Solomon Grigor'evich Mikhlin (en ruso: Соломо́н Григо́рьевич Ми́хлин , nombre real Zalman Girshevich Mikhlin) (el apellido también se translitera como Mihlin o Michlin ) (23 de abril de 1908 - 29 de agosto de 1990 [1] ) fue un matemático soviético que trabajó en los campos de la elasticidad lineal , las integrales singulares y el análisis numérico : es más conocido por la introducción del símbolo de un operador integral singular , que eventualmente condujo a la fundación y desarrollo de la teoría de los operadores pseudodiferenciales . [2]
Nació en Kholmech , distrito de Rechytsa , gobernación de Minsk (en la actual Bielorrusia ) el 23 de abril de 1908; el propio Mikhlin (1968) afirma en su currículum que su padre era comerciante, pero esta afirmación podría ser falsa ya que, en ese período, la gente a veces mentía sobre la profesión de los padres para superar las limitaciones políticas en el acceso a la educación superior. Según una versión diferente, su padre era un melamed , en una escuela primaria religiosa ( kheder ), y que la familia era de medios modestos: según la misma fuente, Zalman era el menor de cinco hijos. [ cita requerida ] Su primera esposa fue Victoria Isaevna Libina: el libro de Mikhlin (Mikhlin 1965) está dedicado a su memoria. Murió de peritonitis en 1961 durante un viaje en barco por el Volga . En 1940 adoptaron un hijo, Grigory Zalmanovich Mikhlin, quien más tarde emigró a Haifa , Israel . Su segunda esposa fue Eugenia Yakovlevna Rubinova, nacida en 1918, quien fue su compañera por el resto de su vida.
Se graduó de una escuela secundaria en Gomel en 1923 y entró en el Instituto Pedagógico Estatal Herzen en 1925. [ cita requerida ] En 1927 fue transferido al Departamento de Matemáticas y Mecánica de la Universidad Estatal de Leningrado como estudiante de segundo año, aprobando todos los exámenes del primer año sin asistir a clases. [ cita requerida ] Entre sus profesores universitarios estaban Nikolai Maximovich Günther y Vladimir Ivanovich Smirnov . Este último se convirtió en su supervisor de tesis de maestría: el tema de la tesis fue la convergencia de series dobles , [3] y fue defendida en 1929. Sergei Lvovich Sobolev estudió en la misma clase que Mikhlin. En 1930 comenzó su carrera docente, trabajando en algunos institutos de Leningrado durante períodos cortos, como el propio Mikhlin registra en el documento (Mikhlin 1968). En 1932 fue nombrado profesor en el Instituto Sismológico de la Academia de Ciencias de la URSS , donde trabajó hasta 1941: en 1935 obtuvo el título de " Doktor nauk " en Matemáticas y Física , sin necesidad de obtener el título de " kandidat nauk ", y finalmente en 1937 fue promovido al rango de profesor. Durante la Segunda Guerra Mundial fue profesor en la Universidad Kazaja de Alma Ata . Desde 1944 SG Mikhlin ha sido profesor en la Universidad Estatal de Leningrado . De 1964 a 1986 dirigió el Laboratorio de Métodos Numéricos en el Instituto de Investigación de Matemáticas y Mecánica de la misma universidad: desde 1986 hasta su muerte fue investigador principal en ese laboratorio.
Recibió la Orden de la Insignia de Honor (en ruso: Орден Знак Почёта ) en 1961: [4] el nombre de los destinatarios de este premio se publicaba habitualmente en los periódicos. Fue galardonado con la Laurea honoris causa por el Politécnico Karl-Marx-Stadt (ahora Chemnitz ) en 1968 y fue elegido miembro de la Academia Alemana de Ciencias Leopoldina en 1970 y de la Accademia Nazionale dei Lincei en 1981. Como afirma Fichera (1994, p. 51), en su país no recibió honores comparables a su estatura científica, principalmente a causa de la política racial del régimen comunista , descrita brevemente en la siguiente sección.
Vivió en uno de los períodos más difíciles de la historia rusa contemporánea. El estado de las ciencias matemáticas durante este período está bien descrito por Lorentz (2002): el ascenso de la ideología marxista en las universidades y la academia de la URSS fue uno de los temas principales de ese período. Los administradores locales y los funcionarios del partido comunista interferían con los científicos por motivos étnicos o ideológicos . De hecho, durante la guerra y durante la creación de un nuevo sistema académico, Mikhlin no experimentó las mismas dificultades que los científicos soviéticos más jóvenes de origen judío: por ejemplo, fue incluido en la delegación soviética en 1958, en el Congreso Internacional de Matemáticos en Edimburgo. [5] Sin embargo, Fichera (1994, pp. 56-60), al examinar la vida de Mikhlin, la encuentra sorprendentemente similar a la vida de Vito Volterra bajo el régimen fascista . Fichera señala que el antisemitismo en los países comunistas adoptó formas diferentes a las de su homólogo nazi : el régimen comunista no tenía como objetivo el homicidio brutal de los judíos, sino que les impuso una serie de restricciones, a veces muy crueles, para dificultarles la vida. Durante el período de 1963 a 1981, conoció a Mikhlin asistiendo a varias conferencias en la Unión Soviética y se dio cuenta de cómo se encontraba en un estado de aislamiento, casi marginado dentro de su comunidad natal: Fichera describe varios episodios que revelan este hecho. [6] Tal vez, el más esclarecedor sea la elección de Mikhlin como miembro de la Accademia Nazionale dei Lincei : en junio de 1981, Solomon G. Mikhlin fue elegido miembro extranjero de la clase de ciencias matemáticas y físicas del Lincei. En un primer momento, fue propuesto como ganador del Premio Antonio Feltrinelli , pero la confiscación casi segura del premio por parte de las autoridades soviéticas indujo a los miembros del Lincei a elegirlo como miembro: decidieron honrarlo de una manera que ninguna autoridad política pudiera alienarlo . [7] Sin embargo, las autoridades soviéticas no permitieron a Mikhlin visitar Italia, [8] por lo que Fichera y su esposa llevaron el pequeño lince dorado , el símbolo de la membresía del Lincei, directamente al apartamento de Mikhlin en Leningrado el 17 de octubre de 1981: los únicos invitados a esa "ceremonia" fueron Vladimir Maz'yay su esposa Tatyana Shaposhnikova .
Ellos solo tienen poder, pero nosotros tenemos teoremas. ¡Por lo tanto somos más fuertes!
— Solomon G. Mikhlin, citado por Vladimir Maz'ya (2014, p. 142)
Según Fichera (1994, pp. 60-61), que hace referencia a una conversación con Mark Vishik y Olga Oleinik , el 29 de agosto de 1990 Mikhlin salió de casa para comprar medicamentos para su esposa Eugenia. En un transporte público, sufrió un derrame cerebral letal. No tenía documentos consigo, por lo que fue identificado solo algún tiempo después de su muerte: esta puede ser la causa de la diferencia en la fecha de muerte informada en varias biografías y notas necrológicas. [9] Fichera también escribe que la esposa de Mikhlin, Eugenia, lo sobrevivió solo unos meses.
Fue autor de monografías y libros de texto que se convirtieron en clásicos por su estilo. Su investigación se dedicó principalmente a los siguientes campos. [10]
En la teoría matemática de la elasticidad , Mikhlin se interesó por tres temas: el problema del plano (principalmente de 1932 a 1935), la teoría de capas (desde 1954) y el espectro de Cosserat (desde 1967 a 1973). [11] Al tratar el problema de la elasticidad del plano, propuso dos métodos para su solución en dominios múltiplesmente conectados . El primero se basa en la llamada función compleja de Green y la reducción del problema de valor límite relacionado a ecuaciones integrales . El segundo método es una cierta generalización del algoritmo clásico de Schwarz para la solución del problema de Dirichlet en un dominio dado al dividirlo en problemas más simples en dominios más pequeños cuya unión es la original. Mikhlin estudió su convergencia y dio aplicaciones a problemas aplicados especiales. Demostró teoremas de existencia para los problemas fundamentales de elasticidad plana que involucran medios anisotrópicos no homogéneos : estos resultados se recogen en el libro (Mikhlin 1957). En cuanto a la teoría de las capas, existen varios artículos de Mikhlin que tratan de ella. Estudió el error de la solución aproximada para capas, similares a las placas planas, y descubrió que este error es pequeño para el llamado estado de tensión puramente rotacional . Como resultado de su estudio de este problema, Mikhlin también proporcionó una nueva forma ( invariante ) de las ecuaciones básicas de la teoría. También demostró un teorema sobre perturbaciones de operadores positivos en un espacio de Hilbert que le permitió obtener una estimación del error para el problema de aproximación de una capa inclinada por una placa plana. [12] Mikhlin estudió también el espectro del operador lápiz del operador elastostático lineal clásico u operador de Navier-Cauchy.
donde es el vector de desplazamiento , es el vector laplaciano , es el gradiente , es la divergencia y es un valor propio de Cosserat. La descripción completa del espectro y la prueba de la completitud del sistema de funciones propias también se deben a Mikhlin, y en parte a VG Maz'ya en su único trabajo conjunto. [13]
Es uno de los fundadores de la teoría multidimensional de las integrales singulares , junto con Francesco Tricomi y Georges Giraud , y también uno de los principales contribuyentes. Por integral singular entendemos un operador integral de la siguiente forma
donde es un punto en el espacio euclidiano n -dimensional , =| | y son las coordenadas hiperesféricas (o las coordenadas polares o las coordenadas esféricas respectivamente cuando o ) del punto con respecto al punto . Dichos operadores se denominan singulares ya que la singularidad del núcleo del operador es tan fuerte que la integral no existe en el sentido ordinario, sino solo en el sentido del valor principal de Cauchy . [14] Mikhlin fue el primero en desarrollar una teoría de ecuaciones integrales singulares como una teoría de ecuaciones de operadores en espacios de funciones . En los artículos (Mikhlin 1936a) y (Mikhlin 1936b) encontró una regla para la composición de integrales singulares dobles (es decir, en espacios euclidianos bidimensionales ) e introdujo la noción muy importante de símbolo de una integral singular. Esto le permitió demostrar que el álgebra de operadores integrales singulares acotados es isomorfa al álgebra de funciones escalares o matriciales . Demostró los teoremas de Fredholm para ecuaciones integrales singulares y sistemas de tales ecuaciones bajo la hipótesis de no degeneración del símbolo: también demostró que el índice de una sola ecuación integral singular en el espacio euclidiano es cero . En 1961, Mikhlin desarrolló una teoría de ecuaciones integrales singulares multidimensionales en espacios de Lipschitz . Estos espacios son ampliamente utilizados en la teoría de ecuaciones integrales singulares unidimensionales: sin embargo, la extensión directa de la teoría relacionada al caso multidimensional encuentra algunas dificultades técnicas, y Mikhlin sugirió otro enfoque para este problema. Precisamente, obtuvo las propiedades básicas de este tipo de ecuaciones integrales singulares como un subproducto de la teoría del espacio L p de estas ecuaciones. Mikhlin también demostró [15] un teorema ahora clásico sobre multiplicadores de la transformada de Fourier en el espacio L p , basado en un teorema análogo de Józef Marcinkiewicz sobre series de Fourier. Una colección completa de sus resultados en este campo hasta 1965, así como las contribuciones de otros matemáticos como Tricomi , Giraud , Calderón y Zygmund , [16] está contenida en la monografía (Mikhlin 1965). [17]
Una síntesis de las teorías de las integrales singulares y de los operadores diferenciales parciales lineales se logró, a mediados de la década de 1960, mediante la teoría de los operadores pseudodiferenciales : Joseph J. Kohn , Louis Nirenberg , Lars Hörmander y otros operaron esta síntesis, pero esta teoría debe su surgimiento a los descubrimientos de Mikhlin, como se reconoce universalmente. [2] Esta teoría tiene numerosas aplicaciones en la física matemática . El teorema del multiplicador de Mikhlin se utiliza ampliamente en diferentes ramas del análisis matemático , particularmente en la teoría de ecuaciones diferenciales . El análisis de los multiplicadores de Fourier fue posteriormente promovido por Lars Hörmander , Walter Littman, Elias Stein , Charles Fefferman y otros.
En cuatro artículos, publicados en el período 1940-1942, Mikhlin aplica el método de potenciales al problema mixto para la ecuación de onda . En particular, resuelve el problema mixto para la ecuación de onda bidimensional en el semiplano reduciéndolo a la ecuación integral de Abel planar . Para dominios planos con un límite curvilíneo suficientemente suave , reduce el problema a una ecuación integro-diferencial , que también puede resolver cuando el límite del dominio dado es analítico . En 1951, Mikhlin demostró la convergencia del método alternante de Schwarz para ecuaciones elípticas de segundo orden . [18] También aplicó los métodos de análisis funcional , al mismo tiempo que Mark Vishik pero independientemente de él, a la investigación de problemas de valores de contorno para ecuaciones diferenciales parciales elípticas degeneradas de segundo orden.
Su trabajo en este campo se puede dividir en varias ramas: [19] en el siguiente texto, se describen cuatro ramas principales, y también se da un bosquejo de sus últimas investigaciones. Los trabajos dentro de la primera rama se resumen en la monografía (Mikhlin 1964), que contiene el estudio de la convergencia de métodos variacionales para problemas relacionados con operadores positivos , en particular, para algunos problemas de física matemática . Se prueban estimaciones tanto "a priori" como "a posteriori" de los errores relacionados con la aproximación dada por estos métodos. La segunda rama trata de la noción de estabilidad de un proceso numérico introducida por el propio Mikhlin. Cuando se aplica al método variacional, esta noción le permite establecer condiciones necesarias y suficientes para minimizar los errores en la solución del problema dado cuando el error que surge en la construcción numérica del sistema algebraico resultante de la aplicación del método en sí es suficientemente pequeño, sin importar cuán grande sea el orden del sistema. La tercera rama es el estudio de los métodos de diferencia variacional y de elementos finitos . Mikhlin estudió la completitud de las funciones de coordenadas utilizadas en estos métodos en el espacio de Sobolev W 1, p , derivando el orden de aproximación como una función de las propiedades de suavidad de las funciones a ser la aproximación de las funciones aproximadas . También caracterizó la clase de funciones de coordenadas que dan el mejor orden de aproximación , y ha estudiado la estabilidad del proceso de diferencia variacional y el crecimiento del número de condición de la matriz de diferencia variacional . Mikhlin también estudió la aproximación de elementos finitos en espacios de Sobolev ponderados relacionados con la solución numérica de ecuaciones elípticas degeneradas . Encontró el orden óptimo de aproximación para algunos métodos de solución de desigualdades variacionales . La cuarta rama de su investigación en matemáticas numéricas es un método para la solución de ecuaciones integrales de Fredholm al que llamó método resolvente : su esencia se basa en la posibilidad de sustituir el núcleo del operador integral.por su aproximación de diferencia variacional, de modo que la resolvente del nuevo núcleo puede expresarse mediante relaciones de recurrencia simples . Esto elimina la necesidad de construir y resolver grandes sistemas de ecuaciones . [20] Durante sus últimos años, Mikhlin contribuyó a la teoría de errores en procesos numéricos, [21] proponiendo la siguiente clasificación de errores .
Esta clasificación es útil ya que permite desarrollar métodos computacionales ajustados para disminuir los errores de cada tipo particular, siguiendo el principio divide et impera (divide y vencerás).
Fue asesor de Tatiana O. Shaposhnikova en la candidatura a la presidencia . También fue mentor y amigo de Vladimir Mazya : nunca fue su supervisor oficial , pero su amistad con el joven estudiante Mazya tuvo una gran influencia en la formación de su estilo matemático.
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