Gravedad cuántica de bucle

Teoría de la gravedad cuántica, fusión de la mecánica cuántica y la relatividad general

La gravedad cuántica de bucles ( LQG ) es una teoría de la gravedad cuántica que incorpora materia del Modelo Estándar en el marco establecido para el caso de la gravedad cuántica intrínseca. Es un intento de desarrollar una teoría cuántica de la gravedad basada directamente en la formulación geométrica de Albert Einstein en lugar del tratamiento de la gravedad como un mecanismo misterioso (fuerza). Como teoría, LQG postula que la estructura del espacio y el tiempo está compuesta de bucles finitos tejidos en una red o tejido extremadamente fino. Estas redes de bucles se denominan redes de espín . La evolución de una red de espín, o espuma de espín , tiene una escala superior al orden de una longitud de Planck , aproximadamente 10 ⁻³⁵ metros, y escalas más pequeñas no tienen sentido. En consecuencia, no sólo la materia, sino el propio espacio prefiere una estructura atómica.

Las áreas de investigación, en las que participan unos 30 grupos de investigación de todo el mundo, ^[1] comparten los supuestos físicos básicos y la descripción matemática del espacio cuántico. La investigación ha evolucionado en dos direcciones: la gravedad cuántica de bucles canónicos más tradicional y la gravedad cuántica de bucles covariantes más nueva, llamada teoría de la espuma de espín . La teoría mejor desarrollada que se ha propuesto como resultado directo de la gravedad cuántica de bucles se llama cosmología cuántica de bucles (LQC). LQC avanza en el estudio del universo temprano, incorporando el concepto de Big Bang en la teoría más amplia del Big Bounce , que visualiza el Big Bang como el comienzo de un período de expansión que sigue a un período de contracción, que ha sido descrito como la gran crisis .

Historia

En 1986, Abhay Ashtekar reformuló la relatividad general de Einstein en un lenguaje más cercano al del resto de la física fundamental, concretamente a la teoría de Yang-Mills . ^[2] Poco después, Ted Jacobson y Lee Smolin se dieron cuenta de que la ecuación formal de la gravedad cuántica, llamada ecuación de Wheeler-DeWitt , admitía soluciones etiquetadas por bucles cuando se reescribía en las nuevas variables de Ashtekar . Carlo Rovelli y Smolin definieron una teoría cuántica de la gravedad no perturbativa e independiente del fondo en términos de estas soluciones de bucle. Jorge Pullin y Jerzy Lewandowski entendieron que las intersecciones de los bucles son esenciales para la coherencia de la teoría, y la teoría debe formularse en términos de bucles o gráficos que se cruzan .

En 1994, Rovelli y Smolin demostraron que los operadores cuánticos de la teoría asociada al área y al volumen tienen un espectro discreto. ^[3] Es decir, la geometría está cuantizada. Este resultado define una base explícita de los estados de la geometría cuántica, que resultaron estar etiquetados por las redes de espín de Roger Penrose , que son gráficos etiquetados por espines .

La versión canónica de la dinámica fue establecida por Thomas Thiemann, quien definió un operador hamiltoniano libre de anomalías y demostró la existencia de una teoría matemáticamente consistente e independiente del fondo. La versión covariante, o "espín de espuma", de la dinámica fue desarrollada conjuntamente durante varias décadas por grupos de investigación en Francia, Canadá, Reino Unido, Polonia y Alemania. Se completó en 2008, lo que llevó a la definición de una familia de amplitudes de transición, que en el límite clásico puede demostrarse que está relacionada con una familia de truncamientos de la relatividad general. ^[4] La finitud de estas amplitudes se demostró en 2011. ^{[5] [6]} Requiere la existencia de una constante cosmológica positiva , que sea consistente con la aceleración observada en la expansión del Universo .

Independencia de fondo

LQG es formalmente independiente del fondo , lo que significa que las ecuaciones de LQG no están integradas ni dependen del espacio y el tiempo (excepto por su topología invariante). En cambio, se espera que den origen al espacio y al tiempo a distancias diez veces la longitud de Planck . La cuestión de la independencia de fondo en LQG todavía tiene algunas sutilezas sin resolver. Por ejemplo, algunas derivaciones requieren una elección fija de la topología , mientras que cualquier teoría cuántica de la gravedad consistente debería incluir el cambio de topología como un proceso dinámico. ^{[ cita necesaria ]}

El espacio-tiempo como "contenedor" en el que se desarrolla la física no tiene ningún significado físico objetivo, sino que la interacción gravitacional se representa simplemente como uno de los campos que forman el mundo. Esto se conoce como interpretación relacional del espacio-tiempo. En LQG este aspecto de la relatividad general se toma en serio y esta simetría se preserva exigiendo que los estados físicos permanezcan invariantes bajo los generadores de difeomorfismos . La interpretación de esta condición se entiende bien para difeomorfismos puramente espaciales . Sin embargo, la comprensión de los difeomorfismos que involucran el tiempo (la restricción hamiltoniana ) es más sutil porque está relacionada con la dinámica y el llamado " problema del tiempo " en la relatividad general. ^[7] Aún no se ha encontrado un marco de cálculo generalmente aceptado para tener en cuenta esta restricción. ^{[8] [9]} Un candidato plausible para la restricción hamiltoniana cuántica es el operador introducido por Thiemann. ^[10]

Restricciones y su álgebra de corchetes de Poisson

Observables de Dirac

Las restricciones definen una superficie de restricción en el espacio de fase original. Los movimientos de calibre de las restricciones se aplican a todo el espacio de fase, pero tienen la característica de que abandonan la superficie de restricción donde está y, por lo tanto, la órbita de un punto en la hipersuperficie bajo transformaciones de calibre será una órbita completamente dentro de ella. Los observables de Dirac se definen como funciones del espacio de fase , que Poisson conmuta con todas las restricciones cuando se imponen las ecuaciones de restricción, ${\displaystyle O}$

${\displaystyle \{G_{j},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{C_{a},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{H,O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=0,}$

es decir, son cantidades definidas en la superficie de restricción que son invariantes bajo las transformaciones de calibre de la teoría.

Luego, resolver solo la restricción y determinar los observables de Dirac con respecto a ella nos lleva de regreso al espacio de fase de Arnowitt-Deser-Misner (ADM) con restricciones . La dinámica de la relatividad general es generada por las restricciones, se puede demostrar que se pueden obtener seis ecuaciones de Einstein que describen la evolución del tiempo (en realidad una transformación de calibre) calculando los corchetes de Poisson de la tres métrica y su momento conjugado con una combinación lineal de el difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana. La desaparición de las restricciones, dando lugar al espacio de fase física, son las otras cuatro ecuaciones de Einstein. ^[11] ${\displaystyle G_{j}=0}$ ${\displaystyle H,C_{a}}$

Cuantización de las restricciones – las ecuaciones de la relatividad general cuántica

La prehistoria y las nuevas variables de Ashtekar

Muchos de los problemas técnicos de la gravedad cuántica canónica giran en torno a las limitaciones. La relatividad general canónica se formuló originalmente en términos de variables métricas, pero parecía haber dificultades matemáticas insuperables para promover las restricciones de los operadores cuánticos debido a su dependencia altamente no lineal de las variables canónicas. Las ecuaciones se simplificaron mucho con la introducción de las nuevas variables de Ashtekar. Las variables de Ashtekar describen la relatividad general canónica en términos de un nuevo par de variables canónicas más cercanas a las de las teorías de calibre. El primer paso consiste en utilizar tríadas densitizadas (una tríada son simplemente tres campos vectoriales ortogonales etiquetados por y la tríada densitizada está definida por ) para codificar información sobre la métrica espacial, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\displaystyle E_{i}^{a}}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$

${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}.}$

(donde está la métrica del espacio plano, y la ecuación anterior expresa que , cuando se escribe en términos de la base , es localmente plano). (Formular la relatividad general con tríadas en lugar de métricas no era nuevo). Las tríadas densificadas no son únicas y, de hecho, se puede realizar una rotación local en el espacio con respecto a los índices internos . La variable canónicamente conjugada está relacionada con la curvatura extrínseca por . Pero surgen problemas similares al uso de la formulación métrica cuando se intenta cuantificar la teoría. La nueva idea de Ashtekar fue introducir una nueva variable de configuración, ${\displaystyle \delta ^{ij}}$ ${\displaystyle q^{ab}}$ ${\displaystyle E_{i}^{a}}$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$

que se comporta como una conexión compleja donde se relaciona con la llamada conexión de espín vía . Aquí se llama conexión de espín quiral. Define una derivada covariante . Resulta que es el impulso conjugado de , y juntos forman las nuevas variables de Ashtekar. ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$

Las expresiones para las restricciones en las variables Ashtekar; El teorema de Gauss, la restricción del difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana (densizada) se leen entonces:

${\displaystyle G^{i}={\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0}$

${\displaystyle C_{a}={\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-A_{a}^{i}({\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b})=V_{a}-A_{a}^{i}G^{i}=0,}$

${\displaystyle {\tilde {H}}=\epsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0}$

respectivamente, donde es el tensor de intensidad de campo de la conexión y donde se denomina restricción vectorial. La invariancia rotacional local en el espacio mencionada anteriormente es el original de la invariancia de calibre aquí expresada por el teorema de Gauss. Tenga en cuenta que estas restricciones son polinómicas en las variables fundamentales, a diferencia de las restricciones en la formulación métrica. Esta espectacular simplificación pareció abrir el camino a la cuantificación de las restricciones. (Consulte el artículo Acción autodual de Palatini para obtener una derivación del formalismo de Ashtekar). ${\displaystyle F_{ab}^{i}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

Con las nuevas variables de Ashtekar, dada la variable de configuración , es natural considerar funciones de onda . Esta es la representación de la conexión. Es análoga a la mecánica cuántica ordinaria con configuración variable y funciones de onda . La variable de configuración se promueve a operador cuántico a través de: ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi (A)=A_{a}^{i}\Psi (A),}$

(análogo a ) y las tríadas son derivados (funcionales), ${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E_{i}^{a}}}}\Psi (A)=-i{\delta \Psi (A) \over \delta A_{a}^{i}}.}$

(análogo a ). Al pasar a la teoría cuántica, las restricciones se convierten en operadores en un espacio cinemático de Hilbert (el espacio no restringido de Yang-Mills Hilbert). Tenga en cuenta que el orden diferente de los 's y 's cuando se reemplazan los 's con derivados da lugar a diferentes operadores; la elección realizada se denomina ordenamiento de los factores y debe elegirse mediante razonamiento físico. Formalmente leen ${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}}$

${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\vert \psi \rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {C}}_{a}\vert \psi \rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}\vert \psi \rangle =0.}$

Todavía existen problemas para definir adecuadamente todas estas ecuaciones y resolverlas. Por ejemplo, la restricción hamiltoniana con la que trabajó Ashtekar fue la versión densitizada en lugar de la hamiltoniana original, es decir, trabajó con . Hubo serias dificultades para promover esta cantidad a un operador cuántico. Además, aunque las variables de Ashtekar tenían la virtud de simplificar el hamiltoniano, son complejas. Cuando se cuantifica la teoría, es difícil garantizar que se recupere la relatividad general real en contraposición a la relatividad general compleja. ${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$

Restricciones cuánticas como ecuaciones de la relatividad general cuántica

El resultado clásico del paréntesis de Poisson de la ley de Gauss difusa con las conexiones es ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$

${\displaystyle \{G(\lambda ),A_{a}^{i}\}=\partial _{a}\lambda ^{i}+g\epsilon ^{ijk}A_{a}^{j}\lambda ^{k}=(D_{a}\lambda )^{i}.}$

La ley cuántica de Gauss dice

${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\Psi (A)=-iD_{a}{\delta \lambda \Psi [A] \over \delta A_{a}^{j}}=0.}$

Si uno difama la ley cuántica de Gauss y estudia su acción sobre el estado cuántico, encuentra que la acción de la restricción sobre el estado cuántico es equivalente a cambiar el argumento de por una transformación de calibre infinitesimal (en el sentido del parámetro pequeño), ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \left[1+\int d^{3}x\lambda ^{j}(x){\hat {G}}_{j}\right]\Psi (A)=\Psi [A+D\lambda ]=\Psi [A],}$

y la última identidad proviene del hecho de que la coacción aniquila al Estado. Entonces, la restricción, como operador cuántico, impone la misma simetría que su desaparición impuso clásicamente: nos dice que las funciones tienen que ser funciones invariantes de calibre de la conexión. La misma idea es válida para las otras restricciones. ${\displaystyle \Psi [A]}$

Por lo tanto, el proceso de dos pasos en la teoría clásica de resolver las restricciones (equivalente a resolver las condiciones de admisibilidad de los datos iniciales) y buscar las órbitas de calibre (resolver las ecuaciones de 'evolución') se reemplaza por un proceso de un solo paso en la teoría cuántica. teoría, es decir, la búsqueda de soluciones de las ecuaciones cuánticas . Esto se debe a que obviamente resuelve la restricción a nivel cuántico y simultáneamente busca estados que sean invariantes de calibre porque es el generador cuántico de transformaciones de calibre (las funciones invariantes de calibre son constantes a lo largo de las órbitas de calibre y, por lo tanto, las caracterizan). ^[12] Recordemos que, en el nivel clásico, resolver las condiciones de admisibilidad y las ecuaciones de evolución era equivalente a resolver todas las ecuaciones de campo de Einstein, esto subraya el papel central de las ecuaciones de restricción cuántica en la gravedad cuántica canónica. ${\displaystyle C_{I}=0}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$ ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$

Introducción de la representación de bucle.

Fue en particular la incapacidad de tener un buen control sobre el espacio de las soluciones a la ley de Gauss y las restricciones del difeomorfismo espacial lo que llevó a Rovelli y Smolin a considerar la representación de bucles en las teorías de calibre y la gravedad cuántica . ^[13]

LQG incluye el concepto de holonomía . Una holonomía es una medida de cuánto difieren los valores inicial y final de un espinor o vector después del transporte paralelo alrededor de un circuito cerrado; se denota

${\displaystyle h_{\gamma }[A]}$.

El conocimiento de las holonomías equivale al conocimiento de la conexión, hasta la equivalencia de calibre. Las holonomías también pueden asociarse con una ventaja; bajo una ley de Gauss estos se transforman como

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y).}$

Para un circuito cerrado y suponiendo , se obtiene ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$

o

${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$

Se escribe la huella de una holonomía alrededor de un circuito cerrado

${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$

y se llama bucle de Wilson. Por tanto, los bucles de Wilson son invariantes de calibre. La forma explícita de la Holonomía es

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$

donde es la curva a lo largo de la cual se evalúa la holonomía, y es un parámetro a lo largo de la curva, denota el ordenamiento de la ruta, los factores de significado para valores más pequeños de aparecen a la izquierda y son matrices que satisfacen el álgebra ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T_{k}.}$

Las matrices de Pauli satisfacen la relación anterior. Resulta que hay infinitos más ejemplos de conjuntos de matrices que satisfacen estas relaciones, donde cada conjunto comprende matrices con , y donde no se puede pensar que ninguno de ellos se "descomponga" en dos o más ejemplos de dimensión inferior. Se denominan distintas representaciones irreductibles del álgebra. La representación más fundamental son las matrices de Pauli. La holonomía está etiquetada por un medio entero según la representación irreducible utilizada. ${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$ ${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle N/2}$

El uso de bucles de Wilson resuelve explícitamente la restricción de calibre de Gauss. Se requiere representación en bucle para manejar la restricción del difeomorfismo espacial. Con los bucles de Wilson como base, cualquier función invariante del calibre de Gauss se expande como,

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A].}$

Esto se llama transformada de bucle y es análoga a la representación del momento en la mecánica cuántica (ver Posición y espacio de momento ). La representación QM tiene una base de estados etiquetados por un número y se expande a medida que ${\displaystyle \exp(ikx)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).}$

y trabaja con los coeficientes de expansión. ${\displaystyle \psi (k).}$

La transformada de bucle inverso está definida por

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A].}$

Esto define la representación del bucle. Dado un operador en la representación de la conexión, ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]\qquad Eq\;1,}$

uno debe definir el operador correspondiente en la representación del bucle a través de, ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ]\qquad Eq\;2,}$

donde está definido por la transformación de bucle inverso habitual, ${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A]\qquad Eq\;3.}$

Luego se obtiene una fórmula de transformación que da la acción del operador en en términos de la acción del operador en igualando el RHS de con el RHS de con sustituido en , es decir ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \Psi [A]}$ ${\displaystyle Eq\;2}$ ${\displaystyle Eq\;3}$ ${\displaystyle Eq\;1}$ ${\displaystyle Eq\;3}$

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A],}$

o

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A],}$

donde significa el operador pero con el orden de los factores inverso (recuerde de la mecánica cuántica simple donde el producto de los operadores se invierte bajo conjugación). La acción de este operador sobre el bucle de Wilson se evalúa como un cálculo en la representación de la conexión y el resultado se reordena puramente como una manipulación en términos de bucles (con respecto a la acción sobre el bucle de Wilson, el operador transformado elegido es el que tiene el ordenamiento de factores opuesto al utilizado para su acción sobre las funciones de onda ). Esto da el significado físico del operador . Por ejemplo, si corresponde a un difeomorfismo espacial, entonces se puede considerar que esto mantiene el campo de conexión de dónde está mientras se realiza un difeomorfismo espacial . Por tanto, el significado de es un difeomorfismo espacial sobre el argumento de . ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \Psi [A]}$ ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

En la representación de bucle, la restricción del difeomorfismo espacial se resuelve considerando funciones de bucles que son invariantes bajo difeomorfismos espaciales del bucle . Es decir, se utilizan invariantes de nudos . Esto abre una conexión inesperada entre la teoría de nudos y la gravedad cuántica. ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ ${\displaystyle \gamma }$

Cualquier colección de bucles de Wilson que no se intersectan satisface la restricción hamiltoniana cuántica de Ashtekar. Utilizando un orden particular de términos y reemplazándolos por una derivada, la acción de la restricción hamiltoniana cuántica sobre un bucle de Wilson es ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}^{\dagger }W_{\gamma }[A]=-\epsilon _{ijk}{\hat {F}}_{ab}^{k}{\frac {\delta }{\delta A_{a}^{i}}}{\frac {\delta }{\delta A_{b}^{j}}}W_{\gamma }[A].}$

Cuando se toma una derivada, se reduce el vector tangente, , del bucle, . Entonces, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\hat {F}}_{ab}^{i}{\dot {\gamma }}^{a}{\dot {\gamma }}^{b}.}$

Sin embargo, as es antisimétrico en los índices y esto desaparece (esto supone que no es discontinuo en ninguna parte y, por lo tanto, el vector tangente es único). ${\displaystyle F_{ab}^{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \gamma }$

Con respecto a la representación del bucle, las funciones de onda desaparecen cuando el bucle tiene discontinuidades y son invariantes de nudo. Tales funciones resuelven la ley de Gauss, la restricción del difeomorfismo espacial y (formalmente) la restricción hamiltoniana. ¡Esto produce un conjunto infinito de soluciones exactas (aunque solo formales) para todas las ecuaciones de la relatividad general cuántica! ^[13] Esto generó mucho interés en el enfoque y finalmente condujo a LQG. ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

Operadores geométricos, la necesidad de intersecar bucles de Wilson y estados de redes de espín

La cantidad geométrica más sencilla es el área. Elijamos coordenadas para que la superficie se caracterice por . El área del paralelogramo pequeño de la superficie es el producto de la longitud de cada lado por donde es el ángulo entre los lados. Digamos que una arista está dada por el vector y la otra por entonces, ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle x^{3}=0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle A=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}}$

En el espacio abarcado por y hay un paralelogramo infinitesimal descrito por y . Usando (donde los índices van de 1 a 2), se obtiene el área de la superficie dada por ${\displaystyle x^{1}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {e}}_{2}dx^{2}}$ ${\displaystyle q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {\det \left(q^{(2)}\right)}}}$

donde y es el determinante de la métrica inducida en . Este último se puede reescribir donde los índices van de 1 a 2. Esto se puede reescribir aún más como ${\displaystyle \det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2}$ ${\displaystyle A\dots D}$

${\displaystyle \det(q^{(2)})={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}.}$

La fórmula estándar para una matriz inversa es

${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}.}$

Hay una similitud entre esto y la expresión para . Pero en las variables Ashtekar ,. Por lo tanto, ${\displaystyle \det(q^{(2)})}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}.}$

Según las reglas de la cuantificación canónica, las tríadas deberían convertirse en operadores cuánticos, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}.}$

El área puede ascender a un operador cuántico bien definido a pesar de que contiene un producto de dos derivadas funcionales y una raíz cuadrada. ^[14] Poniendo ( -ésima representación), ${\displaystyle A_{\Sigma }}$ ${\displaystyle N=2J}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1.}$

Esta cantidad es importante en la fórmula final para el espectro de área. El resultado es

${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{\text{Planck}}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$

donde la suma abarca todos los bordes del bucle de Wilson que perforan la superficie . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Sigma }$

La fórmula para el volumen de una región está dada por ${\displaystyle R}$

${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}=\int _{R}dx^{3}{\sqrt {{\frac {1}{3!}}\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.}$

La cuantización del volumen se realiza del mismo modo que con el área. Cada vez que se toma la derivada, reduce el vector tangente , y cuando el operador de volumen actúa sobre bucles de Wilson que no se cruzan, el resultado desaparece. Por tanto, los estados cuánticos con volumen distinto de cero deben implicar intersecciones. Dado que la suma antisimétrica se toma en la fórmula del volumen, necesita intersecciones con al menos tres líneas no coplanares . Se necesitan al menos cuatro vértices valentes para que el operador de volumen no desaparezca. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$

Suponiendo la representación real de dónde está el grupo de calibres , los bucles de Wilson son una base demasiado completa ya que hay identidades que relacionan diferentes bucles de Wilson. Esto ocurre porque los bucles de Wilson se basan en matrices (la holonomía) y estas matrices satisfacen identidades. Dadas dos matrices cualesquiera y , ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1}).}$

Esto implica que dados dos bucles y que se cruzan, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$

donde por nos referimos al bucle recorrido en la dirección opuesta y significa el bucle obtenido al rodear el bucle y luego a lo largo . Vea la figura a continuación. Dado que las matrices son unitarias se tiene eso . También dada la propiedad cíclica de las trazas de la matriz (es decir ), se tiene eso . Estas identidades se pueden combinar entre sí en otras identidades de complejidad creciente agregando más bucles. Estas identidades son las llamadas identidades Mandelstam. Algunas redes de espín son combinaciones lineales de bucles de Wilson que se cruzan diseñados para abordar la sobrecompletitud introducida por las identidades de Mandelstam (para las intersecciones trivalentes eliminan la sobrecompletitud por completo) y en realidad constituyen una base para todas las funciones invariantes de calibre. ${\displaystyle \eta ^{-1}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \gamma \circ \eta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )}$ ${\displaystyle W_{\gamma \circ \eta }[A]=W_{\eta \circ \gamma }[A]}$

Representación gráfica de la identidad de Mandelstam más simple y no trivial que relaciona diferentes bucles de Wilson

Como se mencionó anteriormente, la holonomía le dice a uno cómo propagar las medias partículas de espín de prueba. El estado de una red de espín asigna una amplitud a un conjunto de semipartículas de espín que trazan un camino en el espacio, fusionándose y dividiéndose. Estos se describen mediante redes de espines : los bordes están etiquetados por espines junto con 'entrelazadores' en los vértices que son una receta sobre cómo sumar las diferentes formas en que se redireccionan los espines. La suma del redireccionamiento se elige como tal para hacer que la forma del entrelazador sea invariante bajo las transformaciones de calibre de Gauss. ${\displaystyle \gamma }$

Restricción hamiltoniana de LQG

En la larga historia de la gravedad cuántica canónica, formular la restricción hamiltoniana como un operador cuántico ( ecuación de Wheeler-DeWitt ) de una manera matemáticamente rigurosa ha sido un problema formidable. Fue en la representación del bucle que finalmente se formuló en 1996 una restricción hamiltoniana matemáticamente bien definida. ^[10] Dejamos más detalles de su construcción en el artículo Restricción hamiltoniana de LQG . Esto, junto con las versiones cuánticas de la ley de Gauss y las restricciones del difeomorfismo espacial escritas en la representación del bucle, son las ecuaciones centrales de LQG (relatividad general cuántica canónica moderna).

Encontrar los estados que son aniquilados por estas restricciones (los estados físicos) y encontrar el producto interno físico correspondiente y los observables es el objetivo principal de la parte técnica de LQG.

Un aspecto importante del operador hamiltoniano es que solo actúa en los vértices (una consecuencia de esto es que el operador hamiltoniano de Thiemann, al igual que el operador de Ashtekar, aniquila los bucles que no se cruzan excepto que ahora no es solo formal y tiene un significado matemático riguroso). Más precisamente, su acción es distinta de cero en al menos los vértices de valencia tres y mayores y da como resultado una combinación lineal de nuevas redes de espín donde el gráfico original ha sido modificado mediante la suma de líneas en cada vértice y un cambio en las etiquetas. de los enlaces adyacentes del vértice. ^{[ cita necesaria ]}

Espumas giratorias

En la gravedad cuántica de bucles (LQG), una red de espín representa un "estado cuántico" del campo gravitacional en una hipersuperficie tridimensional . El conjunto de todas las redes de espín posibles (o, más exactamente, "nudos s", es decir, clases de equivalencia de redes de espín bajo difeomorfismos) es contable; constituye una base del espacio LQG Hilbert .

En física, una espuma de espín es una estructura topológica hecha de caras bidimensionales que representa una de las configuraciones que deben sumarse para obtener una descripción integral de trayectoria de Feynman (integración funcional) de la gravedad cuántica. Está estrechamente relacionado con la gravedad cuántica de bucles.

Espuma giratoria derivada del operador de restricción hamiltoniano

Sobre esta sección ver ^[15] y las referencias allí contenidas. La restricción hamiltoniana genera una evolución del "tiempo". Resolver la restricción hamiltoniana debería decirnos cómo evolucionan los estados cuánticos en el "tiempo" desde un estado inicial de red de espín hasta un estado final de red de espín. Un método para resolver la restricción hamiltoniana comienza con lo que se llama función delta de Dirac . La suma de las cuales en diferentes secuencias de acciones se puede visualizar como una suma de diferentes historias de 'vértices de interacción' en la evolución del 'tiempo' que envía la red de espín inicial a la red de espín final. Cada vez que actúa un operador hamiltoniano lo hace añadiendo una nueva arista en el vértice.

Esto, naturalmente, da lugar al complejo de dos (un conjunto combinatorio de caras que se unen a lo largo de los bordes, que a su vez se unen en los vértices) que subyace a la descripción de la espuma giratoria; Si desarrollamos una red de espín inicial que barre una superficie, la acción del operador de restricción hamiltoniano es producir una nueva superficie plana comenzando en el vértice. Podemos utilizar la acción de la restricción hamiltoniana en el vértice de un estado de red de espín para asociar una amplitud a cada "interacción" (en analogía con los diagramas de Feynman ). Vea la figura a continuación. Esto abre una manera de intentar vincular directamente el LQG canónico con una descripción integral de ruta. Así como las redes de espín describen el espacio cuántico, cada configuración que contribuye a estas integrales de trayectoria, o sumas a lo largo de la historia, describe el "espacio-tiempo cuántico". Debido a su parecido con las espumas de jabón y la forma en que están etiquetadas, John Baez dio a estos "espacio-tiempos cuánticos" el nombre de "espumas giratorias".

La acción de la restricción hamiltoniana se tradujo en la integral de trayectoria o la llamada descripción de espuma de espín. Un solo nodo se divide en tres nodos, creando un vértice de espuma giratoria. es el valor de en el vértice y son los elementos de la matriz de la restricción hamiltoniana . ${\displaystyle N(x_{n})}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle H_{nop}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Sin embargo, existen graves dificultades con este enfoque particular; por ejemplo, el operador hamiltoniano no es autoadjunto; de hecho, ni siquiera es un operador normal (es decir, el operador no conmuta con su adjunto) y, por lo tanto, el teorema espectral no se puede utilizar para definir el exponencial en general. El problema más grave es que los 's no se conmutan entre sí, por lo que se puede demostrar que la cantidad formal ni siquiera puede definir un proyector (generalizado). La restricción maestra (ver más abajo) no sufre estos problemas y como tal ofrece una manera de conectar la teoría canónica con la formulación de integral de trayectoria. ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$ ${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$

Espumas giratorias según la teoría BF

Resulta que existen rutas alternativas para formular la integral de trayectoria, aunque su conexión con el formalismo hamiltoniano es menos clara. Una forma es comenzar con la teoría BF . Esta es una teoría más simple que la relatividad general, no tiene grados de libertad locales y como tal depende sólo de aspectos topológicos de los campos. La teoría BF es lo que se conoce como teoría de campos topológicos . Sorprendentemente, resulta que la relatividad general se puede obtener a partir de la teoría BF imponiendo una restricción, ^[16] La teoría BF implica un campo y si se elige que el campo sea el producto (antisimétrico) de dos tétradas ${\displaystyle B_{ab}^{IJ}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B_{ab}^{IJ}={1 \over 2}\left(E_{a}^{I}E_{b}^{J}-E_{b}^{I}E_{a}^{J}\right)}$

(las tétradas son como las tríadas pero en cuatro dimensiones espacio-temporales), se recupera la relatividad general. La condición de que el campo esté dado por el producto de dos tétradas se llama restricción de simplicidad. La dinámica de la espuma de espín de la teoría de campos topológicos se comprende bien. Dadas las amplitudes de 'interacción' de la espuma de espín para esta teoría simple, se intenta implementar las condiciones de simplicidad para obtener una integral de trayectoria para la relatividad general. La tarea no trivial de construir un modelo de espuma de espín se reduce entonces a la cuestión de cómo debería imponerse esta restricción de simplicidad en la teoría cuántica. El primer intento fue el famoso modelo de Barrett-Crane . ^[17] Sin embargo, se demostró que este modelo era problemático; por ejemplo, no parecía haber suficientes grados de libertad para garantizar el límite clásico correcto. ^[18] Se ha argumentado que la restricción de simplicidad se impuso con demasiada fuerza a nivel cuántico y solo debería imponerse en el sentido de valores esperados, tal como ocurre con la condición de calibre de Lorenz en el formalismo de electrodinámica cuántica de Gupta-Bleuler . Ahora se han propuesto nuevos modelos, a veces motivados por imponer las condiciones de simplicidad en un sentido más débil. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }{\hat {A}}^{\mu }}$

Otra dificultad aquí es que las espumas de espín se definen según una discretización del espacio-tiempo. Si bien esto no presenta problemas para una teoría de campos topológicos, ya que no tiene grados de libertad locales, presenta problemas para GR. Esto se conoce como el problema de la dependencia de la triangularización.

Formulación moderna de espumas giratorias.

Así como imponer la restricción de simplicidad clásica recupera la relatividad general de la teoría BF, se espera que una restricción de simplicidad cuántica apropiada recupere la gravedad cuántica de la teoría cuántica BF.

^{Engle, Pereira y Rovelli, [19],} Freidel y Krasnov ^[20] y Livine y Speziale ^[21] han avanzado en este tema al definir amplitudes de interacción de la espuma de hilado con mejor comportamiento.

Se ha intentado establecer contacto entre la espuma giratoria EPRL-FK y la formulación canónica de LQG. ^[22]

Espuma giratoria derivada del operador de restricción maestra

Vea abajo.

El límite semiclásico y la gravedad cuántica de bucles.

El límite clásico es la capacidad de una teoría física para aproximarse a la mecánica clásica. Se utiliza con teorías físicas que predicen comportamientos no clásicos. ^{[ cita necesaria ]} Cualquier teoría candidata de la gravedad cuántica debe poder reproducir la teoría de la relatividad general de Einstein como un límite clásico de una teoría cuántica . Esto no está garantizado debido a una característica de las teorías cuánticas de campos, que es que tienen diferentes sectores, que son análogos a las diferentes fases que se producen en el límite termodinámico de los sistemas estadísticos. Así como las diferentes fases son físicamente diferentes, también lo son los diferentes sectores de una teoría cuántica de campos. Puede resultar que LQG pertenezca a un sector no físico, uno en el que no se recupera la relatividad general en el límite semiclásico o puede que no exista ningún sector físico.

Además, el espacio físico de Hilbert debe contener suficientes estados semiclásicos para garantizar que la teoría cuántica obtenida pueda volver a la teoría clásica al evitar anomalías cuánticas ; de lo contrario, habrá restricciones en el espacio físico de Hilbert que no tienen contrapartida en la teoría clásica, lo que implica que la teoría cuántica tiene menos grados de libertad que la teoría clásica. ${\displaystyle H_{phys}}$ ${\displaystyle \hbar \to 0}$

Teoremas que establecen la unicidad de la representación del bucle según lo definido por Ashtekar et al. (es decir, una cierta realización concreta de un espacio de Hilbert y operadores asociados que reproducen el álgebra de bucles correcta) han sido dados por dos grupos (Lewandowski, Okolow, Sahlmann y Thiemann; ^[23] y Christian Fleischhack ^[24] ). Antes de que se estableciera este resultado, no se sabía si podría haber otros ejemplos de espacios de Hilbert con operadores que invocaran el mismo álgebra de bucles (otras realizaciones no equivalentes a la que se había utilizado). Estos teoremas de unicidad implican que no existen otros, por lo que si LQG no tiene el límite semiclásico correcto, entonces los teoremas significarían el final de la representación en bucle de la gravedad cuántica.

Dificultades y avances comprobando el límite semiclásico

Hay una serie de dificultades al intentar establecer LQG que da la teoría de la relatividad general de Einstein en el límite semiclásico:

1. No hay ningún operador correspondiente a difeomorfismos espaciales infinitesimales (no es sorprendente que la teoría no tenga un generador de 'traducciones' espaciales infinitesimales, ya que predice que la geometría espacial tiene una naturaleza discreta, en comparación con la situación en la materia condensada). En cambio, debe aproximarse mediante difeomorfismos espaciales finitos, por lo que la estructura de corchetes de Poisson de la teoría clásica no se reproduce exactamente. Este problema se puede solucionar con la introducción de la llamada restricción maestra (ver más abajo). ^[25]
2. Existe el problema de conciliar la naturaleza combinatoria discreta de los estados cuánticos con la naturaleza continua de los campos de la teoría clásica.
3. Existen serias dificultades que surgen de la estructura de los corchetes de Poisson que involucran el difeomorfismo espacial y las restricciones hamiltonianas. En particular, el álgebra de las restricciones hamiltonianas (manchadas) no se cierra: es proporcional a una suma de difeomorfismos espaciales infinitesimales (que, como se señaló anteriormente, no existe en la teoría cuántica) donde los coeficientes de proporcionalidad no son constantes sino que tienen dependencia del espacio de fases no trivial; como tal, no forma un álgebra de Lie . Sin embargo, la situación mejora con la introducción de la restricción maestra. ^[25]
4. La maquinaria semiclásica desarrollada hasta ahora sólo es apropiada para operadores que no cambian el gráfico; sin embargo, la restricción hamiltoniana de Thiemann es un operador que cambia el gráfico: el nuevo gráfico que genera tiene grados de libertad de los cuales el estado coherente no depende y, por lo tanto, su capacidad cuántica. las fluctuaciones no se suprimen. También existe la restricción, hasta ahora, de que estos estados coherentes sólo se definen en el nivel cinemático, y ahora hay que elevarlos al nivel de y . Se puede demostrar que es necesario que la restricción hamiltoniana de Thiemann cambie la gráfica para resolver el problema 3 en algún sentido. Sin embargo, el álgebra de restricción maestra es trivial, por lo que se puede eliminar el requisito de que cambie el gráfico y, de hecho, se han definido operadores de restricción maestra que no cambian el gráfico. Hasta donde se sabe actualmente, este problema aún está fuera de nuestro alcance. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$
5. La formulación de observables para la relatividad general clásica es un problema formidable debido a su naturaleza no lineal y su invariancia del difeomorfismo espacio-temporal. Recientemente se ha desarrollado un esquema de aproximación sistemática para calcular observables. ^{[26] [27]}

Las dificultades al intentar examinar el límite semiclásico de la teoría no deben confundirse con que tenga un límite semiclásico incorrecto.

Con respecto al problema número 2 anterior, considere los llamados estados de tejido. Las mediciones ordinarias de cantidades geométricas son macroscópicas y la discreción planckiana se suaviza. La tela de una camiseta es análoga: desde lejos es una superficie bidimensional curva y suave, pero si la examinamos más de cerca vemos que en realidad está compuesta por miles de hilos unidimensionales unidos. La imagen del espacio dada en LQG es similar. Considere una gran red de espín formada por una gran cantidad de nodos y enlaces, cada uno de los cuales es de escala de Planck . Probado a escala macroscópica, aparece como una geometría métrica continua tridimensional.

Para entrar en contacto con la física de bajas energías es obligatorio desarrollar esquemas de aproximación tanto para el producto físico interno como para los observables de Dirac; Los modelos de espuma de hilatura que se han estudiado intensamente pueden verse como vías hacia esquemas de aproximación para dicho producto interno físico.

Markopoulou, et al. Adoptó la idea de subsistemas silenciosos en un intento de resolver el problema del límite de baja energía en las teorías de gravedad cuánticas independientes de fondo. ^{[28] [29]} La idea ha llevado a la posibilidad de que la materia del modelo estándar se identifique con grados de libertad emergentes de algunas versiones de LQG (ver la sección a continuación: LQG y programas de investigación relacionados ).

Como enfatizó Wightman en la década de 1950, en las QFT de Minkowski el punto funciona ${\displaystyle n-}$

${\displaystyle W(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|\phi (x_{n})\dots \phi (x_{1})|0\rangle ,}$

determinar completamente la teoría. En particular, a partir de estas cantidades se pueden calcular las amplitudes de dispersión. Como se explica a continuación en la sección sobre amplitudes de dispersión independientes del fondo , en el contexto independiente del fondo, las funciones puntuales se refieren a un estado y en gravedad ese estado puede codificar naturalmente información sobre una geometría específica que luego puede aparecer en las expresiones de estas cantidades. . En primer lugar, se ha demostrado que los cálculos LQG concuerdan en un sentido apropiado con las funciones puntuales calculadas en la relatividad general cuántica efectiva de baja energía. ${\displaystyle n-}$ ${\displaystyle n-}$

Dinámica mejorada y la restricción maestra.

La restricción maestra

El programa de restricciones maestras de Thiemann para la gravedad cuántica de bucles (LQG) se propuso como una forma clásicamente equivalente de imponer el número infinito de ecuaciones de restricciones hamiltonianas en términos de una única restricción maestra , que involucra el cuadrado de las restricciones en cuestión. Una objeción inicial al uso de la restricción maestra fue que a primera vista no parecía codificar información sobre los observables; debido a que la restricción Maestra es cuadrática en la restricción, cuando se calcula su corchete de Poisson con cualquier cantidad, el resultado es proporcional a la restricción, por lo tanto desaparece cuando se imponen las restricciones y, como tal, no selecciona funciones particulares del espacio de fase. Sin embargo, se comprendió que la condición ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \{O,\{O,M\}\}_{M=0}=0,}$

es donde hay al menos una función dos veces diferenciable en el espacio de fase equivalente a ser un Dirac débil observable con respecto a las restricciones en cuestión. Entonces, la restricción maestra captura información sobre los observables. Por su importancia, se la conoce como ecuación maestra. ^[30] ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$

El hecho de que el álgebra maestra de Poisson con restricciones sea un álgebra de Lie honesta abre la posibilidad de utilizar un método, conocido como promediado de grupos, para construir soluciones del número infinito de restricciones hamiltonianas, un producto físico interno de las mismas y observables de Dirac a través de lo que se conoce como Cuantización algebraica refinada, o RAQ. ^[31]

La restricción maestra cuántica

Defina la restricción maestra cuántica (aparte de las cuestiones de regularización) como

${\displaystyle {\hat {M}}:=\int d^{3}x{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}^{\dagger }(x){\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x).}$

Obviamente,

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0}$

para todo implica . Por el contrario, si entonces ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$ ${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$

${\displaystyle 0=\left\langle \Psi ,{\hat {M}}\Psi \right\rangle =\int d^{3}x\left\|{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \right\|^{2}\qquad Eq\;4}$

implica

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0}$.

Primero calcule los elementos de la matriz del posible operador , es decir, la forma cuadrática . es una forma cuadrática invariante de difeomorfismo que cambia de gráfico y que no puede existir en el espacio cinemático de Hilbert y debe definirse en . Dado que el operador de restricción maestra está densamente definido en , entonces es un operador positivo y simétrico en . Por lo tanto, la forma cuadrática asociada con se puede cerrar. La clausura de es la forma cuadrática de un operador autoadjunto único , llamado extensión de Friedrichs de . Reetiquetamos por simplicidad. ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle H_{Kin}}$ ${\displaystyle H_{Diff}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle H_{Diff}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle H_{Diff}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$

Tenga en cuenta que la presencia de un producto interno, a saber, la ecuación 4, significa que no hay soluciones superfluas, es decir, no existen soluciones que ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \not =0,}$

pero para cual . ${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$

También es posible construir una forma cuadrática para lo que se llama la restricción maestra extendida (que se analiza a continuación) en la que también involucra la integral ponderada del cuadrado de la restricción del difeomorfismo espacial (esto es posible porque no cambia el gráfico). ${\displaystyle Q_{M_{E}}}$ ${\displaystyle H_{Kin}}$ ${\displaystyle Q_{M_{E}}}$

El espectro de la restricción maestra puede no contener cero debido a efectos normales o de ordenamiento de factores que son finitos pero de naturaleza similar a las energías infinitas del vacío de las teorías cuánticas de campos dependientes del fondo. En este caso resulta físicamente correcto reemplazar con siempre que la "constante de orden normal" desaparezca en el límite clásico, es decir, ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}}$

${\displaystyle \lim _{\hbar \to 0}\min(spec({\hat {M}}))=0,}$

entonces esa es una cuantificación válida de . ${\displaystyle {\hat {M}}'}$ ${\displaystyle M}$

Probando la restricción maestra

Las restricciones en su forma primitiva son bastante singulares, esta fue la razón para integrarlas sobre funciones de prueba para obtener restricciones difusas. Sin embargo, parecería que la ecuación para la restricción maestra, dada anteriormente, es aún más singular al involucrar el producto de dos restricciones primitivas (aunque integradas en el espacio). Cuadrar la restricción es peligroso ya que podría empeorar el comportamiento ultravioleta del operador correspondiente y, por lo tanto, el programa de restricción maestro debe abordarse con cuidado.

Al hacerlo, el programa maestro de restricciones ha sido probado satisfactoriamente en una serie de sistemas modelo con álgebras de restricciones no triviales y teorías de campos libres e interactuantes. ^{[32] [33] [34] [35] [36]} La restricción maestra para LQG se estableció como un operador autoadjunto positivo genuino y se demostró que el espacio físico de Hilbert de LQG no está vacío, ^[37] una consistencia La prueba LQG debe pasar para ser una teoría viable de la relatividad general cuántica.

Aplicaciones de la restricción maestra

La restricción maestra se ha empleado en intentos de aproximar el producto interno físico y definir integrales de trayectoria más rigurosas. ^{[38] [39] [40] [41]}

El enfoque de Discretizaciones Consistentes para LQG, ^{[42] [43]} es una aplicación del programa maestro de restricciones para construir el espacio físico de Hilbert de la teoría canónica.

Espuma giratoria de la restricción maestra.

La restricción maestra se generaliza fácilmente para incorporar las otras restricciones. Entonces se la denomina restricción maestra extendida, denotada . Podemos definir la restricción maestra extendida que impone tanto la restricción hamiltoniana como la restricción del difeomorfismo espacial como un solo operador, ${\displaystyle M_{E}}$

${\displaystyle M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}}$.

Establecer esta restricción única en cero es equivalente a y para todo en . Esta restricción implementa el difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana al mismo tiempo en el espacio cinemático de Hilbert. El producto interno físico se define entonces como ${\displaystyle H(x)=0}$ ${\displaystyle V_{a}(x)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle _{\text{Phys}}=\lim _{T\to \infty }\left\langle \phi ,\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}\psi \right\rangle }$

(como ). Se obtiene una representación de espuma de esta expresión dividiendo el parámetro en pasos discretos y escribiendo ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ ${\displaystyle t}$

${\textstyle e^{it{\hat {M}}_{E}}=\lim _{n\to \infty }\left[e^{it{\hat {M}}_{E}/n}\right]^{n}=\lim _{n\to \infty }[1+it{\hat {M}}_{E}/n]^{n}.}$

La descripción de la espuma de espín se deriva entonces de la aplicación de en una red de espín que da como resultado una combinación lineal de nuevas redes de espín cuyo gráfico y etiquetas han sido modificados. Obviamente, se realiza una aproximación truncando el valor de a algún número entero finito. Una ventaja de la restricción maestra extendida es que estamos trabajando en el nivel cinemático y hasta ahora solo aquí tenemos acceso a estados coherentes semiclásicos. Además, no se pueden encontrar versiones que cambien el gráfico de este operador de restricción maestro, que son el único tipo de operadores apropiados para estos estados coherentes. ${\displaystyle [1+it{\hat {M}}_{E}/n]}$ ${\displaystyle n}$

Gravedad cuántica algebraica (AQG)

El programa maestro de restricciones ha evolucionado hasta convertirse en un tratamiento totalmente combinatorio de la gravedad conocido como gravedad cuántica algebraica (AQG). ^[44] El operador de restricción maestra que no cambia de gráfico está adaptado en el marco de la gravedad cuántica algebraica. Si bien AQG está inspirado en LQG, difiere drásticamente de él porque en AQG fundamentalmente no hay topología o estructura diferencial: es independiente del fondo en un sentido más generalizado y posiblemente podría tener algo que decir sobre el cambio de topología. En esta nueva formulación de la gravedad cuántica, los estados semiclásicos AQG siempre controlan las fluctuaciones de todos los grados de libertad presentes. Esto hace que el análisis semiclásico de AQG sea superior al de LQG, y se ha avanzado en establecer que tiene el límite semiclásico correcto y proporcionar contacto con la física familiar de baja energía. ^{[45] [46]}

Aplicaciones físicas de LQG

Entropía del agujero negro

Una representación artística de la fusión de dos agujeros negros , un proceso en el que se mantienen las leyes de la termodinámica.

La termodinámica de los agujeros negros es el área de estudio que busca conciliar las leyes de la termodinámica con la existencia de horizontes de sucesos de los agujeros negros . La conjetura sin pelo de la relatividad general establece que un agujero negro se caracteriza únicamente por su masa , su carga y su momento angular ; por tanto, no tiene entropía . Parece, entonces, que se puede violar la segunda ley de la termodinámica dejando caer un objeto con entropía distinta de cero en un agujero negro. ^[47] El trabajo de Stephen Hawking y Jacob Bekenstein demostró que la segunda ley de la termodinámica se puede preservar asignando a cada agujero negro una entropía de agujero negro.

${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4\ell _{\text{P}}^{2}}},}$

donde es el área del horizonte de sucesos del agujero, es la constante de Boltzmann y es la longitud de Planck. ^[48] ​​El hecho de que la entropía del agujero negro sea también la entropía máxima que se puede obtener mediante el límite de Bekenstein (donde el límite de Bekenstein se convierte en una igualdad) fue la principal observación que condujo al principio holográfico . ^[47] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\textstyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$

Un descuido en la aplicación del teorema de la ausencia de pelo es la suposición de que los grados de libertad relevantes que explican la entropía del agujero negro deben ser de naturaleza clásica; ¿Qué pasaría si fueran puramente mecánicos cuánticos y tuvieran una entropía distinta de cero? Esto es lo que se logra en la derivación LQG de la entropía del agujero negro, y puede verse como una consecuencia de su independencia del fondo: el espacio-tiempo clásico del agujero negro surge del límite semiclásico del estado cuántico del campo gravitacional, pero hay muchos estados cuánticos que tienen el mismo límite semiclásico. Específicamente, en LQG ^[49] es posible asociar una interpretación geométrica cuántica a los microestados: estas son las geometrías cuánticas del horizonte que son consistentes con el área del agujero negro y la topología del horizonte (es decir, esférico). . LQG ofrece una explicación geométrica de la finitud de la entropía y de la proporcionalidad del área del horizonte. ^{[50] [51]} Estos cálculos se han generalizado a los agujeros negros en rotación. ^[52] ${\displaystyle A}$

Representación de geometrías cuánticas del horizonte. Las excitaciones de los polímeros en la masa perforan el horizonte, dotándolo de un área cuantificada. Intrínsecamente el horizonte es plano excepto en los puntos donde adquiere un ángulo de déficit cuantificado o una cantidad cuantificada de curvatura. Estos ángulos de déficit suman . ${\displaystyle 4\pi }$

Es posible derivar, a partir de la formulación covariante de la teoría cuántica completa ( Spinfoam ), la relación correcta entre energía y área (primera ley), la temperatura de Unruh y la distribución que produce la entropía de Hawking. ^[53] El cálculo hace uso de la noción de horizonte dinámico y se realiza para agujeros negros no extremos.

Un éxito reciente de la teoría en esta dirección es el cálculo de la entropía de todos los agujeros negros no singulares directamente a partir de la teoría e independiente del parámetro Immirzi . ^{[53] [54]} El resultado es la fórmula esperada , donde está la entropía y el área del agujero negro, derivada por Bekenstein y Hawking sobre bases heurísticas. Ésta es la única derivación conocida de esta fórmula a partir de una teoría fundamental, para el caso de agujeros negros genéricos no singulares. Los intentos anteriores de realizar este cálculo tuvieron dificultades. El problema era que, aunque la gravedad cuántica de Loop predijo que la entropía de un agujero negro es proporcional al área del horizonte de sucesos, el resultado dependía de un parámetro libre crucial en la teoría, el parámetro Immirzi antes mencionado. Sin embargo, no se conoce ningún cálculo del parámetro Immirzi, por lo que se solucionó exigiendo un acuerdo con Bekenstein y el cálculo de Hawking de la entropía del agujero negro . ${\displaystyle S=A/4}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$

Radiación de Hawking en gravedad cuántica de bucles

Se ha realizado un estudio detallado de la geometría cuántica del horizonte de un agujero negro utilizando la gravedad cuántica de bucles. ^[51] La cuantificación en bucle no reproduce el resultado de la entropía de los agujeros negros descubierto originalmente por Bekenstein y Hawking, a menos que se elija el valor del parámetro Immirzi para cancelar otra constante que surja en la derivación. Sin embargo, condujo al cálculo de correcciones de orden superior de la entropía y la radiación de los agujeros negros.

A partir de las fluctuaciones del área del horizonte, un agujero negro cuántico presenta desviaciones del espectro de Hawking que serían observables si se observaran los rayos X de la radiación de Hawking de los agujeros negros primordiales en evaporación. ^[55] Los efectos cuánticos se centran en un conjunto de frecuencias discretas y no combinadas muy pronunciadas en la parte superior del espectro de radiación de Hawking. ^[56]

estrella de planck

En 2014, Carlo Rovelli y Francesca Vidotto propusieron que dentro de cada agujero negro hay una estrella Planck . ^[57] Basado en LQG, la teoría establece que a medida que las estrellas colapsan en agujeros negros, la densidad de energía alcanza la densidad de energía de Planck, provocando una fuerza repulsiva que crea una estrella. Además, la existencia de una estrella así resolvería la paradoja del cortafuegos del agujero negro y de la información del agujero negro .

Cosmología cuántica de bucles

La literatura popular y técnica hace extensas referencias al tema de la cosmología cuántica de bucles relacionado con LQG. LQC fue desarrollado principalmente por Martin Bojowald. Fue popularizado en Scientific American por predecir un Gran Rebote previo al Big Bang . ^[58] La cosmología cuántica de bucles (LQC) es un modelo de simetría reducida de la relatividad general clásica cuantificado utilizando métodos que imitan los de la gravedad cuántica de bucles (LQG) que predice un "puente cuántico" entre las ramas cosmológicas en contracción y expansión.

Los logros de LQC han sido la resolución de la singularidad del big bang , la predicción de un gran rebote y un mecanismo natural para la inflación .

Los modelos LQC comparten características de LQG y, por lo tanto, son un modelo de juguete útil. Sin embargo, los resultados obtenidos están sujetos a la restricción habitual de que una teoría clásica truncada, luego cuantificada, podría no mostrar el verdadero comportamiento de la teoría completa debido a la supresión artificial de grados de libertad que podrían tener grandes fluctuaciones cuánticas en la teoría completa. Se ha argumentado que la evitación de la singularidad en LQC se realiza mediante mecanismos que solo están disponibles en estos modelos restrictivos y que la evitación de la singularidad en la teoría completa aún se puede obtener, pero mediante una característica más sutil de LQG. ^{[59] [60]}

Fenomenología de la gravedad cuántica de bucles

Los efectos de la gravedad cuántica son difíciles de medir porque la longitud de Planck es muy pequeña. Sin embargo, recientemente físicos como Jack Palmer han comenzado a considerar la posibilidad de medir los efectos de la gravedad cuántica, principalmente a partir de observaciones astrofísicas y detectores de ondas gravitacionales. La energía de esas fluctuaciones a escalas tan pequeñas provoca perturbaciones espaciales que son visibles a escalas más altas.

Amplitudes de dispersión independientes del fondo

La gravedad cuántica de bucles se formula en un lenguaje independiente del fondo. No se asume a priori ningún espacio-tiempo, sino que lo construyen los propios estados de la teoría; sin embargo, las amplitudes de dispersión se derivan de funciones puntuales ( función de correlación ) y éstas, formuladas en la teoría cuántica de campos convencional, son funciones de puntos de un fondo. tiempo espacial. La relación entre el formalismo independiente del fondo y el formalismo convencional de la teoría cuántica de campos en un espacio-tiempo dado no es obvia, y no es obvio cómo recuperar cantidades de baja energía a partir de la teoría independiente del fondo completa. A uno le gustaría derivar las funciones puntuales de la teoría del formalismo independiente del fondo, para compararlas con la expansión perturbativa estándar de la relatividad general cuántica y, por lo tanto, verificar que la gravedad cuántica de bucles produce el límite de baja energía correcto. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Se ha sugerido una estrategia para abordar este problema; ^[61] estudiando la amplitud límite, es decir, una integral de trayectoria sobre una región espacio-temporal finita, vista como una función del valor límite del campo. ^{[62] [63]} En la teoría cuántica de campos convencional, esta amplitud límite está bien definida ^{[64] [65]} y codifica la información física de la teoría; también lo hace en gravedad cuántica, pero de manera totalmente independiente del fondo. ^[66] Una definición generalmente covariante de funciones de puntos puede basarse en la idea de que la distancia entre puntos físicos, argumentos de la función de puntos, está determinada por el estado del campo gravitacional en el límite de la región del espacio-tiempo considerada. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Se han logrado avances en el cálculo de amplitudes de dispersión independientes del fondo mediante el uso de espumas giratorias. Esta es una forma de extraer información física de la teoría. Se han afirmado haber reproducido el comportamiento correcto de las amplitudes de dispersión de gravitones y haber recuperado la gravedad clásica. "Hemos calculado la ley de Newton partiendo de un mundo sin espacio ni tiempo". – Carlo Rovelli.

Gravitones, teoría de cuerdas, supersimetría, dimensiones extra en LQG

Algunas teorías cuánticas de la gravedad postulan un campo cuántico de espín 2 que se cuantifica y da lugar a gravitones. En la teoría de cuerdas, generalmente se comienza con excitaciones cuantificadas sobre un fondo clásicamente fijo. Por tanto, esta teoría se describe como dependiente del trasfondo. Tanto las partículas como los fotones como los cambios en la geometría del espacio-tiempo (gravitones) se describen como excitaciones en la hoja del mundo de cuerdas. La dependencia de fondo de la teoría de cuerdas puede tener consecuencias físicas, como la determinación del número de generaciones de quarks. Por el contrario, la gravedad cuántica de bucles, como la relatividad general, es manifiestamente independiente del fondo, eliminando el fondo requerido en la teoría de cuerdas. La gravedad cuántica de bucles, al igual que la teoría de cuerdas, también pretende superar las divergencias no renormalizables de las teorías cuánticas de campos.

LQG no introduce un fondo ni excitaciones que vivan en dicho fondo, por lo que LQG no utiliza gravitones como bloques de construcción. En cambio, se espera que se pueda recuperar una especie de límite semiclásico o límite de campo débil donde algo así como los "gravitones" volverán a aparecer. Por el contrario, los gravitones desempeñan un papel clave en la teoría de cuerdas, donde se encuentran entre el primer nivel (sin masa) de excitaciones de una supercuerda.

LQG se diferencia de la teoría de cuerdas en que está formulada en 3 y 4 dimensiones y sin supersimetría ni dimensiones adicionales de Kaluza-Klein , mientras que esta última requiere que ambas sean verdaderas. Hasta la fecha no hay evidencia experimental que confirme las predicciones de la teoría de cuerdas sobre la supersimetría y las dimensiones adicionales de Kaluza-Klein. En un artículo de 2003 "Un diálogo sobre la gravedad cuántica", ^[67] Carlo Rovelli considera el hecho de que LQG esté formulado en 4 dimensiones y sin supersimetría como una fortaleza de la teoría, ya que representa la explicación más parsimoniosa , consistente con los resultados experimentales actuales, más su rival teoría de cuerdas/M. Los defensores de la teoría de cuerdas a menudo señalarán el hecho de que, entre otras cosas, reproduce de manera demostrable las teorías establecidas de la relatividad general y la teoría cuántica de campos en los límites apropiados, algo que la gravedad cuántica de bucles ha luchado por lograr. En ese sentido, la conexión de la teoría de cuerdas con la física establecida puede considerarse más confiable y menos especulativa, en el nivel matemático. La gravedad cuántica de bucles no tiene nada que decir sobre la materia (fermiones) del universo.

Dado que LQG se ha formulado en 4 dimensiones (con y sin supersimetría), y la teoría M requiere supersimetría y 11 dimensiones, no ha sido posible una comparación directa entre las dos. Es posible extender el formalismo LQG convencional a la supergravedad de dimensiones superiores, la relatividad general con supersimetría y las dimensiones adicionales de Kaluza-Klein en caso de que la evidencia experimental establezca su existencia. Por lo tanto, sería deseable tener a disposición cuantificaciones de bucles de supergravedad de dimensiones superiores para comparar estos enfoques. Se han publicado una serie de artículos que intentan esto. ^{[68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75]} Más recientemente, Thiemann (y sus alumnos) han avanzado en el cálculo de la entropía de los agujeros negros para la supergravedad en dimensiones superiores. Será útil comparar estos resultados con los cálculos de supercadenas correspondientes. ^{[76] [77]}

LQG y programas de investigación relacionados

Varios grupos de investigación han intentado combinar LQG con otros programas de investigación: Johannes Aastrup, Jesper M. Grimstrup et al. La investigación combina geometría no conmutativa con gravedad cuántica canónica y variables de Ashtekar, ^[78] Laurent Freidel, Simone Speziale, et al., teoría de espinores y twistores con gravedad cuántica de bucles, ^{[79] [80]} y Lee Smolin et al. con gravedad entrópica de Verlinde y gravedad de bucle. ^[81] Stephon Alexander, Antonino Marciano y Lee Smolin han intentado explicar los orígenes de la quiralidad de la fuerza débil en términos de las variables de Ashketar, que describen la gravedad como quiral, ^[82] y LQG con campos de la teoría de Yang-Mills ^[83] en cuatro dimensiones. . Sundance Bilson-Thompson , Hackett et al., ^{[84] [85]} han intentado introducir el modelo estándar a través de los grados de libertad de LQG como una propiedad emergente (empleando la idea de subsistemas silenciosos , una noción introducida en una situación más general para sistemas restringidos por Fotini Markopoulou-Kalamara et al.) ^[86]

Además, LQG ha establecido comparaciones filosóficas con la triangulación dinámica causal ^[87] y la gravedad asintóticamente segura , ^[88] y la espuma con la teoría de campos grupales y la correspondencia AdS/CFT . ^[89] Smolin y Wen han sugerido combinar LQG con líquido de red de cuerdas , tensores y grafito cuántico de Smolin y Fotini Markopoulou-Kalamara . Existe el enfoque de discretizaciones consistentes. Además, Pullin y Gambini proporcionan un marco para conectar los enfoques canónicos y integrales de camino a la gravedad cuántica. Pueden ayudar a conciliar los enfoques de representación de bucles canónicos y de espuma giratoria. Una investigación reciente de Chris Duston y Matilde Marcolli introduce cambios de topología a través de redes liftadas. ^[90]

Problemas y comparaciones con enfoques alternativos.

Algunos de los principales problemas no resueltos en física son teóricos, lo que significa que las teorías existentes parecen incapaces de explicar un determinado fenómeno observado o resultado experimental. Los otros son experimentales, lo que significa que existe dificultad para crear un experimento para probar una teoría propuesta o investigar un fenómeno con mayor detalle.

Muchos de estos problemas se aplican a LQG, incluyendo:

• ¿Se pueden realizar la mecánica cuántica y la relatividad general como una teoría totalmente consistente (quizás como una teoría cuántica de campos)?
• ¿Es el espacio-tiempo fundamentalmente continuo o discreto?
• ¿Una teoría consistente implicaría una fuerza mediada por un gravitón hipotético, o sería un producto de una estructura discreta del propio espacio-tiempo (como en la gravedad cuántica de bucles)?
• ¿Existen desviaciones de las predicciones de la relatividad general a escalas muy pequeñas o muy grandes o en otras circunstancias extremas que se derivan de una teoría de la gravedad cuántica?

La teoría de LQG es una posible solución al problema de la gravedad cuántica, al igual que la teoría de cuerdas . Sin embargo, existen diferencias sustanciales. Por ejemplo, la teoría de cuerdas también aborda la unificación , la comprensión de todas las fuerzas y partículas conocidas como manifestaciones de una sola entidad, postulando dimensiones adicionales y partículas y simetrías adicionales hasta ahora no observadas. Por el contrario, LQG se basa únicamente en la teoría cuántica y la relatividad general y su alcance se limita a comprender los aspectos cuánticos de la interacción gravitacional. Por otro lado, las consecuencias de LQG son radicales, porque cambian fundamentalmente la naturaleza del espacio y el tiempo y proporcionan una imagen física y matemática tentativa pero detallada del espacio-tiempo cuántico.

Actualmente, no se ha demostrado que exista ningún límite semiclásico que recupere la relatividad general. Esto significa que aún no se ha demostrado que la descripción que hace LQG del espacio-tiempo en la escala de Planck tenga el límite continuo correcto (descrito por la relatividad general con posibles correcciones cuánticas). Específicamente, la dinámica de la teoría está codificada en la restricción hamiltoniana , pero no existe ningún candidato hamiltoniano . ^[91] Otros problemas técnicos incluyen encontrar el cierre fuera de la capa del álgebra de restricciones y el espacio vectorial del producto interno físico , el acoplamiento a campos de materia de la teoría cuántica de campos , el destino de la renormalización del gravitón en la teoría de la perturbación que conduce a la divergencia ultravioleta más allá de 2- bucles (ver diagrama de Feynman de un bucle en Diagrama de Feynman ). ^[91]

Si bien ha habido una propuesta relacionada con la observación de singularidades desnudas , ^[92] y la relatividad doblemente especial como parte de un programa llamado cosmología cuántica de bucles , no existe ninguna observación experimental para la cual la gravedad cuántica de bucles hace una predicción no realizada por el modelo estándar. o la relatividad general (un problema que afecta a todas las teorías actuales de la gravedad cuántica). Debido a la mencionada falta de un límite semiclásico, LQG ni siquiera ha reproducido aún las predicciones hechas por la relatividad general.

Una crítica alternativa es que la relatividad general puede ser una teoría de campo eficaz y, por tanto, la cuantificación ignora los grados fundamentales de libertad.

El satélite INTEGRAL de la ESA midió la polarización de fotones de diferentes longitudes de onda y pudo establecer un límite en la granularidad del espacio ^[93] que es inferior a 10 ⁻⁴⁸ mo 13 órdenes de magnitud por debajo de la escala de Planck. ^{[ se necesita aclaración ]}

Ver también

• Problema del tiempo  – Conflicto conceptual entre la relatividad general y la mecánica cuántica
• Variables Ashtekar  : variables utilizadas en la relatividad general
• C*-álgebra  – Espacio vectorial complejo topológico
• Teoría de categorías  - Teoría general de estructuras matemáticas
• Relatividad doblemente especial  - Generalización de la relatividad especial
• Construcción Gelfand–Naimark–Segal  – Correspondencia en análisis funcional
• Teoría de campos de grupo  : teoría cuántica de campos con una variedad de base de grupo de Lie
• Álgebra de Heyting  : red acotada que modela la lógica proposicional intuicionistaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Restricción hamiltoniana  : restricción clave en algunas teorías que admiten formulaciones hamiltonianas
• Restricción hamiltoniana de LQG  : restricción en la gravedad cuántica de bucles
• Parámetro Immirzi  : coeficiente numérico en gravedad cuántica de bucles
• Nudo invariante  : función de un nudo que toma el mismo valor para nudos equivalentes
• Estado de Kodama  : solución de energía cero a la ecuación de Schrodinger en gravedad cuántica de bucles
• Invariancia de Lorentz en la gravedad cuántica de bucles  - Aspecto de la gravedad cuántica de bucles
• Geometría no conmutativa  - Rama de las matemáticas
• Cálculo de Regge  : formalismo para producir aproximaciones simplificadas del espacio-tiempoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Nudo S  : clase de equivalencia de redes de espín
• Espuma giratoria  : estructura topológica utilizada en una descripción de la gravedad cuántica
• Líquido de red de cuerdas  : modelo de física de materia condensada que involucra solo circuitos cerrados
• Teoría de cuerdas  - Teoría de la estructura subatómica
• Supersimetría  : simetría entre bosones y fermiones.
• Teoría del topos  - Categoría matemática
• Teoría de Einstein-Cartan  - Teoría clásica de la gravitación

Notas

Citas

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Trabajos citados

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• Thiemann, Thomas (2006b). "Dinámica de espín cuántico: VIII. La restricción maestra". Gravedad clásica y cuántica . 23 (7): 2249–2265. arXiv : gr-qc/0510011 . Código Bib : 2006CQGra..23.2249T. doi :10.1088/0264-9381/23/7/003. S2CID  29095312.
• Thiemann, Thomas (2008). Relatividad general canónica moderna . Monografías de Cambridge sobre física matemática. Prensa de la Universidad de Cambridge . Sección 10.6. ISBN 978-0-521-74187-3.
• Tipler, P.; Llewellyn, R. (2008). Física moderna (5ª ed.). WH Freeman y compañía . págs. 160-161. ISBN 978-0-7167-7550-8.

Otras lecturas

• Libros populares:
  • Rodolfo Gambini y Jorge Pullin , Loop Quantum Gravity para todos, World Scientific , 2020.
  • Carlo Rovelli , "La realidad no es lo que parece", Pingüino, 2016.
  • Martin Bojowald , Érase antes del tiempo: toda una historia del universo 2010.
  • Carlo Rovelli , ¿Qué es el tiempo? ¿Qué es el espacio? , Di Renzo Editore, Roma, 2006.
  • Lee Smolin , Tres caminos hacia la gravedad cuántica , 2001.
• Artículos de revista:
  • Lee Smolin , "Átomos del espacio y el tiempo", Scientific American , enero de 2004.
  • Martin Bojowald , "Siguiendo el universo que rebota", Scientific American , octubre de 2008.
• Trabajos introductorios, expositivos o críticos más fáciles:
  • Abhay Ashtekar , Gravity and the quantum , impresión electrónica disponible como gr-qc/0410054 (2004).
  • John C. Baez y Javier P. Muniain, Gauge Fields, Knots and Quantum Gravity , World Scientific (1994).
  • Carlo Rovelli , A Dialog on Quantum Gravity , impresión electrónica disponible como hep-th/0310077 (2003).
  • Carlo Rovelli y Francesca Vidotto , Covariant Loop Quantum Gravity , Cambridge (2014); borrador disponible en línea.
• Trabajos introductorios/expositivos más avanzados:
  • Carlo Rovelli , Gravedad cuántica , Cambridge University Press (2004); borrador disponible en línea.
  • Abhay Ashtekar , Nuevas perspectivas en gravedad canónica , Bibliopolis (1988).
  • Abhay Ashtekar , Conferencias sobre gravedad canónica no perturbativa , World Scientific (1991).
  • Rodolfo Gambini y Jorge Pullin , Bucles, nudos, teorías de calibre y gravedad cuántica , Cambridge University Press (1996).
  • T. Thiemann The LQG - String: Cuantización por gravedad cuántica de bucles de la teoría de cuerdas (2004).
  • Celada, Mariano; González, Diego; Montesinos, Merced (2016). "Gravedad BF". Gravedad clásica y cuántica . 33 (21): 213001. arXiv : 1610.02020 . Código Bib : 2016CQGra..33u3001C. doi :10.1088/0264-9381/33/21/213001. S2CID  119605468.
• Reseñas de actualidad
  • Rovelli, Carlo (2011). "Conferencias de Zakopane sobre la gravedad de bucles". arXiv : 1102.3660 [gr-qc].
  • Rovelli, Carlo (1998). "Bucle de gravedad cuántica". Reseñas vivas en relatividad . 1 (1): 1. arXiv : gr-qc/9710008 . Código Bib : 1998LRR.....1....1R. doi :10.12942/lrr-1998-1. PMC  5567241 . PMID  28937180.
  • Thiemann, Thomas (2003). "Conferencias sobre gravedad cuántica de bucles". Gravedad cuántica . Apuntes de conferencias de física . vol. 631, págs. 41-135. arXiv : gr-qc/0210094 . Código Bib : 2003LNP...631...41T. doi :10.1007/978-3-540-45230-0_3. ISBN 978-3-540-40810-9. S2CID  119151491.
  • Ashtekar, Abhay ; Lewandowski, Jerzy (2004). "Gravedad cuántica independiente de antecedentes: un informe de estado". Gravedad clásica y cuántica . 21 (15): R53–R152. arXiv : gr-qc/0404018 . Código Bib : 2004CQGra..21R..53A. doi :10.1088/0264-9381/21/15/R01. S2CID  119175535.
  • Carlo Rovelli y Marcus Gaul, Loop Quantum Gravity and the Meaning of Diffeomorphism Invariance , impresión electrónica disponible como gr-qc/9910079.
  • Lee Smolin , El caso de la independencia de antecedentes , impresión electrónica disponible como hep-th/0507235.
  • Alejandro Corichi , Geometría cuántica de bucles: una introducción , impresión electrónica disponible como Geometría cuántica de bucles: una introducción.
  • Alejandro Pérez, Introducción a la gravedad cuántica de bucles y las espumas de espín , impresión electrónica disponible como Introducción a la gravedad cuántica de bucles y las espumas de espín.
• Trabajos de investigación fundamentales:
  • Roger Penrose , Momento angular: una aproximación al espacio-tiempo combinatorio en Quantum Theory and Beyond , ed. Ted Bastin, Cambridge University Press, 1971.
  • Rovelli, Carlo ; Smolin, Lee (1988). "Teoría de nudos y gravedad cuántica". Cartas de revisión física . 61 (10): 1155-1158. Código bibliográfico : 1988PhRvL..61.1155R. doi : 10.1103/PhysRevLett.61.1155. PMID  10038716.
  • Rovelli, Carlo ; Smolin, Lee (1990). "Representación del espacio de bucles de la relatividad general cuántica". Física nuclear . B331 (1): 80-152. Código Bib : 1990NuPhB.331...80R. doi :10.1016/0550-3213(90)90019-a.
  • Carlo Rovelli y Lee Smolin , Discreción de área y volumen en gravedad cuántica , Nucl. Phys., B442 (1995) 593–622, impresión electrónica disponible como arXiv :gr-qc/9411005.
  • Thiemann, Thomas (2007). "Gravedad cuántica de bucle: una vista interior". Aproximaciones a la Física Fundamental . Apuntes de conferencias de física. vol. 721, págs. 185–263. arXiv : hep-th/0608210 . Código Bib : 2007LNP...721..185T. doi :10.1007/978-3-540-71117-9_10. ISBN 978-3-540-71115-5. S2CID  119572847.

enlaces externos

• Introducción a la gravedad cuántica de bucles Conferencias en línea de Carlo Rovelli
• Gravedad cuántica de bucle covariante por Carlo Rovelli y Francesca Vidotto
• "Loop Quantum Gravity" de Carlo Rovelli Physics World, noviembre de 2003
• Espuma cuántica y gravedad cuántica de bucle
• Abhay Ashtekar: artículos semipopulares. Algunos excelentes artículos populares adecuados para principiantes sobre el espacio, el tiempo, GR y LQG.
• Gravedad cuántica en bucle: Lee Smolin
• Conferencias en línea sobre gravedad cuántica en bucle por Lee Smolin
• Redes de espín, espumas de espín y gravedad cuántica de bucles
• Revista Wired, Noticias: Más allá de la teoría de cuerdas
• Número especial de abril de 2006 de Scientific American, Una cuestión de tiempo, con el artículo de Lee Smolin LQG Átomos del espacio y el tiempo
• Septiembre de 2006, The Economist, artículo Looping the loop
• Telescopio espacial de gran área de rayos gamma: el telescopio espacial de rayos gamma Fermi Archivado el 18 de junio de 2008 en la Wayback Machine.
• Zenón se encuentra con la ciencia moderna. Artículo de Acta Physica Polonica B de ZK Silagadze.
• ¿El universo anterior al Big Bang dejó su huella en el cielo? – Según un modelo basado en la teoría de la "gravedad cuántica de bucles", un universo padre que existió antes que el nuestro puede haber dejado una huella ( New Scientist , 10 de abril de 2008)
• O'Dowd, Matt (15 de octubre de 2019). "Explicación de la gravedad cuántica del bucle". PBS Space Time - a través de YouTube .