En matemáticas , las funciones modulares de Weber son una familia de tres funciones f , f 1 y f 2 , [nota 1] estudiadas por Heinrich Martin Weber .
Definición
Sea donde τ es un elemento del semiplano superior . Entonces las funciones de Weber son
Estas son también las definiciones del artículo de Duke "Fracciones continuas y funciones modulares" . [nota 2] La función es la función eta de Dedekind y debe interpretarse como . Las descripciones como cocientes implican inmediatamente
La transformación τ → –1/ τ fija f e intercambia f 1 y f 2 . Por lo tanto, el espacio vectorial complejo tridimensional con base f , f 1 y f 2 se ve afectado por el grupo SL 2 ( Z ).
Producto infinito alternativo
Alternativamente, sea el nombre ,
La forma del producto infinito ha cambiado ligeramente. Pero como los cocientes eta siguen siendo los mismos, siempre que el segundo utilice el nomo . La utilidad de la segunda forma es mostrar conexiones y notación consistente con las funciones G y g de Ramanujan y las funciones theta de Jacobi , que utilizan convencionalmente el nomo.
Relación con las funciones G y g de Ramanujan
Siguiendo empleando el nombre , defina las funciones G y g de Ramanujan como
Los cocientes eta hacen que su conexión con las dos primeras funciones de Weber sea inmediatamente evidente. En el nome, supongamos que:
Ramanujan encontró muchas relaciones entre y que implican relaciones similares entre y . Por ejemplo, su identidad,
conduce a
Para muchos valores de n , Ramanujan también tabuló para n impar y para n par . Esto automáticamente da muchas evaluaciones explícitas de y . Por ejemplo, utilizando , que son algunos de los discriminantes libres de cuadrados con número de clase 2,
y uno puede obtener fácilmente de estos, así como de los ejemplos más complicados que se encuentran en los Cuadernos de Ramanujan.
Relación con las funciones theta de Jacobi
El argumento de las funciones theta clásicas de Jacobi es tradicionalmente el nome
Dividiéndolos por , y también observando que , entonces son simplemente cuadrados de las funciones de Weber
con funciones theta con subíndices pares enumeradas a propósito primero. Utilizando la conocida identidad de Jacobi con subíndices pares en el lado izquierdo,
por lo tanto,
Relación con la función j
Las tres raíces de la ecuación cúbica
donde j ( τ ) es la función j y se expresan mediante . Además, dado que,
y utilizando las definiciones de las funciones de Weber en términos de las funciones theta de Jacobi, más el hecho de que , entonces
ya que y tienen las mismas fórmulas en términos de la función eta de Dedekind .
Véase también
Referencias
- Duke, William (2005), Fracciones continuas y funciones modulares (PDF) , Bull. Amer. Math. Soc. 42
- Weber, Heinrich Martin (1981) [1898], Lehrbuch der Algebra (en alemán), vol. 3 (3.ª ed.), Nueva York: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2971-4
- Yui, Noriko; Zagier, Don (1997), "Sobre los valores singulares de las funciones modulares de Weber", Mathematics of Computation , 66 (220): 1645–1662, doi : 10.1090/S0025-5718-97-00854-5 , MR 1415803
Notas
- ^ f , f 1 y f 2 no son funciones modulares (según la definición de Wikipedia), pero toda función modular es una función racional en f , f 1 y f 2 . Algunos autores utilizan una definición no equivalente de "funciones modulares".
- ^ https://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/bams4.pdf Fracciones continuas y funciones modulares , W. Duke, págs. 22-23