Teorema del número pentagonal

Relaciona las representaciones de producto y serie de la función de Euler Π(1-x^n)

En matemáticas , el teorema del número pentagonal de Euler relaciona las representaciones de producto y serie de la función de Euler . Se afirma que

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{n}\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{k}x^{k\left(3k-1\right)/2}=1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\left(x^{k(3k+1)/2}+x^{k(3k-1)/2}\right).}$

En otras palabras,

${\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots .}$

Los exponentes 1, 2, 5, 7, 12, ... en el lado derecho están dados por la fórmula g _k = k (3 k − 1)/2 para k = 1, −1, 2, −2, 3, ... y se denominan números pentagonales (generalizados) (secuencia A001318 en la OEIS ). (El término constante 1 corresponde a .) Esto es válido como una identidad de series de potencias convergentes para , y también como una identidad de series de potencias formales . ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle |x|<1}$

Una característica llamativa de esta fórmula es la cantidad de cancelación en la expansión del producto.

Relación con particiones

La identidad implica una recurrencia para calcular el número de particiones de n : ${\displaystyle p(n)}$

${\displaystyle p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots }$

o más formalmente,

${\displaystyle p(n)=\sum _{k\neq 0}(-1)^{k-1}p(n-g_{k})}$

donde la suma es sobre todos los enteros k distintos de cero (positivos y negativos) y es el ^késimo número pentagonal generalizado. Dado que para todos , la serie aparentemente infinita de la derecha tiene sólo un número finito de términos distintos de cero, lo que permite un cálculo eficiente de p ( n ). ${\displaystyle g_{k}}$ ${\displaystyle p(n)=0}$ ${\displaystyle n<0}$

La prueba biyectiva de Franklin

El teorema se puede interpretar combinatoriamente en términos de particiones . En particular, el lado izquierdo es una función generadora del número de particiones de n en un número par de partes distintas menos el número de particiones de n en un número impar de partes distintas. Cada partición de n en un número par de partes distintas contribuye +1 al coeficiente de x ⁿ ; cada partición en un número impar de partes distintas contribuye -1. (El artículo sobre funciones de partición sin restricciones analiza este tipo de función generadora).

Por ejemplo, el coeficiente de x ⁵ es +1 porque hay dos formas de dividir 5 en un número par de partes distintas (4+1 y 3+2), pero sólo una forma de hacerlo para un número impar de partes distintas. (la partición de una parte 5). Sin embargo, el coeficiente de x ¹² es −1 porque hay siete formas de dividir 12 en un número par de partes distintas, pero hay ocho formas de dividir 12 en un número impar de partes distintas, y 7 − 8 = −1.

This interpretation leads to a proof of the identity by canceling pairs of matched terms (involution method).^[1] Consider the Ferrers diagram of any partition of n into distinct parts. For example, the diagram below shows n = 20 and the partition 20 = 7 + 6 + 4 + 3.

Let m be the number of elements in the smallest row of the diagram (m = 3 in the above example). Let s be the number of elements in the rightmost 45 degree line of the diagram (s = 2 dots in red above, since 7−1 = 6, but 6−1 > 4). If m > s, take the rightmost 45-degree line and move it to form a new row, as in the matching diagram below.

If m ≤ s (as in our newly formed diagram where m = 2, s = 5) we may reverse the process by moving the bottom row to form a new 45 degree line (adding 1 element to each of the first m rows), taking us back to the first diagram.

A bit of thought shows that this process always changes the parity of the number of rows, and applying the process twice brings us back to the original diagram. This enables us to pair off Ferrers diagrams contributing 1 and −1 to the xⁿ term of the series, resulting in a net coefficient of 0 for xⁿ. This holds for every term except when the process cannot be performed on every Ferrers diagram with n dots. There are two such cases:

1) m = s and the rightmost diagonal and bottom row meet. For example,

Attempting to perform the operation would lead us to:

which fails to change the parity of the number of rows, and is not reversible in the sense that performing the operation again does not take us back to the original diagram. If there are m elements in the last row of the original diagram, then

${\displaystyle n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(2m-1)={\frac {m(3m-1)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}}}$

where the new index k is taken to equal m. Note that the sign associated with this partition is (−1)^s, which by construction equals (−1)^m and (−1)^k.

2) m = s+1 and the rightmost diagonal and bottom row meet. For example,

Our operation requires us to move the right diagonal to the bottom row, but that would lead to two rows of three elements, forbidden since we're counting partitions into distinct parts. This is the previous case but with one fewer row, so

${\displaystyle n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(2m-2)={\frac {(m-1)(3m-2)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}},}$

donde tomamos k = 1− m (un entero negativo). Aquí el signo asociado es (−1) ^s con s = m −1 = − k , por lo tanto el signo es nuevamente (−1) ^k .

En resumen, se ha demostrado que las particiones en un número par de partes distintas y un número impar de partes distintas se cancelan exactamente entre sí, produciendo términos nulos 0 x ⁿ , excepto si n es un número pentagonal generalizado , en cuyo caso hay exactamente queda un diagrama de Ferrers, lo que produce un término (−1) ^k x ⁿ . Pero esto es precisamente lo que el lado derecho de la identidad dice que debería suceder, así que hemos terminado. ${\displaystyle n=g_{k}=k(3k-1)/2}$

Recurrencia de partición

Podemos reformular la prueba anterior, usando particiones enteras , que denotamos como: , donde . El número de particiones de n es la función de partición p ( n ) que tiene función generadora: ${\displaystyle n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dotsb +\lambda _{\ell }}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{\ell }>0}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})^{-1}}$

Tenga en cuenta que es el recíproco del producto en el lado izquierdo de nuestra identidad:

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})\right)=1}$

Denotemos la expansión de nuestro producto por , de modo que ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)=1}$.

Multiplicando el lado izquierdo e igualando los coeficientes de ambos lados, obtenemos a ₀ p (0) = 1 y para todos . Esto da una relación de recurrencia que define p ( n ) en términos de an _, y viceversa, una recurrencia para _an en términos de p ( n ). Así, nuestro resultado deseado: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p(n{-}i)a_{i}=0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle a_{i}:={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\mbox{ and }}k{\mbox{ is even}}\\-1&{\mbox{ if }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\mbox{ and }}k{\mbox{ is odd }}\\0&{\mbox{ otherwise }}\end{cases}}}$

for es equivalente a la identidad donde y i abarca todos los números enteros tales que (este rango incluye i tanto positivo como negativo, para utilizar ambos tipos de números pentagonales generalizados). Esto a su vez significa: ${\displaystyle i\geq 1}$ ${\displaystyle \sum _{i}(-1)^{i}p(n{-}g_{i})=0,}$ ${\displaystyle g_{i}:=\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)}$ ${\displaystyle g_{i}\leq n}$

${\displaystyle \sum _{i\mathrm {\ even} }p(n{-}g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n{-}g_{i}),}$.

En términos de conjuntos de particiones, esto equivale a decir que los siguientes conjuntos tienen igual cardinalidad:

${\displaystyle {\mathcal {X}}:=\bigcup _{i\mathrm {\ even} }{\mathcal {P}}(n-g_{i})}$         y         , ${\displaystyle {\mathcal {Y}}:=\bigcup _{i\mathrm {\ odd} }{\mathcal {P}}(n-g_{i})}$

donde denota el conjunto de todas las particiones de . Todo lo que queda es dar una biyección de un conjunto a otro, lo que se logra mediante la función φ de X a Y que asigna la partición a la partición definida por: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(n-g_{i})\ni \lambda :n-g_{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dotsb +\lambda _{\ell }}$ ${\displaystyle \lambda '=\varphi (\lambda )}$

${\displaystyle \varphi (\lambda ):={\begin{cases}\lambda ':n-g_{i-1}=(\ell +3i-2)+(\lambda _{1}-1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }-1)&{\mbox{ if }}\ell +3i>\lambda _{1}\\\\\lambda ':n-g_{i+1}=(\lambda _{2}+1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }+1)+\underbrace {1+\dotsb +1} _{\lambda _{1}-\ell -3i}&{\mbox{ if }}\ell +3i\leq \lambda _{1}.\end{cases}}}$

Se trata de una involución (una cartografía autoinversa) y, por tanto, en particular de una biyección, que prueba nuestra afirmación y nuestra identidad.

Ver también

El teorema de los números pentagonales se presenta como un caso especial del triple producto de Jacobi .

Las series Q generalizan la función de Euler, que está estrechamente relacionada con la función eta de Dedekind , y ocurre en el estudio de formas modulares . El módulo de la función de Euler (ver imagen allí) muestra la simetría del grupo modular fractal y ocurre en el estudio del interior del conjunto de Mandelbrot .

Referencias

1. Franklin, F. (1881). "Sobre el desarrollo del producto (1-x)(1-x^2)(1-x^3) ...". Contes Rendues Acad. París Ser A. 92 : 448–450.

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001
• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Introducción a la teoría de los números . Revisado por DR Heath-Brown y JH Silverman . Prólogo de Andrew Wiles . (6ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-921986-5. SEÑOR  2445243. Zbl  1159.11001.

enlaces externos

• Campana de Jordania (2005). "Euler y el teorema del número pentagonal". arXiv : math.HO/0510054 .
• Sobre el teorema pentagonal de Euler en MathPages
• Secuencia OEIS A000041 (a(n) = número de particiones de n (los números de partición))
• De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium en Scholarly Commons.