En matemáticas, la secuencia de Fibonacci es una secuencia en la que cada número es la suma de los dos anteriores. Los números que forman parte de la secuencia de Fibonacci se conocen como números de Fibonacci , comúnmente denotados como F n . La secuencia comúnmente comienza desde 0 y 1, aunque algunos autores comienzan la secuencia desde 1 y 1 o, a veces (como lo hizo Fibonacci) desde 1 y 2. A partir de 0 y 1, la secuencia comienza [1]
Un mosaico con cuadrados cuyas longitudes de lados son números de Fibonacci sucesivos: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 y 21.
Los números de Fibonacci se describieron por primera vez en las matemáticas indias ya en el año 200 a. C. en un trabajo de Pingala sobre la enumeración de posibles patrones de poesía sánscrita formados a partir de sílabas de dos longitudes. [2] [3] [4] Llevan el nombre del matemático italiano Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci , quien introdujo la secuencia en las matemáticas de Europa occidental en su libro Liber Abaci de 1202 . [5]
Los números de Fibonacci también están fuertemente relacionados con la proporción áurea : la fórmula de Binet expresa el n -ésimo número de Fibonacci en términos de n y la proporción áurea, e implica que la proporción de dos números de Fibonacci consecutivos tiende a la proporción áurea a medida que n aumenta. Los números de Fibonacci también están estrechamente relacionados con los números de Lucas , que obedecen a la misma relación de recurrencia y con los números de Fibonacci forman un par complementario de secuencias de Lucas .
Definición
La espiral de Fibonacci: una aproximación de la espiral dorada creada dibujando arcos circulares que conectan las esquinas opuestas de los cuadrados en el mosaico de Fibonacci (ver imagen anterior)
Los números de Fibonacci pueden definirse mediante la relación de recurrencia [6]
y
para n > 1 .
En algunas definiciones anteriores, el valor se omite, de modo que la secuencia comienza con y la recurrencia es válida para n > 2 . [7] [8]
Los primeros 20 números de Fibonacci F n son: [1]
Historia
India
Trece ( F 7 ) formas de organizar sílabas largas y cortas en una cadencia de seis longitudes. Ocho ( F 6 ) terminan con una sílaba corta y cinco ( F 5 ) terminan con una sílaba larga.
La secuencia de Fibonacci aparece en las matemáticas indias , en relación con la prosodia sánscrita . [3] [9] [10] En la tradición poética sánscrita, había interés en enumerar todos los patrones de sílabas largas (L) de 2 unidades de duración, yuxtapuestas con sílabas cortas (S) de 1 unidad de duración. Contar los diferentes patrones de L y S sucesivos con una duración total dada da como resultado los números de Fibonacci: el número de patrones de duración m unidades es F m +1 . [4]
El conocimiento de la secuencia de Fibonacci se expresó ya en Pingala ( c. 450 a. C.-200 a. C.). Singh cita la fórmula críptica de Pingala, misrau cha ("los dos están mezclados") y los estudiosos que la interpretan en contexto dicen que el número de patrones para m tiempos ( F m +1 ) se obtiene sumando uno [S] al F m. casos y uno [L] a los casos F m −1 . [11] Bharata Muni también expresa conocimiento de la secuencia en el Natya Shastra (c. 100 a. C. – c. 350 d. C.). [12] [2]
Sin embargo, la exposición más clara de la secuencia surge en la obra de Virahanka (c. 700 d.C.), cuyo propio trabajo se ha perdido, pero está disponible en una cita de Gopala (c. 1135): [10]
Variaciones de dos metros anteriores [es la variación]... Por ejemplo, para [un metro de longitud] cuatro, al estar mezcladas variaciones de metros de dos [y] tres, sucede cinco. [resuelve los ejemplos 8, 13, 21]... De esta manera, el proceso debe seguirse en todos los mātrā-vṛttas [combinaciones prosódicas]. [a]
A Hemachandra (c. 1150) también se le atribuye el conocimiento de la secuencia, [2] escribiendo que "la suma del último y el anterior al último es el número... del siguiente mātrā-vṛtta". [14] [15]
Europa
Una página del Liber Abaci de Fibonacci de la Biblioteca Nazionale di Firenze que muestra (en el recuadro de la derecha) 13 entradas de la secuencia de Fibonacci: los índices desde el presente hasta el XII (meses) como ordinales latinos y números romanos y los números (de pares de conejos). ) como números hindú-árabes que comienzan con 1, 2, 3, 5 y terminan con 377.
La secuencia de Fibonacci aparece por primera vez en el libro Liber Abaci ( El libro del cálculo , 1202) de Fibonacci [16] [17] donde se utiliza para calcular el crecimiento de las poblaciones de conejos. [18] [19] Fibonacci considera el crecimiento de una población de conejos idealizada ( biológicamente irreal) , suponiendo que: una pareja de conejos reproductores recién nacidos se pone en un campo; cada pareja reproductora se aparea a la edad de un mes, y al final del segundo mes siempre producen otra pareja de conejos; y los conejos nunca mueren, sino que continúan reproduciéndose para siempre. Fibonacci planteó el enigma: ¿cuántos pares habrá en un año?
Al final del primer mes se aparean, pero todavía queda sólo 1 pareja.
Al final del segundo mes producen un nuevo par, por lo que hay 2 pares en el campo.
Al final del tercer mes, la pareja original produce una segunda pareja, pero la segunda pareja sólo se aparea para gestar durante un mes, por lo que hay 3 parejas en total.
Al final del cuarto mes, la pareja original ha producido otro par nuevo, y la pareja nacida hace dos meses también produce su primer par, formando 5 pares.
Al final del n -ésimo mes, el número de parejas de conejos es igual al número de parejas maduras (es decir, el número de parejas en el mes n – 2 ) más el número de parejas vivas el último mes (mes n – 1 ). El número del enésimo mes es el enésimo número de Fibonacci. [20]
El nombre "secuencia de Fibonacci" fue utilizado por primera vez por el teórico de números del siglo XIX Édouard Lucas . [21]
En una población idealizada en crecimiento, el número de parejas de conejos forma la secuencia de Fibonacci. Al final del enésimo mes, el número de pares es igual a F n.
Dado que esta fórmula también se puede escribir como
Para ver la relación entre la secuencia y estas constantes, [24] observe que φ y ψ son soluciones de la ecuación y, por lo tanto, las potencias de φ y ψ satisfacen la recursividad de Fibonacci. En otras palabras,
De ello se deduce que para cualquier valor a y b , la secuencia definida por
satisface la misma recurrencia,
Si se eligen a y b de modo que U 0 = 0 y U 1 = 1, entonces la secuencia resultante U n debe ser la secuencia de Fibonacci. Esto es lo mismo que exigir que a y b satisfagan el sistema de ecuaciones:
que tiene solución
produciendo la fórmula requerida.
Tomando los valores iniciales U 0 y U 1 como constantes arbitrarias, una solución más general es:
dónde
Cálculo por redondeo
Dado que para todo n ≥ 0 , el número F n es el entero más cercano a . Por lo tanto, se puede encontrar redondeando , usando la función entera más cercana:
De hecho, el error de redondeo rápidamente se vuelve muy pequeño a medida que n crece, siendo menor que 0,1 para n ≥ 4 y menor que 0,01 para n ≥ 8 . Esta fórmula se invierte fácilmente para encontrar un índice de un número de Fibonacci F :
En lugar de ello, utilizar la función suelo proporciona el índice más grande de un número de Fibonacci que no es mayor que F :
donde , , [25] y . [26]
Magnitud
Como F n es asintótico con , el número de dígitos en F n es asintótico con . Como consecuencia, por cada número entero d > 1 hay 4 o 5 números de Fibonacci con d dígitos decimales.
De manera más general, en la representación de base b , el número de dígitos en F n es asintótico a
Límite de cocientes consecutivos
Johannes Kepler observó que la proporción de números de Fibonacci consecutivos converge . Escribió que "como 5 es a 8, así es 8 a 13, prácticamente, y como 8 es a 13, así es 13 a 21 casi", y concluyó que estas proporciones se acercan a la proporción áurea [27] [28]
Esta convergencia se mantiene independientemente de los valores iniciales y , a menos que . Esto se puede verificar utilizando la fórmula de Binet. Por ejemplo, los valores iniciales 3 y 2 generan la secuencia 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555,.... La proporción de términos consecutivos en esta secuencia muestra la misma convergencia hacia la proporción áurea.
En general, porque las proporciones entre números de Fibonacci consecutivos se aproximan a .
Mosaicos sucesivos del plano y una gráfica de aproximaciones a la proporción áurea calculada dividiendo cada número de Fibonacci por el anterior.
Descomposición de poderes
Dado que la proporción áurea satisface la ecuación
esta expresión se puede usar para descomponer potencias superiores como una función lineal de potencias inferiores, que a su vez se puede descomponer hasta una combinación lineal de y 1. Las relaciones de recurrencia resultantes producen números de Fibonacci como coeficientes lineales :
esta ecuación puede demostrarse por inducción en n ≥ 1 :
Porque , también es el caso que y también es el caso que
Estas expresiones también son verdaderas para n < 1 si la secuencia de Fibonacci F n se extiende a enteros negativos usando la regla de Fibonacci.
Identificación
La fórmula de Binet proporciona una prueba de que un entero positivo x es un número de Fibonacci si y sólo si al menos uno de o es un cuadrado perfecto . [29] Esto se debe a que la fórmula de Binet, que se puede escribir como , se puede multiplicar y resolver como una ecuación cuadrática mediante la fórmula cuadrática :
Comparando esto con , se deduce que
En particular, el lado izquierdo es un cuadrado perfecto.
forma matricial
Un sistema bidimensional de ecuaciones en diferencias lineales que describe la secuencia de Fibonacci es
Esta propiedad puede entenderse en términos de la representación de fracción continua para la proporción áurea φ :
Los convergentes de la fracción continua para φ son razones de números de Fibonacci sucesivos: φ n = F n +1 / F n es el n -ésimo convergente, y el ( n + 1) -st convergente se puede encontrar a partir de la relación de recurrencia φ norte +1 = 1 + 1 / φ norte . [30] La matriz formada a partir de convergentes sucesivos de cualquier fracción continua tiene un determinante de +1 o −1. La representación matricial da la siguiente expresión en forma cerrada para los números de Fibonacci:
Tomando el determinante de ambos lados de esta ecuación se obtiene la identidad de Cassini ,
Además, dado que A n A m = A n + m para cualquier matriz cuadrada A , se pueden derivar las siguientes identidades (se obtienen a partir de dos coeficientes diferentes del producto matricial , y se puede deducir fácilmente el segundo del primero mediante cambiando n en n + 1 ),
En particular, con m = n ,
Estas dos últimas identidades proporcionan una forma de calcular los números de Fibonacci de forma recursiva en operaciones aritméticas O (log n ) . Esto coincide con el tiempo para calcular el enésimo número de Fibonacci a partir de la fórmula matricial de forma cerrada, pero con menos pasos redundantes si se evita volver a calcular un número de Fibonacci ya calculado (recursión con memorización ). [31]
Identidades combinatorias
Pruebas combinatorias
La mayoría de las identidades que involucran números de Fibonacci se pueden probar usando argumentos combinatorios usando el hecho de que puede interpretarse como el número de secuencias (posiblemente vacías) de 1 y 2 cuya suma es . Esto se puede tomar como la definición de con las convenciones , lo que significa que no existe tal secuencia cuya suma sea −1, y , lo que significa que la secuencia vacía "suma" 0. A continuación, se muestra la cardinalidad de un conjunto :
De esta manera, la relación de recurrencia
puede entenderse dividiendo las secuencias en dos conjuntos no superpuestos donde todas las secuencias comienzan con 1 o 2:
excluyendo el primer elemento, los términos restantes en cada secuencia suman o y la cardinalidad de cada conjunto es o dando un total de secuencias, mostrando que esto es igual a .
De manera similar se puede demostrar que la suma de los primeros números de Fibonacci hasta el n -ésimo es igual al ( n + 2) -ésimo número de Fibonacci menos 1. [32] En símbolos:
Esto se puede ver dividiendo todas las secuencias que se suman según la ubicación de los primeros 2. Específicamente, cada conjunto consta de aquellas secuencias que comienzan hasta los dos últimos conjuntos, cada uno con cardinalidad 1.
Siguiendo la misma lógica que antes, sumando la cardinalidad de cada conjunto vemos que
... donde los dos últimos términos tienen el valor . De esto se deduce que .
Un argumento similar, agrupar las sumas por la posición del primer 1 en lugar de los primeros 2 da dos identidades más:
y
En palabras, la suma de los primeros números de Fibonacci con índice impar hasta es el (2 n ) -ésimo número de Fibonacci , y la suma de los primeros números de Fibonacci con índice par hasta es el (2 n + 1) -ésimo número de Fibonacci menos 1. [33]
Se puede usar un truco diferente para demostrar
con palabras que la suma de los cuadrados de los primeros números de Fibonacci hasta es el producto de los números de Fibonacci n -ésimo y ( n + 1) -ésimo. Para ver esto, comience con un rectángulo de Fibonacci de tamaño y descompóngalo en cuadrados de tamaño ; de esto se desprende la identidad comparando áreas :
método simbólico
La secuencia también se considera utilizando el método simbólico . [34] Más precisamente, esta secuencia corresponde a una clase combinatoria especificable . La especificación de esta secuencia es . De hecho, como se indicó anteriormente, el -ésimo número de Fibonacci es igual al número de composiciones combinatorias ( particiones ordenadas ) que utilizan los términos 1 y 2.
El uso de igual a cualquiera de 0,01, 0,001, 0,0001, etc. establece los primeros números de Fibonacci en la expansión decimal de . Por ejemplo,
Sumas recíprocas
Las sumas infinitas sobre números recíprocos de Fibonacci a veces pueden evaluarse en términos de funciones theta . Por ejemplo, la suma de cada número de Fibonacci recíproco impar se puede escribir como
y la suma de números de Fibonacci recíprocos al cuadrado como
Si sumamos 1 a cada número de Fibonacci en la primera suma, también existe la forma cerrada
y hay una suma anidada de números de Fibonacci al cuadrado que dan el recíproco de la proporción áurea ,
La suma de todos los números recíprocos de Fibonacci con índice par es [37]
con la serie de Lambert ya que
Además, Richard André-Jeannin ha demostrado que esta cifra es irracional . [39]
La serie de Millin da la identidad [40]
que se sigue de la forma cerrada para sus sumas parciales cuando N tiende al infinito:
Primos y divisibilidad
Propiedades de divisibilidad
Cada tercer número de la secuencia es par (múltiplo de ) y, de manera más general, cada k -ésimo número de la secuencia es múltiplo de F k . Así, la secuencia de Fibonacci es un ejemplo de secuencia de divisibilidad . De hecho, la secuencia de Fibonacci satisface la propiedad de divisibilidad más fuerte [41] [42]
donde mcd es la función máximo común divisor .
En particular, tres números de Fibonacci consecutivos son coprimos por pares porque ambos y . Eso es,
por cada n .
Cada número primo p divide un número de Fibonacci que puede ser determinado por el valor de p módulo 5. Si p es congruente con 1 o 4 módulo 5, entonces p divide a F p −1 , y si p es congruente con 2 o 3 módulo 5 , entonces, p divide a F p +1 . El caso restante es que p = 5 , y en este caso p divide a F p .
La fórmula anterior se puede utilizar como prueba de primalidad en el sentido de que si
el símbolo de Legendre ha sido reemplazado por el símbolo de Jacobi , entonces esto es evidencia de que n es un primo, y si no se cumple, entonces n definitivamente no es un principal. Si n es compuesto y satisface la fórmula, entonces n es un pseudoprimo de Fibonacci . Cuando m es grande (digamos un número de 500 bits ), entonces podemos calcular F m (mod n ) de manera eficiente usando la forma matricial. De este modo
Un número primo de Fibonacci es un número de Fibonacci que es primo . Los primeros son: [45]
2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, ...
Se han encontrado números primos de Fibonacci con miles de dígitos, pero no se sabe si son infinitos. [46]
F kn es divisible por F n , por lo que, aparte de F 4 = 3 , cualquier primo de Fibonacci debe tener un índice primo. Así como hay series arbitrariamente largas de números compuestos , también hay series arbitrariamente largas de números compuestos de Fibonacci.
Ningún número de Fibonacci mayor que F 6 = 8 es uno mayor o uno menor que un número primo. [47]
El único número de Fibonacci cuadrado no trivial es 144. [48] Attila Pethő demostró en 2001 que sólo existe un número finito de números de Fibonacci de potencia perfecta . [49] En 2006, Y. Bugeaud, M. Mignotte y S. Siksek demostraron que 8 y 144 son los únicos poderes perfectos no triviales. [50]
Ningún número de Fibonacci puede ser un número perfecto . [52] De manera más general, ningún número de Fibonacci distinto de 1 puede ser multiplicado perfecto , [53] y ninguna proporción de dos números de Fibonacci puede ser perfecta. [54]
Divisores primos
Con las excepciones de 1, 8 y 144 ( F 1 = F 2 , F 6 y F 12 ), cada número de Fibonacci tiene un factor primo que no es factor de ningún número de Fibonacci más pequeño ( teorema de Carmichael ). [55] Como resultado, 8 y 144 ( F 6 y F 12 ) son los únicos números de Fibonacci que son producto de otros números de Fibonacci. [56]
La divisibilidad de los números de Fibonacci por un primo p está relacionada con el símbolo de Legendre que se evalúa de la siguiente manera:
Además, si p ≠ 5 es un número primo impar entonces: [59]
Ejemplo 1. p = 7 , en este caso p ≡ 3 (mod 4) y tenemos:
Ejemplo 2. p = 11 , en este caso p ≡ 3 (mod 4) y tenemos:
Ejemplo 3. p = 13 , en este caso p ≡ 1 (mod 4) y tenemos:
Ejemplo 4. p = 29 , en este caso p ≡ 1 (mod 4) y tenemos:
Para n impar , todos los divisores primos impares de F n son congruentes con 1 módulo 4, lo que implica que todos los divisores impares de F n (como productos de los divisores primos impares) son congruentes con 1 módulo 4. [60]
Por ejemplo,
Todos los factores conocidos de los números de Fibonacci F ( i ) para todo i < 50000 se recopilan en los repositorios correspondientes. [61] [62]
Módulo de periodicidadnorte
Si los miembros de la secuencia de Fibonacci se toman mod n , la secuencia resultante es periódica con un período como máximo de 6 n . [63] La duración de los períodos para varios n forma los llamados períodos Pisano . [64] Determinar una fórmula general para los períodos de Pisano es un problema abierto , que incluye como subproblema una instancia especial del problema de encontrar el orden multiplicativo de un entero modular o de un elemento en un cuerpo finito . Sin embargo, para cualquier n particular , el período de Pisano puede encontrarse como un caso de detección de ciclo .
Algunos ejemplos específicos que se acercan, en cierto sentido, a la secuencia de Fibonacci incluyen:
Generalizando el índice a números enteros negativos para producir los números negafibonacci .
Generalizando el índice a números reales mediante una modificación de la fórmula de Binet. [35]
Comenzando con otros números enteros. Los números de Lucas tienen L 1 = 1 , L 2 = 3 y L n = L n −1 + L n −2 . Las secuencias Primefree utilizan la recursión de Fibonacci con otros puntos de partida para generar secuencias en las que todos los números son compuestos.
Dejar que un número sea una función lineal (distinta de la suma) de los 2 números anteriores. Los números de Pell tienen P n = 2 P n −1 + P n −2 . Si al coeficiente del valor anterior se le asigna un valor de variable x , el resultado es la secuencia de polinomios de Fibonacci .
Generar el siguiente número sumando 3 números (números de tribonacci), 4 números (números de tetranacci) o más. Las secuencias resultantes se conocen como números de Fibonacci de n pasos . [65]
Aplicaciones
Matemáticas
Los números de Fibonacci son las sumas de las diagonales (mostradas en rojo) de un triángulo de Pascal justificado a la izquierda .
Los números de Fibonacci ocurren como sumas de coeficientes binomiales en las diagonales "superficiales" del triángulo de Pascal : [66]
Esto se puede demostrar expandiendo la función generadora
y recopilando términos semejantes de .
Para ver cómo se usa la fórmula, podemos ordenar las sumas según el número de términos presentes:
que es , donde elegimos las posiciones de k dos de n − k −1 términos.
Uso de la secuencia de Fibonacci para contar composiciones restringidas en {1, 2}
Estos números también dan la solución a ciertos problemas enumerativos, [67] el más común de los cuales es el de contar el número de formas de escribir un número dado n como una suma ordenada de 1 y 2 (llamadas composiciones ); hay F n +1 formas de hacer esto (de manera equivalente, también es el número de mosaicos de dominó del rectángulo). Por ejemplo, hay F 5+1 = F 6 = 8 maneras de subir una escalera de 5 escalones, subiendo uno o dos escalones a la vez:
La figura muestra que 8 se puede descomponer en 5 (el número de formas de subir 4 escalones, seguido de un escalón simple) más 3 (el número de formas de subir 3 escalones, seguido de un escalón doble). El mismo razonamiento se aplica recursivamente hasta un único escalón, del cual sólo hay un camino para subir.
Los números de Fibonacci se pueden encontrar de diferentes formas entre el conjunto de cadenas binarias , o de manera equivalente, entre los subconjuntos de un conjunto determinado.
El número de cadenas binarias de longitud n sin 1 s consecutivos es el número de Fibonacci F n +2 . Por ejemplo, de las 16 cadenas binarias de longitud 4, hay F 6 = 8 sin 1 consecutivos : son 0000, 0001, 0010, 0100, 0101, 1000, 1001 y 1010. Estas cadenas son las representaciones binarias de Números fibinarios . De manera equivalente, F n +2 es el número de subconjuntos S de {1, ..., n } sin enteros consecutivos, es decir, aquellos S para los cuales { i , i + 1} ⊈ S para cada i . Una biyección con las sumas de n +1 consiste en reemplazar 1 con 0 y 2 con 10, y eliminar el último cero.
El número de cadenas binarias de longitud n sin un número impar de 1 s consecutivos es el número de Fibonacci F n +1 . Por ejemplo, de las 16 cadenas binarias de longitud 4, hay F 5 = 5 sin un número impar de 1 consecutivos : son 0000, 0011, 0110, 1100, 1111. De manera equivalente, el número de subconjuntos S de {1 , ..., n } sin un número impar de enteros consecutivos es F n +1 . Una biyección con las sumas de n consiste en reemplazar 1 con 0 y 2 con 11.
El número de cadenas binarias de longitud n sin un número par de 0 s o 1 s consecutivos es 2 F n . Por ejemplo, de las 16 cadenas binarias de longitud 4, hay 2 F 4 = 6 sin un número par de 0 s o 1 s consecutivos : son 0001, 0111, 0101, 1000, 1010, 1110. Hay un equivalente declaración sobre subconjuntos.
Los números de Fibonacci también son un ejemplo de secuencia completa . Esto significa que cada número entero positivo se puede escribir como una suma de números de Fibonacci, donde cualquier número se usa una vez como máximo.
Además, cada número entero positivo se puede escribir de forma única como la suma de uno o más números de Fibonacci distintos, de tal manera que la suma no incluya dos números de Fibonacci consecutivos. Esto se conoce como teorema de Zeckendorf , y una suma de números de Fibonacci que satisface estas condiciones se denomina representación de Zeckendorf. La representación Zeckendorf de un número se puede utilizar para derivar su codificación Fibonacci .
Comenzando con 5, cada segundo número de Fibonacci es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados enteros, o en otras palabras, el número más grande en un triple pitagórico , obtenido a partir de la fórmula La secuencia de triángulos pitagóricos obtenida a partir de esta fórmula tiene lados de longitudes (3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ... . El lado medio de cada uno de estos triángulos es la suma de los tres lados del triángulo anterior. [69]
Los números de Fibonacci se utilizan en una versión polifásica del algoritmo de ordenación por fusión en el que una lista sin ordenar se divide en dos listas cuyas longitudes corresponden a números de Fibonacci secuenciales, dividiendo la lista de modo que las dos partes tengan longitudes en la proporción aproximada φ . En The Art of Computer Programming se describió una implementación de unidad de cinta del tipo de fusión polifásica .
Un árbol de Fibonacci es un árbol binario cuyos árboles secundarios (recursivamente) difieren en altura exactamente en 1. Por lo tanto, es un árbol AVL y uno con la menor cantidad de nodos para una altura determinada: el árbol AVL "más delgado". Estos árboles tienen una cantidad de vértices que es un número de Fibonacci menos uno, un hecho importante en el análisis de los árboles AVL. [72]
La serie de números de Fibonacci se utiliza para la compresión con pérdida opcional en el formato de archivo de audio IFF 8SVX utilizado en las computadoras Amiga . La serie numérica amplía la onda de audio original de manera similar a los métodos logarítmicos como la ley μ . [74] [75]
Algunos equipos ágiles utilizan una serie modificada llamada "Serie Fibonacci modificada" en la planificación del póquer , como herramienta de estimación. Planning Poker es una parte formal del Scaled Agile Framework . [76]
Cabeza de manzanilla amarilla que muestra la disposición en 21 (azul) y 13 (cian) espirales. Este tipo de disposiciones que implican números de Fibonacci consecutivos aparecen en una amplia variedad de plantas.
Las secuencias de Fibonacci aparecen en entornos biológicos, [77] como la ramificación de los árboles, la disposición de las hojas en un tallo , los frutos de una piña , [78] la floración de la alcachofa , la disposición de una piña , [79] y la familia árbol de abejas . [80] [81] Kepler señaló la presencia de la secuencia de Fibonacci en la naturaleza, usándola para explicar la forma pentagonal (relacionada con la proporción áurea ) de algunas flores. [82] Las margaritas de campo suelen tener pétalos en números de Fibonacci. [83] En 1830, Karl Friedrich Schimper y Alexander Braun descubrieron que las parasticquias ( filotaxia espiral ) de las plantas se expresaban frecuentemente como fracciones que involucraban números de Fibonacci. [84]
Ilustración del modelo de Vogel para n = 1 ... 500
Helmut Vogel [de] propuso un modelo para el patrón de floretes en la cabeza de un girasol en 1979. [86] Este tiene la forma
donde n es el número índice de la flor y c es un factor de escala constante; Por tanto, los floretes se encuentran en la espiral de Fermat . El ángulo de divergencia , de aproximadamente 137,51°, es el ángulo áureo , que divide el círculo en la proporción áurea. Debido a que esta proporción es irracional, ningún florete tiene un vecino exactamente en el mismo ángulo desde el centro, por lo que los floretes se empaquetan de manera eficiente. Debido a que las aproximaciones racionales a la proporción áurea son de la forma F ( j ): F ( j + 1) , los vecinos más cercanos del número de florete n son aquellos en n ± F ( j ) para algún índice j , que depende de r , la distancia desde el centro. Los girasoles y flores similares suelen tener espirales de floretes en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj en la cantidad de números de Fibonacci adyacentes, [87] normalmente contados por el rango más externo de radios. [88]
Los números de Fibonacci también aparecen en los pedigríes ancestrales de las abejas (que son haplodiploides ), según las siguientes reglas:
Si se pone un huevo pero no se fertiliza, produce un macho (o abeja zángano en las abejas melíferas).
Sin embargo, si un óvulo es fertilizado, produce una hembra.
Por lo tanto, una abeja macho siempre tiene un padre y una abeja hembra tiene dos. Si uno rastrea el pedigrí de cualquier abeja macho (1 abeja), tiene 1 padre (1 abeja), 2 abuelos, 3 bisabuelos, 5 tatarabuelos, etc. Esta secuencia de números de padres es la secuencia de Fibonacci. El número de ancestros en cada nivel, F n , es el número de ancestros femeninos, que es F n −1 , más el número de ancestros masculinos, que es F n −2 . [89] [90] Esto se basa en la suposición poco realista de que los antepasados en cada nivel no están relacionados.
El número de posibles ancestros en la línea de herencia del cromosoma X en una generación ancestral determinada sigue la secuencia de Fibonacci. (Según Hutchison, L. "Hacer crecer el árbol genealógico: el poder del ADN en la reconstrucción de las relaciones familiares". [91] )
De manera similar, se ha observado que el número de posibles ancestros en la línea de herencia del cromosoma X humano en una generación ancestral determinada también sigue la secuencia de Fibonacci. [91] Un individuo masculino tiene un cromosoma X, que recibió de su madre, y un cromosoma Y , que recibió de su padre. El varón cuenta como el “origen” de su propio cromosoma X ( ), y en la generación de sus padres, su cromosoma X provino de un solo progenitor ( ) . La madre del varón recibió un cromosoma X de su madre (la abuela materna del hijo) y uno de su padre (el abuelo materno del hijo), por lo que dos abuelos contribuyeron al cromosoma X del descendiente masculino ( ) . El abuelo materno recibió su cromosoma X de su madre, y la abuela materna recibió los cromosomas X de ambos padres, por lo que tres bisabuelos contribuyeron al cromosoma X del descendiente masculino ( ) . Cinco tatarabuelos contribuyeron al cromosoma X del descendiente masculino ( ) , etc. (Esto supone que todos los antepasados de un descendiente determinado son independientes, pero si se rastrea alguna genealogía lo suficientemente atrás en el tiempo, los antepasados comienzan a aparecer en múltiples líneas de la genealogía, hasta que eventualmente aparece un fundador de población en todas las líneas de la genealogía.)
Otro
En óptica , cuando un haz de luz brilla en ángulo a través de dos placas transparentes apiladas de diferentes materiales con diferentes índices de refracción , puede reflejarse en tres superficies: las superficies superior, media e inferior de las dos placas. El número de trayectorias de haz diferentes que tienen k reflexiones, para k > 1 , es el k -ésimo número de Fibonacci. (Sin embargo, cuando k = 1 , hay tres caminos de reflexión, no dos, uno para cada una de las tres superficies) .
Dado que el factor de conversión 1,609344 para millas a kilómetros está cerca de la proporción áurea, la descomposición de la distancia en millas en una suma de números de Fibonacci se vuelve casi la suma de kilómetros cuando los números de Fibonacci son reemplazados por sus sucesores. Este método equivale a desplazar un registro numérico de base 2 en proporción áurea base φ . Para convertir de kilómetros a millas, cambie el registro hacia abajo en la secuencia de Fibonacci. [93]
Los valores medidos de voltajes y corrientes en el circuito de cadena de resistencia infinita (también llamado escalera de resistencia o circuito infinito en serie-paralelo) siguen la secuencia de Fibonacci. Los resultados intermedios de sumar las series alternas y las resistencias paralelas producen fracciones compuestas de números de Fibonacci consecutivos. La resistencia equivalente de todo el circuito es igual a la proporción áurea. [94]
Brasch et al. 2012 muestran cómo una secuencia de Fibonacci generalizada también puede conectarse al campo de la economía . [95] En particular, se muestra cómo una secuencia de Fibonacci generalizada entra en la función de control de problemas de optimización dinámica de horizonte finito con un estado y una variable de control. El procedimiento se ilustra en un ejemplo al que a menudo se hace referencia como modelo de crecimiento económico de Brock-Mirman.
Mario Merz incluyó la secuencia de Fibonacci en algunas de sus obras de arte a partir de 1970. [96]
Joseph Schillinger (1895-1943) desarrolló un sistema de composición que utiliza intervalos de Fibonacci en algunas de sus melodías; los veía como la contraparte musical de la elaborada armonía evidente dentro de la naturaleza. [97] Véase también Proporción áurea § Música .
Matriz Wythoff : matriz infinita de números enteros derivada de la secuencia de Fibonacci
Referencias
Notas explicativas
^ "Para cuatro, variaciones de metros de dos [y] tres mezclados, ocurre cinco. Para cinco, variaciones de dos anteriores: tres [y] cuatro, mezclados, se obtiene ocho. De esta manera, para seis, [variaciones ] de cuatro [y] cinco mezclados, sucede trece. Y así, al mezclarse variaciones de dos metros anteriores, siete morae [son] veintiuno. De esta manera, el proceso debe seguirse en todos los mātrā-vṛttas". [13]
^ abc Goonatilake, Susantha (1998), Hacia una ciencia global, Indiana University Press, p. 126, ISBN978-0-253-33388-9
^ ab Singh, Parmanand (1985), "Los llamados números de Fibonacci en la India antigua y medieval", Historia Mathematica , 12 (3): 229–44, doi : 10.1016/0315-0860(85)90021-7
^ ab Knuth, Donald (2006), El arte de la programación informática, vol. 4. Generando todos los árboles - Historia de la generación combinatoria, Addison – Wesley, p. 50, ISBN978-0-321-33570-8, era natural considerar el conjunto de todas las secuencias de [L] y [S] que tienen exactamente m tiempos. ... hay exactamente Fm+1 de ellos. Por ejemplo, las 21 secuencias cuando m = 7 son: [da la lista]. De esta manera, los prosodistas indios fueron llevados a descubrir la secuencia de Fibonacci, como hemos observado en la Sección 1.2.8 (del v.1).
^ Sigler 2002, págs. 404-05.
^ Lucas 1891, pag. 3.
^ Beck y Geoghegan 2010.
^ Bona 2011, pag. 180.
^ Knuth, Donald (1968), El arte de la programación informática, vol. 1, Addison Wesley, pág. 100, ISBN978-81-7758-754-8, Antes de que Fibonacci escribiera su obra, la secuencia Fn ya había sido discutida por eruditos indios, que durante mucho tiempo habían estado interesados en los patrones rítmicos... tanto Gopala (antes de 1135 d.C.) como Hemachandra (c. 1150) mencionaron los números 1,2, 3,5,8,13,21 explícitamente [ver P. Singh Historia Math 12 (1985) 229–44]" p. 100 (3d ed) ...
^ ab Livio 2003, pag. 197.
^ Agrawala, VS (1969),Pāṇinikālīna Bhāratavarṣa (Hn.). Varanasi-I: TheChowkhamba Vidyabhawan , SadgurushiShya escribe que Pingala era un hermano menor de Pāṇini [Agrawala 1969, lb]. Existe una opinión alternativa de que era tío materno de Pāṇini [Vinayasagar 1965, Prefacio, 121]. ... Agrawala [1969, 463–76], después de una cuidadosa investigación, en la que consideró las opiniones de eruditos anteriores, concluyó que Pāṇini vivió entre 480 y 410 a.C.
^ Singh, Parmanand (1985), "Los llamados números de Fibonacci en la India antigua y medieval", Historia Mathematica , 12 (3), Academic Press : 232, doi : 10.1016/0315-0860(85)90021-7
^ Velankar, HD (1962),'Vṛttajātisamuccaya' de kavi Virahanka , Jodhpur: Instituto de Investigaciones Orientales de Rajasthan, p. 101
^ Livio 2003, pag. 197–198.
^ Shah, Jayant (1991), "Una historia de la combinatoria de Piṅgala" (PDF) , Northeastern University : 41 , recuperado 4 de enero 2019
^ Sigler 2002, págs. 404–405.
^ "Liber Abaci de Fibonacci (Libro de cálculo)", Universidad de Utah , 13 de diciembre de 2009 , consultado el 28 de noviembre de 2018
^ Hemenway, Priya (2005), Proporción divina: Phi en el arte, la naturaleza y la ciencia , Nueva York: Sterling, págs. 20-21, ISBN1-4027-3522-7
^ Knott, Ron (25 de septiembre de 2016), "Los números de Fibonacci y la sección áurea en la naturaleza - 1", Universidad de Surrey , recuperado 27 de noviembre 2018
^ Knott, Ron, Los conejos de Fibonacci, Facultad de Ingeniería y Ciencias Físicas de la Universidad de Surrey
^ Gardner, Martin (1996), Circo Matemático , Asociación Matemática de América, p. 153, ISBN978-0-88385-506-5Es irónico que Leonardo, que hizo valiosas contribuciones a las matemáticas, sea recordado hoy principalmente porque un teórico de números francés del siglo XIX, Édouard Lucas... adjuntó el nombre Fibonacci a una secuencia numérica que aparece en un problema trivial en Liber abaci .
^ Beutelspacher, Albrecht; Petri, Bernhard (1996), "Fibonacci-Zahlen", Der Goldene Schnitt , Einblick in die Wissenschaft, Vieweg+Teubner Verlag, págs. 87–98, doi :10.1007/978-3-322-85165-9_6, ISBN978-3-8154-2511-4
^ Glaister, P (1995), "Serie de potencias de Fibonacci", The Mathematical Gazette , 79 (486): 521–25, doi :10.2307/3618079, JSTOR 3618079, S2CID 116536130
^ Landau (1899) citado según Borwein, página 95, ejercicio 3b.
^ Honsberger, Ross (1985), "La serie de Millin", Gemas matemáticas III , Exposiciones matemáticas de Dolciani, vol. 9, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, págs. 135-136, ISBN9781470457181
^ Ribenboim, Paulo (2000), Mis números, mis amigos , Springer-Verlag
^ Su, Francis E (2000), "Fibonacci GCD's, please", Mudd Math Fun Facts, et al, HMC, archivado desde el original el 14 de diciembre de 2009 , consultado el 23 de febrero de 2007
^ Williams, HC (1982), "Una nota sobre el cociente de Fibonacci ", Canadian Mathematical Bulletin , 25 (3): 366–70, doi : 10.4153/CMB-1982-053-0 , hdl : 10338.dmlcz/137492 , Señor 0668957. Williams llama a esta propiedad "bien conocida".
^ Números primos , Richard Crandall, Carl Pomerance, Springer, segunda edición, 2005, p. 142.
^ Diaconis, Persi (2018), "Probabilización de los números de Fibonacci" (PDF) , en Butler, Steve ; Cooper, Josué; Hurlbert, Glenn (eds.), Conexiones en matemáticas discretas: una celebración del trabajo de Ron Graham , Cambridge University Press, págs. 1–12, ISBN978-1-107-15398-1, MR 3821829, archivado desde el original (PDF) el 2023-11-18 , consultado el 2022-11-23
^ Honsberger, Ross (1985), "Mathematical Gems III", Exposiciones matemáticas de AMS Dolciani (9): 133, ISBN978-0-88385-318-4
^ Cohn, JHE (1964), "Sobre los números cuadrados de Fibonacci", The Journal of the London Mathematical Society , 39 : 537–540, doi :10.1112/jlms/s1-39.1.537, MR 0163867
^ Pethő, Attila (2001), "Propiedades diofánticas de secuencias recursivas lineales II", Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis , 17 : 81–96
^ Bugeaud, Y; Mignotte, M; Siksek, S (2006), "Enfoques clásicos y modulares de las ecuaciones diofánticas exponenciales. I. Potencias perfectas de Fibonacci y Lucas", Ann. Matemáticas. , 2 (163): 969–1018, arXiv : math/0403046 , Bibcode :2004math......3046B, doi :10.4007/annals.2006.163.969, S2CID 10266596
^ Luo, Ming (1989), "Sobre los números triangulares de Fibonacci" (PDF) , Fibonacci Quart. , 27 (2): 98-108
^ Luca, Florian (2000), "Números perfectos de Fibonacci y Lucas", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo , 49 (2): 313–18, doi :10.1007/BF02904236, ISSN 1973-4409, MR 1765401, S2CID 121789033
^ Broughan, Kevin A.; González, Marcos J.; Lewis, Ryan H.; Luca, Florián; Mejía Huguet, V. Janitzio; Togbé, Alain (2011), "No existen números de Fibonacci multiplicadamente perfectos", Enteros , 11a : A7, MR 2988067
^ Luca, Florián; Mejía Huguet, V. Janitzio (2010), "Sobre los números perfectos que son proporciones de dos números de Fibonacci", Annales Mathematicae en Informaticae , 37 : 107–24, ISSN 1787-6117, MR 2753031
^ Knott, Ron, Los números de Fibonacci, Reino Unido: Surrey
^ Factorizaciones de Fibonacci y Lucas, Mersennusrecoge todos los factores conocidos de F ( i ) con i < 10000 .
^ Factores de los números de Fibonacci y Lucas, Golpe rojorecoge todos los factores conocidos de F ( i ) con 10000 < i <50000 .
^ Freyd, Pedro; Brown, Kevin S. (1993), "Problemas y soluciones: Soluciones: E3410", The American Mathematical Monthly , 99 (3): 278–79, doi :10.2307/2325076, JSTOR 2325076
^ Knuth, Donald E (1997), El arte de la programación informática , vol. 1: Algoritmos fundamentales (3.ª ed.), Addison – Wesley, p. 343, ISBN978-0-201-89683-1
^ Adelson-Velsky, Georgy; Landis, Evgenii (1962), "Un algoritmo para la organización de la información", Actas de la Academia de Ciencias de la URSS (en ruso), 146 : 263–266Traducción al inglés de Myron J. Ricci en Matemáticas soviéticas - Doklady , 3:1259–1263, 1962.
^ Avriel, M; Wilde, DJ (1966), "Optimidad de la técnica de búsqueda simétrica de Fibonacci", Fibonacci Quarterly (3): 265–69
^ Manual de referencia del kernel ROM de Amiga , Addison – Wesley, 1991
^ "IFF", Wiki multimedia
^ Dean Leffingwell (1 de julio de 2021), Historia, marco ágil escalado , consultado el 15 de agosto de 2022
^ Douady, S; Couder, Y (1996), "Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process" (PDF) , Journal of Theoretical Biology , 178 (3): 255–74, doi :10.1006/jtbi.1996.0026, archivado desde el original (PDF) en 2006-05-26
^ Jones, Judy; Wilson, William (2006), "Ciencia", una educación incompleta , Ballantine Books, pág. 544, ISBN978-0-7394-7582-9
^ Brousseau, A (1969), "Estadísticas de Fibonacci en coníferas", Fibonacci Quarterly (7): 525–32
^ "Marcas del Código da Vinci: B–", Matemáticas , informática por diversión: CS4FN
^ Varenne, Franck (2010), Formaliser le vivant - Lois, Théories, Modèles (en francés), Hermann, p. 28, ISBN9782705678128, consultado el 30 de octubre de 2022 , en 1830, KF Schimper et A. Braun [...]. Ils montraient que si l'on représente cet ángulo de divergencia par una fracción reflétant le nombre de tours par feuille ([...]), on tombe régulièrement sur un des nombres de la suite de Fibonacci pour le numérateur [...] .
^ Prusinkiewicz, Przemyslaw; Hanan, James (1989), Lindenmayer Systems, Fractals, and Plants (Apuntes de conferencias sobre biomatemáticas) , Springer-Verlag , ISBN978-0-387-97092-9
^ Vogel, Helmut (1979), "Una mejor manera de construir la cabeza de girasol", Mathematical Biosciences , 44 (3–4): 179–89, doi :10.1016/0025-5564(79)90080-4
^ "La secuencia de Fibonacci tal como aparece en la naturaleza" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 1 (1): 53–56, 1963
^ Yanega, D. 1996. Proporción y asignación de sexos en abejas sudoríparas (Hymenoptera: Halictidae). J. Kans. Ent. Soc. 69 Supl.: 98-115.
^ ab Hutchison, Luke (septiembre de 2004), "Hacer crecer el árbol genealógico: el poder del ADN en la reconstrucción de las relaciones familiares" (PDF) , Actas del primer simposio sobre bioinformática y biotecnología (BIOT-04) , archivado desde el original (PDF) ) el 25 de septiembre de 2020 , consultado el 3 de septiembre de 2016
^ Livio 2003, págs. 98–99.
^ "Representación de Zeckendorf", Enciclopedia de Matemáticas
^ Patranabis, D.; Dana, SK (diciembre de 1985), "Diagnóstico de fallas de derivación única mediante medición de atenuación terminal y uso de números de Fibonacci", IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement , IM-34 (4): 650–653, Bibcode :1985ITIM...34. .650P, doi :10.1109/tim.1985.4315428, S2CID 35413237
^ Brasch, T. von; Bystrom, J.; Lystad, LP (2012), "Control óptimo y la secuencia de Fibonacci", Revista de teoría y aplicaciones de optimización , 154 (3): 857–78, doi :10.1007/s10957-012-0061-2, hdl : 11250/180781 , S2CID 8550726
^ Livio 2003, pag. 176.
^ Livio 2003, pag. 193.
Obras citadas
Ball, Keith M (2003), "8: Los conejos de Fibonacci revisitados", Curvas extrañas, conteo de conejos y otras exploraciones matemáticas , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-11321-0.
Beck, Matías; Geoghegan, Ross (2010), El arte de la prueba: formación básica para matemáticas más profundas , Nueva York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0.
Bóna, Miklós (2011), Un recorrido por la combinatoria (3.ª ed.), Nueva Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2.
Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, Nueva York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9.
Livio, Mario (2003) [2002], The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (Primera edición comercial en rústica), Nueva York: Broadway Books , ISBN 0-7679-0816-3
Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres (en francés), vol. 1, París: Gauthier-Villars.
Sigler, LE (2002), Liber Abaci de Fibonacci: una traducción al inglés moderno del libro de cálculo de Leonardo Pisano , fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6
Enlaces externos
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