Categoría calificada

Si es una categoría , entonces una categoría graduada es una categoría junto con un funtor . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$

Los monoides y los grupos pueden considerarse categorías con un único objeto . Por lo tanto, una categoría con grado monoide o con grado grupal es aquella en la que a cada morfismo se le añade un elemento de un monoide (o grupo) dado, su grado. Esto debe ser compatible con la composición , en el sentido de que las composiciones tienen el grado del producto.

Definición

Existen varias definiciones diferentes de categoría graduada, hasta la más abstracta que se ha dado anteriormente. Una definición más concreta de una categoría abeliana graduada es la siguiente: ^[1]

Sea una categoría abeliana y un monoide . Sea un conjunto de funtores de a sí mismo. Si ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{S_{g}:g\in \mathbb {G} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• ${\displaystyle S_{1}}$es el funtor identidad en , ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• ${\displaystyle S_{g}S_{h}=S_{gh}}$Para todos y ${\displaystyle g,h\in \mathbb {G} }$
• ${\displaystyle S_{g}}$es un functor completo y fiel para cada ${\displaystyle g\in \mathbb {G} }$

Decimos que es una categoría -graduada. ${\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$

Véase también

• Categoría con calificación diferencial
• Calificado (matemáticas)
• Álgebra graduada
• Categoría de rebanadas

Referencias

1. Zhang, James J. (1 de marzo de 1996). "Álgebras graduadas retorcidas y equivalencias de categorías graduadas" (PDF) . Actas de la London Mathematical Society . s3-72 (2): 281–311. doi :10.1112/plms/s3-72.2.281. hdl : 2027.42/135651 . MR  1367080.