Función eta de Dedekind

Función matemática

Función η de Dedekind en el semiplano superior

En matemáticas , la función eta de Dedekind , llamada así por Richard Dedekind , es una forma modular de peso 1/2 y es una función definida en el semiplano superior de los números complejos , donde la parte imaginaria es positiva. También aparece en la teoría de cuerdas bosónicas .

Definición

Para cualquier número complejo τ con Im( τ ) > 0 , sea q = e ^{2 πiτ} ; entonces la función eta está definida por,

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-e^{2n\pi i\tau }\right)=q^{\frac {1}{24}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right).}$

Elevando la ecuación eta a la potencia 24 y multiplicando por (2 π ) ¹² se obtiene

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )}$

donde Δ es el discriminante modular . La presencia de 24 se puede entender mediante la conexión con otras ocurrencias, como en la red Leech de 24 dimensiones .

La función eta es holomorfa en el semiplano superior pero no puede continuar analíticamente más allá de él.

Módulo de Euler phi en el disco unitario, coloreado de modo que negro = 0, rojo = 4

La parte real del discriminante modular en función de q .

La función eta satisface las ecuaciones funcionales ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (\tau +1)&=e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau ),\\\eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau ).\,\end{aligned}}}$

En la segunda ecuación se elige la rama de la raíz cuadrada tal que √ − iτ = 1 cuando τ = i .

De manera más general, supongamos que a , b , c , d son números enteros con ad − bc = 1 , de modo que

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}}$

es una transformación perteneciente al grupo modular . Podemos suponer que c > 0 o c = 0 y d = 1. Entonces

${\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(c\tau +d\right)^{\frac {1}{2}}\eta (\tau ),}$

dónde

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)={\begin{cases}e^{\frac {bi\pi }{12}}&c=0,\,d=1,\\e^{i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}-s(d,c)-{\frac {1}{4}}\right)}&c>0.\end{cases}}}$

Aquí s ( h , k ) es la suma de Dedekind

${\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right).}$

Debido a estas ecuaciones funcionales, la función eta es una forma modular de peso .1/2⁠ y nivel 1 para un cierto carácter de orden 24 de la doble cubierta metapléctica del grupo modular, y puede utilizarse para definir otras formas modulares. En particular el discriminante modular de Weierstrass con

${\displaystyle \omega _{2}=\tau \omega _{1}}$

se puede definir como

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi \omega _{1})^{12}\eta (\tau )^{24}\,}$

y es una forma modular del peso 12. Algunos autores omiten el factor de (2 π ) ¹² , de modo que la expansión en serie tiene coeficientes integrales.

El producto triple de Jacobi implica que eta es (hasta un factor) una función theta de Jacobi para valores especiales de los argumentos: ^[2]

${\displaystyle \eta (\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)\exp \left({\frac {\pi in^{2}\tau }{12}}\right),}$

donde χ ( n ) es "el" carácter de Dirichlet módulo 12 con χ (±1) = 1 y χ (±5) = −1 . Explícitamente, ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\vartheta \left({\frac {\tau +1}{2}};3\tau \right).}$

La función de Euler

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (q)&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)\\&=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau ),\end{aligned}}}$

tiene una serie de potencias por la identidad de Euler :

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.}$

Nótese que al utilizar el teorema del número pentagonal de Euler para , la función eta se puede expresar como ${\displaystyle {\mathfrak {I}}(\tau )>0}$

${\displaystyle \eta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in}e^{3\pi i\left(n+{\frac {1}{6}}\right)^{2}\tau }.}$

Esto se puede demostrar utilizando el teorema del número pentagonal de Euler con la definición de la función eta. ${\displaystyle x=2\pi i\tau }$

Debido a que la función eta es fácil de calcular numéricamente a partir de cualquier serie de potencias , a menudo es útil en el cálculo expresar otras funciones en términos de ella cuando sea posible, y los productos y cocientes de funciones eta, llamados cocientes eta, se pueden usar para expresar una gran variedad de formas modulares.

La imagen de esta página muestra el módulo de la función de Euler: el factor adicional ^de q^1/24⁠ entre esto y eta casi no hay diferencia visual alguna. Por lo tanto, esta imagen puede tomarse como una imagen de eta en función deq.

Identidades combinatorias

La teoría de los caracteres algebraicos de las álgebras de Lie afines da lugar a una gran clase de identidades hasta ahora desconocidas para la función eta. Estas identidades se derivan de la fórmula de caracteres de Weyl–Kac y, más específicamente, de las denominadas "identidades del denominador". Los propios caracteres permiten la construcción de generalizaciones de la función theta de Jacobi que se transforman bajo el grupo modular ; esto es lo que conduce a las identidades. Un ejemplo de una de estas nuevas identidades ^[3] es

${\displaystyle \eta (8\tau )\eta (16\tau )=\sum _{m,n\in \mathbb {Z} \atop m\leq |3n|}(-1)^{m}q^{(2m+1)^{2}-32n^{2}}}$

donde q = e ^{2 πiτ} es el análogo q o "deformación" del peso más alto de un módulo.

Valores especiales

De la conexión anterior con la función de Euler junto con los valores especiales de esta última, se puede deducir fácilmente que

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left({\tfrac {1}{2}}i\right)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {7}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (2i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (3i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2{\sqrt[{3}]{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}\right)^{\frac {1}{12}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (4i)&={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {29}{16}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)&=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {{\sqrt[{8}]{3}}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}}{2\pi }}\end{aligned}}}$

Cocientes eta

Los cocientes eta se definen mediante cocientes de la forma

${\displaystyle \prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}}$

donde d es un entero no negativo y r _d es cualquier entero. Las combinaciones lineales de cocientes eta en argumentos cuadráticos imaginarios pueden ser algebraicas , mientras que las combinaciones de cocientes eta pueden incluso ser integrales . Por ejemplo, defina,

${\displaystyle {\begin{aligned}j(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+2^{8}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{16}\right)^{3}\\[6pt]j_{2A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}\\[6pt]j_{3A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\frac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}\\[6pt]j_{4A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\end{aligned}}}$

con la 24.ª potencia de la función modular de Weber 𝔣( τ ) . Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640320^{3},&e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640320^{3}+743.99999999999925\dots \\[6pt]j_{2A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)&=396^{4},&e^{\pi {\sqrt {58}}}&\approx 396^{4}-104.00000017\dots \\[6pt]j_{3A}\left({\frac {1+{\sqrt {-{\frac {89}{3}}}}}{2}}\right)&=-300^{3},&e^{\pi {\sqrt {\frac {89}{3}}}}&\approx 300^{3}+41.999971\dots \\[6pt]j_{4A}\left({\frac {\sqrt {-7}}{2}}\right)&=2^{12},&e^{\pi {\sqrt {7}}}&\approx 2^{12}-24.06\dots \end{aligned}}}$

y así sucesivamente, valores que aparecen en la serie Ramanujan-Sato .

Los cocientes eta también pueden ser una herramienta útil para describir bases de formas modulares , que son notoriamente difíciles de calcular y expresar directamente. En 1993, Basil Gordon y Kim Hughes demostraron que si un cociente eta η _g de la forma dada anteriormente, es decir, satisface ${\displaystyle \prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}}$

${\displaystyle \sum _{0<d\mid N}dr_{d}\equiv 0{\pmod {24}}\quad {\text{and}}\quad \sum _{0<d\mid N}{\frac {N}{d}}r_{d}\equiv 0{\pmod {24}},}$

entonces η _g es una forma modular de peso k para el subgrupo de congruencia Γ ₀ ( N ) (hasta la holomorficidad ) donde ^[4]

${\displaystyle k={\frac {1}{2}}\sum _{0<d\mid N}r_{d}.}$

Este resultado se amplió en 2019 de modo que el recíproco se cumple para los casos en que N es coprimo con 6, y sigue abierto que el teorema original sea agudo para todos los números enteros N . ^[5] Esto también se extiende para afirmar que cualquier cociente eta modular para cualquier subgrupo de congruencia de nivel n también debe ser una forma modular para el grupo Γ( N ) . Si bien estos teoremas caracterizan a los cocientes eta modulares , la condición de holomorficidad debe comprobarse por separado utilizando un teorema que surgió del trabajo de Gérard Ligozat ^[6] e Yves Martin: ^[7]

Si η _g es un cociente eta que satisface las condiciones anteriores para el entero N y c y d son enteros coprimos, entonces el orden de desaparición en la cúspide do/d⁠ relativo a Γ ₀ ( N ) es

${\displaystyle {\frac {N}{24}}\sum _{0<\delta |N}{\frac {\gcd \left(d,\delta \right)^{2}r_{\delta }}{\gcd \left(d,{\frac {N}{\delta }}\right)d\delta }}.}$

Estos teoremas proporcionan un medio eficaz para crear cocientes eta modulares holomorfos, sin embargo, esto puede no ser suficiente para construir una base para un espacio vectorial de formas modulares y formas de cúspide . Un teorema útil para limitar el número de cocientes eta modulares a considerar establece que un cociente eta modular de peso k holomorfo en Γ ₀ ( N ) debe satisfacer

${\displaystyle \sum _{0<d\mid N}|r_{d}|\leq \prod _{p\mid N}\left({\frac {p+1}{p-1}}\right)^{\min {\bigl (}2,{\text{ord}}_{p}(N){\bigr )}},}$

donde ord _p ( N ) denota el entero más grande m tal que p ^m divide a N . ^[8] Estos resultados conducen a varias caracterizaciones de espacios de formas modulares que pueden ser abarcados por cocientes eta modulares. ^[8] Usando la estructura de anillo graduado en el anillo de formas modulares, podemos calcular bases de espacios vectoriales de formas modulares compuestos de combinaciones -lineales de cocientes eta. Por ejemplo, si asumimos que N = pq es un semiprimo entonces el siguiente proceso puede usarse para calcular una base de cociente eta de M k (Γ ( N )) . ^[5] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

1. Fijemos un semiprimo N = pq que sea coprimo con 6 (es decir, p , q > 3 ). Sabemos que cualquier cociente eta modular puede hallarse utilizando los teoremas anteriores, por lo tanto es razonable calcularlos algorítmicamente.
2. Calcular la dimensión D de M _k (Γ ₀ ( N )) . Esto nos indica cuántos cocientes eta modulares linealmente independientes necesitaremos calcular para formar una base.
3. Reducir el número de cocientes eta a considerar. Para los semiprimos podemos reducir el número de particiones utilizando el límite de

   ${\displaystyle \sum _{0<d\mid N}|r_{d}|}$

   y observando que la suma de los órdenes de desaparición en las cúspides de Γ ₀ ( N ) debe ser igual a

   ${\displaystyle S:={\frac {(p+1)(q+1)}{6}}}$. ^[5]

4. Hallar todas las particiones de S en 4-tuplas (hay 4 cúspides de Γ ₀ ( N ) ), y entre ellas considerar sólo las particiones que satisfacen las condiciones de Gordon y Hughes (podemos convertir órdenes de desaparición en exponentes). Cada una de estas particiones corresponde a un cociente eta único.
5. Determinar el número mínimo de términos en la expansión q de cada cociente eta necesario para identificar elementos de forma única (esto utiliza un resultado conocido como límite de Sturm). Luego utilizar álgebra lineal para determinar un conjunto independiente máximo entre estos cocientes eta.
6. Suponiendo que aún no hemos encontrado D cocientes eta linealmente independientes, encuentre un espacio vectorial apropiado M _{k ′} (Γ ₀ ( N )) tal que k ′ y M _{k ′} (Γ ₀ ( N )) estén abarcados por cocientes eta ( _débilmente holomorfos ), ^[8] y M _{k − k} (Γ ₀ ( N )) contenga un cociente eta η _g .
7. Tome una forma modular f con peso k que no esté en el lapso de nuestros cocientes eta calculados, y calcule f η _g como una combinación lineal de cocientes eta en M _{k ′} (Γ ₀ ( N )) y luego divida por η _g . El resultado será una expresión de f como una combinación lineal de cocientes eta según se desee. Repita esto hasta que se forme una base.

Una colección de más de 6300 identidades de productos para la función Eta de Dedekind en una forma canónica y estandarizada está disponible en la Wayback Machine ^[9] del sitio web de Michael Somos.

Véase también

• Fórmula de Chowla-Selberg
• Serie Ramanujan-Sato
• serie q
• Funciones elípticas de Weierstrass
• Función de partición
• Fórmula límite de Kronecker
• Álgebra de Lie afín

Referencias

1. Siegel, CL (1954). "Una prueba simple de η (−1/ τ ) = η ( τ ) √ τ / i ". Matemática . 1 : 4. doi : 10.1112/S0025579300000462.
2. Bump, Daniel (1998), Formas y representaciones automórficas , Cambridge University Press, ISBN 0-521-55098-X
3. Fuchs, Jurgen (1992), Álgebras de Lie afines y grupos cuánticos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
4. Gordon, Basil; Hughes, Kim (1993). "Propiedades multiplicativas de los productos η . II". Un tributo a Emil Grosswald: teoría de números y análisis relacionados . Matemáticas contemporáneas. Vol. 143. Providence, RI: American Mathematical Society. pág. 415–430.
5. Allen, Michael; Anderson, Nicholas; Hamakiotes, Asimina; Oltsik, Ben; Swisher, Holly (2020). "Eta-cocientes de niveles primos o semiprimos y curvas elípticas". Involve . 13 (5): 879–900. arXiv : 1901.10511 . doi :10.2140/involve.2020.13.879. S2CID  119620241.
6. Ligozat, G. (1974). Courbes modulares de género 1 . Publicaciones Mathématiques d'Orsay. vol. 75. UER Mathématique, Universidad París XI, Orsay. pag. 7411.
7. Martin, Yves (1996). "Cocientes η multiplicativos". Transacciones de la American Mathematical Society . 348 (12): 4825–4856. doi : 10.1090/S0002-9947-96-01743-6 .
8. Rouse, Jeremy; Webb, John J. (2015). "Sobre espacios de formas modulares abarcados por eta-cocientes". Avances en Matemáticas . 272 ​​: 200–224. arXiv : 1311.1460 . doi : 10.1016/j.aim.2014.12.002 .
9. "Identidades de productos de la función Eta de Dedekind por Michael Somos". Archivado desde el original el 9 de julio de 2019.

Lectura adicional

• Apostol, Tom M. (1990). Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 41 (2.ª ed.). Springer-Verlag. cap. 3. ISBN. 3-540-97127-0.
• Koblitz, Neal (1993). Introducción a las curvas elípticas y formas modulares . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 97 (2.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-97966-2.