Nombre (matemáticas)

Función matemática especial

En matemáticas , específicamente en la teoría de funciones elípticas , el nomo es una función especial que pertenece a las funciones no elementales. Esta función es de gran importancia en la descripción de las funciones elípticas, especialmente en la descripción de la identidad modular de la función theta de Jacobi , las trascendentes elípticas de Hermite y las funciones modulares de Weber , que se utilizan para resolver ecuaciones de grados superiores.

Definición

La función nome viene dada por

${\displaystyle q=\mathrm {e} ^{-{\pi K'/K}}=\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\pi \omega _{2}/\omega _{1}}=\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\pi \tau }\,}$

donde y son los cuartos de período , y y son el par fundamental de períodos , y es la razón de semiperíodos . El nome puede tomarse como una función de cualquiera de estas cantidades; a la inversa, cualquiera de estas cantidades puede tomarse como funciones del nome. Cada una de ellas determina de forma única a las otras cuando . Es decir, cuando , las aplicaciones entre estos diversos símbolos son tanto uno a uno como sobreyectadas, y por lo tanto pueden invertirse: los cuartos de período, los semiperíodos y la razón de semiperíodos pueden escribirse explícitamente como funciones del nome. Para general con , no es una función univaluada de . Las expresiones explícitas para los cuartos de período , en términos del nome, se dan en el artículo vinculado. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle iK'}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\textstyle \tau ={\frac {iK'}{K}}={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ ${\displaystyle 0<q<1}$ ${\displaystyle 0<q<1}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0<|q|<1}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle q}$

En términos de notación, los cuartos de período y se utilizan generalmente solo en el contexto de las funciones elípticas jacobianas , mientras que los semiperíodos y se utilizan generalmente solo en el contexto de las funciones elípticas de Weierstrass . Algunos autores, en particular Apostol, utilizan y para denotar períodos completos en lugar de semiperíodos. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle iK'}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

El nombre se utiliza frecuentemente como un valor con el que se pueden describir funciones elípticas y formas modulares; por otro lado, también puede pensarse como una función, porque los cuartos de periodo son funciones del módulo elíptico : . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle q(k)=\mathrm {e} ^{-\pi K'(k)/K(k)}}$

El nombre complementario viene dado por ${\displaystyle q_{1}}$

${\displaystyle q_{1}(k)=\mathrm {e} ^{-\pi K(k)/K'(k)}.\,}$

A veces se utiliza la notación para el cuadrado del nombre. ${\displaystyle q=\mathrm {e} ^{{2{\rm {i}}}\pi \tau }}$

Las funciones mencionadas se denominan integrales elípticas completas de primer tipo y se definen de la siguiente manera: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$

${\displaystyle K(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4x^{2}y^{2}}}}\mathrm {d} y}$

${\displaystyle K'(x)=K({\sqrt {1-x^{2}}})=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-(1-x^{2})\sin(\varphi )^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi }$

Aplicaciones

El nombre resuelve la siguiente ecuación:

${\displaystyle |k|={\frac {\vartheta _{10}^{2}[0,q(k)]}{\vartheta _{00}^{2}[0,q(k)]}}\rightarrow q(k)=\mathrm {e} ^{-\pi K'(k)/K(k)}}$

Este análogo es válido para el módulo complementario pitagórico:

${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}={\frac {\vartheta _{01}^{2}[0,q(k)]}{\vartheta _{00}^{2}[0,q(k)]}}\rightarrow q(k)=\mathrm {e} ^{-\pi K'(k)/K(k)}}$

donde son las funciones theta completas de Jacobi y es la integral elíptica completa de primer tipo con módulo que se muestra en la fórmula anterior. Para las funciones theta completas son válidas estas definiciones introducidas por Sir Edmund Taylor Whittaker y George Neville Watson : ${\displaystyle \vartheta _{10},\theta _{00}}$ ${\displaystyle K(k)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \vartheta _{00}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1-2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(v;w)=2w^{1/4}\cos(v)\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n}+w^{4n}]}$

Estas tres fórmulas de definición están escritas en la cuarta edición del libro Un curso de análisis moderno escrito por Whittaker y Watson en las páginas 469 y 470. El nomo se utiliza comúnmente como punto de partida para la construcción de la serie de Lambert , la serie q y, más generalmente, los análogos q . Es decir, la razón de semiperiodo se utiliza comúnmente como una coordenada en el semiplano superior complejo , típicamente dotado de la métrica de Poincaré para obtener el modelo de semiplano de Poincaré . El nomo sirve entonces como una coordenada en un disco perforado de radio unitario; está perforado porque no es parte del disco (o más bien, corresponde a ). Esto dota al disco perforado con la métrica de Poincaré. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle \tau \to \infty }$

El semiplano superior (y el disco de Poincaré y el disco perforado) pueden así ser teselados con el dominio fundamental , que es la región de valores de la razón de semiperiodos (o de , o de y etc.) que determinan de forma única un teselado del plano por paralelogramos . El teselado se conoce como la simetría modular dada por el grupo modular . Algunas funciones que son periódicas en el semiplano superior se denominan funciones modulares ; el nombre, los semiperiodos, los cuartos de periodo o la razón de semiperiodos proporcionan diferentes parametrizaciones para estas funciones periódicas. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle iK'}$

La función modular prototípica es la j-invariante de Klein . Puede escribirse como una función de la razón de semiperiodo τ o como una función del nomo . La expansión en serie en términos del nomo o del cuadrado del nomo (la expansión q ) está relacionada con el monstruo de Fisher-Griess por medio de la monstruosa luz de luna . ${\displaystyle q}$

La función de Euler surge como el prototipo de las series q en general.

El nombre, como el de la serie q , surge entonces en la teoría de las álgebras de Lie afines , esencialmente porque (para decirlo poéticamente, pero no fácticamente) ^{[ cita requerida ]} esas álgebras describen las simetrías e isometrías de las superficies de Riemann . ${\displaystyle q}$

Dibujo de curvas

Cada valor real del intervalo se asigna a un número real entre cero inclusive y uno inclusive en la función nome . La función nome elíptica es simétrica axialmente con respecto al eje de ordenadas. Por lo tanto: . La curva funcional del nome pasa por el origen de coordenadas con pendiente cero y curvatura más un octavo. Para el intervalo de valor real, la función nome es estrictamente curvada hacia la izquierda. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)=q(-x)}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle q(x)}$

Derivados

La relación de Legendre se define así:

${\displaystyle K\,E'+E\,K'-K\,K'={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Y como se describió anteriormente, la función noma elíptica tiene esta definición original: ${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle q(x)=\exp \left[-\pi \,{\frac {K({\sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}\right]}$

Además, estas son las derivadas de las dos integrales elípticas completas:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}K(x)={\frac {1}{x(1-x^{2})}}{\bigl [}E(x)-(1-x^{2})K(x){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}E(x)=-{\frac {1}{x}}{\bigl [}K(x)-E(x){\bigr ]}}$

Por lo tanto, la derivada de la función nombre tiene la siguiente expresión:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,q(x)={\frac {\pi ^{2}}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}\,q(x)}$

La segunda derivada se puede expresar de esta manera:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\,q(x)={\frac {\pi ^{4}+2\pi ^{2}(1+x^{2})K(x)^{2}-4\pi ^{2}K(x)E(x)}{4x^{2}(1-x^{2})^{2}K(x)^{4}}}\,q(x)}$

Y esa es la tercera derivada:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\,q(x)={\frac {\pi ^{6}+6\pi ^{4}(1+x^{2})K(x)^{2}-12\pi ^{4}K(x)E(x)+8\pi ^{2}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}-24\pi ^{2}(1+x^{2})K(x)^{3}E(x)+24\pi ^{2}K(x)^{2}E(x)^{2}}{8x^{3}(1-x^{2})^{3}K(x)^{6}}}\,q(x)}$

La integral elíptica completa de segundo tipo se define de la siguiente manera:

${\displaystyle E(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-x^{2}\sin(\varphi )^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi =2\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4x^{2}y^{2}}}{(y^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} y}$

De estas ecuaciones se deduce la siguiente ecuación eliminando la integral elíptica completa de segundo tipo:

${\displaystyle 3{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}q(x){\biggr ]}^{2}-2{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x){\biggr ]}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}q(x){\biggr ]}={\frac {\pi ^{8}-4\pi ^{4}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}}{16x^{4}(1-x^{2})^{4}K(x)^{8}}}q(x)^{2}}$

Por tanto, la siguiente ecuación diferencial cuártica de tercer orden es válida:

${\displaystyle x^{2}(1-x^{2})^{2}[2q(x)^{2}q'(x)q'''(x)-3q(x)^{2}q''(x)^{2}+q'(x)^{4}]=(1+x^{2})^{2}q(x)^{2}q'(x)^{2}}$

Series de MacLaurin y secuencias de números enteros

Secuencia de Kneser

Se da la derivada del nomo elíptico mencionado anteriormente:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,q(x)={\frac {\pi ^{2}}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}\,q(x)}$

El factor externo con la integral K en el denominador que se muestra en esta ecuación es la derivada de la razón del período elíptico. La razón del período elíptico es el cociente de la integral K del módulo complementario pitagórico dividido por la integral K del módulo mismo. Y la secuencia de números enteros en la serie de MacLaurin de esa razón del período elíptico conduce directamente a la secuencia de números enteros de la serie del nomo elíptico.

El matemático alemán Adolf Kneser investigó la secuencia entera de la razón de períodos elípticos en su ensayo Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen y demostró que la función generadora de esta secuencia es una función elíptica. Otro matemático llamado Robert Fricke analizó esta secuencia entera en su ensayo Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen y describió los métodos de cálculo precisos utilizando esta secuencia mencionada. La secuencia entera de Kneser Kn(n) se puede construir de esta manera:

Ejemplos ejecutados:

La secuencia de Kneser aparece en la serie de Taylor de la relación de períodos (relación de semiperíodos):

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-1}n}}\,x^{2n}}$

${\displaystyle {\color {limegreen}{\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}={\frac {\color {cornflowerblue}1}{8}}x^{2}+{\frac {\color {cornflowerblue}13}{256}}x^{4}+{\frac {\color {cornflowerblue}184}{6144}}x^{6}+{\frac {\color {cornflowerblue}2701}{131072}}x^{8}+{\frac {\color {cornflowerblue}40456}{2621440}}x^{10}+\ldots }}$

La derivada de esta ecuación conduce después a esta ecuación que muestra la función generadora de la secuencia de números de Kneser: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-2}}}x^{2n-1}}$

${\displaystyle {\color {limegreen}{\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}={\frac {\color {cornflowerblue}1}{4}}x+{\frac {\color {cornflowerblue}13}{64}}x^{3}+{\frac {\color {cornflowerblue}184}{1024}}x^{5}+{\frac {\color {cornflowerblue}2701}{16384}}x^{7}+{\frac {\color {cornflowerblue}40456}{262144}}x^{9}+\ldots }}$

Este resultado aparece debido a la relación de Legendre en el numerador. ${\displaystyle K\,E'+E\,K'-K\,K'={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Secuencia de Schellbach-Schwarz

El matemático Karl Heinrich Schellbach  [de] descubrió la secuencia de números enteros que aparece en la serie de MacLaurin de la raíz cuarta de la función Nome elíptico cociente dividida por la función cuadrada. La construcción de esta secuencia se detalla en su obra Die Lehre von den Elliptischen Integralen und den Thetafunktionen . ^{[1] : 60} La secuencia también fue construida por el matemático alemán de Silesia Hermann Amandus Schwarz en Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen ^[2] (páginas 54–56, capítulo Berechnung der Grösse k ). Esta secuencia de números de Schellbach Schwarz Sc(n) también fue analizada por los matemáticos Karl Theodor Wilhelm Weierstrass y Louis Melville Milne-Thomson en el siglo XX. El matemático Adolf Kneser determinó una construcción para esta secuencia basada en el siguiente patrón:

${\displaystyle {\text{Sc}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m)\,{\text{Kn}}(n+1-m)}$

La secuencia de Schellbach-Schwarz Sc(n) aparece en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras con el número A002103 y la secuencia de Kneser Kn(n) aparece con el número A227503.

La siguiente tabla ^{[3] [4]} contiene los números de Kneser y los números de Schellbach Schwarz:

Y esta secuencia crea la serie MacLaurin del nomo elíptico ^{[5] [6] [7]} exactamente de esta manera:

${\displaystyle q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}=x^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}x^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}}$

${\displaystyle q(x)=x^{2}{\bigl (}{\color {limegreen}{\frac {\color {navy}1}{2}}+{\frac {\color {navy}2}{32}}x^{2}+{\frac {\color {navy}15}{512}}x^{4}+{\frac {\color {navy}150}{8192}}x^{6}+{\frac {\color {navy}1707}{131072}}x^{8}+\ldots }{\bigr )}^{4}}$

A continuación se muestra a modo de ejemplo cómo se construyen sucesivamente los números de Schellbach-Schwarz. Para ello se utilizan los ejemplos con los números Sc(4) = 150, Sc(5) = 1707 y Sc(6) = 20910:

${\displaystyle \mathrm {Sc} (4)={\frac {2}{3}}\sum _{m=1}^{3}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (4-m)={\frac {2}{3}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}={\frac {2}{3}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}150}}$

${\displaystyle \mathrm {Sc} (5)={\frac {2}{4}}\sum _{m=1}^{4}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (5-m)={\frac {2}{4}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}={\frac {2}{4}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}1707}}$

${\displaystyle \mathrm {Sc} (6)={\frac {2}{5}}\sum _{m=1}^{5}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (6-m)={\frac {2}{5}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (5)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (6)}={\frac {2}{5}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}40456}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}1707}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}20910}}$

Secuencia de Kotěšovec

La serie de MacLaurin de la función nombre tiene exponentes pares y coeficientes positivos en todas las posiciones: ${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Kt} (n)}{16^{n}}}\,x^{2n}}$

Y la suma con los mismos valores absolutos de los coeficientes pero con signos alternos genera esta función:

${\displaystyle q{\bigl [}x(x^{2}+1)^{-1/2}{\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\operatorname {Kt} (n)}{16^{n}}}\,x^{2n}}$

El radio de convergencia de esta serie de Maclaurin es 1. Aquí (OEIS A005797) es una sucesión de números exclusivamente naturales para todos los números naturales y esta sucesión de números enteros no es elemental. Esta sucesión de números fue investigada por el matemático y compositor de ajedrez mágico checo Václav Kotěšovec, nacido en 1956. En la siguiente sección se mostrarán dos formas de construir esta sucesión de números enteros. ${\displaystyle \operatorname {Kt} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Kt} (n)\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \operatorname {Kt} (n)}$

Método de construcción con números de Kneser

Los números de Kotěšovec se generan de la misma manera que se construyen los números de Schellbach-Schwarz:

La única diferencia consiste en que esta vez el factor antes de la suma en esta fórmula análoga correspondiente ya no está, sino: ${\displaystyle {\frac {2}{n}}}$ ${\displaystyle {\frac {8}{n}}}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(n+1)={\frac {8}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Kt}}(m)\,{\text{Kn}}(n+1-m)}$

La siguiente tabla contiene los números de Schellbach Schwarz, los números de Kneser y los números de Apéry:

A continuación se muestra a modo de ejemplo cómo se construyen sucesivamente los números de Schellbach-Schwarz. Para ello se utilizan los ejemplos con los números Kt(4) = 992, Kt(5) = 12514 y Kt(6) = 164688:

${\displaystyle \mathrm {Kt} (4)={\frac {8}{3}}\sum _{m=1}^{3}\mathrm {Kt} (m)\,\mathrm {Kn} (4-m)={\frac {8}{3}}{\bigl [}{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (4)}={\frac {8}{3}}{\bigl (}{\color {ForestGreen}1}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {ForestGreen}8}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {ForestGreen}84}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {ForestGreen}992}}$

${\displaystyle \mathrm {Kt} (5)={\frac {8}{4}}\sum _{m=1}^{4}\mathrm {Kt} (m)\,\mathrm {Kn} (5-m)={\frac {8}{4}}{\bigl [}{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (5)}={\frac {8}{4}}{\bigl (}{\color {ForestGreen}1}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {ForestGreen}8}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {ForestGreen}84}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {ForestGreen}992}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {ForestGreen}12514}}$

${\displaystyle \mathrm {Kt} (6)={\frac {8}{5}}\sum _{m=1}^{5}\mathrm {Kt} (m)\,\mathrm {Kn} (6-m)={\frac {8}{5}}{\bigl [}{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (5)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (5)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (6)}={\frac {8}{5}}{\bigl (}{\color {ForestGreen}1}\times {\color {cornflowerblue}40456}+{\color {ForestGreen}8}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {ForestGreen}84}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {ForestGreen}992}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {ForestGreen}12514}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {ForestGreen}164688}}$

De esta forma, la serie de MacLaurin del nomo elíptico directo se puede generar:

${\displaystyle q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kt}}(n)}{16^{n}}}\,x^{2n}}$

${\displaystyle q(x)={\color {limegreen}{\frac {\color {ForestGreen}1}{16}}x^{2}+{\frac {\color {ForestGreen}8}{256}}x^{4}+{\frac {\color {ForestGreen}84}{4096}}x^{6}+{\frac {\color {ForestGreen}992}{65536}}x^{8}+{\frac {\color {ForestGreen}12514}{1048576}}x^{10}+\ldots }}$

Método de construcción con números de Apéry

Si se añade otra secuencia de números enteros que denota una secuencia de Apéry especialmente modificada (OEIS A036917), se puede generar la secuencia de números de Kotěšovec . El valor inicial de la secuencia es el valor y los siguientes valores de esta secuencia se generan con esas dos fórmulas que son válidas para todos los números : ${\displaystyle \operatorname {Ap} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Kt} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Kt} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Kt} (1)=1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \operatorname {Kt} (n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}m\operatorname {Kt} (m)[16\operatorname {Ap} (n+1-m)-\operatorname {Ap} (n+2-m)]}$

${\displaystyle \operatorname {Ap} (n)=\sum _{a=0}^{n-1}{\binom {2a}{a}}^{2}{\binom {2n-2-2a}{n-1-a}}^{2}}$

Esta fórmula también crea la secuencia de Kotěšovec, pero solo crea los números de secuencia de índices pares:

${\displaystyle \operatorname {Kt} (2n)={\frac {1}{2}}\sum _{m=1}^{2n-1}(-1)^{2n-m+1}16^{2n-m}{\binom {2n-1}{m-1}}\operatorname {Kt} (m)}$

La sucesión de Apéry fue investigada especialmente por los matemáticos Sun Zhi-Hong y Reinhard Zumkeller. Y esa sucesión genera el cuadrado de la integral elíptica completa de primera especie: ${\displaystyle \operatorname {Ap} (n)}$

${\displaystyle 4\pi ^{-2}K(x)^{2}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Ap} (n+1)x^{2n}}{16^{n}}}}$

Los primeros valores numéricos de los coeficientes binomiales centrales y las dos secuencias numéricas descritas se enumeran en la siguiente tabla:

Václav Kotěšovec anotó la secuencia de números en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras hasta el número de secuencia setecientos. ${\displaystyle \operatorname {Kt} (n)}$

Aquí se calcula un ejemplo de la secuencia de Kotěšovec:

Valores de función

Las dos listas siguientes contienen muchos valores de función de la función nome:

La primera lista muestra pares de valores con módulos pitagóricos mutuamente complementarios:

${\displaystyle q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=\exp(-\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})]=\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}})]=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]=\exp(-3\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}+3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {11}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}-3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}+1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {11}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{13}}{\sqrt {13}}\,\pi )}$

La segunda lista muestra pares de valores con módulos mutuamente complementarios tangencialmente:

${\displaystyle q({\sqrt {2}}-1)=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}]=\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}+1)^{2}]=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {10}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}}}}\,(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})({\sqrt {2{\sqrt {2}}+1}}-1)^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {14}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}}}}\,(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}})({\sqrt {2{\sqrt {2}}+1}}-1)^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[(2-{\sqrt {3}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{3}]=\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[(2+{\sqrt {3}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{3}]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {22}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}+7{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {22}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \{}({\sqrt {26}}+5)({\sqrt {2}}-1)^{2}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {26}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \{}({\sqrt {26}}+5)({\sqrt {2}}+1)^{2}\tan {\bigl [}\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{13}}{\sqrt {26}}\,\pi )}$

A continuación se muestran cuartetos de valores relacionados:

Sumas y productos

Serie suma

El nomo elíptico fue explorado por Richard Dedekind y esta función es el fundamento de la teoría de las funciones eta y sus funciones relacionadas. El nomo elíptico es el punto inicial de la construcción de la serie de Lambert . En la función theta de Carl Gustav Jacobi el nomo como abscisa se asigna a las combinaciones algebraicas de la media geométrica aritmética y también a la integral elíptica completa de primera especie. Muchas series infinitas ^[8] se pueden describir fácilmente en términos del nomo elíptico:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q(x)^{\Box (n)}={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {agm} (1-x;1+x)^{-1/2}-{\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q(x)^{\Box (2n-1)}={\tfrac {1}{4}}\vartheta _{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{4}}\vartheta _{01}[q(x)]={\tfrac {1}{4}}(1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}){\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2q(x)^{n}}{q(x)^{2n}+1}}={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{2}}=\pi ^{-1}K(x)-{\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2q(x)^{2n-1}}{q(x)^{4n-2}+1}}={\tfrac {1}{4}}\vartheta _{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{4}}\vartheta _{01}[q(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}(1-{\sqrt {1-x^{2}}})\pi ^{-1}K(x)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Box (n)q(x)^{\Box (n)}=2^{-1/2}\pi ^{-5/2}K(x)^{3/2}[E(x)-(1-x^{2})K(x)]}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1+q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}=2\pi ^{-2}E(x)K(x)-{\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1-q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}={\tfrac {2}{3}}\pi ^{-2}(2-x^{2})K(x)^{2}-2\pi ^{-2}K(x)E(x)+{\tfrac {1}{6}}}$

El cuadrángulo representa el número cuadrado de índice  n , ya que en esta forma de notación el dos en el exponente del exponente parecería demasiado pequeño. Por lo tanto, esta fórmula es válida: ${\displaystyle \Box (n)=n^{2}}$

La carta describe la integral elíptica completa de segundo tipo, que es la cuarta parte de la periferia de una elipse en relación con el semieje mayor de la elipse con la excentricidad numérica como valor de abscisa. ${\displaystyle \operatorname {E} (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Serie de productos

Las dos funciones theta más importantes se pueden definir mediante la siguiente serie de productos:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }[1-q(x)^{2n}][1+q(x)^{2n-1}]^{2}=\vartheta _{00}[q(x)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }[1-q(x)^{2n}][1-q(x)^{2n-1}]^{2}=\vartheta _{01}[q(x)]={\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}$

Además, estos dos productos Pochhammer tienen esas dos relaciones:

${\displaystyle q(\varepsilon )[q(\varepsilon );q(\varepsilon )]_{\infty }^{24}=256\,\varepsilon ^{2}(1-\varepsilon ^{2})^{4}\pi ^{-{12}}K(\varepsilon )^{12}}$

${\displaystyle \varepsilon ^{2}[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{24}=16\,(1-\varepsilon ^{2})^{2}q(\varepsilon )}$

Los productos de Pochhammer tienen un papel importante en el teorema del número pentagonal y su derivación.

Relación con otras funciones

Integrales elípticas completas

La función nome se puede utilizar para la definición de las integrales elípticas completas de primer y segundo tipo:

${\displaystyle K(\varepsilon )={\tfrac {1}{2}}\pi \,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}}$

${\displaystyle E(\varepsilon )=2\pi q(\varepsilon )\,\vartheta _{00}'[q(\varepsilon )]\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{-3}+{\tfrac {1}{2}}\pi (1-\varepsilon ^{2})\,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}}$

En este caso, el guión en la posición del exponente representa la derivada de la llamada función de valor cero theta:

${\displaystyle \vartheta _{00}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{00}(x)=2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}x^{n(n+2)}}$

Definiciones de funciones de Jacobi

Las funciones elípticas Zeta Amplitudinis y Delta Amplitudinis se pueden definir con la función de nombre elíptico ^[9] fácilmente:

${\displaystyle \operatorname {zn} (x;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (x;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}$

Utilizando la raíz cuarta del cociente del nombre dividido por la función cuadrada como se mencionó anteriormente, se pueden establecer las siguientes definiciones de series de productos ^{[10] para el seno de amplitud, el seno de contraamplitud y el coseno de amplitud de esta manera:}

${\displaystyle \operatorname {sn} (x;k)=2{\sqrt[{4}]{k^{-2}q(k)}}\,\sin[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}x]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2q(k)^{2n}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n-2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)=2{\sqrt[{4}]{k^{-2}q(k)}}\,\cos[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}x]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2q(k)^{2n}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n}}{1+2q(k)^{2n-1}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n-2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (x;k)=2{\sqrt[{4}]{k^{-2}(1-k^{2})\,q(k)}}\,\cos[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}x]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2q(k)^{2n}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n-2}}}}$

Estas cinco fórmulas son válidas para todos los valores k desde −1 hasta +1.

Luego es posible la siguiente definición sucesiva de las demás funciones de Jacobi:

${\displaystyle \operatorname {sn} (x;k)={\frac {2\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}x;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}x;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)=\operatorname {sn} [K(k)-x;k]}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (x;k)=\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {dn} (x;k)}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (x;k)={\frac {k^{2}-\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}x;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}^{2}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}x;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}^{2}}}}$

La definición del producto del seno de amplitud fue escrita en el ensayo π y la AGM de los hermanos Borwein en la página 60 y esta fórmula se basa en la definición de la función theta de Whittaker y Watson.

Identidades de las funciones de amplitud de Jacobi

En combinación con las funciones theta, el nombre proporciona los valores de muchas funciones de amplitud de Jacobi:

${\displaystyle \operatorname {sc} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {{\sqrt {3}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{6}]}{{\sqrt {1-k^{2}}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{2}]}}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]={\frac {2\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {2\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}}$

La abreviatura sc describe el cociente del seno de amplitud dividido por el coseno de amplitud.

Teoremas e identidades

Derivación del teorema del nombre cuadrado

La ley del cuadrado del sustantivo elíptico implica la formación del módulo hija de Landen :

El módulo hija de Landen es también la contraparte tangencial de la contraparte pitagórica del módulo madre.

Ejemplos del teorema del nombre cuadrado

El módulo hija de Landen ^{[11] [12]} es idéntico al opuesto tangencial del opuesto pitagórico del módulo madre.

A continuación se muestran tres ejemplos:

Ejemplos mostrados trigonométricamente:

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )^{2}=q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}^{2}=q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{24}}\pi )^{2}{\bigr ]}}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {5}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {7}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\tfrac {1}{8}}){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {1}{8}}){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {13}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}}$

Ejemplos mostrados hiperbólicamente:

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {6}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )^{2}=}$

${\displaystyle =q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {10}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )^{2}=}$

${\displaystyle =q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {14}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {14}}\,\pi )^{2}=}$

${\displaystyle =q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}})^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}})^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {22}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {22}}\,\pi )^{2}=}$

${\displaystyle =q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }}$

Derivación del teorema del cubo nomo parametrizado

No sólo la ley del cuadrado, sino también la ley del cubo del nombre elíptico conducen a una transformación de módulo elemental. Esta fórmula parametrizada para el cubo del nombre elíptico es válida para todos los valores −1 < u < 1.

Esta fórmula se mostró exactamente así y esta vez no se imprimió exactamente después de la expresión con la alineación principal en el módulo madre, porque esta fórmula contiene una formulación larga. Y en la fórmula que se muestra ahora con el parámetro , surge una fórmula muy simplificada. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle u}$

Derivación del teorema directo del nomo-cubo

Sobre la base de la prueba ahora absuelta, se generará una fórmula directa para el teorema del cubo del nombre en relación con el módulo y en combinación con el seno de amplitud de Jacobi : ${\displaystyle \varepsilon }$

Las obras Soluciones analíticas de ecuaciones algebraicas de Johansson y Evaluación de módulos singulares elípticos de quinto grado de Bagis mostraron en sus trabajos citados que el seno de amplitud de Jacobi de la tercera parte de la integral de primer tipo completa K resuelve la siguiente ecuación cuártica:

${\displaystyle \varepsilon ^{2}x^{4}-2\varepsilon ^{2}x^{3}+2x-1=0}$

${\displaystyle x={\text{sn}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}}$

Ahora la parametrización mencionada anteriormente se inserta en esta ecuación:

${\displaystyle \varepsilon =u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)}$

${\displaystyle u^{2}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)^{2}(x^{4}-2x^{3})+2x-1=0}$

Esta es la solución real del patrón de esa ecuación cuártica: ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}<x<1\,\cap \,x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle x={\frac {1}{{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1}}}$

Por lo tanto, la siguiente fórmula es válida:

${\displaystyle {\text{sn}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}{\bigl [}\varepsilon =u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}={\frac {1}{{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1}}}$

La fórmula del cubo de nombre parametrizado tiene la forma mencionada:

${\displaystyle q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}^{3}=q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr ]}}$

La misma fórmula se puede diseñar de esta manera alternativa:

${\displaystyle q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}^{3}=q{\bigl \{}{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}^{3}{\bigl (}{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1{\bigr )}^{-4}{\bigr \}}}$

Así pues, este resultado aparece como el teorema directo del cubo del nombre:

${\displaystyle q(\varepsilon )^{3}=q{\bigl \{}\varepsilon ^{3}{\text{sn}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}$

Ejemplos del teorema del cubo del nombre

Alternativamente, se puede configurar esta fórmula:

La fórmula que se presenta a continuación se utiliza para realizar cálculos simplificados, ya que el módulo elíptico dado se puede utilizar para determinar el valor de una manera sencilla. El valor se puede obtener tomando la duplicación tangente del módulo y luego sacando la raíz cúbica de esta para obtener el valor de parametrización directamente. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

A modo de ejemplo se citan dos ejemplos:

En el primer ejemplo se inserta el valor: ${\displaystyle t=1}$

${\displaystyle {\color {blue}\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )}=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )^{3}=q({\sqrt {2}}-1)^{3}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}=}$

${\displaystyle =q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}^{3}\tan {\bigl [}\arctan({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}={\color {blue}q{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{3}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}{\bigr ]}}}$

En el segundo ejemplo, se inserta el valor: ${\displaystyle t=\Phi ^{-2}={\tfrac {1}{2}}(3-{\sqrt {5}})}$

${\displaystyle {\color {blue}\exp(-3{\sqrt {10}}\,\pi )}=\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )^{3}=q{\bigl [}({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{3}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}=}$

${\displaystyle =q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}^{3}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=}$

${\displaystyle ={\color {blue}q{\bigl \{}({\sqrt {10}}-3)^{3}({\sqrt {2}}-1)^{6}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}}$

La constante representa exactamente el número de la proporción áurea . De hecho, la fórmula para el cubo del nomo implica una transformación de módulo que en realidad contiene raíces cúbicas elementales porque implica la solución de una ecuación de cuarto grado regular. Sin embargo, las leyes para la quinta potencia y la séptima potencia del nomo elíptico no conducen a una transformación de nomo elemental, sino a una transformación no elemental. Esto fue demostrado por el teorema de Abel-Ruffini ^{[13] [14] [15]} y también por la teoría de Galois ^[16] . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$

Teoremas de exponenciación con funciones de amplitud de Jacobi

Toda potencia de un nomo de un número algebraico positivo como base y un número racional positivo como exponente es igual a un valor de nomo de un número algebraico positivo:

${\displaystyle q(\varepsilon _{1}\in \mathbb {A} ^{+})^{w\in \mathbb {Q^{+}} }=q(\varepsilon _{2}\in \mathbb {A} ^{+})}$

Estos son los ejemplos más importantes del teorema de exponenciación general:

${\displaystyle q(\varepsilon )^{2}=q\{\varepsilon ^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}=q[\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}]}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{3}=q\{\varepsilon ^{3}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{4}=q\{\varepsilon ^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{4}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{4}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}=q[(1-{\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}})^{2}(1+{\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}]}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{5}=q\{\varepsilon ^{5}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{6}=q\{\varepsilon ^{6}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{6}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{6}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{7}=q\{\varepsilon ^{7}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{8}=q\{\varepsilon ^{8}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{8}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{8}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{8}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {7}{8}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{9}=q\{\varepsilon ^{9}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{9}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{9}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {7}{9}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}}$

La abreviatura significa amplitud seno de la función elíptica de Jacobi . ${\displaystyle \operatorname {sn} }$

Para valores algebraicos en el intervalo real, las expresiones de amplitud seno mostradas son siempre algebraicas. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

Estos son los teoremas generales de exponenciación:

${\displaystyle q(\varepsilon )^{2n}=q{\biggl \{}\varepsilon ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2k-1}{2n}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}^{4}{\biggr \}}}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{2n+1}=q{\biggl \{}\varepsilon ^{2n+1}\prod _{k=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2k-1}{2n+1}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}^{4}{\biggr \}}}$

Este teorema es válido para todos los números naturales   n .

Pistas importantes de cálculo:

Las siguientes expresiones de amplitud seno de Jacobi resuelven las ecuaciones subsiguientes:

Ejemplos de teoremas de exponenciación

Para estos teoremas de potencia nominal se formularán ejemplos importantes:

Se da el teorema de la quinta potencia:

${\displaystyle q(\varepsilon )^{5}=q\{\varepsilon ^{5}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}}$

Ejemplo lemniscatico para el teorema de la quinta potencia:

Un siguiente ejemplo para el teorema de la quinta potencia:

Teoremas de reflexión

Si dos números positivos y son opuestos pitagóricos entre sí y, por lo tanto, la ecuación es válida, entonces esta relación es válida: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$

${\displaystyle \ln[\operatorname {q} (a)]\ln[\operatorname {q} (b)]=\pi ^{2}}$

Si dos números positivos y son opuestos tangenciales entre sí y por lo tanto la ecuación es válida, entonces esa relación es válida: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (c+1)(d+1)=2}$

${\displaystyle \ln[\operatorname {q} (c)]\ln[\operatorname {q} (d)]=2\pi ^{2}}$

Por lo tanto, estas representaciones tienen validez para todos los números reales x :

Opuestos pitagóricos:

${\displaystyle \ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\pi ^{2}}$

${\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}=\pi ^{2}}$

Opuestos tangenciales:

${\displaystyle \ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi +{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=2\pi ^{2}}$

${\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}+x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}-x{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}-x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}+x{\bigr ]}{\bigr \}}=2\pi ^{2}}$

Derivaciones de los valores del nomo

Resultados directos de los teoremas mencionados

Para determinar los sustantivos se deben utilizar los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1: Se da la fórmula de las contrapartes pitagóricas:

Para x = 0, esta fórmula da esta ecuación:

${\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{4}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=\pi ^{2}}$

${\displaystyle q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{4}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-\pi )}$

Ejemplo 2:

Se da la fórmula de las contrapartes tangenciales:

Para x = 0, la fórmula para las contrapartes tangenciales da la siguiente ecuación:

${\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=2\pi ^{2}}$

${\displaystyle q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )}$

Combinaciones de dos teoremas cada uno

Ejemplo 1: Caso equianarmónico

Se vuelve a utilizar la fórmula de las contrapartes pitagóricas:

Para , esta ecuación resulta de esta fórmula: ${\displaystyle x={\sqrt {3}}}$

${\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}=\pi ^{2}}$

En una sección anterior se enuncia este teorema:

De este teorema de elevación al cubo resulta la siguiente ecuación para : ${\displaystyle u=1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}^{3}=q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}}$

La solución del sistema de ecuaciones con dos incógnitas queda entonces como sigue:

${\displaystyle q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )}$

Ejemplo 2: Otro caso con la fórmula del cubo

Se utiliza nuevamente la fórmula de las contrapartes tangenciales:

Para esta fórmula resulta la siguiente ecuación: ${\displaystyle x={\sqrt {8}}}$

${\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}=2\pi ^{2}}$

Aquí también se utiliza el teorema de cubos:

Del teorema de cubos mencionado anteriormente, resulta la siguiente ecuación para : ${\displaystyle u=({\sqrt {3}}-1)/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{3}=q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}$

La solución del sistema de ecuaciones con dos incógnitas queda entonces como sigue:

${\displaystyle q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )}$

Investigaciones sobre integrales incompletas

Con las integrales elípticas incompletas del primer tipo, los valores de la función nominal elíptica se pueden derivar directamente.

Con dos ejemplos precisos, se realizarán estas derivaciones directas en lo siguiente:

Primer ejemplo:

Segundo ejemplo:

Tercer ejemplo:

Primera derivada de la función theta

Derivación de la derivada

La primera derivada de la función theta principal entre las funciones theta de Jacobi se puede derivar de la siguiente manera utilizando la regla de la cadena y la fórmula de derivación del nomo elíptico:

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )^{2}}}\,q(\varepsilon )\,{\biggl \{}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}{\biggr \}}={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,q(\varepsilon ){\biggr ]}{\biggl \{}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}{\biggr \}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi ^{-1/2}\,K(\varepsilon )^{-1/2}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,K(\varepsilon ){\biggr ]}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi ^{-1/2}\,K(\varepsilon )^{-1/2}\,{\frac {E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}}$

Para la parte de derivación ahora mencionada esta identidad es el fundamento:

${\displaystyle \vartheta _{00}[q(\varepsilon )]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}$

Por lo tanto, esta ecuación resulta:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\sqrt {2}}\,\pi ^{-5/2}\,q(\varepsilon )^{-1}\,K(\varepsilon )^{3/2}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}}$

Las integrales elípticas completas del segundo tipo tienen esa identidad:

${\displaystyle (1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}\right)=E(\varepsilon )+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,K(\varepsilon )}$

Junto con esta identidad modular, se puede realizar la siguiente transformación de fórmula:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\sqrt {2}}\,\pi ^{-5/2}\,q(\varepsilon )^{-1}\,K(\varepsilon )^{3/2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\left[E\left({\frac {1-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,K(\varepsilon )\right]}$

Además, esta identidad es válida:

${\displaystyle \vartheta _{01}[q(\varepsilon )]={\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}$

Utilizando las expresiones de la función theta ϑ ₀₀ (x) y ϑ ₀₁ (x) es posible la siguiente representación:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {1}{2\pi }}\,q(\varepsilon )^{-1}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]{\bigl \{}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}+\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}{\bigr \}}{\biggl \langle }E{\biggl \{}{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}-\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}+\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}{\biggr \}}-{\frac {\pi }{2}}\,\vartheta _{01}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\biggr \rangle }}$

Este es el resultado final:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{00}(x)=\vartheta _{00}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}}$

Primeras derivadas relacionadas

De manera similar también se pueden derivar otras primeras derivadas de funciones theta y sus combinaciones:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{01}(x)=\vartheta _{01}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{10}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\vartheta _{10}(x)\vartheta _{00}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{10}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}}}{\biggr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{00}(x)}{\vartheta _{01}(x)}}={\frac {\vartheta _{00}(x)^{5}-\vartheta _{00}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{01}(x)}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{10}(x)}{\vartheta _{00}(x)}}={\frac {\vartheta _{10}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{00}(x)}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{10}(x)}{\vartheta _{01}(x)}}={\frac {\vartheta _{10}(x)\vartheta _{00}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{01}(x)}}}$

Definición importante:

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}}$

${\displaystyle \bigtriangleup (n)={\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$

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