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En matemáticas , un número negativo es el opuesto (matemáticas) de un número real positivo . [1] Equivalentemente, un número negativo es un número real que es menor que cero . Los números negativos se utilizan a menudo para representar la magnitud de una pérdida o deficiencia. Una deuda que se debe puede considerarse un activo negativo. Si una cantidad, como la carga de un electrón, puede tener cualquiera de dos sentidos opuestos, entonces uno puede elegir distinguir entre esos sentidos, tal vez arbitrariamente, como positivo y negativo . Los números negativos se utilizan para describir valores en una escala que va por debajo de cero, como las escalas Celsius y Fahrenheit para la temperatura. Las leyes de la aritmética para números negativos aseguran que la idea de sentido común de un opuesto se refleje en la aritmética. Por ejemplo, − −3) = 3 porque el opuesto de un opuesto es el valor original.
Los números negativos suelen escribirse con un signo menos delante. Por ejemplo, −3 representa una cantidad negativa con una magnitud de tres y se pronuncia "menos tres" o "menos tres". Por el contrario, un número que es mayor que cero se llama positivo ; el cero suele considerarse ( pero no siempre ) ni positivo ni negativo . [2] La positividad de un número puede enfatizarse colocando un signo más delante de él, por ejemplo +3. En general, la negatividad o positividad de un número se conoce como su signo .
Todo número real distinto del cero es positivo o negativo. Los números enteros no negativos se denominan números naturales (es decir, 0, 1, 2, 3...), mientras que los números enteros positivos y negativos (junto con el cero) se denominan números enteros . (Algunas definiciones de los números naturales excluyen el cero).
En contabilidad , los importes adeudados a menudo se representan mediante números rojos o un número entre paréntesis, como notación alternativa para representar números negativos.
Los números negativos se utilizaron en los Nueve capítulos sobre el arte matemático , que en su forma actual data del período de la dinastía Han china (202 a. C. - 220 d. C.), pero bien puede contener material mucho más antiguo. [3] Liu Hui (c. siglo III) estableció reglas para sumar y restar números negativos. [4] En el siglo VII, matemáticos indios como Brahmagupta describían el uso de números negativos. Los matemáticos islámicos desarrollaron aún más las reglas de resta y multiplicación de números negativos y resolvieron problemas con coeficientes negativos . [5] Antes del concepto de números negativos, matemáticos como Diofanto consideraban que las soluciones negativas a los problemas eran "falsas" y las ecuaciones que requerían soluciones negativas se describían como absurdas. [6] Los matemáticos occidentales como Leibniz sostenían que los números negativos no eran válidos, pero aún los usaban en los cálculos. [7] [8]
La relación entre números negativos, números positivos y cero a menudo se expresa en forma de línea numérica :
Los números que aparecen más a la derecha en esta línea son mayores, mientras que los que aparecen más a la izquierda son menores. Por lo tanto, el cero aparece en el medio, con los números positivos a la derecha y los números negativos a la izquierda.
Tenga en cuenta que un número negativo con mayor magnitud se considera menor. Por ejemplo, aunque (positivo) 8 sea mayor que (positivo) 5 , escrito
Se considera que menos 8 es menor que menos 5 :
En el contexto de los números negativos, un número mayor que cero se denomina positivo . Por lo tanto, todo número real distinto de cero es positivo o negativo, mientras que el cero en sí no se considera que tenga signo. Los números positivos a veces se escriben con un signo más delante, por ejemplo, +3 denota un tres positivo.
Como el cero no es ni positivo ni negativo, a veces se utiliza el término no negativo para referirse a un número que es positivo o cero, mientras que no positivo se utiliza para referirse a un número que es negativo o cero. El cero es un número neutro.
Los números negativos pueden considerarse como el resultado de restar un número mayor a uno menor. Por ejemplo, menos tres es el resultado de restar tres a cero:
En general, la resta de un número mayor a uno menor da como resultado un resultado negativo, siendo la magnitud del resultado la diferencia entre los dos números. Por ejemplo,
ya que 8 − 5 = 3 .
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El signo menos "−" significa el operador tanto para la operación binaria (de dos operandos ) de resta (como en y − z ) como para la operación unaria (de un operando) de negación (como en − x , o dos veces en −(− x ) ). Un caso especial de negación unaria ocurre cuando opera sobre un número positivo, en cuyo caso el resultado es un número negativo (como en −5 ).
La ambigüedad del símbolo "−" no suele dar lugar a ambigüedades en las expresiones aritméticas, ya que el orden de las operaciones solo permite una interpretación u otra para cada "−". Sin embargo, puede dar lugar a confusión y resultar difícil para una persona comprender una expresión cuando los símbolos de los operadores aparecen adyacentes entre sí. Una solución puede ser poner entre paréntesis el unario "−" junto con su operando.
Por ejemplo, la expresión 7 + −5 puede ser más clara si se escribe 7 + (−5) (aunque formalmente significan exactamente lo mismo). La expresión de resta 7 – 5 es una expresión diferente que no representa las mismas operaciones, pero su resultado es el mismo.
A veces, en las escuelas primarias, un número puede tener como prefijo un signo menos o un signo más superíndice para distinguir explícitamente números negativos y positivos, como en [23].
La suma de dos números negativos es muy similar a la suma de dos números positivos. Por ejemplo,
La idea es que dos deudas puedan combinarse en una sola deuda de mayor magnitud.
Al sumar una mezcla de números positivos y negativos, se puede pensar que los números negativos son cantidades positivas que se restan. Por ejemplo:
En el primer ejemplo, un crédito de 8 se combina con una deuda de 3 , lo que da un crédito total de 5. Si el número negativo tiene mayor magnitud, entonces el resultado es negativo:
Aquí el crédito es menor que la deuda, por lo que el resultado neto es una deuda.
Como se discutió anteriormente, es posible que la resta de dos números no negativos produzca una respuesta negativa:
En general, la resta de un número positivo produce el mismo resultado que la suma de un número negativo de igual magnitud.
y
Por otra parte, restar un número negativo da el mismo resultado que sumar un número positivo de igual magnitud. (La idea es que perder una deuda es lo mismo que ganar un crédito).
y
Al multiplicar números, la magnitud del producto siempre es simplemente el producto de las dos magnitudes. El signo del producto se determina mediante las siguientes reglas:
De este modo
y
La razón detrás del primer ejemplo es simple: sumar tres −2 juntos da como resultado −6 :
El razonamiento detrás del segundo ejemplo es más complicado. La idea es que perder una deuda es lo mismo que ganar un crédito. En este caso, perder dos deudas de tres cada una es lo mismo que ganar un crédito de seis:
La convención de que un producto de dos números negativos es positivo también es necesaria para que la multiplicación siga la ley distributiva . En este caso, sabemos que
Como 2 × (−3) = −6 , el producto (−2) × (−3) debe ser igual a 6 .
Estas reglas conducen a otra regla (equivalente): el signo de cualquier producto a × b depende del signo de a, como sigue:
La justificación de por qué el producto de dos números negativos es un número positivo se puede observar en el análisis de números complejos .
Las reglas de los signos para la división son las mismas que para la multiplicación. Por ejemplo,
y
Si dividendo y divisor tienen el mismo signo el resultado es positivo, si tienen signos diferentes el resultado es negativo.
La versión negativa de un número positivo se denomina negación . Por ejemplo, −3 es la negación del número positivo 3. La suma de un número y su negación es igual a cero:
Es decir, la negación de un número positivo es el inverso aditivo del número.
Usando álgebra , podemos escribir este principio como una identidad algebraica :
Esta identidad es válida para cualquier número positivo x . Se puede hacer que sea válida para todos los números reales ampliando la definición de negación para incluir el cero y los números negativos. En concreto:
Por ejemplo, la negación de −3 es +3 . En general,
El valor absoluto de un número es el número no negativo con la misma magnitud. Por ejemplo, el valor absoluto de −3 y el valor absoluto de 3 son ambos iguales a 3 , y el valor absoluto de 0 es 0 .
De manera similar a los números racionales , podemos extender los números naturales N a los enteros Z definiendo los enteros como un par ordenado de números naturales ( a , b ). Podemos extender la suma y la multiplicación a estos pares con las siguientes reglas:
Definimos una relación de equivalencia ~ sobre estos pares con la siguiente regla:
Esta relación de equivalencia es compatible con la adición y multiplicación definidas anteriormente, y podemos definir Z como el conjunto cociente N ²/~, es decir, identificamos dos pares ( a , b ) y ( c , d ) si son equivalentes en el sentido anterior. Nótese que Z , equipado con estas operaciones de adición y multiplicación, es un anillo y, de hecho, es el ejemplo prototípico de un anillo.
También podemos definir un orden total en Z escribiendo
Esto conducirá a un cero aditivo de la forma ( a , a ), un inverso aditivo de ( a , b ) de la forma ( b , a ), una unidad multiplicativa de la forma ( a + 1, a ) y una definición de resta.
Esta construcción es un caso especial de la construcción de Grothendieck .
El inverso aditivo de un número es único, como lo demuestra la siguiente prueba. Como se mencionó anteriormente, el inverso aditivo de un número se define como un valor que, cuando se suma al número, da como resultado cero.
Sea x un número y sea y su inverso aditivo. Supongamos que y′ es otro inverso aditivo de x . Por definición,
Por lo tanto, x + y′ = x + y . Aplicando la ley de cancelación para la suma, se ve que y′ = y . Por lo tanto , y es igual a cualquier otro inverso aditivo de x . Es decir, y es el único inverso aditivo de x .
Durante mucho tiempo, la comprensión de los números negativos se vio retrasada por la imposibilidad de tener una cantidad de número negativo de un objeto físico, por ejemplo "menos tres manzanas", y las soluciones negativas a los problemas se consideraban "falsas".
En el Egipto helenístico , el matemático griego Diofanto en el siglo III d. C. se refirió a una ecuación que era equivalente a (que tiene una solución negativa) en Arithmetica , diciendo que la ecuación era absurda. [24] Por esta razón, los geómetras griegos pudieron resolver geométricamente todas las formas de la ecuación cuadrática que dan raíces positivas; mientras que no podían tener en cuenta las demás. [25]
Los números negativos aparecen por primera vez en la historia en los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático (九章算術, Jiǔ zhāng suàn-shù ), que en su forma actual data del período Han , pero bien puede contener material mucho más antiguo. [3] El matemático Liu Hui (c. siglo III) estableció reglas para la suma y resta de números negativos. El historiador Jean-Claude Martzloff teorizó que la importancia de la dualidad en la filosofía natural china hizo que fuera más fácil para los chinos aceptar la idea de los números negativos. [4] Los chinos pudieron resolver ecuaciones simultáneas que involucraban números negativos. Los Nueve Capítulos usaban varillas de conteo rojas para denotar coeficientes positivos y varillas negras para negativos. [4] [26] Este sistema es exactamente lo opuesto a la impresión contemporánea de números positivos y negativos en los campos de la banca, la contabilidad y el comercio, donde los números rojos denotan valores negativos y los números negros significan valores positivos. Liu Hui escribe:
Ahora bien, existen dos tipos opuestos de barras de conteo para las ganancias y las pérdidas, que se denominarán positivas y negativas. Las barras de conteo rojas son positivas y las negras son negativas. [4]
El antiguo manuscrito indio Bakhshali realizaba cálculos con números negativos, utilizando "+" como signo negativo. [27] La fecha del manuscrito es incierta. LV Gurjar lo data no más tarde del siglo IV, [28] Hoernle lo data entre los siglos III y IV, Ayyangar y Pingree lo datan en los siglos VIII o IX, [29] y George Gheverghese Joseph lo data alrededor del año 400 d. C. y no más tarde de principios del siglo VII, [30]
Durante el siglo VII d. C., en la India se utilizaban números negativos para representar deudas. El matemático indio Brahmagupta , en su Brahma-Sphuta-Siddhanta (escrito en torno al año 630 d. C.), analizó el uso de números negativos para producir una fórmula cuadrática de forma general similar a la que se utiliza en la actualidad. [24]
En el siglo IX, los matemáticos islámicos estaban familiarizados con los números negativos a partir de las obras de los matemáticos indios, pero el reconocimiento y uso de los números negativos durante este período siguió siendo tímido. [5] Al-Khwarizmi en su Al-jabr wa'l-muqabala (de donde deriva la palabra "álgebra") no utilizó números negativos ni coeficientes negativos. [5] Pero al cabo de cincuenta años, Abu Kamil ilustró las reglas de los signos para expandir la multiplicación , [31] y al-Karaji escribió en su al-Fakhrī que "las cantidades negativas deben contarse como términos". [5] En el siglo X, Abū al-Wafā' al-Būzjānī consideró las deudas como números negativos en Un libro sobre lo que es necesario de la ciencia de la aritmética para escribas y hombres de negocios . [31]
En el siglo XII, los sucesores de Al-Karaji enunciaron las reglas generales de los signos y las usaron para resolver divisiones polinómicas . [5] Como escribe Al-Samaw'al :
el producto de un número negativo —al-nāqiṣ (pérdida)— por un número positivo —al -zāʾid (ganancia)— es negativo, y por un número negativo es positivo. Si restamos un número negativo de un número negativo superior, el resto es su diferencia negativa. La diferencia sigue siendo positiva si restamos un número negativo de un número negativo inferior. Si restamos un número negativo de un número positivo, el resto es su suma positiva. Si restamos un número positivo de una potencia vacía ( martaba khāliyya ), el resto es el mismo negativo, y si restamos un número negativo de una potencia vacía, el resto es el mismo número positivo. [5]
En el siglo XII, en la India, Bhaskara II propuso raíces negativas para ecuaciones cuadráticas, pero las rechazó porque no eran adecuadas para el contexto del problema. Afirmó que "en este caso no se debe tomar un valor negativo, porque es inadecuado; la gente no aprueba las raíces negativas".
Fibonacci permitió soluciones negativas en problemas financieros cuando podían interpretarse como débitos (capítulo 13 del Liber Abaci , 1202) y más tarde como pérdidas (en Flos , 1225).
En el siglo XV, el francés Nicolas Chuquet utilizó números negativos como exponentes [32] pero se refirió a ellos como "números absurdos". [33]
Michael Stifel abordó los números negativos en su Arithmetica Integra de 1544 , donde también los llamó numeri absurdi (números absurdos).
En 1545, Gerolamo Cardano , en su Ars Magna , proporcionó el primer tratamiento satisfactorio de los números negativos en Europa. [24] No permitió los números negativos en su consideración de las ecuaciones cúbicas , por lo que tuvo que tratar, por ejemplo, por separado de (con en ambos casos). En total, Cardano se vio impulsado al estudio de trece tipos de ecuaciones cúbicas, cada una con todos los términos negativos movidos al otro lado del signo = para hacerlos positivos. (Cardano también se ocupó de los números complejos , pero comprensiblemente le gustaron aún menos).
Liu es explícito al respecto; en el punto donde losNueve
Capítulos
dan una 'Regla de Signos' detallada y útil
El equipo de Mark McCall ha caído posteriormente del tercer al último puesto de la Premiership con −22 puntos.
Pero en el tercer minuto del tiempo añadido, el delantero convirtió un centro de Luke Murphy desde ocho yardas para conseguir la tercera victoria consecutiva en la League One para el equipo de Hill, que comenzó la campaña con -12 puntos después de declararse en quiebra en mayo.
Tiempo delta: término utilizado para describir la diferencia de tiempo entre dos vueltas diferentes o dos coches diferentes. Por ejemplo, suele haber un delta negativo entre el mejor tiempo de vuelta de práctica de un piloto y su mejor tiempo de vuelta de clasificación porque utiliza una carga baja de combustible y neumáticos nuevos.
La asistencia del viento normalmente se expresa en metros por segundo, ya sea positiva o negativa. Una medida positiva significa que el viento está ayudando a los corredores y una medida negativa significa que los corredores tuvieron que trabajar contra el viento. Así, por ejemplo, vientos de −2,2 m/s y +1,9 m/s son legales, mientras que un viento de +2,1 m/s es demasiada asistencia y se considera ilegal. Los términos "viento de cola" y "viento en contra" también se utilizan con frecuencia. Un viento de cola empuja a los corredores hacia adelante (+) mientras que un viento en contra empuja a los corredores hacia atrás (−)
