anillo graduado

En matemáticas , en particular en álgebra abstracta , un anillo graduado es un anillo tal que el grupo aditivo subyacente es una suma directa de grupos abelianos tales que . El conjunto de índices suele ser el conjunto de números enteros no negativos o el conjunto de números enteros, pero puede ser cualquier monoide . La descomposición por suma directa suele denominarse gradación o graduación . ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$

Un módulo calificado se define de manera similar (consulte a continuación la definición precisa). Generaliza espacios vectoriales graduados . Un módulo graduado que también es un anillo graduado se llama álgebra graduada . Un anillo graduado también podría verse como un álgebra graduada. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La asociatividad no es importante (de hecho, no se utiliza en absoluto) en la definición de un anillo graduado; por tanto, la noción se aplica también a las álgebras no asociativas ; por ejemplo, se puede considerar un álgebra de Lie graduada .

Primeras propiedades

Generalmente, se supone que el conjunto de índices de un anillo graduado es el conjunto de números enteros no negativos, a menos que se especifique explícitamente lo contrario. Este es el caso de este artículo.

Un anillo graduado es un anillo que se descompone en una suma directa

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

de grupos de aditivos , tales que

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

para todos los números enteros no negativos y . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Un elemento distinto de cero se dice que es homogéneo de grado . Por definición de suma directa, cada elemento distinto de cero puede escribirse de forma única como una suma donde cada uno es 0 o homogéneo de grado . Los distintos de cero son los componentes homogéneos de  . ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a}$

Algunas propiedades básicas son:

• ${\displaystyle R_{0}}$es un subanillo de ; en particular, la identidad multiplicativa es un elemento homogéneo de grado cero. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1}$
• Para cualquiera , es un módulo de dos caras y la descomposición de suma directa es una suma directa de módulos. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$
• ${\displaystyle R}$es un álgebra asociativa ${\displaystyle R_{0}}$ .

Un ideal es homogéneo , si para cada uno , los componentes homogéneos de también pertenecen a él . (De manera equivalente, si es un submódulo graduado de ; ver § Módulo graduado.) La intersección de un ideal homogéneo con es un - submódulo de llamado parte homogénea del grado de . Un ideal homogéneo es la suma directa de sus partes homogéneas. ${\displaystyle I\subseteq R}$ ${\displaystyle a\in I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$

Si es un ideal homogéneo de dos caras en , entonces también es un anillo graduado, descompuesto como ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle R/I=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}/I_{n},}$

donde es la parte homogénea del grado de . ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$

Ejemplos básicos

• A cualquier anillo R (no graduado) se le puede dar una gradación dejando , y para i ≠ 0. Esto se llama gradación trivial en  R . ${\displaystyle R_{0}=R}$ ${\displaystyle R_{i}=0}$
• El anillo polinomial se clasifica por grado : es una suma directa de polinomios homogéneos de grado i . ${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$ ${\displaystyle R_{i}}$
• Sea S el conjunto de todos los elementos homogéneos distintos de cero en un dominio integral graduado R. Entonces la localización de R con respecto a S es un anillo graduado. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Si I es un ideal en un anillo conmutativo R , entonces un anillo graduado se llama anillo graduado asociado de R a lo largo de I ; geométricamente, es el anillo de coordenadas del cono normal a lo largo de la subvariedad definida por I. ${\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$
• Sea X un espacio topológico , H ⁱ ( X ; R ) el i- ésimo grupo de cohomología con coeficientes en un anillo R. Entonces H ^* ( X ; R ), el anillo de cohomología de X con coeficientes en R , es un anillo graduado cuyo grupo subyacente tiene la estructura multiplicativa dada por el producto de copa . ${\textstyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$

módulo calificado

La idea correspondiente en la teoría de módulos es la de un módulo graduado , es decir, un módulo izquierdo M sobre un anillo graduado R tal que también

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

y

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}$

Ejemplo : un espacio vectorial graduado es un ejemplo de un módulo graduado sobre un campo (donde el campo tiene una clasificación trivial).

Ejemplo : un anillo graduado es un módulo graduado sobre sí mismo. Un ideal en un anillo graduado es homogéneo si y sólo si es un submódulo graduado. El aniquilador de un módulo graduado es un ideal homogéneo.

Ejemplo : Dado un ideal I en un anillo conmutativo R y un módulo R M , la suma directa es un módulo graduado sobre el anillo graduado asociado . ${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$ ${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$

Un morfismo entre módulos calificados, llamado morfismo graduado , es un morfismo de módulos subyacentes que respeta la calificación; es decir, . Un submódulo calificado es un submódulo que es un módulo calificado por derecho propio y tal que la inclusión en la teoría de conjuntos es un morfismo de módulos calificados. Explícitamente, un módulo calificado N es un submódulo calificado de M si y solo si es un submódulo de M y satisface . El núcleo y la imagen de un morfismo de módulos graduados son submódulos graduados. ${\displaystyle f:N\to M}$ ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$

Observación: Dar un morfismo graduado de un anillo graduado a otro anillo graduado con la imagen en el centro es lo mismo que darle la estructura de un álgebra graduada a este último anillo.

Dado un módulo graduado , el giro de es un módulo graduado definido por (cf. la gavilla giratoria de Serre en geometría algebraica ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$

Sean M y N módulos calificados. Si es un morfismo de módulos, entonces se dice que f tiene grado d si . Una derivada exterior de formas diferenciales en geometría diferencial es un ejemplo de tal morfismo que tiene grado 1. ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$

Invariantes de módulos calificados

Dado un módulo graduado M sobre un anillo graduado conmutativo R , se puede asociar la serie de potencias formal : ${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

(suponiendo que sean finitos). Se llama serie de Hilbert-Poincaré de M . ${\displaystyle \ell (M_{n})}$

Se dice que un módulo graduado se genera de forma finita si el módulo subyacente se genera de forma finita . Los generadores pueden considerarse homogéneos (reemplazando los generadores por sus partes homogéneas).

Supongamos que R es un anillo polinómico , k un campo y M un módulo graduado finitamente generado sobre él. Entonces la función se llama función de Hilbert de M. La función coincide con el polinomio de valores enteros para n grande llamado polinomio de Hilbert de M. ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$

álgebra graduada

Un álgebra A sobre un anillo R es un álgebra graduada si se clasifica como un anillo.

En el caso habitual en el que el anillo R no está calificado (en particular si R es un campo), se le asigna la calificación trivial (cada elemento de R es de grado 0). Por tanto, las piezas clasificadas son módulos R. ${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

En el caso en que el anillo R también sea un anillo graduado, entonces se requiere que

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

En otras palabras, requerimos que A sea un módulo izquierdo graduado sobre R.

Los ejemplos de álgebras graduadas son comunes en matemáticas:

• Anillos polinomiales . Los elementos homogéneos de grado n son exactamente los polinomios homogéneos de grado n .
• El álgebra tensorial de un espacio vectorial V. Los elementos homogéneos de grado n son los tensores de orden n , . ${\displaystyle T^{\bullet }V}$ ${\displaystyle T^{n}V}$
• El álgebra exterior y el álgebra simétrica también son álgebras graduadas. ${\displaystyle \textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$ ${\displaystyle S^{\bullet }V}$
• El anillo de cohomología en cualquier teoría de cohomología también se clasifica, siendo la suma directa de los grupos de cohomología . ${\displaystyle H^{\bullet }}$ ${\displaystyle H^{n}}$

Las álgebras graduadas se utilizan mucho en álgebra conmutativa y geometría algebraica , álgebra homológica y topología algebraica . Un ejemplo es la estrecha relación entre polinomios homogéneos y variedades proyectivas (cf. Anillo de coordenadas homogéneo ).

Anillos y álgebras graduados en G

Las definiciones anteriores se han generalizado a anillos clasificados utilizando cualquier monoide G como conjunto de índices. Un anillo R de calificación G es un anillo con una descomposición de suma directa

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

tal que

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

Se dice que los elementos de R que se encuentran dentro para algunos son homogéneos de grado i . ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle i\in G}$

La noción previamente definida de "anillo graduado" ahora se convierte en lo mismo que un anillo graduado, donde es el monoide de los números naturales bajo suma. Las definiciones de módulos graduados y álgebras también se pueden ampliar de esta manera reemplazando el conjunto de indexación con cualquier monoide G. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Observaciones:

• Si no requerimos que el anillo tenga un elemento de identidad, los semigrupos pueden reemplazar a los monoides.

Ejemplos:

• Un grupo clasifica naturalmente el anillo de grupo correspondiente ; De manera similar, los anillos monoides se clasifican según el monoide correspondiente.
• Una superálgebra (asociativa) es otro término para un álgebra graduada. Los ejemplos incluyen las álgebras de Clifford . Aquí los elementos homogéneos son de grado 0 (par) o 1 (impar). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Anticonmutatividad

Algunos anillos graduados (o álgebras) están dotados de una estructura anticonmutativa . Esta noción requiere un homomorfismo del monoide de la gradación en el monoide aditivo de , el campo con dos elementos. Específicamente, un monoide con signo consta de un par donde es un monoide y es un homomorfismo de monoides aditivos. Un anillo graduado anticonmutativo es un anillo A graduado con respecto a tal que: ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (\Gamma ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \varepsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\varepsilon (\deg y)}yx,}$

para todos los elementos homogéneos x e y .

Ejemplos

• Un álgebra exterior es un ejemplo de álgebra anticonmutativa, graduada con respecto a la estructura donde está el mapa del cociente. ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• Un álgebra supercommutativa (a veces llamada anillo asociativo conmutativo sesgado ) es lo mismo que un álgebra graduada anticommutativa, donde está el mapa de identidad de la estructura aditiva de . ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

monoide graduado

Intuitivamente, un monoide graduado es el subconjunto de un anillo graduado, generado por 's, sin utilizar la parte aditiva. Es decir, el conjunto de elementos del monoide graduado es . ${\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$

Formalmente, un monoide graduado ^[1] es un monoide , con una función de gradación tal que . Tenga en cuenta que la gradación de es necesariamente 0. Algunos autores solicitan además que cuando m no sea la identidad. ${\displaystyle (M,\cdot )}$ ${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$ ${\displaystyle 1_{M}}$ ${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$

Suponiendo que las gradaciones de los elementos no idénticos son distintas de cero, el número de elementos de gradación n es como máximo donde g es la cardinalidad de un conjunto generador G del monoide. Por lo tanto el número de elementos de gradación n o menos es como máximo (para ) o sino. De hecho, cada uno de estos elementos es el producto de como máximo n elementos de G , y sólo existen esos productos. De manera similar, el elemento de identidad no puede escribirse como el producto de dos elementos que no son de identidad. Es decir, no existe ningún divisor de unidad en dicho monoide graduado. ${\displaystyle g^{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$ ${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$

Serie de potencias indexadas por un monoide graduado

Esta noción permite ampliar la noción de anillo en serie de potencias . En lugar de que la familia de indexación sea , la familia de indexación podría ser cualquier monoide graduado, suponiendo que el número de elementos de grado n es finito, para cada número entero n . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Más formalmente, seamos un semianillo arbitrario y un monoide graduado. Luego denota el semianillo de series de potencias con coeficientes en K indexados por R. Sus elementos son funciones de R a K. La suma de dos elementos se define puntualmente, es la función que envía a y el producto es la función que envía a la suma infinita . Esta suma está correctamente definida (es decir, finita) porque, para cada m , sólo hay un número finito de pares ( p , q ) tales que pq = m . ${\displaystyle (K,+_{K},\times _{K})}$ ${\displaystyle (R,\cdot ,\phi )}$ ${\displaystyle K\langle \langle R\rangle \rangle }$ ${\displaystyle s,s'\in K\langle \langle R\rangle \rangle }$ ${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle s(m)+_{K}s'(m)}$ ${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle \sum _{p,q\in R \atop p\cdot q=m}s(p)\times _{K}s'(q)}$

Ejemplo

En la teoría del lenguaje formal , dado un alfabeto A , el monoide libre de las palabras sobre A puede considerarse como un monoide graduado, donde la gradación de una palabra es su longitud.

Ver también

• Anillo graduado asociado
• Álgebra diferencial graduada
• Álgebra filtrada , una generalización
• Calificado (matemáticas)
• categoría calificada
• Espacio vectorial graduado
• Álgebra tensorial
• Módulo de calificación diferencial

Referencias

1. Sakarovich, Jacques (2009). "Parte II: El poder del álgebra". Elementos de la teoría de los autómatas . Traducido por Thomas, Rubén. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 384.ISBN​ 978-0-521-84425-3. Zbl  1188.68177.

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, señor  1878556.
• Bourbaki, N. (1974). "Capítulos 1–3, 3 §3". Álgebra I. ISBN 978-3-540-64243-5.
• Steenbrink, J. (1977). "Forma de intersección para singularidades cuasi homogéneas" (PDF) . Composición Matemática . 34 (2): 211–223 Véase pág. 211. ISSN  0010-437X.

Matsumura, H. (1989). "Teoría de las 5 dimensiones §S3 Anillos graduados, la función de Hilbert y la función de Samuel". Teoría del anillo conmutativo. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 8. Traducido por Reid, M. (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-71712-1.