Hermann Günther Grassmann (en alemán: Graßmann , pronunciado [ˈhɛɐman ˈɡʏntʰɐ ˈɡʁasman] ; 15 de abril de 1809 - 26 de septiembre de 1877) fue un erudito alemán conocido en su época como lingüista y ahora también como matemático . También fue físico , erudito general y editor. Su trabajo matemático fue poco conocido hasta que tenía sesenta años. Su trabajo precedió y superó el concepto que ahora se conoce como espacio vectorial . Introdujo el Grassmanniano , el espacio que parametriza todos los subespacios lineales de dimensión k de un espacio vectorial de dimensión n V. En lingüística, ayudó a liberar la historia y la estructura del lenguaje entre sí.
Hermann Grassmann fue el tercero de 12 hijos de Justus Günter Grassmann, un ministro ordenado que enseñaba matemáticas y física en el Stettin Gymnasium , donde Hermann estudió.
Grassmann no destacó como estudiante hasta que obtuvo una nota alta en los exámenes de admisión a las universidades prusianas . A partir de 1827, estudió teología en la Universidad de Berlín , recibiendo también clases de lenguas clásicas , filosofía y literatura. No parece haber cursado asignaturas de matemáticas o física .
Aunque carecía de formación universitaria en matemáticas, fue este campo el que más le interesó cuando regresó a Stettin en 1830 tras completar sus estudios en Berlín. Tras un año de preparación, se presentó a los exámenes necesarios para enseñar matemáticas en un gimnasio, pero obtuvo un resultado lo suficientemente bueno como para permitirle enseñar solo en los niveles inferiores. En esa época, hizo sus primeros descubrimientos matemáticos importantes, los que le llevaron a las importantes ideas que expuso en su artículo de 1844 Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik , aquí denominado A1 , revisado posteriormente en 1862 como Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet , aquí denominado A2 .
En 1834 Grassmann comenzó a enseñar matemáticas en la Gewerbeschule de Berlín. Un año después, regresó a Stettin para enseñar matemáticas, física, alemán, latín y estudios religiosos en una nueva escuela, la Otto Schule. Durante los siguientes cuatro años, Grassmann aprobó los exámenes que le permitieron enseñar matemáticas, física , química y mineralogía en todos los niveles de la escuela secundaria.
En 1847 fue nombrado "Oberlehrer" o director de escuela. En 1852 fue designado para ocupar el puesto de su difunto padre en el Stettin Gymnasium, adquiriendo así el título de profesor. En 1847 pidió al Ministerio de Educación prusiano que lo considerara para un puesto universitario, a lo que el Ministerio le pidió a Ernst Kummer su opinión sobre Grassmann. Kummer le respondió diciendo que el ensayo de Grassmann para el premio de 1846 (ver más abajo) contenía "material encomiablemente bueno expresado de una forma deficiente". El informe de Kummer acabó con cualquier posibilidad de que Grassmann obtuviera un puesto universitario. Este episodio demostró ser la norma; una y otra vez, las figuras principales de la época de Grassmann no reconocieron el valor de sus matemáticas.
Durante la agitación política en Alemania de 1848-49, Hermann y su hermano Robert publicaron un periódico en Stettin, Deutsche Wochenschrift für Staat, Kirche und Volksleben , en el que pedían la unificación alemana bajo una monarquía constitucional (esto se llevó a cabo en 1871). Después de escribir una serie de artículos sobre derecho constitucional , Hermann se separó del periódico, al encontrarse cada vez más en desacuerdo con su dirección política.
Grassmann tuvo once hijos, siete de los cuales llegaron a la edad adulta. Un hijo, Hermann Ernst Grassmann, llegó a ser profesor de matemáticas en la Universidad de Giessen .
Uno de los muchos exámenes a los que se presentó Grassmann exigía que presentara un ensayo sobre la teoría de las mareas. En 1840 lo hizo, tomando la teoría básica del Traité de mécanique céleste de Laplace y de la Mécanique analytique de Lagrange , pero exponiendo esta teoría haciendo uso de los métodos vectoriales que había estado reflexionando desde 1832. Este ensayo, publicado por primera vez en las Obras completas de 1894-1911, contiene la primera aparición conocida de lo que ahora se llama álgebra lineal y la noción de espacio vectorial . Continuó desarrollando esos métodos en su Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik ( A1 ) y su revisión posterior Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet ( A2 ).
En 1844, Grassmann publicó su obra maestra ( A1 ), comúnmente conocida como Ausdehnungslehre , que se traduce como "teoría de la extensión" o "teoría de las magnitudes extensivas". Dado que A1 proponía una nueva base para todas las matemáticas, el trabajo comenzó con definiciones bastante generales de naturaleza filosófica. Grassmann luego demostró que una vez que la geometría se pone en la forma algebraica que él defendía, el número tres no tiene un papel privilegiado como el número de dimensiones espaciales ; el número de dimensiones posibles es, de hecho, ilimitado.
Fearnley-Sander describe el fundamento del álgebra lineal de Grassmann de la siguiente manera: [1]
La definición de un espacio lineal ( espacio vectorial ) [...] se hizo ampliamente conocida alrededor de 1920, cuando Hermann Weyl y otros publicaron definiciones formales. De hecho, una definición de este tipo había sido dada treinta años antes por Peano , quien estaba profundamente familiarizado con el trabajo matemático de Grassmann. Grassmann no dio una definición formal -el lenguaje no estaba disponible- pero no hay duda de que tenía el concepto.
Partiendo de una colección de «unidades» e 1 , e 2 , e 3 , ..., define efectivamente el espacio lineal libre que generan; es decir, considera las combinaciones lineales formales a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ... donde los a j son números reales, define la adición y la multiplicación por números reales [en lo que ahora es la forma habitual] y demuestra formalmente las propiedades del espacio lineal para estas operaciones. ... A continuación, desarrolla la teoría de la independencia lineal de una manera que es sorprendentemente similar a la presentación que se encuentra en los textos de álgebra lineal moderna. Define las nociones de subespacio , independencia lineal , amplitud , dimensión , unión y encuentro de subespacios y proyecciones de elementos sobre subespacios.
[...] pocos han estado más cerca que Hermann Grassmann de crear, por sí solo, un nuevo tema.
Siguiendo una idea del padre de Grassmann, A1 también definió el producto exterior , también llamado "producto combinatorio" (en alemán: kombinatorisches Produkt o äußeres Produkt "producto exterior"), la operación clave de un álgebra que ahora se llama álgebra exterior . (Hay que tener en cuenta que en la época de Grassmann, la única teoría axiomática era la geometría euclidiana , y la noción general de un álgebra abstracta aún estaba por definir.) En 1878, William Kingdon Clifford unió esta álgebra exterior a los cuaterniones de William Rowan Hamilton al reemplazar la regla de Grassmann e p e p = 0 por la regla e p e p = 1. (Para los cuaterniones , tenemos la regla i 2 = j 2 = k 2 = −1.) Para más detalles, véase Álgebra exterior .
A1 fue un texto revolucionario, demasiado adelantado a su tiempo para ser apreciado. Cuando Grassmann lo presentó para solicitar una cátedra en 1847, el ministerio le pidió a Ernst Kummer un informe. Kummer aseguró que contenía buenas ideas, pero consideró que la exposición era deficiente y desaconsejó darle a Grassmann un puesto universitario. Durante los siguientes 10 años, Grassmann escribió una variedad de trabajos en los que aplicaba su teoría de la extensión, incluyendo su Neue Theorie der Elektrodynamik de 1845 y varios artículos sobre curvas y superficies algebraicas , con la esperanza de que estas aplicaciones llevaran a otros a tomar su teoría en serio.
En 1846, Möbius invitó a Grassmann a participar en un concurso para resolver un problema propuesto por primera vez por Leibniz : idear un cálculo geométrico desprovisto de coordenadas y propiedades métricas (lo que Leibniz denominó análisis del lugar ). El trabajo de Grassmann, Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik , fue el ganador (y también el único). Möbius, como uno de los jueces, criticó la forma en que Grassmann introdujo nociones abstractas sin darle al lector ninguna intuición sobre por qué esas nociones eran valiosas.
En 1853, Grassmann publicó una teoría sobre cómo se mezclan los colores; las cuatro leyes del color de su teoría todavía se enseñan, como las leyes de Grassmann . El trabajo de Grassmann sobre este tema era inconsistente con el de Helmholtz . [2] Grassmann también escribió sobre cristalografía , electromagnetismo y mecánica .
En 1861, Grassmann sentó las bases para la axiomatización de la aritmética de Peano en su Lehrbuch der Arithmetik . [3] En 1862, Grassmann publicó una segunda edición completamente reescrita de A1 , con la esperanza de obtener un reconocimiento tardío por su teoría de la extensión, y que contenía la exposición definitiva de su álgebra lineal . El resultado, Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet ( A2 ), no le fue mejor que a A1 , a pesar de que la forma de exposición de A2 anticipa los libros de texto del siglo XX.
En la década de 1840, los matemáticos en general no estaban preparados para comprender las ideas de Grassmann. [4] En las décadas de 1860 y 1870, varios matemáticos llegaron a ideas similares a las de Grassmann, pero el propio Grassmann ya no estaba interesado en las matemáticas. [4] : 46
Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant desarrolló un cálculo vectorial similar al de Grassmann, que publicó en 1845. Luego entró en una disputa con Grassmann sobre quién de los dos había pensado primero en esas ideas. Grassmann había publicado sus resultados en 1844, pero Saint-Venant afirmó que él había desarrollado esas ideas por primera vez en 1832.
Uno de los primeros matemáticos en apreciar las ideas de Grassmann durante su vida fue Hermann Hankel , cuya Theorie der complexen Zahlensysteme de 1867 . [5]
[…], desarrolló […] algunas de las álgebras de Hermann Grassmann y los cuaterniones de WR Hamilton . Hankel fue el primero en reconocer la importancia de los escritos de Grassmann, que habían permanecido en el olvido durante mucho tiempo, y recibió una fuerte influencia de ellos.
En 1872, Victor Schlegel publicó la primera parte de su System der Raumlehre , que utilizó el enfoque de Grassmann para derivar resultados antiguos y modernos en geometría plana . Felix Klein escribió una reseña negativa del libro de Schlegel citando su incompletitud y falta de perspectiva sobre Grassmann. Schlegel siguió en 1875 con una segunda parte de su System according to Grassmann, esta vez desarrollando geometría de dimensiones superiores. Mientras tanto, Klein estaba avanzando con su programa de Erlangen , que también expandió el alcance de la geometría. [6]
La comprensión de Grassmann aguardaba al concepto de espacios vectoriales , que luego podrían expresar el álgebra multilineal de su teoría de extensión. Para establecer la prioridad de Grassmann sobre Hamilton, Josiah Willard Gibbs instó a los herederos de Grassmann a que publicaran el ensayo de 1840 sobre las mareas. [7] La primera monografía de AN Whitehead , el Álgebra universal (1898), incluía la primera exposición sistemática en inglés de la teoría de la extensión y el álgebra exterior . Con el surgimiento de la geometría diferencial, el álgebra exterior se aplicó a las formas diferenciales .
En 1995 Lloyd C. Kannenberg publicó una traducción al inglés de The Ausdehnungslehre and Other works. Para una introducción al papel del trabajo de Grassmann en la física matemática contemporánea, véase The Road to Reality de Roger Penrose . [8]
Las ideas matemáticas de Grassmann comenzaron a difundirse sólo hacia el final de su vida. Treinta años después de la publicación de A1, el editor le escribió a Grassmann: "Su libro Die Ausdehnungslehre ha estado fuera de circulación durante algún tiempo. Como su obra apenas se vendió, aproximadamente 600 copias se utilizaron en 1864 como papel de desecho y las pocas copias restantes se han vendido ahora, con la excepción de la única copia en nuestra biblioteca". [4] : 45 Decepcionado por la recepción de su trabajo en los círculos matemáticos, Grassmann perdió sus contactos con los matemáticos, así como su interés en la geometría. En los últimos años de su vida se dedicó a la lingüística histórica y al estudio del sánscrito . Escribió libros sobre gramática alemana , recopiló canciones populares y aprendió sánscrito. Escribió un diccionario de 2.000 páginas y una traducción del Rigveda (más de 1.000 páginas). En los estudios modernos del Rigveda , el trabajo de Grassmann se cita a menudo. En 1955 se publicó una tercera edición de su diccionario. [4] : 46
Grassmann también notó y presentó una regla fonológica que existe tanto en sánscrito como en griego . En su honor, esta regla fonológica se conoce como la ley de Grassmann . Su descubrimiento fue revolucionario para la lingüística histórica de la época, ya que desafió la noción generalizada del sánscrito como un predecesor más antiguo de otras lenguas indoeuropeas. [9] Esta fue una suposición generalizada debido a la estructura más aglutinante del sánscrito, por la que se pensaba que habían pasado lenguas como el latín y el griego para alcanzar su estructura sintética más "moderna". Sin embargo, el trabajo de Grassman demostró que, en al menos un patrón fonológico, el alemán era de hecho "más antiguo" (es decir, menos sintético) que el sánscrito. Esto significó que las clasificaciones genealógicas y tipológicas de las lenguas finalmente se separaron correctamente en lingüística, lo que permitió un progreso significativo para los lingüistas posteriores. [10]
Estos logros filológicos le fueron reconocidos durante su vida: fue elegido miembro de la Sociedad Oriental Americana y en 1876 recibió un doctorado honorario de la Universidad de Tubinga .
Es bastante conocido, a través del propio reconocimiento de Peano, que Peano […] hizo un uso extensivo del trabajo de Grassmann en su desarrollo de los axiomas. No es tan conocido que Grassmann tenía esencialmente la caracterización del conjunto de todos los números enteros, ahora habitual en los textos de álgebra moderna, de que forma un
dominio integral
ordenado en el que cada conjunto de elementos positivos tiene un miembro menor. […] [El libro de Grassmann] fue probablemente el primer intento serio y bastante exitoso de poner los números sobre una base más o menos axiomática.
Nota: Amplia bibliografía en línea que revela un interés contemporáneo sustancial en la vida y la obra de Grassmann. Se hace referencia a cada capítulo de Schubring.
