stringtranslate.com

ley del pensamiento

Las leyes del pensamiento son reglas axiomáticas fundamentales en las que a menudo se considera que se basa el propio discurso racional. La formulación y clarificación de tales reglas tienen una larga tradición en la historia de la filosofía y la lógica . Generalmente se toman como leyes que guían y subyacen al pensamiento, los pensamientos , las expresiones, las discusiones, etc. de todos. Sin embargo, este tipo de ideas clásicas suelen ser cuestionadas o rechazadas en desarrollos más recientes, como la lógica intuicionista , el dialeteísmo y la lógica difusa .

Según el Diccionario de Filosofía de Cambridge de 1999 , [1] las leyes del pensamiento son leyes por las cuales o de acuerdo con las cuales procede el pensamiento válido, o que justifican una inferencia válida, o a las cuales toda deducción válida es reducible. Las leyes del pensamiento son reglas que se aplican sin excepción a cualquier tema de pensamiento, etc.; a veces se dice que son objeto de la lógica [ se necesita más explicación ] . El término, rara vez utilizado exactamente en el mismo sentido por diferentes autores, se ha asociado durante mucho tiempo con tres expresiones igualmente ambiguas: la ley de identidad (DI), la ley de contradicción (o no contradicción; NC) y la ley de excluidos. medio (ME). A veces, estas tres expresiones se toman como proposiciones de ontología formal que tienen el tema más amplio posible, proposiciones que se aplican a entidades como tales: (ID), todo es (es decir, es idéntico a) sí mismo; (NC) nada que tenga una determinada cualidad tiene también el negativo de esa cualidad (por ejemplo, ningún número par es no par); (EM) cada cosa tiene una cualidad determinada o tiene el negativo de esa cualidad (por ejemplo, cada número es par o no par). Igualmente común en obras más antiguas es el uso de estas expresiones para principios de metalógica sobre proposiciones: (ID) cada proposición se implica a sí misma; (NC) ninguna proposición es a la vez verdadera y falsa; (EM) toda proposición es verdadera o falsa.

Desde mediados hasta finales del siglo XIX, estas expresiones se han utilizado para denotar proposiciones del álgebra booleana sobre clases: (ID) cada clase se incluye a sí misma; (NC) cada clase es tal que su intersección ("producto") con su propio complemento es la clase nula; (EM) cada clase es tal que su unión ("suma") con su propio complemento es la clase universal. Más recientemente, las dos últimas de las tres expresiones han sido utilizadas en conexión con la lógica proposicional clásica y con la llamada lógica proposicional protética o cuantificada ; en ambos casos la ley de no contradicción implica la negación de la conjunción ("y") de algo con su propia negación, ¬(A∧¬A), y la ley del tercero excluido implica la disyunción ("o") de algo con su propia negación, A∨¬A. En el caso de la lógica proposicional, el "algo" es una letra esquemática que sirve como marcador de posición, mientras que en el caso de la lógica protética el "algo" es una variable genuina. Las expresiones "ley de no contradicción" y "ley del tercero excluido" también se utilizan para los principios semánticos de la teoría de modelos relacionados con oraciones e interpretaciones: (NC) bajo ninguna interpretación una oración dada es a la vez verdadera y falsa, (EM) bajo cualquier interpretación interpretación, una oración dada es verdadera o falsa.

Todas las expresiones mencionadas anteriormente se han utilizado de muchas otras maneras. Muchas otras proposiciones también han sido mencionadas como leyes del pensamiento, incluido el dictum de omni et nullo atribuido a Aristóteles , la sustitutividad de idénticos (o iguales) atribuida a Euclides , la llamada identidad de indiscernibles atribuida a Gottfried Wilhelm Leibniz , y otras "verdades lógicas".

La expresión "leyes del pensamiento" ganó mayor importancia cuando Boole (1815-1864) la utilizó para denotar teoremas de su "álgebra de la lógica"; de hecho, tituló su segundo libro de lógica Una investigación de las leyes del pensamiento en las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades (1854). Los lógicos modernos, en desacuerdo casi unánime con Boole, consideran que esta expresión es un nombre inapropiado; Ninguna de las proposiciones anteriores clasificadas bajo "leyes del pensamiento" se refiere explícitamente al pensamiento per se, un fenómeno mental estudiado por la psicología , ni implican una referencia explícita a un pensador o conocedor como sería el caso en la pragmática o la epistemología . La distinción entre psicología (como estudio de los fenómenos mentales) y lógica (como estudio de la inferencia válida) está ampliamente aceptada.

Las tres leyes tradicionales

Historia

Hamilton ofrece una historia de las tres leyes tradicionales que comienza con Platón , continúa con Aristóteles y termina con los escolares de la Edad Media ; además ofrece una cuarta ley (ver entrada más abajo, bajo Hamilton ):

" Los principios de Contradicción y Medio Excluido se remontan a Platón : Los principios de Contradicción y Medio Excluido se remontan a Platón, quien los enunció y aplicó con frecuencia; aunque no fue hasta mucho después que de ellos obtuvieron una denominación distintiva. Para tomar primero el principio de contradicción, Platón emplea con frecuencia esta ley, pero los pasajes más notables se encuentran en el Phœdo, en el Sofista y en los libros cuarto y séptimo de la República [Hamilton LECT. V. LÓGICA 62]
Ley del Medio Excluido : La ley del Medio Excluido entre dos contradictorios se remonta, como he dicho, también a Platón, aunque hay que admitir que el Segundo Alcibíades, el diálogo en el que se expresa más claramente, es espurio. También se encuentra en los fragmentos de Pseudo-Archytas, que se encuentran en Stobæus . [Hamilton LECT. V. LÓGICA. 65]
Hamilton observa además que "Aristóteles lo enuncia explícita y enfáticamente en muchos pasajes tanto de su Metafísica (l. iii. (iv.) c.7.) como de sus Análisis, tanto Prior (lic 2) como Posterior (1. ic 4). En el primero de ellos, dice: "Es imposible que exista algún medio entre opuestos contradictorios, pero es necesario afirmar o negar todo de todo". 65]
" Ley de Identidad. [Hamilton también llama a esto "El principio de toda afirmación y definición lógica"] Antonius Andreas : La ley de Identidad, dije, no fue explicada como un principio coordinado hasta un período comparativamente reciente. El primer autor en quien He encontrado esto hecho, es Antonio Andreas , un estudioso de Escoto, que floreció a finales del siglo XIII y principios del XIV, El escolástico, en el cuarto libro de su Comentario a la Metafísica de Aristóteles, un comentario que está lleno de. las opiniones más ingeniosas y originales, no sólo afirma a la ley de identidad una dignidad coordinada con la ley de contradicción, sino que, contra Aristóteles, sostiene que el principio de identidad, y no el principio de contradicción, es el primero en absoluto. La fórmula en la que Andreas lo expresó fue Ens est ens . Posteriormente a este autor, la cuestión relativa a la prioridad relativa de las dos leyes de Identidad y de Contradicción se volvió muy agitada en las escuelas; aunque también se encontraron algunos que afirmaron a la ley del Medio Excluido este rango supremo." [De Hamilton LECT. V. LOGIC. 65–66]

Tres leyes tradicionales: identidad, no contradicción, tercero excluido

A continuación se exponen las tres "leyes" tradicionales en palabras de Bertrand Russell (1912):

La ley de la identidad.

La ley de la identidad : "Todo lo que es, es". [2]

Para todo a: a = a.

Respecto a esta ley, Aristóteles escribió:

En primer lugar, al menos es obviamente cierto que la palabra "ser" o "no ser" tiene un significado definido, de modo que no todo será "así y no así". Nuevamente, si "hombre" tiene un significado, sea "animal de dos patas"; por tener un significado entiendo esto:—si "hombre" significa "X", entonces si A es un hombre "X" será lo que "ser hombre" significa para él. (No hay diferencia incluso si uno dijera que una palabra tiene varios significados, siempre que sean limitados en número; porque a cada definición se le podría asignar una palabra diferente. Por ejemplo, podríamos decir que "hombre" no tiene uno es decir, varias, una de las cuales tendría una definición, a saber, "animal de dos patas", mientras que también podría haber varias otras definiciones si estuvieran limitadas en número porque se pudiera asignar un nombre peculiar a cada una de las definiciones. Sin embargo, si no se limitaran sino que se dijera que la palabra tiene un número infinito de significados, obviamente sería imposible razonar porque no tener un significado es no tener significado, y si las palabras no tienen significado nuestro razonamiento con; unos con otros, y aun con nosotros mismos, ha sido aniquilado; porque es imposible pensar en algo si no pensamos en una cosa, pero si esto es posible, se le podría asignar un nombre).

—  Aristóteles, Metafísica , Libro IV, Parte 4 (traducido por WD Ross) [3]

Más de dos milenios después, George Boole aludió al mismo principio que Aristóteles cuando Boole hizo la siguiente observación con respecto a la naturaleza del lenguaje y los principios que deben ser inherentes naturalmente a él:

De hecho, existen ciertos principios generales fundados en la naturaleza misma del lenguaje, por los cuales se determina el uso de símbolos, que no son más que elementos del lenguaje científico. Hasta cierto punto estos elementos son arbitrarios. Su interpretación es puramente convencional: se nos permite emplearlos en el sentido que queramos. Pero este permiso está limitado por dos condiciones indispensables: primero, que, una vez establecido convencionalmente, nunca nos apartemos del mismo proceso de razonamiento; en segundo lugar, que las leyes mediante las cuales se lleva a cabo el proceso se basen exclusivamente en el sentido o significado fijo antes mencionado de los símbolos empleados.

—  George Boole, Una investigación de las leyes del pensamiento

La ley de la no contradicción.

La ley de no contradicción (alternativamente, la 'ley de contradicción' [4] ): 'Nada puede ser y no ser al mismo tiempo'. [2]

En otras palabras: “dos o más afirmaciones contradictorias no pueden ser ambas verdaderas en el mismo sentido al mismo tiempo”: ¬ (A ∧ ¬A).

En palabras de Aristóteles, que “no se puede decir de algo que es y que no es en el mismo sentido y al mismo tiempo”. Como ejemplo de esta ley, escribió:

Es imposible, entonces, que "ser hombre" signifique precisamente no ser hombre, si "hombre" no sólo significa algo sobre un tema sino que también tiene un significado... Y no será posible ser y no ser. ser lo mismo, excepto en virtud de la ambigüedad, como si alguien a quien llamamos "hombre" y otros llamaran "no-hombre"; pero la cuestión no es si una misma cosa puede ser al mismo tiempo y no ser un hombre de nombre, sino si puede serlo de hecho.

—  Aristóteles, Metafísica, Libro IV, Parte 4 (traducido por WD Ross) [3]

La ley del tercero excluido

La ley del tercero excluido: "Todo debe ser o no ser". [2]

De acuerdo con la ley del tercero excluido o del medio excluido, para toda proposición, ya sea su forma positiva o negativa es verdadera: A ∨ ¬A.

Respecto a la ley del tercero excluido , Aristóteles escribió:

Pero, por otra parte, no puede haber término medio entre contradictorios, sino que de un sujeto debemos afirmar o negar cualquier predicado. Esto queda claro, en primer lugar, si definimos qué es lo verdadero y lo falso. Decir de lo que es que no es, o de lo que no es que es, es falso, mientras que decir de lo que es que es, y de lo que no es que no es, es verdadero; de modo que el que dice de algo que es o que no es, dirá o es verdadero o es falso.

—  Aristóteles, Metafísica, Libro IV, Parte 7 (traducido por WD Ross) [3]

Razón fundamental

Como indican las citas de Hamilton anteriores, en particular la entrada de la "ley de identidad", la justificación y la expresión de las "leyes del pensamiento" han sido un terreno fértil para el debate filosófico desde Platón. Hoy continúa el debate sobre cómo "llegamos a conocer" el mundo de las cosas y nuestros pensamientos; para ver ejemplos de fundamentos, consulte las entradas a continuación.

Platón

En uno de los diálogos socráticos de Platón , Sócrates describió tres principios derivados de la introspección :

Primero, que nada puede volverse mayor o menor, ni en número ni en magnitud, sin dejar de ser igual a sí mismo... Segundo, que sin suma ni resta no hay aumento ni disminución de nada, sino sólo igualdad... En tercer lugar, que lo que no era antes no puede ser después, sin devenir y haber devenido.

—  Platón , Teeteto , 155 [5]

lógica india

La ley de no contradicción se encuentra en la lógica india antigua como meta-regla en los Shrauta Sutras , la gramática de Pāṇini , [6] y los Brahma Sutras atribuidos a Vyasa . Posteriormente fue elaborado por comentaristas medievales como Madhvacharya . [7]

Locke

John Locke afirmó que los principios de identidad y contradicción (es decir, la ley de identidad y la ley de no contradicción) eran ideas generales y sólo se les ocurrieron a las personas después de un considerable pensamiento filosófico abstracto. Caracterizó el principio de identidad como "Todo lo que es, es". Planteó el principio de contradicción como "Es imposible que una misma cosa sea y no sea". Para Locke, estos no eran principios innatos ni a priori . [8]

Leibniz

Gottfried Leibniz formuló dos principios adicionales, uno o ambos de los cuales a veces pueden considerarse una ley del pensamiento:

En el pensamiento de Leibniz, así como en general en el enfoque del racionalismo , los dos últimos principios se consideran axiomas claros e indiscutibles . Fueron ampliamente reconocidos en el pensamiento europeo de los siglos XVII, XVIII y XIX, aunque fueron objeto de mayor debate en el siglo XIX. Como resultó ser el caso de la ley de continuidad , estas dos leyes involucran cuestiones que, en términos contemporáneos, están sujetas a mucho debate y análisis (respectivamente sobre determinismo y extensionalidad [ se necesita aclaración ] ). Los principios de Leibniz fueron particularmente influyentes en el pensamiento alemán. En Francia, la lógica de Port-Royal se dejó influenciar menos por ellos. Hegel discutió la identidad de los indiscernibles en su Ciencia de la lógica (1812-1816).

Schopenhauer

Cuatro leyes

"Las leyes primarias del pensamiento, o las condiciones de lo pensable, son cuatro: – 1. La ley de identidad [A es A]. 2. La ley de contradicción. 3. La ley de exclusión; o tercero excluido. 4. La ley de la razón suficiente." (Thomas Hughes, La teoría ideal de Berkeley y el mundo real , Parte II, Sección XV, Nota al pie, p. 38)

Arthur Schopenhauer analizó las leyes del pensamiento y trató de demostrar que son la base de la razón. Los enumeró de la siguiente manera en Sobre la cuádruple raíz del principio de razón suficiente , §33:

  1. Un sujeto es igual a la suma de sus predicados, o a = a.
  2. Ningún predicado puede ser atribuido y negado simultáneamente a un sujeto, o a ≠ ~a.
  3. De cada dos predicados contradictoriamente opuestos, uno debe pertenecer a cada sujeto.
  4. La verdad es la referencia de un juicio a algo externo a él como razón o fundamento suficiente.

También:

Las leyes del pensamiento pueden expresarse de la manera más inteligible así:

  1. Todo lo que es, existe.
  2. Nada puede ser y no ser simultáneamente.
  3. Todas y cada una de las cosas son o no son.
  4. De todo lo que es, se puede encontrar por qué es.

Habría entonces que añadir sólo el hecho de que, de una vez por todas, en lógica la cuestión es sobre lo que se piensa y, por tanto, sobre conceptos y no sobre cosas reales.

—  Schopenhauer, Restos de manuscritos , vol. 4, "Pandectas II", §163

Para demostrar que son el fundamento de la razón , dio la siguiente explicación:

A través de una reflexión, que podría llamar un autoexamen de la facultad de la razón, sabemos que estos juicios son la expresión de las condiciones de todo pensamiento y, por tanto, tienen en ellas su fundamento. Así, al hacer vanos intentos de pensar en oposición a estas leyes, la facultad de la razón las reconoce como las condiciones de posibilidad de todo pensamiento. Entonces descubrimos que es tan imposible pensar en oposición a ellos como mover nuestros miembros en dirección contraria a sus articulaciones. Si el sujeto pudiera conocerse a sí mismo, deberíamos conocer esas leyes inmediatamente , y no primero a través de experimentos sobre objetos, es decir, representaciones (imágenes mentales).

—  Schopenhauer, Sobre la cuádruple raíz del principio de razón suficiente, §33

Las cuatro leyes de Schopenhauer se pueden presentar esquemáticamente de la siguiente manera:

  1. A es A.
  2. A no es no-A.
  3. X es A o no-A.
  4. Si A entonces B (A implica B).

Dos leyes

Posteriormente, en 1844, Schopenhauer afirmó que las cuatro leyes del pensamiento podían reducirse a dos. En el capítulo noveno del segundo volumen de El mundo como voluntad y representación , escribió:

Me parece que la doctrina de las leyes del pensamiento podría simplificarse si estableciésemos sólo dos, la ley del tercero excluido y la de la razón suficiente. El primero así: "Cada predicado puede ser confirmado o negado de cada sujeto". Aquí ya está contenido en el "o o" que ambos no pueden ocurrir simultáneamente y, por lo tanto, es exactamente lo que se expresa mediante las leyes de identidad y contradicción. Así, estos se añadirían como corolarios de ese principio que realmente dice que cada dos esferas conceptuales deben pensarse como unidas o como separadas, pero nunca como ambas a la vez; y por lo tanto, aunque se unan palabras que expresan esto último, estas palabras afirman un proceso de pensamiento que no se puede llevar a cabo. La conciencia de esta inviabilidad es el sentimiento de contradicción. La segunda ley del pensamiento, el principio de razón suficiente, afirmaría que la anterior atribución o refutación debe estar determinada por algo diferente al juicio mismo, que puede ser una percepción (pura o empírica), o simplemente otro juicio. Esta cosa otra y diferente se llama entonces fundamento o razón de la sentencia. En la medida en que un juicio satisface la primera ley del pensamiento, es pensable; en la medida en que satisface el segundo, es verdadera, o al menos en el caso en que el fundamento de una sentencia es sólo otra sentencia, es lógica o formalmente verdadera. [9]

Boole (1854): De sus "leyes de la mente", Boole deriva la "Ley de la contradicción" de Aristóteles.

El título del tratado de lógica de George Boole de 1854, Una investigación sobre las leyes del pensamiento , indica un camino alternativo. Las leyes ahora están incorporadas en una representación algebraica de sus "leyes de la mente", perfeccionadas a lo largo de los años en el álgebra booleana moderna .

Justificación: Cómo deben distinguirse las "leyes de la mente"

Boole comienza su capítulo I "Naturaleza y diseño de este Trabajo" con una discusión de qué característica distingue, en general, las "leyes de la mente" de las "leyes de la naturaleza":

"Las leyes generales de la Naturaleza no son, en su mayor parte, objetos inmediatos de percepción. Son inferencias inductivas de un gran conjunto de hechos, la verdad común en la que expresan, o, al menos en su origen, hipótesis físicas de una naturaleza causal... Son en todos los casos, y en el sentido más estricto del término, conclusiones probables, acercándose, de hecho, cada vez más a la certeza, a medida que reciben cada vez más confirmación de la experiencia... ".

En contraste con esto están lo que él llama "leyes de la mente": Boole afirma que se conocen en primera instancia, sin necesidad de repetición:

"Por otra parte, el conocimiento de las leyes de la mente no requiere como base ninguna colección extensa de observaciones. La verdad general se ve en el caso particular, y no se confirma mediante la repetición de casos... No sólo vemos en el ejemplo particular la verdad general, sino que también la vemos como una verdad cierta, una verdad en la que nuestra confianza no seguirá aumentando a medida que aumente la experiencia de su verificación práctica". (Boole 1854:4)

Los signos de Boole y sus leyes.

Boole comienza con la noción de "signos" que representan "clases", "operaciones" e "identidad":

"Todos los signos del Lenguaje, como instrumento de razonamiento, pueden ser conducidos por un sistema de signos compuesto por los siguientes elementos
"1º Símbolos literales como x, y, etc que representan cosas como sujetos de nuestras concepciones,
"Segundo Signos de operación, ya que +, −, x representan aquellas operaciones de la mente mediante las cuales las concepciones de las cosas se combinan o resuelven para formar nuevas concepciones que involucran los mismos elementos,
"3º La seña de identidad, =.
Y estos símbolos de la Lógica están sujetos en su uso a leyes definidas, que en parte concuerdan y en parte difieren de las leyes de los símbolos correspondientes en la ciencia del Álgebra. (Boole 1854:27)

Boole luego aclara qué representa un "símbolo literal", por ejemplo x, y, z,...: un nombre aplicado a una colección de instancias en "clases". Por ejemplo, "pájaro" representa toda la clase de criaturas emplumadas y de sangre caliente. Para sus propósitos, extiende la noción de clase para representar la pertenencia a "uno", o "nada", o "el universo", es decir, la totalidad de todos los individuos:

"Acordemos entonces representar la clase de individuos a los que es aplicable un nombre o descripción particular, mediante una sola letra, como z... Por clase generalmente se entiende una colección de individuos, a cada uno de los cuales se le asigna un nombre particular. o descripción puede aplicarse pero en este trabajo el significado del término se ampliará para incluir el caso en el que existe un solo individuo, respondiendo al nombre o descripción requerida, así como los casos denotados por los términos "; nada" y "universo", que como "clases" deben entenderse como comprendiendo respectivamente 'ningún ser' y 'todos los seres'". (Boole 1854:28)

Luego define lo que significa la cadena de símbolos, por ejemplo, xy [lógica moderna &, conjunción]:

"Quedamos además de acuerdo en que mediante la combinación xy se representará aquella clase de cosas a las cuales los nombres o descripciones representados por x e y son aplicables simultáneamente. Por lo tanto, si x sola representa "cosas blancas" e y significa "oveja", dejemos que xy represente 'oveja blanca'" (Boole 1854:28)

Dadas estas definiciones, ahora enumera sus leyes con su justificación y ejemplos (derivados de Boole):

"x representa 'estuarios' e y 'ríos', las expresiones xy e yx representarán indistintamente" 'ríos que son estuarios' o 'estuarios que son ríos'".
"Así, 'buenos, buenos' hombres, equivale a 'buenos' hombres".

O lógico : Boole define "reunir partes en un todo o separar un todo en sus partes" (Boole 1854:32). Aquí el conectivo "y" se usa disyuntivamente, al igual que "o"; presenta una ley conmutativa (3) y una ley distributiva (4) para la noción de "coleccionismo". La noción de separar una parte del todo la simboliza con la operación "-"; define una ley conmutativa (5) y distributiva (6) para esta noción:

"Así, la expresión 'hombres y mujeres' es... equivalente a la expresión "mujeres y hombres". Sea x representa 'hombres', y, 'mujeres' y + represente 'y' y 'o'..."
z = europeo, (x = "hombres, y = mujeres): hombres y mujeres europeos = hombres europeos y mujeres europeas
"Todos los hombres (x) excepto los asiáticos (y)" está representado por x − y. "Todos los estados (x) excepto los estados monárquicos (y)" están representados por x − y

Por último, hay una noción de "identidad" simbolizada por "=". Esto permite dos axiomas: (axioma 1): iguales sumados a iguales dan como resultado iguales, (axioma 2): iguales restados de iguales dan como resultado iguales.

Nada "0" y Universo "1" : Observa que los dos únicos números que satisfacen xx = x son 0 y 1. Luego observa que 0 representa "Nada" mientras que "1" representa el "Universo" (del discurso).

El NO lógico : Boole define el contrario (NO lógico) de la siguiente manera (su Proposición III):

"Si x representa cualquier clase de objetos, entonces 1 − x representará la clase de objetos contraria o suplementaria, es decir, la clase que incluye todos los objetos que no están comprendidos en la clase x" (Boole 1854:48)
Si x = "hombres", entonces "1 − x" representa el "universo" menos "hombres", es decir, "no hombres".

La noción de particular en contraposición a universal : Para representar la noción de "algunos hombres", Boole escribe la letra minúscula "v" antes del predicado-símbolo "vx" algunos hombres.

OR exclusivo e inclusivo : Boole no utiliza estos nombres modernos, pero los define de la siguiente manera x(1-y) + y(1-x) y x + y(1-x), respectivamente; estos concuerdan con las fórmulas derivadas mediante el álgebra booleana moderna. [10]

Boole deriva la ley de la contradicción.

Armado con su "sistema", deriva el "principio de [no] contradicción" a partir de su ley de identidad: x 2 = x. Resta x de ambos lados (su axioma 2), obteniendo x 2 − x = 0. Luego factoriza x: x(x − 1) = 0. Por ejemplo, si x = "hombres", entonces 1 − x representa NO-hombres. Entonces tenemos un ejemplo de la "Ley de Contradicción":

"Por lo tanto: x(1 − x) representará la clase cuyos miembros son a la vez "hombres" y "no hombres", y la ecuación [x(1 − x)=0] expresa así el principio de que una clase cuya Los miembros son al mismo tiempo hombres y no hombres, no existe. En otras palabras, que es imposible que un mismo individuo sea al mismo tiempo hombre y no hombre... esto es idénticamente ese "principio de contradicción". "que Aristóteles ha descrito como el axioma fundamental de toda filosofía... lo que comúnmente se ha considerado como el axioma fundamental de la metafísica no es más que la consecuencia de una ley del pensamiento, matemática en su forma". (con más explicaciones sobre esta "dicotomía" aparece en Boole 1854:49ff)

Boole define la noción de "dominio (universo) del discurso"

Esta noción se encuentra en las "Leyes del pensamiento" de Boole, por ejemplo, 1854:28, donde el símbolo "1" (el número entero 1) se utiliza para representar el "Universo" y el "0" para representar la "Nada", y con mucho más detalle más adelante. (páginas 42 y siguientes):

"Ahora bien, cualquiera que sea la extensión del campo dentro del cual se encuentran todos los objetos de nuestro discurso, ese campo puede denominarse propiamente el universo del discurso... Además, este universo del discurso es, en el sentido más estricto, el sujeto último. del discurso."

En su capítulo "El cálculo de predicados", Kleene observa que la especificación del "dominio" del discurso "no es una suposición trivial, ya que no siempre se satisface claramente en el discurso ordinario... de la misma manera, en matemáticas, la lógica puede volverse bastante resbaladiza cuando no se ha especificado ningún D [dominio] explícita o implícitamente, o la especificación de un D [dominio] es demasiado vaga (Kleene 1967:84).

Hamilton (conferencias de lógica de 1837 a 1838, publicadas en 1860): una cuarta "ley de la razón y el consecuente"

Como se señaló anteriormente, Hamilton especifica cuatro leyes (las tres tradicionales más la cuarta "Ley de la razón y consecuente") de la siguiente manera:

"XIII. Las Leyes Fundamentales del Pensamiento, o las condiciones de lo pensable, tal como comúnmente se reciben, son cuatro: – 1. La Ley de Identidad; 2. La Ley de Contradicción; 3. La Ley de Exclusión o del Tercero Excluido; y , 4. La Ley de la Razón y Consecuente, o de la Razón Suficiente . " [11]

Justificación: "La lógica es la ciencia de las Leyes del Pensamiento como Pensamiento"

Hamilton opina que el pensamiento se presenta en dos formas: "necesario" y "contingente" (Hamilton 1860:17). Con respecto a la forma "necesaria", define su estudio como "lógica": "La lógica es la ciencia de las formas necesarias de pensamiento" (Hamilton 1860:17). Para definir "necesario", afirma que implica las siguientes cuatro "cualidades": [12]

(1) "determinado o necesario por la naturaleza del propio sujeto pensante... está determinado subjetivamente, no objetivamente;
(2) "original y no adquirida;
(3) "universal; es decir, no puede ser que necesite en unas ocasiones y no necesite en otras.
(4) "debe ser una ley; porque una ley es aquella que se aplica a todos los casos sin excepción, y de la cual una desviación es siempre y en todas partes imposible o, al menos, no permitida... Esta última condición, Asimismo, nos permite dar la enunciación más explícita del objeto-materia de la Lógica, al decir que la Lógica es la ciencia de las Leyes del Pensamiento como Pensamiento, o la ciencia de las Leyes Formales del Pensamiento, o la ciencia de las Leyes del Pensamiento. la Forma del Pensamiento; porque todas estas son simplemente diversas expresiones de la misma cosa."

Cuarta ley de Hamilton: "No inferir nada sin fundamento o razón"

Aquí está la cuarta ley de Hamilton de su LECT. V. LÓGICA. 60–61:

"Paso ahora a la cuarta ley.
" Par. XVII. Ley de la Razón Suficiente, o de la Razón y Consecuente :
"XVII. El pensamiento de un objeto, tal como está realmente caracterizado por atributos positivos o negativos, no se deja al capricho de la comprensión -la facultad de pensar-; sino que esa facultad debe ser necesaria para tal o cual acto determinado de pensar mediante un conocimiento. de algo diferente e independiente del proceso mismo de pensar. Esta condición de nuestro entendimiento se expresa por la ley, como se la llama, de la Razón Suficiente ( principium Rationis Sufficientis ); y Consecuente ( principium Rationis et Consecutionis ). Ese conocimiento por el cual la mente necesita afirmar o postular algo más, se llama fundamento de razón lógica, o antecedente ; ese algo más que la mente necesita afirmar o postular, se llama fundamento; consecuente lógico ; y la relación entre la razón y el consecuente, se llama conexión o consecuencia lógica . Esta ley se expresa en la fórmula – No inferir nada sin fundamento o razón. 1
Relaciones entre Razón y Consecuente : Las relaciones entre Razón y Consecuente, comprendidas en un pensamiento puro, son las siguientes:
1. Cuando se da una razón explícita o implícitamente, entonces debe existir un consecuente; y viceversa , cuando se da un consecuente, debe existir también una razón.
1 Véase Schulze, Logik , §19, y Krug, Logik , §20, – ED.
2. Donde no hay razón no puede haber consecuencia; y viceversa , donde no hay consecuente (ya sea implícita o explícitamente) no puede haber razón. Es decir, los conceptos de razón y de consecuente, como recíprocamente relativos, se involucran y suponen mutuamente.
El significado lógico de esta ley : El significado lógico de la ley de la Razón y del Consecuente radica en esto: – Que en virtud de ella, el pensamiento se constituye en una serie de actos todos indisolublemente conectados; cada uno necesariamente infiere al otro. Así, la distinción y oposición entre materia posible, actual y necesaria, que ha sido introducida en la Lógica, es una doctrina totalmente ajena a esta ciencia.

welton

En el siglo XIX, las leyes del pensamiento aristotélico, así como a veces las leyes del pensamiento leibniziano, eran material estándar en los libros de texto de lógica, y J. Welton las describió de esta manera:

Las Leyes del Pensamiento, Principios Reguladores del Pensamiento o Postulados del Conocimiento, son aquellas leyes mentales fundamentales, necesarias, formales y a priori de acuerdo con las cuales todo pensamiento válido debe llevarse a cabo. Son a priori, es decir, resultan directamente de los procesos de la razón ejercidos sobre los hechos del mundo real. Son formales; porque como leyes necesarias de todo pensamiento, no pueden, al mismo tiempo, determinar las propiedades definidas de cualquier clase particular de cosas, porque es opcional si pensamos en esa clase de cosas o no. Son necesarios, porque nadie jamás los concibe ni puede concebirlos invertidos, ni violarlos realmente, porque nadie acepta jamás una contradicción que se le presente como tal.

—  Welton, Manual de lógica , 1891, vol. Yo, pág. 30.

Russell (1903-1927)

La secuela de "Los principios de las matemáticas" de Bertrand Russell de 1903 se convirtió en la obra de tres volúmenes denominada Principia Mathematica (en adelante PM ), escrita conjuntamente con Alfred North Whitehead . Inmediatamente después de que él y Whitehead publicaran PM, escribió su libro de 1912 "Los problemas de la filosofía". Sus "Problemas" reflejan "las ideas centrales de la lógica de Russell". [13]

Los principios de las matemáticas(1903)

En sus "Principios" de 1903, Russell define la lógica simbólica o formal (utiliza los términos como sinónimos) como "el estudio de los diversos tipos generales de deducción" (Russell 1903:11). Afirma que "la lógica simbólica se ocupa esencialmente de la inferencia en general" (Russell 1903:12) y con una nota a pie de página indica que no distingue entre inferencia y deducción ; es más, considera que la inducción "es una deducción disfrazada o un mero método para hacer conjeturas plausibles" (Russell 1903:11). Esta opinión cambiará en 1912, cuando considere que su "principio de inducción" está a la par de los diversos "principios lógicos" que incluyen las "Leyes del Pensamiento".

En su Parte I "Los indefinibles de las matemáticas" Capítulo II "Lógica simbólica" Parte A "El cálculo proposicional" Russell reduce la deducción ("cálculo proposicional") a 2 "indefinibles" y 10 axiomas:

"17. Entonces, en el cálculo proposicional no requerimos nada indefinible excepto los dos tipos de implicación [simple también conocida como "material" [14] y "formal"]; recordando, sin embargo, que la implicación formal es una noción compleja, cuyo Aún queda por emprender un análisis. En lo que respecta a nuestros dos indefinibles, necesitamos ciertas proposiciones indemostrables, que hasta ahora no he logrado reducir a menos de diez (Russell 1903:15).

A partir de estos afirma poder derivar la ley del tercero excluido y la ley de contradicción, pero no exhibe sus derivaciones (Russell 1903:17). Posteriormente, él y Whitehead perfeccionaron estos "principios primitivos" y axiomas hasta convertirlos en los nueve que se encuentran en PM , y aquí Russell realmente exhibe estas dos derivaciones en ❋1,71 y ❋3,24, respectivamente.

Los problemas de la filosofía(1912)

En 1912 Russell, en sus "Problemas", presta mucha atención a la "inducción" (razonamiento inductivo), así como a la "deducción" (inferencia), los cuales representan sólo dos ejemplos de "principios lógicos evidentes por sí mismos" que incluyen las "Leyes de Pensamiento." [4]

Principio de inducción : Russell dedica un capítulo a su "principio de inducción". Lo describe como algo que se divide en dos partes: en primer lugar, como una recopilación repetida de evidencia (sin fallas de asociación conocidas) y, por lo tanto, una probabilidad cada vez mayor de que cada vez que sucede A, sigue B; en segundo lugar, en un nuevo caso en el que efectivamente ocurra A, B ciertamente se producirá: es decir, "un número suficiente de casos de asociación hará que la probabilidad de una nueva asociación sea casi una certeza, y hará que se acerque a la certeza sin límite". [15]

Luego recopila todos los casos (instancias) del principio de inducción (por ejemplo, caso 1: A 1 = "el sol naciente", B 1 = "el cielo del este"; caso 2: A 2 = "el sol poniente", B 2 = "el cielo occidental"; caso 3: etc.) en una ley "general" de inducción que expresa de la siguiente manera:

"a) Cuanto mayor sea el número de casos en que una cosa del tipo A se haya encontrado asociada con una cosa del tipo B, más probable será (si se conocen casos de fracaso de la asociación) que A esté siempre asociada con B;
"(b) En las mismas circunstancias, un número suficiente de casos de asociación de A con B hará que sea casi seguro que A siempre esté asociado con B, y hará que esta ley general se acerque a la certeza sin límite". [16]

Argumenta que este principio de inducción no puede ser refutado ni probado por la experiencia, [17] el fracaso de la refutación se produce porque la ley trata de la probabilidad de éxito en lugar de la certeza; la falta de prueba que se produce debido a casos no examinados que aún no se han experimentado, es decir, que ocurrirán (o no) en el futuro. "Por tanto, debemos aceptar el principio inductivo basándose en su evidencia intrínseca o renunciar a toda justificación de nuestras expectativas sobre el futuro". [18]

En su siguiente capítulo ("Sobre nuestro conocimiento de los principios generales") Russell ofrece otros principios que tienen esta propiedad similar: "que no pueden ser probados ni refutados por la experiencia, sino que se utilizan en argumentos que parten de lo que se experimenta". Afirma que estos "tienen evidencia aún mayor que el principio de inducción... el conocimiento de ellos tiene el mismo grado de certeza que el conocimiento de la existencia de datos sensoriales. Constituyen el medio para sacar inferencias de lo que se da en sensación". [19]

Principio de inferencia : Russell ofrece luego un ejemplo que él llama principio "lógico". Dos veces anteriormente ha afirmado este principio, primero como el cuarto axioma en su 1903 [20] y luego como su primera "proposición primitiva" de PM : "❋1.1 Cualquier cosa implícita en una proposición elemental verdadera es verdadera". [21] Ahora lo repite en su 1912 en una forma refinada: "Así, nuestro principio establece que si esto implica aquello, y esto es verdadero, entonces eso es verdadero. En otras palabras, 'cualquier cosa implícita en una proposición verdadera es verdadera'. , o 'todo lo que se sigue de una proposición verdadera es verdadero'. [ 22] Este principio pone gran énfasis, afirmando que "este principio está realmente involucrado - al menos, hay casos concretos del mismo - en todas las demostraciones". ]

No llama a su principio de inferencia modus ponens , pero su expresión formal y simbólica en PM (segunda edición, 1927) es la de modus ponens ; La lógica moderna llama a esto una "regla" en lugar de una "ley". [23] En la cita que sigue, el símbolo "⊦" es el "signo de afirmación" (cf. PM :92); "⊦" significa "es cierto que", por lo tanto "⊦p" donde "p" es "el sol está saliendo" significa "es cierto que el sol está saliendo", alternativamente "La afirmación 'El sol está saliendo' es verdadero". El símbolo de "implicación" "⊃" se lee comúnmente "si p entonces q", o "p implica q" (cf. PM :7). Incrustadas en esta noción de "implicación" hay dos "ideas primitivas", "la función contradictoria" (simbolizada por NOT, "~") y "la suma o disyunción lógica" (simbolizada por OR, "⋁"); éstas aparecen como "proposiciones primitivas" ❋1.7 y ❋1.71 en PM (PM:97). Con estas dos "proposiciones primitivas", Russell define "p ⊃ q" para que tenga la equivalencia lógica formal "NO-p O q" simbolizada por "~p ⋁ q":

" Inferencia . El proceso de inferencia es el siguiente: se afirma una proposición "p", y se afirma una proposición "p implica q", y luego como secuela se afirma la proposición "q". La confianza en la inferencia es la creencia que si las dos afirmaciones anteriores no son erróneas, la afirmación final tampoco lo es, siempre que, en símbolos, donde p y q tengan, por supuesto, una determinación especial.
" "⊦p" y "⊦(p ⊃ q)"
" han ocurrido, entonces "⊦q" ocurrirá si se desea dejar constancia de ello. El proceso de la inferencia no puede reducirse a símbolos. Su único registro es la ocurrencia de "⊦q". ... Una inferencia es el abandono de una premisa verdadera; es la disolución de una implicación”. [24]

En otras palabras, en una larga "cadena" de inferencias, después de cada inferencia podemos separar el "consecuente" "⊦q" de la cadena de símbolos "⊦p, ⊦(p⊃q)" y no llevar estos símbolos hacia adelante en una cadena de símbolos cada vez más larga.

Las tres "leyes" (principios) tradicionales del pensamiento : Russell continúa afirmando otros principios, de los cuales el principio lógico anterior es "sólo uno". Afirma que "algunos de ellos deben concederse antes de que sea posible cualquier argumento o prueba. Cuando algunos de ellos han sido concedidos, otros pueden probarse". De estas diversas "leyes", afirma que "sin muy buena razón, tres de estos principios han sido seleccionados por la tradición bajo el nombre de 'Leyes del Pensamiento'. [4] Y los enumera de la siguiente manera:

"(1) La ley de la identidad : 'Todo lo que es, es'.
(2) La ley de la contradicción : "Nada puede ser y no ser al mismo tiempo".
(3) La ley del tercero excluido : 'Todo debe ser o no ser'". [4]

Justificación : Russell opina que "el nombre 'leyes del pensamiento' es... engañoso, porque lo importante no es el hecho de que pensemos de acuerdo con estas leyes, sino el hecho de que las cosas se comporten de acuerdo con ellas; en otras palabras , el hecho de que cuando pensamos de acuerdo con ellos pensamos verdaderamente ". [25] Pero califica esto como una "gran pregunta" y la amplía en dos capítulos siguientes donde comienza con una investigación de la noción de conocimiento "a priori" (innato, incorporado) y, finalmente, llega a su aceptación de la "Mundo platónico de los universales". En su investigación vuelve de vez en cuando a las tres leyes tradicionales del pensamiento, destacando en particular la ley de contradicción: "La conclusión de que la ley de contradicción es una ley del pensamiento es, sin embargo, errónea... [más bien], la La ley de contradicción se refiere a las cosas, y no simplemente a los pensamientos... un hecho concerniente a las cosas en el mundo". [26]

Su argumento comienza con la afirmación de que las tres leyes tradicionales del pensamiento son "muestras de principios evidentes por sí mismos". Para Russell, la cuestión de lo "evidente" [27] simplemente introduce la cuestión más amplia de cómo derivamos nuestro conocimiento del mundo. Cita la "controversia histórica... entre las dos escuelas llamadas respectivamente 'empiristas' [ Locke , Berkeley y Hume ] y 'racionalistas' [ Descartes y Leibniz ]" (estos filósofos son sus ejemplos). [28] Russell afirma que los racionalistas "mantuvieron que, además de lo que sabemos por experiencia, hay ciertas 'ideas innatas' y 'principios innatos', que conocemos independientemente de la experiencia"; [28] Para eliminar la posibilidad de que los bebés tengan un conocimiento innato de las "leyes del pensamiento", Russell cambia el nombre de este tipo de conocimiento a priori . Y mientras Russell está de acuerdo con los empiristas en que "nada puede saberse que existe excepto con la ayuda de la experiencia", [29] también está de acuerdo con los racionalistas en que algunos conocimientos son a priori , específicamente "las proposiciones de la lógica y las matemáticas puras, como así como las proposiciones fundamentales de la ética". [30]

Esta cuestión de cómo puede existir tal conocimiento a priori lleva a Russell a una investigación sobre la filosofía de Immanuel Kant , que después de una cuidadosa consideración rechaza de la siguiente manera:

"... hay una objeción principal que parece fatal a cualquier intento de abordar el problema del conocimiento a priori mediante su método. Lo que hay que tener en cuenta es nuestra certeza de que los hechos siempre deben ajustarse a la lógica y la aritmética... . Así, la solución de Kant limita indebidamente el alcance de las proposiciones a priori , además de fracasar en el intento de explicar su certeza". [31]

Sus objeciones a Kant llevan entonces a Russell a aceptar la 'teoría de las ideas' de Platón , "en mi opinión... uno de los intentos más exitosos realizados hasta ahora."; [32] afirma que "... debemos examinar nuestro conocimiento de los universales... donde encontraremos que [esta consideración] resuelve el problema del conocimiento a priori ". [32]

Principios matemáticos(Parte I: primera edición de 1910, segunda edición de 1927)

Desafortunadamente, los "Problemas" de Russell no ofrecen un ejemplo de un "conjunto mínimo" de principios que se aplicarían al razonamiento humano, tanto inductivo como deductivo. Pero PM al menos proporciona un conjunto de ejemplos (pero no el mínimo; ver la publicación más abajo) que es suficiente para el razonamiento deductivo mediante el cálculo proposicional (a diferencia del razonamiento mediante el más complicado cálculo de predicados ): un total de 8 principios al inicio de la "Parte I: Lógica Matemática". Cada una de las fórmulas :❋1.2 a :❋1.6 es una tautología (verdadera sin importar cuál sea el valor de verdad de p, q, r...). Lo que falta en el tratamiento de PM es una regla formal de sustitución; [33] en su tesis doctoral de 1921, Emil Post corrige esta deficiencia (ver Publicación a continuación). A continuación, las fórmulas están escritas en un formato más moderno que el utilizado en PM ; los nombres se dan en PM ).

❋1.1 Todo lo que implica una proposición elemental verdadera es verdadero.
❋1.2 Principio de Tautología: (p ⋁ p) ⊃ p
❋1.3 Principio de la suma [lógica]: q ⊃ (p ⋁ q)
❋1.4 Principio de Permutación: (p ⋁ q) ⊃ (q ⋁ p)
❋1.5 Principio asociativo: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) [ redundante ]
❋1.6 Principio de suma [lógica]: (q ⊃ r) ⊃ ((p ⋁ q) ⊃ (p ⋁ r))
❋1.7 [NO lógico]: Si p es una proposición elemental, ~p es una proposición elemental.
❋1.71 [OR lógico inclusivo]: Si p y q son proposiciones elementales, (p ⋁ q) es una proposición elemental.

Russell resume estos principios con "Esto completa la lista de proposiciones primitivas requeridas para la teoría de la deducción aplicada a proposiciones elementales" (PM:97).

A partir de estas ocho tautologías y de un uso tácito de la "regla" de sustitución, PM deriva más de cien fórmulas diferentes, entre las que se encuentran la Ley del Medio Excluido ❋1.71 y la Ley de Contradicción ❋3.24 (esta última requiere una definición). del AND lógico simbolizado por el ⋀ moderno: (p ⋀ q) = def ~(~p ⋁ ~q ( PM usa el símbolo de "punto" ▪ para el AND lógico)).

Ladd-Franklin (1914): "principio de exclusión" y el "principio de agotamiento"

Aproximadamente al mismo tiempo (1912) que Russell y Whitehead estaban terminando el último volumen de sus Principia Mathematica y la publicación de "Los problemas de la filosofía" de Russell, al menos dos lógicos ( Louis Couturat , Christine Ladd-Franklin ) afirmaban que dos Las "leyes" (principios) de contradicción" y el "tercio excluido" son necesarias para especificar los "contradictorios"; Ladd-Franklin los rebautizó como principios de exclusión y agotamiento . Lo siguiente aparece como nota a pie de página en la página 23 de Couturat 1914:

"Como bien ha observado la Sra. LADD·FRANKLlN (BALDWIN, Diccionario de Filosofía y Psicología, artículo "Leyes del Pensamiento"), el principio de contradicción no es suficiente para definir los contradictorios; debe agregarse el principio del tercero excluido que igualmente merece la pena. nombre de principio de contradicción. Por eso la señora LADD-FRANKLIN propone llamarlos respectivamente principio de exclusión y principio de agotamiento, en la medida en que, según el primero, dos términos contradictorios son excluyentes (el uno del otro); y, según el segundo, son exhaustivos (del universo del discurso)".

En otras palabras, la creación de "contradictorios" representa una dicotomía , es decir, la "división" de un universo de discurso en dos clases (colecciones) que tienen las dos propiedades siguientes: son (i) mutuamente excluyentes y (ii) (colectivamente). ) exhaustivo. [34] En otras palabras, ninguna cosa (extraída del universo del discurso) puede ser simultáneamente miembro de ambas clases (ley de no contradicción), pero [y] cada cosa (en el universo del discurso) debe ser un miembro de una clase u otra (ley del tercero excluido).

Post (1921): El cálculo proposicional es consistente y completo

Como parte de su tesis doctoral "Introducción a una teoría general de proposiciones elementales", Emil Post demostró "el sistema de proposiciones elementales de Principia [PM]", es decir, su "cálculo proposicional" [35] descrito por las primeras 8 "proposiciones primitivas" de PM para ser consistente . La definición de "consistente" es la siguiente: que por medio del "sistema" deductivo que nos ocupa (sus axiomas, leyes y reglas enunciados) es imposible derivar (mostrar) tanto una fórmula S como su contradictorio ~S (es decir, su fórmula lógica). negación) (Nagel y Newman 1958:50). Para demostrar esto formalmente, Post tuvo que agregar una proposición primitiva a las 8 proposiciones primitivas de PM, una "regla" que especificaba la noción de "sustitución" que faltaba en el PM original de 1910. [36]

Dado el pequeño conjunto de "proposiciones primitivas" de PM y la prueba de su coherencia, Post demuestra que este sistema ("cálculo proposicional" de PM) es completo , lo que significa que todas las tablas de verdad posibles se pueden generar en el "sistema":

"...todo sistema de verdad tiene una representación en el sistema de Principia mientras que todo sistema completo, es decir uno que tiene todas las tablas de verdad posibles, es equivalente a ella... Vemos así que los sistemas completos son equivalentes al sistema de Principia no sólo en el desarrollo de la tabla de verdad sino también postulacionalmente. Como otros sistemas son en cierto sentido formas degeneradas de sistemas completos, podemos concluir que no se introducen nuevos sistemas lógicos." [37]

¿Un conjunto mínimo de axiomas? La cuestión de su independencia.

Luego está la cuestión de la "independencia" de los axiomas. En su comentario anterior a Post 1921, van Heijenoort afirma que Paul Bernays resolvió el asunto en 1918 (pero publicado en 1926): se puede demostrar la fórmula ❋1.5 Principio asociativo: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) con los otros cuatro. En cuanto a qué sistema de "proposiciones primitivas" es el mínimo, van Heijenoort afirma que el asunto fue "investigado por Zylinski (1925), el propio Post (1941) y Wernick (1942)", pero van Heijenoort no responde a la pregunta. [38]

Teoría del modelo versus teoría de la prueba: la prueba de Post

Kleene (1967:33) observa que la "lógica" puede "fundarse" de dos maneras, primero como una "teoría modelo", o segundo mediante una "prueba" formal o una "teoría axiomática"; "las dos formulaciones, la de la teoría del modelo y la de la teoría de la prueba, dan resultados equivalentes" (Kleene 1967:33). Esta elección fundamental y su equivalencia también se aplican a la lógica de predicados (Kleene 1967:318).

En su introducción a Post 1921, van Heijenoort observa que tanto "la tabla de verdad como los enfoques axiomáticos se presentan claramente". [39] Esta cuestión de una prueba de consistencia en ambos sentidos (por una teoría modelo, por una teoría de prueba axiomática) surge en la versión más agradable de la prueba de consistencia de Post que se puede encontrar en Nagel y Newman 1958 en su capítulo V "An Ejemplo de una prueba absoluta de coherencia exitosa". En el cuerpo principal del texto utilizan un modelo para lograr su prueba de coherencia (también afirman que el sistema está completo pero no ofrecen una prueba) (Nagel y Newman 1958:45–56). Pero su texto promete al lector una prueba que es axiomática en lugar de depender de un modelo, y en el Apéndice entregan esta prueba basándose en las nociones de una división de fórmulas en dos clases K 1 y K 2 que son mutuamente excluyentes y exhaustivas ( Nagel y Newman 1958: 109-113).

Gödel (1930): El cálculo de predicados de primer orden está completo

El (restringido) "cálculo de predicados de primer orden" es el "sistema de lógica" que añade a la lógica proposicional (cf. Post , arriba) la noción de "sujeto-predicado", es decir, el sujeto x se extrae de un dominio (universo) del discurso y el predicado es una función lógica f(x): x como sujeto y f(x) como predicado (Kleene 1967:74). Aunque la prueba de Gödel implica la misma noción de "integridad" que la prueba de Post, la prueba de Gödel es mucho más difícil; lo que sigue es una discusión del conjunto de axiomas.

Lo completo

Kurt Gödel en su tesis doctoral de 1930 "La integridad de los axiomas del cálculo funcional de la lógica" demostró que en este "cálculo" (es decir, lógica de predicados restringida con o sin igualdad) toda fórmula válida es "refutable o satisfacible" [40 ] o lo que es lo mismo: toda fórmula válida es demostrable y por tanto la lógica es completa. Aquí está la definición de Gödel de si el "cálculo funcional restringido" es "completo" o no:

"... si realmente es suficiente para la derivación de cada proposición lógico-matemática, o si, tal vez, es concebible que haya proposiciones verdaderas (que pueden ser demostrables por medio de otros principios) que no pueden derivarse en el sistema bajo consideración." [41]

El cálculo de predicados de primer orden.

Este cálculo de predicados en particular está "restringido al primer orden". Al cálculo proposicional añade dos símbolos especiales que simbolizan las generalizaciones " para todos " y "existe (al menos uno)" que se extienden sobre el dominio del discurso . El cálculo requiere sólo la primera noción "para todos", pero normalmente incluye ambas: (1) la noción "para todos x" o "para cada x" se simboliza en la literatura de formas tan diversas como (x), ∀x, Πx, etc. ., y la noción (2) de "existe (al menos una x)" simbolizada de diversas formas como Ex, ∃x.

La restricción es que la generalización "para todos" se aplica sólo a las variables (objetos x, y, z, etc. extraídos del dominio del discurso) y no a las funciones; en otras palabras, el cálculo permitirá ∀xf(x) (" para todas las criaturas x, x es un pájaro") pero no ∀f∀x(f(x)) [pero si se agrega "igualdad" al cálculo permitirá ∀f:f(x); ver más abajo en Tarski ]. Ejemplo:

Sea el predicado "función" f(x) "x es un mamífero", y el dominio-sujeto (o universo del discurso ) (cf. Kleene 1967:84) sea la categoría "murciélagos":
La fórmula ∀xf(x) produce el valor de verdad "verdad" (léase: "Para todos los casos x de objetos 'murciélagos', 'x es un mamífero'" es una verdad, es decir, "Todos los murciélagos son mamíferos");
Pero si los casos de x se extraen del dominio "criaturas aladas", entonces ∀xf(x) produce el valor de verdad "falso" (es decir, "Para todos los casos x de 'criaturas aladas', 'x es un mamífero'" tiene un el valor de verdad de "falsedad"; "los insectos voladores son mamíferos" es falso);
Sin embargo, en el amplio dominio del discurso "todas las criaturas aladas" (por ejemplo, "pájaros" + "insectos voladores" + "ardillas voladoras" + "murciélagos") podemos afirmar ∃xf(x) (léase: "Existe al menos una criatura alada" criatura que es un mamífero'"; produce un valor de verdad de "verdad" porque los objetos x pueden provenir de la categoría "murciélagos" y quizás "ardillas voladoras" (dependiendo de cómo definamos "alado"). Pero la fórmula produce "falsedad" cuando el dominio del discurso se restringe a "insectos voladores" o "pájaros" o tanto a "insectos" como a "pájaros".

Kleene observa que "el cálculo de predicados (con o sin igualdad) cumple plenamente (para las teorías de primer orden) lo que se ha concebido como el papel de la lógica" (Kleene 1967:322).

Un nuevo axioma: la máxima de Aristóteles: "la máxima de todos y de ninguno"

Esta primera mitad de este axioma – "la máxima de todos" aparecerá como la primera de dos axiomas adicionales en el conjunto de axiomas de Gödel. El "dictum de Aristóteles" ( dictum de omni et nullo ) a veces se llama "la máxima de todos y de ninguno", pero en realidad son dos "máximas" que afirman: "Lo que es cierto para todos (los miembros del dominio) es cierto para algunos". (miembros del dominio)", y "Lo que no es cierto para todos (los miembros del dominio) no es cierto para ninguno (de los miembros del dominio)".

El "dictum" aparece en Boole 1854 en un par de lugares:

"Puede ser una cuestión de si esa fórmula de razonamiento, que se llama el dictamen de Aristóteles, de Omni et nullo , expresa una ley primaria del razonamiento humano o no; pero no es cuestión de que expresa una verdad general en Lógica" ( 1854:4)

Pero más tarde parece argumentar en contra: [42]

"[Algunos principios de] principio general de naturaleza axiomática, como el "dictum de Aristóteles": Todo lo que se afirma o niega del género puede, en el mismo sentido, afirmarse o negarse de cualquier especie incluida bajo ese género... o exponen directamente, pero en forma abstracta, el argumento que se supone que deben dilucidar y, al expresarlo, afirman su validez o involucran en su expresión términos técnicos que, después de la definición, nos llevan nuevamente al mismo punto; a saber, la declaración abstracta de las supuestas formas de inferencia permitidas".

Pero la primera mitad de esta "dictum" ( dictum de omni ) es retomada por Russell y Whitehead en PM, y por Hilbert en su versión (1927) de la "lógica de predicados de primer orden"; su (sistema) incluye un principio que Hilbert llama "dictum de Aristóteles" [43]

(x)f(x) → f(y)

Este axioma también aparece en el conjunto de axiomas moderno ofrecido por Kleene (Kleene 1967:387), como su "∀-esquema", uno de los dos axiomas (él los llama "postulados") necesarios para el cálculo de predicados; el otro es el "∃-esquema" f(y) ⊃ ∃xf(x) que razona desde el particular f(y) hasta la existencia de al menos un sujeto x que satisface el predicado f(x); Ambos requieren adhesión a un dominio definido (universo) de discurso.

Cálculo de predicados restringidos de Gödel

Para complementar los cuatro (en vez de cinco; ver Post ) axiomas del cálculo proposicional, Gödel 1930 agrega el dictum de omni como el primero de dos axiomas adicionales. Tanto este "dictum" como el segundo axioma, afirma en una nota a pie de página, derivan de Principia Mathematica . De hecho, PM incluye tanto como

❋10.1 ⊦ ∀xf(x) ⊃ f(y) ["Es decir, lo que es cierto en todos los casos es cierto en cualquier caso" [44] ("dictum de Aristóteles", reescrito en símbolos más modernos)]
❋10.2 ⊦∀x(p ⋁ f(x)) ⊃ (p ⋁ ∀xf(x)) [reescrito en símbolos más modernos]

Este último afirma que la suma lógica (es decir, ⋁, OR) de una proposición simple p y un predicado ∀xf(x) implica la suma lógica de cada uno por separado. Pero PM deriva ambas de seis proposiciones primitivas de ❋9, que en la segunda edición de PM se descartan y se reemplazan con cuatro nuevos "Pp" (principios primitivos) de ❋8 (ver en particular ❋8.2, y Hilbert deriva la primera de su "axioma lógico ε" en su 1927 y no menciona el segundo. No está claro cómo Hilbert y Gödel llegaron a adoptar estos dos como axiomas.

También se requieren dos "reglas" más de separación ("modus ponens") aplicables a los predicados.

Tarski (1946): la ley de Leibniz

Alfred Tarski en su "Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas" de 1946 (segunda edición) cita una serie de lo que él considera "leyes universales" del cálculo oracional, tres "reglas" de inferencia y una ley fundamental de identidad (de la que deriva cuatro leyes más). Las tradicionales "leyes del pensamiento" están incluidas en su larga lista de "leyes" y "reglas". Su tratamiento se limita, como sugiere el título de su libro, a la "Metodología de las Ciencias Deductivas".

Justificación : En su introducción (segunda edición) observa que lo que comenzó con una aplicación de la lógica a las matemáticas se ha ampliado a "todo el conocimiento humano":

"[Quiero presentar] una idea clara de esa poderosa tendencia del pensamiento contemporáneo que se concentra en la lógica moderna. Esta tendencia surgió originalmente de la tarea algo limitada de estabilizar los fundamentos de las matemáticas. Sin embargo, en su fase actual, tiene mucho objetivos más amplios porque busca crear un aparato conceptual unificado que proporcione una base común para todo el conocimiento humano. [45]

Ley de identidad (ley de Leibniz, igualdad)

Agregar la noción de "igualdad" al "cálculo proposicional" (esta nueva noción no debe confundirse con la equivalencia lógica simbolizada por ↔, ⇄, "si y sólo si (iff)", "bicondicional", etc.) Tarski ( cf p54-57) simboliza lo que él llama "ley de Leibniz" con el símbolo "=". Esto extiende el dominio (universo) del discurso y los tipos de funciones a números y fórmulas matemáticas (Kleene 1967:148ff, Tarski 1946:54ff).

En pocas palabras: dado que "x tiene todas las propiedades que tiene y", podemos escribir "x = y", y esta fórmula tendrá un valor de verdad de "verdad" o "falsedad". Tarski enuncia esta ley de Leibniz de la siguiente manera:

Luego deriva algunas otras "leyes" de esta ley:

Principia Mathematica define la noción de igualdad de la siguiente manera (en símbolos modernos); tenga en cuenta que la generalización "para todos" se extiende sobre las funciones de predicado f():

❋13.01. x = y = def ∀f:(f(x) → f(y)) ("Esta definición establece que x e y deben considerarse idénticos cuando cada función predicada satisfecha por x es satisfecha por y" [46]

Hilbert 1927:467 añade sólo dos axiomas de igualdad, el primero es x = x, el segundo es (x = y) → ((f(x) → f(y)); falta el "para todos f" (o implícito). Gödel 1930 define la igualdad de manera similar a PM :❋13.01. Kleene 1967 adopta los dos de Hilbert 1927 más dos más (Kleene 1967:387).

George Spencer-Brown (1969): Leyes de la forma

George Spencer-Brown en sus " Leyes de la forma " (LoF) de 1969 comienza dando por sentado que "no podemos hacer una indicación sin hacer una distinción". Esto, por tanto, presupone la ley del tercero excluido. Luego pasa a definir dos axiomas, que describen cómo funcionan las distinciones (un "límite") y las indicaciones (una "llamada"):

Estos axiomas tienen un parecido con la "ley de identidad" y la "ley de no contradicción", respectivamente. Sin embargo, la ley de identidad se demuestra como teorema (Teorema 4.5 en " Leyes de la forma ") en el marco de LoF. En general, LoF se puede reinterpretar como lógica de primer orden , lógica proposicional y lógica de segundo orden asignando interpretaciones específicas a los símbolos y valores de LoF.

Desarrollos contemporáneos

Todos los "sistemas de lógica" anteriores se consideran proposiciones de significado "clásico" y las expresiones de predicados tienen dos valores, con el valor de verdad "verdad" o "falsedad", pero no ambos (Kleene 1967: 8 y 83). Si bien la lógica intuicionista cae en la categoría "clásica", se opone a extender el operador "para todos" a la Ley del Medio Excluido; permite instancias de la "Ley", pero no su generalización a un dominio infinito del discurso.

Lógica intuicionista

La ' lógica intuicionista ', a veces llamada más generalmente lógica constructiva , se refiere a sistemas de lógica simbólica que difieren de los sistemas utilizados para la lógica clásica al reflejar más fielmente la noción de prueba constructiva . En particular, los sistemas de lógica intuicionista no asumen la ley del tercero excluido y la eliminación de la doble negación , que son reglas de inferencia fundamentales en la lógica clásica.

Lógica paraconsistente

La ' lógica paraconsistente ' se refiere a los llamados sistemas lógicos tolerantes a las contradicciones en los que una contradicción no necesariamente resulta en trivialismo . En otras palabras, el principio de explosión no es válido en tales lógicas. Algunos (concretamente los dialeteístas) sostienen que la lógica dialeteica niega la ley de no contradicción . Están motivados por ciertas paradojas que parecen implicar un límite de la ley de no contradicción, a saber, la paradoja del mentiroso . Para evitar un sistema lógico trivial y aun así permitir que ciertas contradicciones sean ciertas, los dialeteistas emplearán una lógica paraconsistente de algún tipo.

Lógica de tres valores

TBD cf Lógica de tres valores, pruebe esto Una aritmética y lógica ternarias - Semantic Scholar [47]

Cálculos proposicionales modales

(cf. Kleene 1967:49): Estos " cálculos " incluyen los símbolos ⎕A, que significa "A es necesario" y ◊A que significa "A es posible". Kleene afirma que:

"Estas nociones entran en dominios del pensamiento donde se entiende que hay dos tipos diferentes de "verdad", una más universal o convincente que la otra... Un zoólogo podría declarar que es imposible que las salamandras o cualquier otra criatura viviente puedan sobrevivir. fuego; pero es posible (aunque falso) que existan unicornios, y posible (aunque improbable) que existan abominables muñecos de nieve".

lógica difusa

La ' lógica difusa ' es una forma de lógica multivaluada ; se trata de un razonamiento aproximado más que fijo y exacto.

Ver también

Referencias

  1. ^ "Leyes del pensamiento". El Diccionario de Filosofía de Cambridge . Robert Audi , editor, Cambridge: Cambridge UP. pag. 489.
  2. ^ abc Russell 1912: 72, edición de 1997.
  3. ^ abc "Aristóteles - Metafísica - Libro 4".
  4. ^ abcde Russell 1912:72, edición de 1997.
  5. ^ "Teeteto, de Platón". Biblioteca de la Universidad de Adelaida. 10 de noviembre de 2012. Archivado desde el original el 16 de enero de 2014 . Consultado el 14 de enero de 2014 .
  6. ^ Frits Staal (1988), Universales: estudios de lógica y lingüística indias , Chicago , págs.( cf. Bull, Malcolm (1999), Ver cosas ocultas , Verso, p. 53, ISBN 1-85984-263-1)
  7. ^ Dasgupta, Surendranath (1991), Una historia de la filosofía india , Motilal Banarsidass , p. 110, ISBN 81-208-0415-5
  8. ^ "Un ensayo sobre la comprensión humana" . Consultado el 14 de enero de 2014 .
  9. ^ "El libro electrónico del Proyecto Gutenberg del mundo como voluntad e idea (vol. 2 de 3) de Arthur Schopenhauer". Proyecto Gutenberg. 27 de junio de 2012 . Consultado el 14 de enero de 2014 .
  10. ^ cf. Boole 1842: 55–57. La definición moderna de OR lógico (x, y) en términos de AND lógico & y NOT lógico ~ es: ~(~x & ~y). En álgebra booleana esto se representa por: 1-((1-x)*(1-y)) = 1 – (1 – 1*x – y*1 + x*y) = x + y – x*y = x + y*(1-x), que es la expresión de Boole. El OR exclusivo se puede comprobar de manera similar.
  11. ^ William Hamilton , (Henry L. Mansel y John Veitch , ed.), 1860 Conferencias sobre metafísica y lógica, en dos volúmenes. vol. II. Lógica , Boston: Gould y Lincoln. Hamilton murió en 1856, por lo que este es un esfuerzo de sus editores Mansel y Veitch. La mayoría de las notas a pie de página son adiciones y modificaciones de Mansel y Veitch; consulte el prefacio para obtener información general.
  12. ^ Conferencia II LÓGICA-I. SU DEFINICIÓN -AVISOS HISTÓRICOS DE OPINIONES SOBRE SU OBJETO Y DOMINIO-II. SU UTILIDAD Hamilton 1860:17–18
  13. ^ Comentario de John Perry en Russell 1912, edición de 1997, página ix
  14. ^ El tipo de implicación "simple", también conocida como implicación material, es el conectivo lógico comúnmente simbolizado por → o ⊃, por ejemplo, p ⊃ q. Como conectivo produce el valor de verdad de "falsedad" sólo cuando el valor de verdad del enunciado p es "verdad" cuando el valor de verdad del enunciado q es "falsedad"; en 1903 Russell afirma que "una definición de implicación es absolutamente imposible" (Russell 1903:14). Superará este problema en PM con la simple definición de (p ⊃ q) = def (NO-p OR q).
  15. ^ Russell 1912:66, edición de 1997
  16. ^ Russell 1912:67, edición de 1997
  17. ^ nombre = "Russell 1912:70, 1997
  18. ^ nombre = "Russell 1912:69, 1997
  19. ^ Russell 1912:70, edición de 1997
  20. ^ (4) Se puede descartar una hipótesis verdadera en una implicación y afirmar la consiguiente. Este es un principio incapaz de una declaración simbólica formal..." (Russell 1903:16)
  21. ^ Principia Mathematica edición de 1962: 94
  22. ^ Russell 1912:71, edición de 1997
  23. ↑ Por ejemplo, Alfred Tarski (Tarski 1946:47) distingue el modus ponens como una de tres " reglas de inferencia" o " reglas de prueba", y afirma que éstas "no deben confundirse con leyes lógicas". Las otras dos "reglas" son la de "definición" y la de "sustitución"; consulte la entrada en Tarski .
  24. ^ Principia Mathematica 2ª edición (1927), páginas 8 y 9.
  25. ^ Russell 1997:73 reimpresión de Russell 1912
  26. ^ Russell 1997: 88–89 reimpresión de Russell 1912
  27. ^ Russell afirma que son "evidentes" un par de veces, en Russell 1912, 1967:72
  28. ^ ab Russell 1912, 1967:73
  29. ^ "Es decir, si deseamos demostrar que existe algo de lo que no tenemos experiencia directa, debemos tener entre nuestras premisas la existencia de una o más cosas de las que tenemos experiencia directa"; Russell 1912, 1967:75
  30. ^ Russell 1912, 1967: 80–81
  31. ^ Russell 1912, 1967: 87,88
  32. ^ ab Russell 1912, 1967:93
  33. ^ En su Lógica matemática de Russell de 1944 , Gödel observa que "Lo que falta, sobre todo, es una declaración precisa de la sintaxis del formalismo. Las consideraciones sintácticas se omiten incluso en los casos en que son necesarias para la contundencia de las pruebas... La cuestión es especialmente dudosa para la regla de sustitución y de reemplazar símbolos definidos por sus definiens ... es principalmente la regla de sustitución la que tendría que ser demostrada" (Gödel 1944:124)
  34. ^ Cf. Nagel y Newman 1958:110; en su tratamiento aplican esta dicotomía a la colección de "oraciones" (fórmulas) generadas por un sistema lógico como el utilizado por Kurt Gödel en su artículo "Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia matemáticos y sistemas relacionados". Llaman a las dos clases K 1 y K 2 y definen la contradicción lógica ~S de la siguiente manera: "Una fórmula que tiene la forma ~S se coloca en [clase] K 2 , si S está en K 1 ; de lo contrario, se coloca en K 1
  35. ↑ En los comentarios introductorios al Post 1921 escritos por van Heijenoort en la página 264, van H observa que "El cálculo proposicional, extraído del sistema de Principia Mathematica , se estudia sistemáticamente en sí mismo, como un fragmento bien definido de lógica".
  36. ^ En una nota a pie de página afirmó: "Esta operación no se establece explícitamente en los Principia , pero Russell (1919, p. 151) señala que es necesaria. De hecho:" La legitimidad de las sustituciones de este tipo debe asegurarse mediante un Principio no formal de inferencia. 1 . Esta nota a pie de página 1 dice: " 1 No se enuncia tal principio en Principia Mathematica ni en el artículo de M. Nicod mencionado anteriormente. Pero esto parecería ser una omisión". cf Russell 1919:151 referenciado por Post 1921 en van Heijenoort 1967:267)
  37. ^ Después de 1921 en van Heijenoort 1967:267)
  38. ^ Comentario de van Heijenoort antes de 1921 en van Heijenoort: 264–265
  39. ^ van Heijenoort: 264
  40. ^ cf introducción a Gödel 1930 por van Heijenoort 1967:582
  41. ^ Gödel 1930 en van Heijenoort 1967:582
  42. ^ cf Boole 1854:226 LÓGICA ARISTOTELIANA. CAPÍTULO XV. [CAP. XV. LA LÓGICA ARISTOTELIANA Y SUS EXTENSIONES MODERNAS, EXAMINADA POR EL MÉTODO DE ESTE TRATADO
  43. ^ Deriva esto y un "principio del tercero excluido" ~((x)f(x))→(Ex)~f(x) de su "ε-axioma" cf Hilbert 1927 "The Foundations of Mathematics", cf van Heijenoort 1967:466
  44. ^ Edición de 1962 de PM 2.a edición 1927:139
  45. ^ Tarski 1946:ix, edición de 1995
  46. ^ cf PM ❋13 IDENTIDAD, "Resumen de ❋13" PM 1927 edición 1962:168
  47. ^ http://www.iaeng.org/publication/WCE2010/WCE2010_pp193-196.pdf [ URL básica PDF ]
  • Emil Post , 1921, Introducción a una teoría general de proposiciones elementales con comentario de van Heijenoort, páginas 264 y siguientes
  • David Hilbert , 1927, Los fundamentos de las matemáticas con comentario de van Heijenoort, páginas 464 y siguientes
  • Kurt Gödel , 1930a, La completitud de los axiomas del cálculo funcional de la lógica con comentario de van Heijenoort, páginas 592 y siguientes.

Enlaces externos