En el área del álgebra abstracta conocida como teoría de grupos , el grupo monstruo M (también conocido como el monstruo de Fischer-Griess o el gigante amistoso ) es el grupo simple esporádico más grande , con orden
Los grupos finitos simples han sido completamente clasificados . Cada uno de estos grupos pertenece a una de las 18 familias infinitas numerables o es uno de los 26 grupos esporádicos que no siguen un patrón sistemático de este tipo. El grupo monstruo contiene 20 grupos esporádicos (incluido él mismo) como subcocientes . Robert Griess , quien demostró la existencia del monstruo en 1982, ha llamado a esos 20 grupos la familia feliz y a las seis excepciones restantes parias .
Es difícil dar una buena definición constructiva del monstruo debido a su complejidad. Martin Gardner escribió un relato popular sobre el grupo de monstruos en su columna Mathematical Games de junio de 1980 en Scientific American . [1]
El monstruo fue predicho por Bernd Fischer (inédito, alrededor de 1973) y Robert Griess [2] como un grupo simple que contenía una doble cubierta del grupo del monstruo bebé de Fischer como centralizador de una involución . En pocos meses, Griess encontró el orden de M utilizando la fórmula de orden de Thompson , y Fischer, Conway , Norton y Thompson descubrieron otros grupos como subcocientes, incluidos muchos de los grupos esporádicos conocidos y dos nuevos: el grupo de Thompson y el grupo de Harada-Norton . La tabla de caracteres del monstruo, una matriz de 194 por 194, fue calculada en 1979 por Fischer y Donald Livingstone utilizando programas de computadora escritos por Michael Thorne. No estaba claro en la década de 1970 si el monstruo realmente existía. Griess [3] construyó M como el grupo de automorfismos del álgebra de Griess , un álgebra no asociativa conmutativa de 196.884 dimensiones sobre los números reales; anunció por primera vez su construcción en Ann Arbor el 14 de enero de 1980. En su artículo de 1982, se refirió al monstruo como el Gigante Amistoso, pero este nombre no ha sido adoptado generalmente. John Conway [4] y Jacques Tits [5] [6] posteriormente simplificaron esta construcción.
La construcción de Griess demostró que el monstruo existe. Thompson [7] demostró que su unicidad (como un grupo simple que satisface ciertas condiciones provenientes de la clasificación de grupos simples finitos) se seguiría de la existencia de una representación fiel de 196.883 dimensiones. Norton [8] anunció una prueba de la existencia de tal representación , aunque nunca publicó los detalles. Griess, Meierfrankenfeld y Segev dieron la primera prueba completa publicada de la unicidad del monstruo (más precisamente, demostraron que un grupo con los mismos centralizadores de involuciones que el monstruo es isomorfo al monstruo). [9]
El monstruo fue la culminación del desarrollo de grupos simples esporádicos y puede construirse a partir de dos de tres subcocientes: el grupo de Fischer Fi 24 , el monstruo bebé y el grupo de Conway Co 1 .
El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismos externos del monstruo son ambos triviales .
El grado mínimo de una representación compleja fiel es 47 × 59 × 71 = 196.883, por lo tanto es el producto de los tres divisores primos más grandes del orden de M. La representación lineal fiel más pequeña sobre cualquier cuerpo tiene dimensión 196.882 sobre el cuerpo con dos elementos, solo uno menos que la dimensión de la representación compleja fiel más pequeña.
La representación de permutación fiel más pequeña del monstruo está en
agujas.
El monstruo puede realizarse como un grupo de Galois sobre los números racionales , [10] y como un grupo de Hurwitz . [11]
El monstruo es inusual entre los grupos simples en el sentido de que no se conoce una forma sencilla de representar sus elementos. Esto no se debe tanto a su tamaño como a la ausencia de representaciones "pequeñas". Por ejemplo, los grupos simples A 100 y SL 20 (2) son mucho más grandes pero fáciles de calcular ya que tienen representaciones de permutación o lineales "pequeñas". Los grupos alternantes , como A 100 , tienen representaciones de permutación que son "pequeñas" en comparación con el tamaño del grupo, y todos los grupos simples finitos de tipo Lie , como SL 20 (2), tienen representaciones lineales que son "pequeñas" en comparación con el tamaño del grupo. Todos los grupos esporádicos distintos del monstruo también tienen representaciones lineales lo suficientemente pequeñas como para que sea fácil trabajar con ellos en una computadora (el siguiente caso más difícil después del monstruo es el monstruo bebé, con una representación de dimensión 4370).
Martin Seysen ha implementado un paquete rápido de Python llamado mmgroup, que afirma ser la primera implementación del grupo monstruo donde se pueden realizar operaciones arbitrarias de manera efectiva. La documentación indica que la multiplicación de elementos del grupo toma menos de 40 milisegundos en una PC moderna típica, lo que es cinco órdenes de magnitud más rápido que lo estimado por Robert A. Wilson en 2013. [12] [13] [14] [15] El paquete de software mmgroup se ha utilizado para encontrar dos nuevos subgrupos máximos del grupo monstruo. [16]
Anteriormente, Robert A. Wilson había encontrado explícitamente (con la ayuda de una computadora) dos matrices invertibles de 196.882 por 196.882 (con elementos en el campo de orden 2 ) que juntas generan el grupo monstruo por multiplicación de matrices; esto es una dimensión menor que la representación de 196.883 dimensiones en característica 0. Realizar cálculos con estas matrices era posible pero es demasiado costoso en términos de tiempo y espacio de almacenamiento para ser útil, ya que cada una de estas matrices ocupa más de cuatro gigabytes y medio. [17]
Wilson afirma que la mejor descripción del monstruo es decir: "Es el grupo de automorfismos del álgebra de vértices del monstruo ". Sin embargo, esto no es de mucha ayuda, porque nadie ha encontrado una "construcción realmente simple y natural del álgebra de vértices del monstruo". [18]
Wilson y sus colaboradores encontraron un método para realizar cálculos con el monstruo que era considerablemente más rápido, aunque ahora reemplazado por el trabajo de Seysen mencionado anteriormente. Sea V un espacio vectorial de 196.882 dimensiones sobre el campo con 2 elementos. Se selecciona un subgrupo grande H (preferiblemente un subgrupo máximo) del Monstruo en el que es fácil realizar cálculos. El subgrupo H elegido es 3 1+12 .2.Suz.2, donde Suz es el grupo de Suzuki . Los elementos del monstruo se almacenan como palabras en los elementos de H y un generador adicional T. Es razonablemente rápido calcular la acción de una de estas palabras sobre un vector en V. Usando esta acción, es posible realizar cálculos (como el orden de un elemento del monstruo). Wilson ha exhibido vectores u y v cuyo estabilizador conjunto es el grupo trivial. Así (por ejemplo) se puede calcular el orden de un elemento g del monstruo hallando el i > 0 más pequeño tal que g i u = u y g i v = v . Esta y otras construcciones similares (con características diferentes ) se utilizaron para hallar algunos de los subgrupos maximales no locales del grupo del monstruo.
El monstruo contiene 20 de los 26 grupos esporádicos como subcocientes. Este diagrama, basado en uno del libro Symmetry and the Monster de Mark Ronan , muestra cómo encajan entre sí. [19] Las líneas significan la inclusión, como subcociente, del grupo inferior por el superior. Los símbolos en círculos denotan grupos que no están involucrados en grupos esporádicos más grandes. Para mayor claridad, no se muestran las inclusiones redundantes.
El monstruo tiene 46 clases de conjugación de subgrupos maximales . [16] Se encuentran grupos simples no abelianos de unos 60 tipos de isomorfismo como subgrupos o como cocientes de subgrupos. El grupo alternante más grande representado es A 12 .
Las 46 clases de subgrupos maximales del monstruo se dan en la siguiente tabla. Trabajos previos no publicados de Wilson et. al. habían pretendido descartar cualquier subgrupo casi simple con zócalos simples no abelianos de la forma U 3 (4), L 2 (8) y L 2 (16). [20] [21] [22] Sin embargo, Dietrich et al. contradijeron esto último, encontrando un nuevo subgrupo maximal de la forma U 3 (4). Los mismos autores habían encontrado previamente un nuevo subgrupo maximal de la forma L 2 (13) y confirmaron que no hay subgrupos maximales con zócalo L 2 (8) o L 2 (16), completando así la clasificación en la literatura. [16]
Téngase en cuenta que a menudo se ha descubierto que las tablas de subgrupos máximos contienen errores sutiles y, en particular, al menos dos de los subgrupos de esta tabla se omitieron incorrectamente de algunas listas anteriores.
También hay conexiones entre el monstruo y los diagramas de Dynkin extendidos específicamente entre los nodos del diagrama y ciertas clases de conjugación en el monstruo, conocidas como la observación E 8 de McKay . [26] [27] [28] Esto luego se extiende a una relación entre los diagramas extendidos y los grupos 3.Fi 24 ′ , 2.B y M, donde estos son (extensiones centrales 3/2/1-fold) del grupo de Fischer , grupo del monstruo bebé y monstruo. Estos son los grupos esporádicos asociados con centralizadores de elementos de tipo 1A, 2A y 3A en el monstruo, y el orden de la extensión corresponde a las simetrías del diagrama. Véase la clasificación ADE: trinidades para otras conexiones (del tipo de correspondencia McKay ), incluyendo (para el monstruo) con el grupo simple bastante pequeño PSL (2,11) y con los 120 planos tritangentes de una curva séxtica canónica de género 4 conocida como curva de Bring .
El grupo de los monstruos es uno de los dos componentes principales de la monstruosa conjetura de la luz de la luna de Conway y Norton, [29] que relaciona las matemáticas discretas y no discretas y que fue finalmente demostrada por Richard Borcherds en 1992.
En este contexto, el grupo de monstruos es visible como el grupo de automorfismos del módulo de monstruos , un álgebra de operadores de vértices , un álgebra de dimensión infinita que contiene el álgebra de Griess, y actúa sobre el álgebra de Lie de monstruos , un álgebra de Kac-Moody generalizada .
Muchos matemáticos, incluido Conway, han visto al monstruo como un objeto hermoso y misterioso. [30] Conway dijo sobre el grupo de monstruos: "Nunca ha habido ningún tipo de explicación de por qué está allí, y obviamente no está allí solo por coincidencia. Tiene demasiadas propiedades intrigantes para que todo sea solo un accidente". [31] Simon P. Norton , un experto en las propiedades del grupo de monstruos, es citado diciendo: "Puedo explicar lo que es Monstrous Moonshine en una frase, es la voz de Dios". [32]
