Espacio Sierpiński

En matemáticas , el espacio de Sierpiński es un espacio topológico finito con dos puntos, de los cuales sólo uno es cerrado . ^[1] Es el ejemplo más pequeño de un espacio topológico que no es ni trivial ni discreto . Lleva el nombre de Wacław Sierpiński .

El espacio de Sierpiński tiene relaciones importantes con la teoría de la computación y la semántica , ^{[2] [3]} porque es el espacio de clasificación para conjuntos abiertos en la topología de Scott .

Definición y propiedades fundamentales.

Explícitamente, el espacio de Sierpiński es un espacio topológico S cuyo conjunto de puntos subyacente es y cuyos conjuntos abiertos son Los conjuntos cerrados son Entonces el conjunto singleton es cerrado y el conjunto es abierto ( es el conjunto vacío ). ${\displaystyle \{0,1\}}$ $${\displaystyle \{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.}$$ $${\displaystyle \{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}.}$$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \varnothing =\{\,\}}$

El operador de cierre en S está determinado por $${\displaystyle {\overline {\{0\}}}=\{0\},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{0,1\}.}$$

Un espacio topológico finito también está determinado únicamente por su preorden de especialización . Para el espacio de Sierpiński, este pedido anticipado es en realidad un pedido parcial y está dado por $${\displaystyle 0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.}$$

Propiedades topológicas

El espacio de Sierpiński es un caso especial tanto de la topología de puntos finitos particulares (con el punto 1 particular) como de la topología de puntos finitos excluidos (con el punto 0 excluido). Por tanto, tiene muchas propiedades en común con una o ambas familias. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Separación

• Los puntos 0 y 1 son topológicamente distinguibles en S ya que es un conjunto abierto que contiene sólo uno de estos puntos. Por tanto, S es un espacio de Kolmogorov (T ) . ${\displaystyle \{1\}}$
• Sin embargo, S no es T 1 ya que el punto 1 no está cerrado. Se deduce que S no es Hausdorff , o T _n para cualquier ${\displaystyle n\geq 1.}$
• S no es regular (ni completamente regular ) ya que el punto 1 y el conjunto cerrado disjunto no pueden separarse por vecindades . (También la regularidad en presencia de T ₀ implicaría Hausdorff.) ${\displaystyle \{0\}}$
• S es vagamente normal y completamente normal ya que no hay conjuntos separados no vacíos .
• S no es perfectamente normal ya que son conjuntos cerrados disjuntos y no pueden separarse con precisión mediante una función. De hecho, no puede ser el conjunto cero de ninguna función continua ya que cada una de esas funciones es constante . ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle S\to \mathbb {R} }$

Conectividad

• El espacio de Sierpiński S es hiperconectado (ya que cada conjunto abierto no vacío contiene 1) y ultraconectado (ya que cada conjunto cerrado no vacío contiene 0).
• Se deduce que S es a la vez conexo y conexo por caminos .
• Un camino de 0 a 1 en S está dado por la función: y para La función es continua ya que está abierta en I. ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(t)=1}$ ${\displaystyle t>0.}$ ${\displaystyle f:I\to S}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)=(0,1]}$
• Como todos los espacios topológicos finitos, S está conectado por caminos localmente .
• El espacio de Sierpiński es contráctil , por lo que el grupo fundamental de S es trivial (como lo son todos los grupos de homotopía superior ).

Compacidad

• Como todos los espacios topológicos finitos, el espacio de Sierpiński es compacto y contable en segundos .
• El subconjunto compacto de S no es cerrado, lo que demuestra que los subconjuntos compactos de T ₀ espacios no necesitan ser cerrados. ${\displaystyle \{1\}}$
• Cada cubierta abierta de S debe contener al propio S , ya que S es la única vecindad abierta de 0. Por lo tanto, cada cubierta abierta de S tiene una subcubierta abierta que consta de un único conjunto: ${\displaystyle \{S\}.}$
• De ello se deduce que S es completamente normal . ^[4]

Convergencia

• Toda secuencia en S converge al punto 0. Esto se debe a que la única vecindad de 0 es el propio S.
• Una secuencia en S converge a 1 si y sólo si la secuencia contiene sólo un número finito de términos iguales a 0 (es decir, la secuencia eventualmente es sólo unos).
• El punto 1 es un punto de grupo de una secuencia en S si y sólo si la secuencia contiene infinitos unos.
• Ejemplos :
  • 1 no es un punto de agrupación de ${\displaystyle (0,0,0,0,\ldots ).}$
  • 1 es un punto de grupo (pero no un límite) de ${\displaystyle (0,1,0,1,0,1,\ldots ).}$
  • La secuencia converge tanto a 0 como a 1. ${\displaystyle (1,1,1,1,\ldots )}$

Metrizabilidad

• El espacio S de Sierpiński no es metrizable ni pseudometrizable ya que todo espacio pseudométrico es completamente regular pero el espacio de Sierpiński ni siquiera es regular .
• S es generado por el hemimétrico ( o pseudocuasimétrico ) y ${\displaystyle d(0,1)=0}$ ${\displaystyle d(1,0)=1.}$

Otras propiedades

• Sólo hay tres mapas continuos de S a sí mismo: el mapa de identidad y los mapas de constantes a 0 y 1.
• De ello se deduce que el grupo de homeomorfismo de S es trivial .

Funciones continuas al espacio Sierpiński.

Sea X un conjunto arbitrario. Generalmente se denota el conjunto de todas las funciones desde X hasta el conjunto. Estas funciones son precisamente las funciones características de X. Cada una de estas funciones tiene la forma en la que U es un subconjunto de X. En otras palabras, el conjunto de funciones está en correspondencia biyectiva con el conjunto potencia de X. Cada subconjunto U de X tiene su función característica y toda función desde X hasta es de esta forma. ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle 2^{X}.}$ $${\displaystyle \chi _{U}(x)={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}}$$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle P(X),}$ ${\displaystyle \chi _{U}}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$

Ahora supongamos que X es un espacio topológico y tengamos la topología de Sierpiński. Entonces una función es continua si y sólo si está abierta en X. Pero, por definición, So es continua si y sólo si U es abierta en X. Denotemos el conjunto de todos los mapas continuos de X a S y denotemos la topología de X (es decir, la familia de todos los conjuntos abiertos). Entonces tenemos una biyección desde a la cual envía el conjunto abierto a Es decir, si nos identificamos con el subconjunto de mapas continuos es precisamente la topología de ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{U}:X\to S}$ ${\displaystyle \chi _{U}^{-1}(1)}$ $${\displaystyle \chi _{U}^{-1}(1)=U.}$$ ${\displaystyle \chi _{U}}$ ${\displaystyle C(X,S)}$ ${\displaystyle T(X)}$ ${\displaystyle T(X)}$ ${\displaystyle C(X,S)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \chi _{U}.}$ $${\displaystyle C(X,S)\cong {\mathcal {T}}(X)}$$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle P(X)}$ ${\displaystyle C(X,S)\subseteq 2^{X}}$ ${\displaystyle X:}$ ${\displaystyle T(X)\subseteq P(X).}$

Un ejemplo particularmente notable de esto es la topología de Scott para conjuntos parcialmente ordenados , en la que el espacio de Sierpiński se convierte en el espacio de clasificación para conjuntos abiertos cuando la función característica preserva las uniones dirigidas. ^[5]

Descripción categórica

La construcción anterior se puede describir muy bien utilizando el lenguaje de la teoría de categorías . Hay un funtor contravariante de la categoría de espacios topológicos a la categoría de conjuntos que asigna a cada espacio topológico su conjunto de conjuntos abiertos y a cada función continua el mapa de preimagen . La afirmación entonces queda: el functor está representado por dónde está el espacio de Sierpiński. Es decir, es naturalmente isomorfo al functor Hom con el isomorfismo natural determinado por el elemento universal. Esto se generaliza mediante la noción de pregavilla . ^[6] ${\displaystyle T:\mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle f^{-1}:{\mathcal {T}}(Y)\to {\mathcal {T}}(X).}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (S,\{1\})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,S)}$ ${\displaystyle \{1\}\in T(S).}$

La topología inicial

Cualquier espacio topológico X tiene la topología inicial inducida por la familia de funciones continuas al espacio de Sierpiński. De hecho, para hacer más tosca la topología en X se deben eliminar los conjuntos abiertos. Pero eliminar el conjunto abierto U lo volvería discontinuo. Entonces X tiene la topología más burda para la cual cada función es continua. ${\displaystyle C(X,S)}$ ${\displaystyle \chi _{U}}$ ${\displaystyle C(X,S)}$

La familia de funciones separa puntos en X si y sólo si X es un espacio T . Dos puntos y estarán separados por la función si y sólo si el conjunto abierto U contiene precisamente uno de los dos puntos. Esto es exactamente lo que significa ser topológicamente distinguible . ${\displaystyle C(X,S)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \chi _{U}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Por lo tanto, si X es T ₀ , podemos incluir X como un subespacio de un producto de espacios de Sierpiński, donde hay una copia de S para cada conjunto abierto U en X . El mapa de incrustación está dado por Dado que los subespacios y productos de los espacios T ₀ son T ₀ , se deduce que un espacio topológico es T ₀ si y sólo si es homeomorfo a un subespacio de una potencia de S . $${\displaystyle e:X\to \prod _{U\in {\mathcal {T}}(X)}S=S^{{\mathcal {T}}(X)}}$$ $${\displaystyle e(x)_{U}=\chi _{U}(x).\,}$$

En geometría algebraica

En geometría algebraica, el espacio de Sierpiński surge como el espectro de un anillo de valoración discreto como (la localización de los números enteros en el ideal primo generado por el número primo ). El punto genérico proveniente del ideal cero , corresponde al punto abierto 1, mientras que el punto especial proveniente del ideal máximo único , corresponde al punto cerrado 0. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R),}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R),}$

Ver también

• Espacio topológico finito  : espacio topológico con un número finito de puntosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Portada de Freyd , una construcción categórica relacionada con el espacio de Sierpiński
• Lista de topologías  - Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Pseudocírculo  : espacio topológico de cuatro puntos que no es de Hausdorff

Notas

1. Espacio Sierpinski en el n Lab
2. Un artículo en línea que explica la motivación de por qué la noción de "topología" se puede aplicar en la investigación de conceptos de la informática. Alex Simpson: Estructuras matemáticas para la semántica (original). Capítulo III: Espacios topológicos desde una perspectiva computacional (original). La sección "Referencias" proporciona muchos materiales en línea sobre teoría de dominios .
3. Escardó, Martín (2004). Topología sintética de tipos de datos y espacios clásicos . Apuntes Electrónicos en Informática Teórica. vol. 87. Elsevier . pag. 2004. CiteSeerX  10.1.1.129.2886 .
4. Steen y Seebach enumeran incorrectamente el espacio de Sierpiński como no completamente normal (o completamente T ₄ en su terminología).
5. Topología de Scott en el n Lab
6. Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Gavillas en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría del topos , (1992) Springer-Verlag Universitext ISBN 978-0387977102 

Referencias

• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, SEÑOR  0507446
• Michael Tiefenback (1977) "Genealogía topológica", Revista de Matemáticas 50(3): 158–60 doi :10.2307/2689505