Función de partición (teoría de números)

El número de particiones de un entero

Los valores de la función de partición (1, 2, 3, 5, 7, 11, 15 y 22) se pueden determinar contando los diagramas de Young para las particiones de los números del 1 al 8. ${\displaystyle p(1),\dots ,p(8)}$

En teoría de números , la función de partición p ( n ) representa el número de particiones posibles de un entero no negativo n . Por ejemplo, p (4) = 5 porque el entero 4 tiene las cinco particiones 1 + 1 + 1 + 1 , 1 + 1 + 2 , 1 + 3 , 2 + 2 y 4 .

No se conoce ninguna expresión en forma cerrada para la función de partición, pero tiene tanto expansiones asintóticas que la aproximan con precisión como relaciones de recurrencia mediante las cuales se puede calcular con exactitud. Crece como una función exponencial de la raíz cuadrada de su argumento. La inversa multiplicativa de su función generadora es la función de Euler ; por el teorema del número pentagonal de Euler, esta función es una suma alternada de potencias de números pentagonales de su argumento.

Srinivasa Ramanujan fue el primero en descubrir que la función de partición tiene patrones no triviales en aritmética modular , ahora conocidos como congruencias de Ramanujan . Por ejemplo, siempre que la representación decimal de n termine en el dígito 4 o 9, el número de particiones de n será divisible por 5.

Definición y ejemplos

Para un entero positivo n , p ( n ) es el número de formas distintas de representar n como suma de enteros positivos. Para los fines de esta definición, el orden de los términos en la suma es irrelevante: dos sumas con los mismos términos en un orden diferente no se consideran distintas.

Por convención, p (0) = 1 , ya que existe una forma (la suma vacía ) de representar el cero como suma de números enteros positivos. Además, p ( n ) = 0 cuando n es negativo.

Los primeros valores de la función de partición, comenzando con p (0) = 1 , son:

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, ... (secuencia A000041 en la OEIS ).

Algunos valores exactos de p ( n ) para valores mayores de n incluyen: ^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}p(100)&=190,\!569,\!292\\p(1000)&=24,\!061,\!467,\!864,\!032,\!622,\!473,\!692,\!149,\!727,\!991\approx 2.40615\times 10^{31}\\p(10000)&=36,\!167,\!251,\!325,\!\dots ,\!906,\!916,\!435,\!144\approx 3.61673\times 10^{106}\end{aligned}}}$$

Función generadora

Utilizando el método de Euler para hallar p (40) : Se desliza hacia abajo una regla con signos más y menos (recuadro gris) y se suman o restan los términos relevantes. Las posiciones de los signos se dan por diferencias de números naturales (azules) e impares (naranjas) alternados. En el archivo SVG, pase el cursor sobre la imagen para mover la regla.

La función generadora para p ( n ) está dada por ^[2] La igualdad entre los productos en la primera y segunda línea de esta fórmula se obtiene expandiendo cada factor en la serie geométrica Para ver que el producto expandido es igual a la suma en la primera línea, aplique la ley distributiva al producto. Esto expande el producto en una suma de monomios de la forma para alguna secuencia de coeficientes , de los cuales solo un número finito puede ser distinto de cero. El exponente del término es , y esta suma puede interpretarse como una representación de como una partición en copias de cada número . Por lo tanto, el número de términos del producto que tienen exponente es exactamente , el mismo que el coeficiente de en la suma de la izquierda. Por lo tanto, la suma es igual al producto. $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}&=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{1-x^{k}}}\right)\\&=\left(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \right)\left(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\cdots \right)\left(1+x^{3}+x^{6}+x^{9}+\cdots \right)\cdots \\&={\frac {1}{1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots }}\\&=1{\Big /}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}x^{k(3k-1)/2}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 1/(1-x^{k})}$ ${\displaystyle (1+x^{k}+x^{2k}+x^{3k}+\cdots ).}$ ${\displaystyle x^{a_{1}}x^{2a_{2}}x^{3a_{3}}\cdots }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\textstyle n=\sum ia_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p(n)}$ ${\displaystyle x^{n}}$

La función que aparece en el denominador en la tercera y cuarta línea de la fórmula es la función de Euler . La igualdad entre el producto de la primera línea y las fórmulas de la tercera y cuarta línea es el teorema del número pentagonal de Euler . Los exponentes de en estas líneas son los números pentagonales para (generalizados un poco a partir de los números pentagonales habituales, que provienen de la misma fórmula para los valores positivos de ). El patrón de signos positivos y negativos en la tercera línea proviene del término de la cuarta línea: las opciones pares de producen términos positivos y las opciones impares producen términos negativos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{k}=k(3k-1)/2}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,-1,2,-2,\dots \}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$ ${\displaystyle k}$

De manera más general, la función generadora para las particiones de en números seleccionados de un conjunto de enteros positivos se puede encontrar tomando solo aquellos términos en el primer producto para el cual . Este resultado se debe a Leonhard Euler . ^[3] La formulación de la función generadora de Euler es un caso especial de un símbolo -Pochhammer y es similar a la formulación del producto de muchas formas modulares , y específicamente a la función eta de Dedekind . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k\in A}$ ${\displaystyle q}$

Relaciones de recurrencia

La misma secuencia de números pentagonales aparece en una relación de recurrencia para la función de partición: ^[4] Como casos base, se toma como igual a , y se toma como cero para  . Aunque la suma en el lado derecho parece infinita, solo tiene un número finito de términos distintos de cero, que provienen de los valores distintos de cero de en el rango La relación de recurrencia también se puede escribir en la forma equivalente $${\displaystyle {\begin{aligned}p(n)&=\sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}(-1)^{k+1}p(n-k(3k-1)/2)\\&=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-p(n-22)-\cdots \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p(0)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle -{\frac {{\sqrt {24n+1}}-1}{6}}\leq k\leq {\frac {{\sqrt {24n+1}}+1}{6}}.}$$ $${\displaystyle p(n)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\big (}p(n-k(3k-1)/2)+p(n-k(3k+1)/2){\big )}.}$$

Otra relación de recurrencia para se puede dar en términos de la función suma de divisores σ : ^[5] Si denota el número de particiones de sin partes repetidas, entonces se deduce que al dividir cada partición en sus partes pares y partes impares, y dividir las partes pares por dos, ^[6] ${\displaystyle p(n)}$ $${\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\sigma (n-k)p(k).}$$ ${\displaystyle q(n)}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle p(n)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }q(n-2k)p(k).}$$

Congruencias

A Srinivasa Ramanujan se le atribuye el descubrimiento de que la función de partición tiene patrones no triviales en aritmética modular . Por ejemplo, el número de particiones es divisible por cinco siempre que la representación decimal de termine en el dígito 4 o 9, como se expresa por la congruencia ^[7] Por ejemplo, el número de particiones para el entero 4 es 5. Para el entero 9, el número de particiones es 30; para 14 hay 135 particiones. Esta congruencia está implícita en la identidad más general también de Ramanujan, ^{[8] [9]} donde la notación denota el producto definido por Una prueba corta de este resultado se puede obtener a partir de la función generadora de la función de partición. ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle p(5k+4)\equiv 0{\pmod {5}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)x^{k}=5~{\frac {(x^{5})_{\infty }^{5}}{(x)_{\infty }^{6}}},}$$ ${\displaystyle (x)_{\infty }}$ $${\displaystyle (x)_{\infty }=\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{m}).}$$

Ramanujan también descubrió congruencias módulo 7 y 11: ^[7] La ​​primera proviene de la identidad de Ramanujan ^[9] $${\displaystyle {\begin{aligned}p(7k+5)&\equiv 0{\pmod {7}},\\p(11k+6)&\equiv 0{\pmod {11}}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)x^{k}=7~{\frac {(x^{7})_{\infty }^{3}}{(x)_{\infty }^{4}}}+49x~{\frac {(x^{7})_{\infty }^{7}}{(x)_{\infty }^{8}}}.}$$

Como 5, 7 y 11 son primos consecutivos , se podría pensar que habría una congruencia análoga para el próximo primo 13, para algún a . Sin embargo, no hay congruencia de la forma para ningún primo b que no sea 5, 7 u 11. ^[10] En cambio, para obtener una congruencia, el argumento de debe tomar la forma para algún . En la década de 1960, AOL Atkin de la Universidad de Illinois en Chicago descubrió congruencias adicionales de esta forma para módulos primos pequeños. Por ejemplo: ${\displaystyle p(13k+a)\equiv 0{\pmod {13}}}$ ${\displaystyle p(bk+a)\equiv 0{\pmod {b}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle cbk+a}$ ${\displaystyle c>1}$ $${\displaystyle p(11^{3}\cdot 13\cdot k+237)\equiv 0{\pmod {13}}.}$$

Ken Ono  (2000) demostró que existen tales congruencias para cada módulo primo mayor que 3. Más tarde, Ahlgren y Ono (2001) demostraron que existen congruencias de partición módulo cada entero coprimo a 6. ^{[11] [12]}

Fórmulas de aproximación

Existen fórmulas de aproximación que son más rápidas de calcular que la fórmula exacta dada anteriormente.

Una expresión asintótica para p ( n ) está dada por

${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}\exp \left({\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}\right)}$como . ${\displaystyle n\to \infty }$

Esta fórmula asintótica fue obtenida por primera vez por GH Hardy y Ramanujan en 1918 e independientemente por JV Uspensky en 1920. Considerando , la fórmula asintótica da aproximadamente , razonablemente cerca de la respuesta exacta dada anteriormente (1,415 % mayor que el valor real). ${\displaystyle p(1000)}$ ${\displaystyle 2.4402\times 10^{31}}$

Hardy y Ramanujan obtuvieron una expansión asintótica con esta aproximación como primer término: ^[13] donde Aquí, la notación significa que la suma se toma solo sobre los valores de que son primos entre sí a . La función es una suma de Dedekind . $${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{2\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{v}A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\exp \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right),}$$ $${\displaystyle A_{k}(n)=\sum _{0\leq m<k,\;(m,k)=1}e^{\pi i\left(s(m,k)-2nm/k\right)}.}$$ ${\displaystyle (m,k)=1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s(m,k)}$

El error después de los términos es del orden del término siguiente y puede considerarse del orden de . Como ejemplo, Hardy y Ramanujan demostraron que es el entero más cercano a la suma de los primeros términos de la serie. ^[13] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle p(200)}$ ${\displaystyle v=5}$

En 1937, Hans Rademacher logró mejorar los resultados de Hardy y Ramanujan al proporcionar una expresión de serie convergente para . Es ^{[14] [15]} ${\displaystyle p(n)}$ $${\displaystyle p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\sinh \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right).}$$

La prueba de la fórmula de Rademacher involucra círculos de Ford , secuencias de Farey , simetría modular y la función eta de Dedekind .

Se puede demostrar que el término n de la serie de Rademacher es del orden tal que el primer término da la aproximación asintótica de Hardy-Ramanujan. Paul Erdős  (1942) publicó una prueba elemental de la fórmula asintótica para . ^{[16] [17]} ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \exp \left({\frac {\pi }{k}}{\sqrt {\frac {2n}{3}}}\right),}$$ ${\displaystyle p(n)}$

Johansson (2012) analiza técnicas para implementar la fórmula de Hardy-Ramanujan-Rademacher de manera eficiente en una computadora y demuestra que se puede calcular a tiempo para cualquier . Esto es casi óptimo porque coincide con el número de dígitos del resultado. ^[18] El valor más grande de la función de partición calculado exactamente es , que tiene un poco más de 11 mil millones de dígitos. ^[19] ${\displaystyle p(n)}$ ${\displaystyle O(n^{1/2+\varepsilon })}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle p(10^{20})}$

Función de partición estricta

Definición y propiedades

Una partición en la que ninguna parte aparece más de una vez se llama estricta , o se dice que es una partición en partes distintas . La función q ( n ) da el número de estas particiones estrictas de la suma dada n . Por ejemplo, q (3) = 2 porque las particiones 3 y 1+2 son estrictas, mientras que la tercera partición 1+1+1 de 3 tiene partes repetidas. El número q ( n ) también es igual al número de particiones de n en las que solo se permiten sumandos impares. ^[20]

Función generadora

La función generadora de los números q ( n ) está dada por un producto infinito simple: ^[21] donde la notación representa el símbolo de Pochhammer A partir de esta fórmula, se pueden obtener fácilmente los primeros términos (secuencia A000009 en la OEIS ): Esta serie también se puede escribir en términos de funciones theta como donde y En comparación, la función generadora de los números de partición regulares p ( n ) tiene esta identidad con respecto a la función theta: $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1+x^{k})=(x;x^{2})_{\infty }^{-1},}$$ ${\displaystyle (a;b)_{\infty }}$ ${\displaystyle (a;b)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-ab^{k}).}$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=1+1x+1x^{2}+2x^{3}+2x^{4}+3x^{5}+4x^{6}+5x^{7}+6x^{8}+8x^{9}+10x^{10}+\ldots .}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16\,x}}{\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/24},}$$ $${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}}$$ $${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}.}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=(x;x)_{\infty }^{-1}=\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16\,x}}{\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{-1/24}.}$$

Identidades sobre números de partición estrictos

La siguiente identidad es válida para los productos Pochhammer:

${\displaystyle (x;x)_{\infty }^{-1}=(x^{2};x^{2})_{\infty }^{-1}(x;x^{2})_{\infty }^{-1}}$

De esta identidad se desprende la fórmula:

${\displaystyle {\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}{\biggr ]}={\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{2n}{\biggr ]}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}{\biggr ]}}$

Por lo tanto, estas dos fórmulas son válidas para la síntesis de la secuencia numérica p(n):

${\displaystyle p(2n)=\sum _{k=0}^{n}p(n-k)q(2k)}$

${\displaystyle p(2n+1)=\sum _{k=0}^{n}p(n-k)q(2k+1)}$

A continuación se ejecutan con precisión dos ejemplos:

${\displaystyle p(8)=\sum _{k=0}^{4}p(4-k)q(2k)=}$

${\displaystyle =p(4)q(0)+p(3)q(2)+p(2)q(4)+p(1)q(6)+p(0)q(8)=}$

${\displaystyle =5\times 1+3\times 1+2\times 2+1\times 4+1\times 6=22}$

${\displaystyle p(9)=\sum _{k=0}^{4}p(4-k)q(2k+1)=}$

${\displaystyle =p(4)q(1)+p(3)q(3)+p(2)q(5)+p(1)q(7)+p(0)q(9)=}$

${\displaystyle =5\times 1+3\times 2+2\times 3+1\times 5+1\times 8=30}$

Función de partición restringida

En términos más generales, es posible considerar particiones restringidas únicamente a elementos de un subconjunto A de los números naturales (por ejemplo, una restricción en el valor máximo de las partes), o con una restricción en el número de partes o la diferencia máxima entre partes. Cada restricción particular da lugar a una función de partición asociada con propiedades específicas. A continuación se ofrecen algunos ejemplos comunes.

Teorema de Euler y Glaisher

Dos ejemplos importantes son las particiones restringidas solo a partes enteras impares o solo a partes enteras pares, con las funciones de partición correspondientes a menudo denotadas como y . ${\displaystyle p_{o}(n)}$ ${\displaystyle p_{e}(n)}$

Un teorema de Euler muestra que el número de particiones estrictas es igual al número de particiones con solo partes impares: para todo n , . Esto se generaliza como el teorema de Glaisher , que establece que el número de particiones con no más de d-1 repeticiones de cualquier parte es igual al número de particiones sin ninguna parte divisible por d . ${\displaystyle q(n)=p_{o}(n)}$

Coeficiente binomial gaussiano

Si denotamos el número de particiones de n en como máximo M partes, siendo cada parte menor o igual a N , entonces la función generadora de es el siguiente coeficiente binomial gaussiano : ${\displaystyle p(N,M,n)}$ ${\displaystyle p(N,M,n)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(N,M,n)q^{n}={N+M \choose M}_{q}={\frac {(1-q^{N+M})(1-q^{N+M-1})\cdots (1-q^{N+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{M})}}}$

Asintóticos

Se conocen algunos resultados generales sobre las propiedades asintóticas de las funciones de partición restringidas. Si p _A ( n ) es la función de partición de particiones restringidas únicamente a elementos de un subconjunto A de los números naturales, entonces:

Si A posee una densidad natural positiva α entonces , con ${\displaystyle \log p_{A}(n)\sim C{\sqrt {\alpha n}}}$ ${\displaystyle C=\pi {\sqrt {\frac {2}{3}}}}$

y a la inversa, si esta propiedad asintótica se cumple para p _A ( n ), entonces A tiene una densidad natural α. ^[22] Este resultado fue establecido, con un bosquejo de prueba, por Erdős en 1942. ^{[16] [23]}

Si A es un conjunto finito, este análisis no se aplica (la densidad de un conjunto finito es cero). Si A tiene k elementos cuyo máximo común divisor es 1, entonces ^[24]

${\displaystyle p_{A}(n)=\left(\prod _{a\in A}a^{-1}\right)\cdot {\frac {n^{k-1}}{(k-1)!}}+O(n^{k-2}).}$

Referencias

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Enlaces externos

• Primeros 4096 valores de la función de partición