número de elementos en ). $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}+{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

La desigualdad debe su nombre al matemático alemán Hermann Minkowski .

Prueba

Primero, demostramos que tiene norma finita si y ambos lo hacen, lo que se deduce de De hecho, aquí usamos el hecho de que es convexo sobre (para ) y entonces, por la definición de convexidad, Esto significa que ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$$ ${\displaystyle h(x)=|x|^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle p>1}$ $${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}}f+{\tfrac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p}.}$$ $${\displaystyle |f+g|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|2f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.}$$

Ahora, podemos hablar legítimamente de Si es cero, entonces se cumple la desigualdad de Minkowski. Ahora suponemos que no es cero. Usando la desigualdad triangular y luego la desigualdad de Hölder , encontramos que ${\displaystyle \|f+g\|_{p}.}$ ${\displaystyle \|f+g\|_{p}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}&=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f+g|\cdot |f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}&&{\text{ Hölder's inequality}}\\&=\left(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\right){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\end{aligned}}}$$

Obtenemos la desigualdad de Minkowski multiplicando ambos lados por $${\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.}$$

Desigualdad integral de Minkowski

Supóngase que y son dos espacios de medida 𝜎-finitos y es medible. Entonces la desigualdad integral de Minkowski es: ^{[1] [2]} con modificaciones obvias en el caso Si y ambos lados son finitos, entonces la igualdad se cumple solo si ae para algunas funciones medibles no negativas y ${\displaystyle (S_{1},\mu _{1})}$ ${\displaystyle (S_{2},\mu _{2})}$ ${\displaystyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right]^{\frac {1}{p}}~\leq ~\int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x),}$$ ${\displaystyle p=\infty .}$ ${\displaystyle p>1,}$ ${\displaystyle |F(x,y)|=\varphi (x)\,\psi (y)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi .}$

Si es la medida de conteo en un conjunto de dos puntos , entonces la desigualdad integral de Minkowski da la desigualdad de Minkowski habitual como un caso especial: al poner para la desigualdad integral se obtiene ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle S_{1}=\{1,2\},}$ ${\displaystyle f_{i}(y)=F(i,y)}$ ${\displaystyle i=1,2,}$ $${\displaystyle \|f_{1}+f_{2}\|_{p}=\left(\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.}$$

Si la función medible no es negativa entonces para todos ^[3] ${\displaystyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}$ $${\displaystyle \left\|\left\|F(\,\cdot ,s_{2})\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}~\leq ~\left\|\left\|F(s_{1},\cdot )\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\ .}$$

Esta notación se ha generalizado para con Usando esta notación, la manipulación de los exponentes revela que, si entonces $${\displaystyle \|f\|_{p,q}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{m}}\left[\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x,y)|^{q}\mathrm {d} y\right]^{\frac {p}{q}}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}}$$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m+n}\to E,}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p,q}(\mathbb {R} ^{m+n},E)=\{f\in E^{\mathbb {R} ^{m+n}}:\|f\|_{p,q}<\infty \}.}$ ${\displaystyle p<q,}$ ${\displaystyle \|f\|_{q,p}\leq \|f\|_{p,q}.}$

Desigualdad inversa

Cuando se cumple la desigualdad inversa: ${\displaystyle p<1}$ $${\displaystyle \|f+g\|_{p}\geq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.}$$

Necesitamos además la restricción de que tanto como no sean negativos, como podemos ver en el ejemplo y ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=-1,g=1}$ ${\displaystyle p=1:}$ ${\displaystyle \|f+g\|_{1}=0<2=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}.}$

La desigualdad inversa se desprende del mismo argumento que la desigualdad de Minkowski estándar, pero utiliza que la desigualdad de Holder también se invierte en este rango.

Utilizando el Minkowski inverso, podemos demostrar que las medias de potencia como la media armónica y la media geométrica son cóncavas. ${\displaystyle p\leq 1,}$

Generalizaciones a otras funciones

La desigualdad de Minkowski se puede generalizar a otras funciones más allá de la función potencia. La desigualdad generalizada tiene la forma ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle x^{p}.}$ $${\displaystyle \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i}+y_{i})\right)\leq \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i})\right)+\phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (y_{i})\right).}$$

^{Mulholland [4]} y otros han encontrado varias condiciones suficientes . Por ejemplo, para un conjunto de condiciones suficientes de Mulholland es ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x\geq 0}$

1. ${\displaystyle \phi (x)}$es continua y estrictamente creciente con ${\displaystyle \phi (0)=0.}$
2. ${\displaystyle \phi (x)}$es una función convexa de ${\displaystyle x.}$
3. ${\displaystyle \log \phi (x)}$es una función convexa de ${\displaystyle \log(x).}$

Véase también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz  : desigualdad matemática que relaciona productos internos y normas
• Desigualdad de Hölder  – Desigualdad entre integrales en espacios Lp
• Desigualdad de Mahler  : desigualdad que relaciona la media geométrica de dos secuencias finitas de números positivos con la suma de cada media geométrica separada.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Desigualdad de convolución de Young  – Desigualdad matemática sobre la convolución de dos funciones
• Desigualdad de Young para productos  – Concepto matemático

Referencias

1. Stein 1970, §A.1.
2. Hardy, Littlewood y Pólya 1988, teorema 202.
3. Bahouri, Chemin y Danchin 2011, pág. 4.
4. Mulholland, HP (1949). "Sobre las generalizaciones de la desigualdad de Minkowski en la forma de una desigualdad triangular". Actas de la London Mathematical Society . s2-51 (1): 294–307. doi :10.1112/plms/s2-51.4.294.

• Bahouri, Hajer ; Chemin, Jean-Yves ; Danchin, Raphaël (2011). Análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 343. Berlín, Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-16830-7.OCLC 704397128  .
• Hardy, GH ; Littlewood, JE ; Pólya, G. (1988). Desigualdades . Cambridge Mathematical Library (segunda ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9.
• Minkowski, H. (1953). Geometrie der Zahlen . Chelsea..
• Stein, Elias (1970). Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones . Princeton University Press..
• MI Voitsekhovskii (2001) [1994], "Desigualdad de Minkowski", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Lohwater, Arthur J. (1982). "Introducción a las desigualdades".

Lectura adicional

• Bullen, PS (2003), "Los medios de poder", Manual de medios y sus desigualdades , Dordrecht: Springer Netherlands, págs. 175-265, doi :10.1007/978-94-017-0399-4_3, ISBN 978-90-481-6383-0, consultado el 23 de junio de 2022