En matemáticas , la topología de baja dimensión es la rama de la topología que estudia variedades , o más generalmente espacios topológicos, de cuatro o menos dimensiones . Los temas representativos son la teoría estructural de 3 y 4 variedades , la teoría de nudos y los grupos trenzados . Esto puede considerarse como parte de la topología geométrica . También se puede utilizar para referirse al estudio de espacios topológicos de dimensión 1, aunque normalmente se considera parte de la teoría del continuo .
Una serie de avances que comenzaron en la década de 1960 tuvieron el efecto de enfatizar las dimensiones bajas en la topología. La solución por Stephen Smale , en 1961, de la conjetura de Poincaré en cinco o más dimensiones hizo que las dimensiones tres y cuatro parecieran las más difíciles; y de hecho requerían nuevos métodos, mientras que la libertad de dimensiones superiores significaba que las preguntas podían reducirse a métodos computacionales disponibles en la teoría de la cirugía . La conjetura de geometrización de Thurston , formulada a finales de la década de 1970, ofrecía un marco que sugería que la geometría y la topología estaban estrechamente entrelazadas en dimensiones bajas, y la prueba de geometrización de Thurston para las variedades de Haken utilizó una variedad de herramientas de áreas de las matemáticas que antes sólo estaban débilmente vinculadas. El descubrimiento del polinomio de Jones por parte de Vaughan Jones a principios de los años 1980 no sólo condujo a la teoría de nudos en nuevas direcciones sino que dio lugar a conexiones aún misteriosas entre la topología de baja dimensión y la física matemática . En 2002, Grigori Perelman anunció una prueba de la conjetura tridimensional de Poincaré, utilizando el flujo de Ricci de Richard S. Hamilton , idea perteneciente al campo del análisis geométrico .
En general, este progreso ha llevado a una mejor integración del campo con el resto de las matemáticas.
Una superficie es una variedad topológica bidimensional . Los ejemplos más familiares son los que surgen como límites de objetos sólidos en el espacio euclidiano tridimensional ordinario R 3 (por ejemplo, la superficie de una pelota) . Por otro lado, hay superficies, como la botella de Klein , que no pueden integrarse en un espacio euclidiano tridimensional sin introducir singularidades o autointersecciones.
El teorema de clasificación de superficies cerradas establece que cualquier superficie cerrada conectada es homeomorfa para algún miembro de una de estas tres familias:
Las superficies de las dos primeras familias son orientables . Es conveniente combinar las dos familias considerando la esfera como la suma conexa de 0 tori. El número g de toros involucrados se llama género de la superficie. La esfera y el toro tienen características de Euler 2 y 0, respectivamente, y en general la característica de Euler de la suma conexa de g toros es 2 − 2 g .
Las superficies de la tercera familia no son orientables. La característica de Euler del plano proyectivo real es 1, y en general la característica de Euler de la suma conexa de k de ellos es 2 − k .
En matemáticas , el espacio de Teichmüller T X de una superficie topológica (real) X , es un espacio que parametriza estructuras complejas en X hasta la acción de homeomorfismos que son isotópicos del homeomorfismo de identidad . Cada punto en T X puede considerarse como una clase de isomorfismo de superficies de Riemann " marcadas" donde una "marca" es una clase de isotopía de homeomorfismos de X a X. El espacio de Teichmüller es el orbifold de cobertura universal del espacio de módulos (Riemann).
El espacio de Teichmüller tiene una estructura múltiple compleja canónica y una riqueza de métricas naturales. Fricke estudió el espacio topológico subyacente del espacio de Teichmüller, y Oswald Teichmüller (1940) introdujo la métrica de Teichmüller . [1]
En matemáticas , el teorema de uniformización dice que toda superficie de Riemann simplemente conectada es conformemente equivalente a uno de los tres dominios: el disco unitario abierto , el plano complejo o la esfera de Riemann . En particular admite una métrica riemanniana de curvatura constante . Esto clasifica las superficies de Riemann como elípticas (curvadas positivamente, más bien, admitiendo una métrica curvada positivamente constante), parabólicas (planas) e hiperbólicas (curvadas negativamente) según su cobertura universal .
El teorema de uniformización es una generalización del teorema de mapeo de Riemann desde subconjuntos abiertos adecuados del plano simplemente conectados hasta superficies de Riemann arbitrarias simplemente conectadas.
Un espacio topológico X es una variedad 3 si cada punto en X tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio 3 euclidiano .
Las categorías topológica, lineal por partes y suave son todas equivalentes en tres dimensiones, por lo que se hace poca distinción entre si estamos tratando, digamos, con 3 variedades topológicas o con 3 variedades suaves.
Los fenómenos en tres dimensiones pueden ser sorprendentemente diferentes de los fenómenos en otras dimensiones, por lo que prevalecen técnicas muy especializadas que no se generalizan a dimensiones mayores que tres. Este papel especial ha llevado al descubrimiento de conexiones estrechas con una diversidad de otros campos, como la teoría de nudos , la teoría de grupos geométricos , la geometría hiperbólica , la teoría de números , la teoría de Teichmüller , la teoría cuántica topológica de campos , la teoría de calibre , la homología de Floer y la teoría diferencial parcial. ecuaciones . La teoría de 3 variedades se considera parte de la topología de baja dimensión o topología geométrica .
La teoría de nudos es el estudio de los nudos matemáticos . Si bien se inspira en los nudos que aparecen en la vida cotidiana en los cordones de los zapatos y las cuerdas, el nudo de un matemático se diferencia en que los extremos están unidos para que no se puedan deshacer. En lenguaje matemático, un nudo es la incrustación de un círculo en un espacio euclidiano tridimensional , R 3 (ya que estamos usando topología, un círculo no está vinculado al concepto geométrico clásico, sino a todos sus homeomorfismos ). Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación de R 3 sobre sí mismo (conocida como isotopía ambiental ); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortar la cuerda ni pasar la cuerda a través de sí misma.
Los complementos de nudos son variedades 3 que se estudian con frecuencia. El complemento de nudo de un nudo domesticado K es el espacio tridimensional que rodea el nudo. Para precisar esto, supongamos que K es un nudo en una M de tres variedades (la mayoría de las veces, M es la de 3 esferas ). Sea N una vecindad tubular de K ; entonces N es un toro sólido . El complemento de nudo es entonces el complemento de N ,
Un tema relacionado es la teoría de las trenzas . La teoría de las trenzas es una teoría geométrica abstracta que estudia el concepto cotidiano de las trenzas y algunas generalizaciones. La idea es que las trenzas se puedan organizar en grupos , en los que la operación grupal es "hacer la primera trenza en un conjunto de hilos y luego seguirla con una segunda en los hilos retorcidos". Estos grupos pueden describirse mediante presentaciones explícitas , como demostró Emil Artin (1947). [2] Para un tratamiento elemental en esta línea, consulte el artículo sobre grupos de trenzas . A los grupos trenzados también se les puede dar una interpretación matemática más profunda: como el grupo fundamental de ciertos espacios de configuración .
Una 3-variedad hiperbólica es una 3-variedad equipada con una métrica de Riemann completa de curvatura seccional constante -1. En otras palabras, es el cociente del espacio hiperbólico tridimensional por un subgrupo de isometrías hiperbólicas que actúan libre y propiamente de forma discontinua . Véase también modelo kleiniano .
Su descomposición gruesa-fina tiene una parte delgada formada por vecindades tubulares de geodésicas cerradas y/o extremos que son producto de una superficie euclidiana y el semirayo cerrado. La variedad es de volumen finito si y sólo si su parte gruesa es compacta. En este caso, los extremos tienen la forma de un toro que cruza el semirayo cerrado y se llaman cúspides . Los complementos de nudos son las variedades cúspides más comúnmente estudiadas.
La conjetura de geometrización de Thurston establece que ciertos espacios topológicos tridimensionales tienen cada uno una estructura geométrica única que puede asociarse con ellos. Es un análogo del teorema de uniformización para superficies bidimensionales , que establece que a cada superficie de Riemann simplemente conexa se le puede dar una de tres geometrías ( euclidiana , esférica o hiperbólica ). En tres dimensiones, no siempre es posible asignar una única geometría a todo un espacio topológico. En cambio, la conjetura de geometrización establece que cada 3 variedades cerradas se puede descomponer de forma canónica en piezas, cada una de las cuales tiene uno de los ocho tipos de estructura geométrica. La conjetura fue propuesta por William Thurston (1982) e implica varias otras conjeturas, como la conjetura de Poincaré y la conjetura de eliptización de Thurston . [3]
Una variedad de 4 dimensiones es una variedad topológica de 4 dimensiones . Un 4 colectores lisos es un 4 colectores con una estructura lisa . En la cuarta dimensión, en marcado contraste con las dimensiones inferiores, las variedades topológicas y suaves son bastante diferentes. Existen algunas 4 variedades topológicas que no admiten una estructura suave e incluso si existe una estructura suave, no tiene por qué ser única (es decir, hay 4 variedades suaves que son homeomorfas pero no difeomorfas ).
Las 4 variedades son importantes en física porque, en la Relatividad General , el espacio-tiempo se modela como una 4 variedades pseudo-riemannianas .
Una R 4 exótica es una variedad diferenciable que es homeomorfa pero no difeomorfa con respecto al espacio euclidiano R 4 . Los primeros ejemplos fueron encontrados a principios de la década de 1980 por Michael Freedman , utilizando el contraste entre los teoremas de Freedman sobre 4 variedades topológicas y los teoremas de Simon Donaldson sobre 4 variedades suaves. [4] Existe un continuo de estructuras diferenciables no difeomorfas de R 4 , como lo demostró por primera vez Clifford Taubes . [5]
Antes de esta construcción, ya se sabía que existían estructuras lisas no difeomorfas en esferas ( esferas exóticas) , aunque la cuestión de la existencia de tales estructuras para el caso particular de las 4 esferas seguía abierta (y sigue abierta hasta el día de hoy). ). Para cualquier número entero positivo n distinto de 4, no hay estructuras suaves exóticas en R n ; en otras palabras, si n ≠ 4 entonces cualquier variedad suave homeomorfa a R n es difeomorfa a R n . [6]
Hay varios teoremas fundamentales sobre variedades que pueden demostrarse mediante métodos de baja dimensión en dimensiones como máximo 3, y mediante métodos de alta dimensión completamente diferentes en dimensión al menos 5, pero que son falsos en cuatro dimensiones. Aquí hay unos ejemplos:
Hay varios teoremas que, de hecho, establecen que muchas de las herramientas más básicas utilizadas para estudiar variedades de alta dimensión no se aplican a variedades de baja dimensión, como por ejemplo:
El teorema de Steenrod establece que una variedad 3 orientable tiene un paquete tangente trivial . Dicho de otra manera, la única clase característica de una variedad 3 es la obstrucción a la orientabilidad.
Cualquier variedad 3 cerrada es el límite de una variedad 4. Este teorema se debe independientemente a varias personas: se deriva del teorema de Dehn - Lickorish a través de una división de Heegaard de la variedad 3. También se desprende del cálculo de René Thom del anillo de cobordismo de variedades cerradas.
La existencia de estructuras lisas exóticas en R 4 . Esto fue observado originalmente por Michael Freedman , basándose en el trabajo de Simon Donaldson y Andrew Casson . Desde entonces, ha sido elaborado por Freedman, Robert Gompf , Clifford Taubes y Laurence Taylor para demostrar que existe un continuo de estructuras suaves no difeomorfas en R 4 . Mientras tanto, se sabe que R n tiene exactamente una estructura suave hasta el difeomorfismo siempre que n ≠ 4.
