Modelo Debye

Método en física

Peter Debye

Calor específico reducido para KCl , TiO2 y grafito , en comparación con la teoría de Debye basada en mediciones elásticas (líneas continuas). ^[1]

En termodinámica y física del estado sólido , el modelo de Debye es un método desarrollado por Peter Debye en 1912 para estimar la contribución de los fonones al calor específico ( capacidad calorífica ) en un sólido . ^[2] Trata las vibraciones de la red atómica (calor) como fonones en una caja en contraste con el modelo de fotoelectrón de Einstein , que trata al sólido como muchos osciladores armónicos cuánticos individuales que no interactúan . El modelo de Debye predice correctamente la dependencia de baja temperatura de la capacidad calorífica de los sólidos, que es proporcional a ^{[ aclaración necesaria ]} – la ley T ³ de Debye . De manera similar al modelo de fotoelectrón de Einstein, recupera la ley de Dulong-Petit a altas temperaturas. Debido a suposiciones simplificadoras, su precisión se ve afectada a temperaturas intermedias ^{[ aclaración necesaria ]} . ${\displaystyle T^{3}}$

Derivación

El modelo de Debye es un equivalente en estado sólido de la ley de Planck de la radiación del cuerpo negro , que trata la radiación electromagnética como un gas de fotones confinado en un espacio de vacío. En consecuencia, el modelo de Debye trata las vibraciones atómicas como fonones confinados en el volumen del sólido. La mayoría de los pasos de cálculo son idénticos, ya que ambos son ejemplos de un gas de Bose sin masa con una relación de dispersión lineal .

Para un cubo de lado , los modos resonantes de las perturbaciones sónicas (considerando por ahora sólo aquellas alineadas con un eje), tratadas como partículas en una caja , tienen longitudes de onda dadas como ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \lambda _{n}={2L \over n}\,,}$

donde es un entero. La energía de un fonón se expresa como ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E_{n}\ =h\nu _{n}\,,}$

donde es la constante de Planck y es la frecuencia del fonón. Haciendo la aproximación de que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda, ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \nu _{n}}$

${\displaystyle E_{n}=h\nu _{n}={hc_{\rm {s}} \over \lambda _{n}}={hc_{s}n \over 2L}\,,}$

donde es la velocidad del sonido dentro del sólido. En tres dimensiones, la energía se puede generalizar a ${\displaystyle c_{s}}$

${\displaystyle E_{n}^{2}={p_{n}^{2}c_{\rm {s}}^{2}}=\left({hc_{\rm {s}} \over 2L}\right)^{2}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,,}$

donde es la magnitud del momento tridimensional del fonón, y , , y son los componentes del modo resonante a lo largo de cada uno de los tres ejes. ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$

La aproximación de que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda (lo que da una velocidad constante del sonido ) es válida para los fonones de baja energía, pero no para los de alta energía, lo que constituye una limitación del modelo de Debye. Esta aproximación conduce a resultados incorrectos a temperaturas intermedias, mientras que los resultados son exactos en los límites de temperatura baja y alta.

La energía total en la caja, , está dada por ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U=\sum _{n}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,,}$

donde es el número de fonones en la caja con energía ; la energía total es igual a la suma de las energías en todos los niveles de energía, y la energía en un nivel dado se encuentra multiplicando su energía por el número de fonones con esa energía. En tres dimensiones, cada combinación de modos en cada uno de los tres ejes corresponde a un nivel de energía, lo que da la energía total como: ${\displaystyle {\bar {N}}(E_{n})}$ ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle U=\sum _{n_{x}}\sum _{n_{y}}\sum _{n_{z}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}$

El modelo de Debye y la ley de Planck de la radiación del cuerpo negro difieren aquí con respecto a esta suma. A diferencia de la radiación de fotones electromagnéticos en una caja, existe un número finito de estados de energía de fonones porque un fonón no puede tener una frecuencia arbitrariamente alta. Su frecuencia está limitada por su medio de propagación: la red atómica del sólido . La siguiente ilustración describe fonones transversales en un sólido cúbico a frecuencias variables:

Es razonable suponer que la longitud de onda mínima de un fonón es el doble de la separación atómica, como se muestra en el ejemplo más bajo. Con átomos en un sólido cúbico, cada eje del cubo mide átomos de longitud. La separación atómica está dada por , y la longitud de onda mínima es ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{N}}}$ ${\displaystyle L/{\sqrt[{3}]{N}}}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {min}}={2L \over {\sqrt[{3}]{N}}}\,,}$

haciendo el número máximo de modo : ${\displaystyle n_{max}}$

${\displaystyle n_{\rm {max}}={\sqrt[{3}]{N}}\,.}$

Esto contrasta con los fotones, para los cuales el número de modo máximo es infinito. Este número limita el límite superior de la suma de triple energía.

${\displaystyle U=\sum _{n_{x}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{y}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{z}}^{\sqrt[{3}]{N}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}$

Si es una función que varía lentamente con respecto a , las sumas se pueden aproximar con integrales : ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U\approx \int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{\bar {N}}\left(E(n)\right)\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}$

Para evaluar esta integral, también se debe conocer la función , el número de fonones con energía . Los fonones obedecen a la estadística de Bose-Einstein y su distribución está dada por la fórmula de la estadística de Bose-Einstein: ${\displaystyle {\bar {N}}(E)}$ ${\displaystyle E\,,}$

${\displaystyle \langle N\rangle _{BE}={1 \over e^{E/kT}-1}\,.}$

Debido a que un fonón tiene tres posibles estados de polarización (uno longitudinal y dos transversales , que aproximadamente no afectan su energía), la fórmula anterior debe multiplicarse por 3,

${\displaystyle {\bar {N}}(E)={3 \over e^{E/kT}-1}\,.}$

Considerar los tres estados de polarización juntos también significa que se debe determinar una velocidad sónica efectiva y utilizarla como valor de la velocidad sónica estándar. La temperatura de Debye definida a continuación es proporcional a ; más precisamente, , donde se promedian las velocidades de las ondas sonoras longitudinales y transversales , ponderadas por el número de estados de polarización. La temperatura de Debye o la velocidad sónica efectiva es una medida de la dureza del cristal. ${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$ ${\displaystyle c_{s}.}$ ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$ ${\displaystyle T_{\rm {D}}^{-3}\propto c_{\rm {eff}}^{-3}:={\frac {1}{3}}c_{\rm {long}}^{-3}+{\frac {2}{3}}c_{\rm {trans}}^{-3}}$

Sustituyendo en la integral energética se obtiene ${\displaystyle {\bar {N}}(E)}$

${\displaystyle U=\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}$

Estas integrales se evalúan para fotones fácilmente porque su frecuencia, al menos de manera semiclásica, no está ligada. Lo mismo no es cierto para los fonones, por lo que para aproximar esta triple integral , Peter Debye utilizó coordenadas esféricas .

${\displaystyle \ (n_{x},n_{y},n_{z})=(n\sin \theta \cos \phi ,n\sin \theta \sin \phi ,n\cos \theta )\,,}$

y aproximó el cubo a un octavo de esfera ,

${\displaystyle U\approx \int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{R}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}n^{2}\sin \theta \,dn\,d\theta \,d\phi \,,}$

¿Dónde está el radio de esta esfera? Como la función de energía no depende de ninguno de los ángulos, la ecuación se puede simplificar a ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \,3\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi \,\int _{0}^{R}E(n)\,{\frac {1}{e^{E(n)/kT}-1}}n^{2}dn\,={\frac {3\pi }{2}}\int _{0}^{R}E(n)\,{\frac {1}{e^{E(n)/kT}-1}}n^{2}dn\,}$

El número de partículas en el cubo original y en el octavo de una esfera debe ser equivalente. El volumen del cubo es el volumen de la celda unitaria . ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N={1 \over 8}{4 \over 3}\pi R^{3}\,,}$

de modo que el radio debe ser

${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}\,.}$

La sustitución de la integración sobre una esfera por la integral correcta sobre un cubo introduce otra fuente de inexactitud en el modelo resultante.

Después de hacer la sustitución esférica y sustituir en la función , la integral de energía queda ${\displaystyle E(n)\,}$

${\displaystyle U={3\pi \over 2}\int _{0}^{R}\,{hc_{s}n \over 2L}{n^{2} \over e^{hc_{\rm {s}}n/2LkT}-1}\,dn}$.

Cambiando la variable de integración a , ${\displaystyle x={hc_{\rm {s}}n \over 2LkT}}$

${\displaystyle U={3\pi \over 2}kT\left({2LkT \over hc_{\rm {s}}}\right)^{3}\int _{0}^{hc_{\rm {s}}R/2LkT}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx.}$

Para simplificar la apariencia de esta expresión, defina la temperatura de Debye ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle T_{\rm {D}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {hc_{\rm {s}}R \over 2Lk}={hc_{\rm {s}} \over 2Lk}{\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{{6 \over \pi }{N \over V}}}}$

¿Dónde está el volumen de la caja cúbica de lado de longitud ? ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

Algunos autores ^{[3] [4]} describen la temperatura de Debye como una forma abreviada de designar algunas constantes y variables dependientes del material. Sin embargo, es aproximadamente igual a la energía del fonón del modo de longitud de onda mínima, por lo que podemos interpretar la temperatura de Debye como la temperatura a la que se excita el modo de frecuencia más alta. Además, dado que todos los demás modos tienen una energía menor que el modo de frecuencia más alta, todos los modos se excitan a esta temperatura. ${\displaystyle kT_{\rm {D}}}$

A partir de la energía total, se puede calcular la energía interna específica:

${\displaystyle {\frac {U}{Nk}}=9T\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx=3TD_{3}\left({T_{\rm {D}} \over T}\right)\,,}$

donde es la tercera función de Debye . Al derivar esta función con respecto a se obtiene la capacidad calorífica adimensional: ${\displaystyle D_{3}(x)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}=9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx\,.}$

Estas fórmulas tratan el modelo de Debye a todas las temperaturas. Las fórmulas más elementales que se dan más abajo dan el comportamiento asintótico en el límite de temperaturas bajas y altas. La razón esencial de la exactitud a bajas y altas energías es, respectivamente, que el modelo de Debye da la relación de dispersión exacta a bajas frecuencias y corresponde a la densidad exacta de estados a altas temperaturas, en lo que respecta al número de vibraciones por intervalo de frecuencia. ^{[ investigación original? ]} ${\displaystyle E(\nu )}$ ${\textstyle (\int g(\nu )\,d\nu \equiv 3N)}$

Derivación de Debye

Debye derivó su ecuación de una manera diferente y más sencilla. Utilizando la mecánica de medios continuos , descubrió que el número de estados vibracionales con una frecuencia menor que un valor particular era asintótico a

${\displaystyle n\sim {1 \over 3}\nu ^{3}VF\,,}$

donde es el volumen y es un factor que calculó a partir de coeficientes de elasticidad y densidad. Combinando esta fórmula con la energía esperada de un oscilador armónico a temperatura (ya utilizada por Einstein en su modelo) daría una energía de ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}$

Si las frecuencias vibracionales continuaran hasta el infinito, esta forma da el comportamiento correcto a bajas temperaturas. Pero Debye se dio cuenta de que no podía haber más que estados vibracionales para N átomos. Supuso que en un sólido atómico , el espectro de frecuencias de los estados vibracionales continuaría siguiendo la regla anterior, hasta una frecuencia máxima elegida de modo que el número total de estados fuera ${\displaystyle T^{3}}$ ${\displaystyle 3N}$ ${\displaystyle \nu _{m}}$

${\displaystyle 3N={1 \over 3}\nu _{m}^{3}VF\,.}$

Debye sabía que esta suposición no era realmente correcta (las frecuencias más altas están más próximas entre sí de lo que se suponía), pero garantiza el comportamiento adecuado a alta temperatura (la ley de Dulong-Petit ). La energía viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int _{0}^{\nu _{m}}\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,\\&=VFkT(kT/h)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,.\end{aligned}}}$

Sustituyendo por , ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle h\nu _{m}/k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=9NkT(T/T_{\rm {D}})^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,\\&=3NkTD_{3}(T_{\rm {D}}/T)\,,\end{aligned}}}$

donde es la función que más adelante recibirá el nombre de función de Debye de tercer orden . ${\displaystyle D_{3}}$

Otra derivación

En primer lugar, la distribución de frecuencia vibracional se deriva del Apéndice VI de Introducción a la mecánica estadística de Terrell L. Hill . ^[5] Considere un sólido elástico isótropo tridimensional con N átomos en forma de paralelepípedo rectangular con lados de longitudes . La onda elástica obedecerá la ecuación de onda y será ondas planas ; considere el vector de onda y defina , de modo que ${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle l_{x}={\frac {k_{x}}{|\mathbf {k} |}},l_{y}={\frac {k_{y}}{|\mathbf {k} |}},l_{z}={\frac {k_{z}}{|\mathbf {k} |}}}$

Las soluciones a la ecuación de onda son

${\displaystyle u(x,y,z,t)=\sin(2\pi \nu t)\sin \left({\frac {2\pi l_{x}x}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{y}y}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{z}z}{\lambda }}\right)}$

y con las condiciones de contorno en , ${\displaystyle u=0}$ ${\displaystyle x,y,z=0,x=L_{x},y=L_{y},z=L_{z}}$

donde son números enteros positivos . Sustituyendo ( 2 ) en ( 1 ) y también usando la relación de dispersión , ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ ${\displaystyle c_{s}=\lambda \nu }$

${\displaystyle {\frac {n_{x}^{2}}{(2\nu L_{x}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{(2\nu L_{y}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{z}^{2}}{(2\nu L_{z}/c_{s})^{2}}}=1.}$

La ecuación anterior, para una frecuencia fija , describe un octavo de una elipse en el "espacio de modos" (un octavo porque son positivos). El número de modos con frecuencia menor que es, por lo tanto, el número de puntos integrales dentro de la elipse, que, en el límite de (es decir, para un paralelepípedo muy grande) se puede aproximar al volumen de la elipse. Por lo tanto, el número de modos con frecuencia en el rango es ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}\to \infty }$ ${\displaystyle N(\nu )}$ ${\displaystyle [0,\nu ]}$

donde es el volumen del paralelepípedo. La velocidad de onda en la dirección longitudinal es diferente de la dirección transversal y las ondas se pueden polarizar en un sentido en la dirección longitudinal y en dos sentidos en la dirección transversal y se puede definir como . ${\displaystyle V=L_{x}L_{y}L_{z}}$ ${\displaystyle {\frac {3}{c_{s}^{3}}}={\frac {1}{c_{\text{long}}^{3}}}+{\frac {2}{c_{\text{trans}}^{3}}}}$

Siguiendo la derivación de Un primer curso de termodinámica , ^[6] se define un límite superior para la frecuencia de vibración ; dado que hay átomos en el sólido, hay osciladores armónicos cuánticos (3 para cada dirección x, y, z) que oscilan en el rango de frecuencias . se puede determinar utilizando ${\displaystyle \nu _{D}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 3N}$ ${\displaystyle [0,\nu _{D}]}$ ${\displaystyle \nu _{D}}$

Definiendo , donde k es la constante de Boltzmann y h es la constante de Planck , y sustituyendo ( 4 ) en ( 3 ), ${\displaystyle \nu _{\rm {D}}={\frac {kT_{\rm {D}}}{h}}}$

Esta definición es más estándar; se puede encontrar la contribución de energía para todos los osciladores que oscilan a frecuencia . Los osciladores armónicos cuánticos pueden tener energías donde y utilizando las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , el número de partículas con energía es ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle E_{i}=(i+1/2)h\nu }$ ${\displaystyle i=0,1,2,\dotsc }$ ${\displaystyle E_{i}}$

${\displaystyle n_{i}={\frac {1}{A}}e^{-E_{i}/(kT)}={\frac {1}{A}}e^{-(i+1/2)h\nu /(kT)}.}$

La contribución energética para osciladores con frecuencia es entonces ${\displaystyle \nu }$

Al observar que (debido a que hay modos que oscilan con la frecuencia ), ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }n_{i}=dN(\nu )}$ ${\displaystyle dN(\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {1}{A}}e^{-1/2h\nu /(kT)}\sum _{i=0}^{\infty }e^{-ih\nu /(kT)}={\frac {1}{A}}e^{-1/2h\nu /(kT)}{\frac {1}{1-e^{-h\nu /(kT)}}}=dN(\nu ).}$

De arriba, podemos obtener una expresión para 1/A; sustituyéndola en ( 6 ),

${\displaystyle {\begin{aligned}dU&=dN(\nu )e^{1/2h\nu /(kT)}(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu (i+1/2)/(kT)}\\\\&=dN(\nu )(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu i/(kT)}\\&=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }ie^{-h\nu i/(kT)}\right)\\&=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}\right).\end{aligned}}}$

Integrando con respecto a ν obtenemos

${\displaystyle U={\frac {9Nh^{4}}{k^{3}T_{\rm {D}}^{3}}}\int _{0}^{\nu _{D}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}\right)\nu ^{3}d\nu .}$

Límites de temperatura

Se dice que la temperatura de un sólido de Debye es baja si , lo que conduce a ${\displaystyle T\ll T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{\infty }{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx.}$

Esta integral definida se puede evaluar exactamente:

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim {12\pi ^{4} \over 5}\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}.}$

En el límite de baja temperatura, las limitaciones del modelo de Debye mencionadas anteriormente no se aplican, y proporciona una relación correcta entre la capacidad térmica (fonónica) , la temperatura , los coeficientes elásticos y el volumen por átomo (estas últimas cantidades están contenidas en la temperatura de Debye).

Se dice que la temperatura de un sólido de Debye es alta si . El uso de si conduce a ${\displaystyle T\gg T_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle e^{x}-1\approx x}$ ${\displaystyle |x|\ll 1}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{4} \over x^{2}}\,dx}$

que al integrarse da

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 3\,.}$

Esta es la ley de Dulong-Petit , y es bastante precisa, aunque no tiene en cuenta la anarmonicidad , que hace que la capacidad térmica aumente aún más. La capacidad térmica total del sólido, si es un conductor o semiconductor , también puede contener una contribución no despreciable de los electrones.

Debye contra Einstein

Debye vs. Einstein . Capacidad calorífica predicha en función de la temperatura.

Los modelos de Debye y Einstein se corresponden estrechamente con los datos experimentales, pero el modelo de Debye es correcto a bajas temperaturas, mientras que el modelo de Einstein no lo es. Para visualizar la diferencia entre los modelos, uno naturalmente trazaría los dos en el mismo conjunto de ejes, pero esto no es inmediatamente posible ya que tanto el modelo de Einstein como el modelo de Debye proporcionan una forma funcional para la capacidad térmica. Como modelos, requieren escalas para relacionarlos con sus contrapartes del mundo real. Se puede ver que la escala del modelo de Einstein está dada por : ${\displaystyle \epsilon /k}$

${\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\epsilon \over kT}\right)^{2}{e^{\epsilon /kT} \over \left(e^{\epsilon /kT}-1\right)^{2}}.}$

La escala del modelo de Debye es , la temperatura de Debye. Ambas se encuentran generalmente ajustando los modelos a los datos experimentales. (La temperatura de Debye se puede calcular teóricamente a partir de la velocidad del sonido y las dimensiones del cristal). Debido a que los dos métodos abordan el problema desde diferentes direcciones y diferentes geometrías, las escalas de Einstein y Debye no son las mismas, es decir, ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\epsilon \over k}\neq T_{\rm {D}}\,,}$

lo que significa que trazarlos en el mismo conjunto de ejes no tiene sentido. Son dos modelos de la misma cosa, pero de diferentes escalas. Si uno define la temperatura de condensación de Einstein como

${\displaystyle T_{\rm {E}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\epsilon \over k}\,,}$

Entonces se puede decir

${\displaystyle T_{\rm {E}}\neq T_{\rm {D}}\,,}$

y, para relacionar ambos, se utiliza la razón. ${\displaystyle {\frac {T_{\rm {E}}}{T_{\rm {D}}}}\,}$

El sólido de Einstein está compuesto por osciladores armónicos cuánticos de frecuencia única , . Esa frecuencia, si realmente existiera, estaría relacionada con la velocidad del sonido en el sólido. Si uno imagina la propagación del sonido como una secuencia de átomos que chocan entre sí, entonces la frecuencia de oscilación debe corresponder a la longitud de onda mínima sostenible por la red atómica, , donde ${\displaystyle \epsilon =\hbar \omega =h\nu }$ ${\displaystyle \lambda _{min}}$

${\displaystyle \nu ={c_{\rm {s}} \over \lambda }={c_{\rm {s}}{\sqrt[{3}]{N}} \over 2L}={c_{\rm {s}} \over 2}{\sqrt[{3}]{N \over V}}}$,

lo que hace que la temperatura de Einstein y la relación buscada sea por lo tanto ${\displaystyle T_{\rm {E}}={\epsilon \over k}={h\nu \over k}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{N \over V}}\,,}$

${\displaystyle {T_{\rm {E}} \over T_{\rm {D}}}={\sqrt[{3}]{\pi \over 6}}\ =0.805995977...}$

Utilizando la relación, ambos modelos pueden representarse en el mismo gráfico. Es la raíz cúbica de la relación entre el volumen de un octante de una esfera tridimensional y el volumen del cubo que lo contiene, que es simplemente el factor de corrección utilizado por Debye al aproximar la integral de energía anterior. Alternativamente, la relación entre las dos temperaturas puede verse como la relación entre la frecuencia única de Einstein a la que oscilan todos los osciladores y la frecuencia máxima de Debye. La frecuencia única de Einstein puede verse entonces como una media de las frecuencias disponibles para el modelo de Debye.

Tabla de temperaturas de Debye

Aunque el modelo de Debye no es completamente correcto, proporciona una buena aproximación de la capacidad térmica a baja temperatura de los sólidos cristalinos aislantes en los que otras contribuciones (como los electrones de conducción altamente móviles) son insignificantes. Para los metales, la contribución de los electrones al calor es proporcional a , que a bajas temperaturas domina el resultado de Debye para las vibraciones reticulares. En este caso, solo se puede decir que el modelo de Debye aproxima la contribución reticular al calor específico. La siguiente tabla enumera las temperaturas de Debye para varios elementos puros ^[3] y el zafiro: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{3}}$

El ajuste del modelo de Debye a los datos experimentales a menudo se mejora fenomenológicamente al permitir que la temperatura de Debye se vuelva dependiente de la temperatura; ^[7] por ejemplo, el valor del hielo aumenta de aproximadamente 222 K ^[8] a 300 K ^[9] a medida que la temperatura pasa del cero absoluto a aproximadamente 100 K.

Extensión a otras cuasipartículas

Para otras cuasipartículas bosónicas , por ejemplo, magnones (ondas de espín cuantificadas) en ferroimanes en lugar de los fonones (ondas de sonido cuantificadas), se pueden derivar resultados análogos. En este caso, a bajas frecuencias, se tienen diferentes relaciones de dispersión de momento y energía, por ejemplo, en el caso de magnones, en lugar de para fonones (con ). También se tiene diferente densidad de estados (por ejemplo, ). Como consecuencia, en los ferroimanes se obtiene una contribución de los magnones a la capacidad térmica, , que domina a temperaturas suficientemente bajas la contribución de los fonones, . En los metales, por el contrario, la principal contribución a baja temperatura a la capacidad térmica, , proviene de los electrones. Es fermiónica , y se calcula mediante diferentes métodos que se remontan al modelo de electrones libres de Sommerfeld . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle E(\nu )\propto k^{2}}$ ${\displaystyle E(\nu )\propto k}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \int g(\nu ){\rm {d}}\nu \equiv N\,}$ ${\displaystyle \Delta C_{\,{\rm {V|\,magnon}}}\,\propto T^{3/2}}$ ${\displaystyle \,\Delta C_{\,{\rm {V|\,phonon}}}\propto T^{3}}$ ${\displaystyle \propto T}$

Ampliación a líquidos

Durante mucho tiempo se pensó que la teoría de fonones no es capaz de explicar la capacidad térmica de los líquidos, ya que los líquidos solo sostienen fonones longitudinales, pero no transversales, que en los sólidos son responsables de 2/3 de la capacidad térmica. Sin embargo, los experimentos de dispersión de Brillouin con neutrones y con rayos X , que confirman una intuición de Yakov Frenkel , ^[10] han demostrado que los fonones transversales existen en los líquidos, aunque restringidos a frecuencias por encima de un umbral llamado frecuencia de Frenkel. Dado que la mayor parte de la energía está contenida en estos modos de alta frecuencia, una simple modificación del modelo de Debye es suficiente para producir una buena aproximación a las capacidades térmicas experimentales de líquidos simples. ^[11] Más recientemente, se ha demostrado que los modos normales instantáneos asociados con relajaciones de puntos de silla en el paisaje energético del líquido, que dominan el espectro de frecuencia de los líquidos a bajas frecuencias, pueden determinar el calor específico de los líquidos como una función de la temperatura en un amplio rango. ^[12]

Frecuencia de Debye

La frecuencia de Debye (símbolo: o ) es un parámetro del modelo de Debye que se refiere a una frecuencia angular de corte para ondas de una cadena armónica de masas, utilizada para describir el movimiento de iones en una red cristalina y, más específicamente, para predecir correctamente que la capacidad térmica en dichos cristales es constante a altas temperaturas (ley de Dulong-Petit). El concepto fue introducido por primera vez por Peter Debye en 1912. ^[13] ${\displaystyle \omega _{\rm {Debye}}}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {D}}}$

A lo largo de esta sección, se suponen condiciones de contorno periódicas .

Definición

Suponiendo que la relación de dispersión es

${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}|\mathbf {k} |,}$

con la velocidad del sonido en el cristal y k el vector de onda, el valor de la frecuencia de Debye es el siguiente: ${\displaystyle v_{\rm {s}}}$

Para una cadena monoatómica unidimensional, la frecuencia de Debye es igual a ^[14]

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}=v_{\rm {s}}\pi /a=v_{\rm {s}}\pi N/L=v_{\rm {s}}\pi \lambda ,}$

siendo como la distancia entre dos átomos vecinos en la cadena cuando el sistema está en su estado fundamental de energía, siendo aquí que ninguno de los átomos se mueve con respecto al otro; el número total de átomos en la cadena; el tamaño del sistema, que es la longitud de la cadena; y la densidad numérica lineal . Para , , y , la relación se cumple. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L=Na}$

Para una red cuadrada monoatómica bidimensional, la frecuencia de Debye es igual a

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi }{a^{2}}}v_{\rm {s}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\rm {s}}^{2}\equiv 4\pi \sigma v_{\rm {s}}^{2},}$

con es el tamaño (área) de la superficie, y la densidad numérica de la superficie . ${\displaystyle A\equiv L^{2}=Na^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Para un cristal cúbico primitivo monoatómico tridimensional , la frecuencia de Debye es igual a ^[15]

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}}{a^{3}}}v_{\rm {s}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\rm {s}}^{3}\equiv 6\pi ^{2}\rho v_{\rm {s}}^{3},}$

con el tamaño del sistema y la densidad numérica del volumen . ${\displaystyle V\equiv L^{3}=Na^{3}}$ ${\displaystyle \rho }$

La fórmula general para la frecuencia de Debye en función de , el número de dimensiones para una red (hiper)cúbica es ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{n}=2^{n}\pi ^{n/2}\Gamma \left(1+{\tfrac {n}{2}}\right){\frac {N}{L^{n}}}v_{\rm {s}}^{n},}$

siendo la función gamma . ${\displaystyle \Gamma }$

La velocidad del sonido en el cristal depende de la masa de los átomos, la fuerza de su interacción, la presión sobre el sistema y la polarización de la onda de espín (longitudinal o transversal), entre otros factores. Para lo que sigue, se supone que la velocidad del sonido es la misma para cualquier polarización, aunque esto limita la aplicabilidad del resultado. ^[16]

Es fácil demostrar que la relación de dispersión asumida es inexacta para una cadena unidimensional de masas, pero en el modelo de Debye esto no resulta problemático. ^{[ cita requerida ]}

Relación con la temperatura de Debye

La temperatura de Debye , otro parámetro del modelo de Debye, está relacionada con la frecuencia de Debye por la relación donde es la constante de Planck reducida y es la constante de Boltzmann . ${\displaystyle \theta _{\rm {D}}}$ $${\displaystyle \theta _{\rm {D}}={\frac {\hbar }{k_{\rm {B}}}}\omega _{\rm {D}},}$$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$

Derivación de Debye

Cristal tridimensional

En la derivación de Debye de la capacidad térmica , él suma todos los modos posibles del sistema, teniendo en cuenta las diferentes direcciones y polarizaciones. Supuso que el número total de modos por polarización era , la cantidad de masas en el sistema y el total era ^[16] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N,}$

con tres polarizaciones por modo. La suma se realiza sobre todos los modos sin diferenciar entre diferentes polarizaciones y luego cuenta el número total de combinaciones de polarización-modo. Debye hizo esta suposición basándose en un supuesto de la mecánica clásica de que el número de modos por polarización en una cadena de masas siempre debe ser igual al número de masas en la cadena.

El lado izquierdo se puede hacer explícito para mostrar cómo depende de la frecuencia de Debye, introducida primero como una frecuencia de corte más allá de la cual no existen frecuencias. Al relacionar la frecuencia de corte con el número máximo de modos, se puede derivar una expresión para la frecuencia de corte.

En primer lugar, suponiendo que es muy grande ( ≫ 1, con el tamaño del sistema en cualquiera de las tres direcciones), el vector de onda más pequeño en cualquier dirección podría aproximarse mediante: , con . No pueden existir vectores de onda más pequeños debido a las condiciones de contorno periódicas . Por lo tanto, la suma se convertiría en ^[17] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle dk_{i}=2\pi /L}$ ${\displaystyle i=x,y,z}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3V}{(2\pi )^{3}}}\iiint d\mathbf {k} ,}$

donde ; es el tamaño del sistema; y la integral es (como suma) sobre todos los modos posibles, que se supone que es una región finita (limitada por la frecuencia de corte). ${\displaystyle \mathbf {k} \equiv (k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle V\equiv L^{3}}$

La integral triple podría reescribirse como una integral única sobre todos los valores posibles del valor absoluto de (ver jacobiano para coordenadas esféricas ). El resultado es ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle {\frac {3V}{(2\pi )^{3}}}\iiint d\mathbf {k} ={\frac {3V}{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{k_{\rm {D}}}|\mathbf {k} |^{2}d\mathbf {k} ,}$

con el valor absoluto del vector de onda correspondiente a la frecuencia de Debye, por lo que . ${\displaystyle k_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}=\omega _{\rm {D}}/v_{\rm {s}}}$

Como la relación de dispersión es , se puede escribir como una integral sobre todos los posibles : ${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}|\mathbf {k} |}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {3V}{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{k_{\rm {D}}}|\mathbf {k} |^{2}d\mathbf {k} ={\frac {3V}{2\pi ^{2}v_{\rm {s}}^{3}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}\omega ^{2}d\omega ,}$

Después de resolver la integral se vuelve a igualar para encontrar ${\displaystyle 3N}$

${\displaystyle {\frac {V}{2\pi ^{2}v_{\rm {s}}^{3}}}\omega _{\rm {D}}^{3}=3N.}$

Se puede reorganizar en

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\rm {s}}^{3}.}$

Cadena unidimensional en el espacio 3D

La misma derivación se podría hacer para una cadena unidimensional de átomos. El número de modos permanece invariable, porque todavía hay tres polarizaciones, por lo que

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N.}$

El resto de la derivación es análoga a la anterior, por lo que el lado izquierdo se reescribe con respecto a la frecuencia de Debye:

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3L}{2\pi }}\int _{-k_{\rm {D}}}^{k_{\rm {D}}}dk={\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega .}$

El último paso se multiplica por dos porque el integrando en la primera integral es par y los límites de integración son simétricos respecto del origen, por lo que la integral se puede reescribir como de 0 a después de escalar por un factor de 2. Esto también es equivalente a la afirmación de que el volumen de una pelota unidimensional es el doble de su radio. Al aplicar un cambio, una sustitución de , nuestros límites ahora son de 0 a , lo que nos da nuestra integral más a la derecha. Continuamos; ${\displaystyle k_{D}}$ ${\displaystyle k={\frac {\omega }{v_{s}}}}$ ${\displaystyle \omega _{D}=k_{D}v_{s}}$

${\displaystyle {\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega ={\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\omega _{\rm {D}}=3N.}$

Conclusión:

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}N}{L}}.}$

Cristal bidimensional

La misma derivación se podría hacer para un cristal bidimensional. El número de modos permanece invariable, porque todavía hay tres polarizaciones. La derivación es análoga a las dos anteriores. Comenzamos con la misma ecuación,

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N.}$

Y luego el lado izquierdo se reescribe y se equipara a ${\displaystyle 3N}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3A}{(2\pi )^{2}}}\iint d\mathbf {k} ={\frac {3A}{2\pi v_{\rm {s}}^{2}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}\omega d\omega ={\frac {3A\omega _{\rm {D}}^{2}}{4\pi v_{\rm {s}}^{2}}}=3N,}$

¿Dónde está el tamaño del sistema? ${\displaystyle A\equiv L^{2}}$

Se puede reescribir como

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\rm {s}}^{2}.}$

Dependencia de la polarización

En realidad, las ondas longitudinales suelen tener una velocidad de onda distinta a la de las ondas transversales. Suponer que las velocidades son iguales simplifica el resultado final, pero reintroducir la distinción mejora la precisión del resultado final.

La relación de dispersión se convierte en , donde , cada una corresponde a una de las tres polarizaciones. Sin embargo, la frecuencia de corte , no depende de . Podemos escribir el número total de modos como , que nuevamente es igual a . Aquí, la suma de los modos ahora depende de . ${\displaystyle \omega _{i}=v_{s,i}|\mathbf {k} |}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {D}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\rm {modes}}1}$ ${\displaystyle 3N}$ ${\displaystyle i}$

Cadena unidimensional en el espacio 3D

Se reescribe la suma sobre los modos

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\rm {modes}}1=\sum _{i}{\frac {L}{\pi v_{s,i}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega _{i}=3N.}$

El resultado es

${\displaystyle {\frac {L\omega _{\rm {D}}}{\pi }}({\frac {1}{v_{s,1}}}+{\frac {1}{v_{s,2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}}})=3N.}$

Así se encuentra la frecuencia de Debye

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi N}{L}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}}}+{\frac {1}{v_{s,2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}}}}}={\frac {3\pi N}{L}}{\frac {v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3}}{v_{s,2}v_{s,3}+v_{s,1}v_{s,3}+v_{s,1}v_{s,2}}}={\frac {\pi N}{L}}v_{\mathrm {eff} }\,.}$

La velocidad efectiva calculada es la media armónica de las velocidades para cada polarización. Suponiendo que las dos polarizaciones transversales tienen la misma velocidad de fase y frecuencia, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {3\pi N}{L}}{\frac {v_{s,t}v_{s,l}}{2v_{s,l}+v_{s,t}}}.}$

La configuración recupera la expresión derivada previamente bajo el supuesto de que la velocidad es la misma para todos los modos de polarización. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

Cristal bidimensional

La misma derivación se puede realizar para un cristal bidimensional para encontrar

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}^{2}}}+{\frac {1}{v_{s,2}^{2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}^{2}}}}}={\frac {12\pi N}{A}}{\frac {(v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3})^{2}}{(v_{s,2}v_{s,3})^{2}+(v_{s,1}v_{s,3})^{2}+(v_{s,1}v_{s,2})^{2}}}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\mathrm {eff} }^{2}\,.}$

La velocidad efectiva calculada es la raíz cuadrada de la media armónica de los cuadrados de las velocidades. Suponiendo que las dos polarizaciones transversales son iguales, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {12\pi N}{A}}{\frac {(v_{s,t}v_{s,l})^{2}}{2v_{s,l}^{2}+v_{s,t}^{2}}}.}$

La configuración recupera la expresión derivada previamente bajo el supuesto de que la velocidad es la misma para todos los modos de polarización. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

Cristal tridimensional

La misma derivación se puede realizar para un cristal tridimensional para encontrarlo (la derivación es análoga a las derivaciones anteriores)

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}^{3}}}+{\frac {1}{v_{s,2}^{3}}}+{\frac {1}{v_{s,3}^{3}}}}}={\frac {18\pi ^{2}N}{V}}{\frac {(v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3})^{3}}{(v_{s,2}v_{s,3})^{3}+(v_{s,1}v_{s,3})^{3}+(v_{s,1}v_{s,2})^{3}}}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\mathrm {eff} }^{3}\,.}$

La velocidad efectiva calculada es la raíz cúbica de la media armónica de los cubos de las velocidades. Suponiendo que las dos polarizaciones transversales son iguales, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {18\pi ^{2}N}{V}}{\frac {(v_{s,t}v_{s,l})^{3}}{2v_{s,l}^{3}+v_{s,t}^{3}}}.}$

La configuración recupera la expresión derivada previamente bajo el supuesto de que la velocidad es la misma para todos los modos de polarización. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

Derivación con la relación de dispersión real

Como sólo importan los puntos discretizados , dos ondas diferentes podrían producir la misma manifestación física (ver Phonon ).

Este problema podría hacerse más aplicable relajando el supuesto de linealidad de la relación de dispersión. En lugar de utilizar la relación de dispersión , se puede utilizar una relación de dispersión más precisa. En mecánica clásica, se sabe que para una cadena equidistante de masas que interactúan armónicamente entre sí, la relación de dispersión es ^[16] ${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}k}$

$${\displaystyle \omega (k)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|,}$$

con siendo la masa de cada átomo, la constante de resorte para el oscilador armónico , y siendo aún el espaciamiento entre átomos en el estado fundamental. Después de trazar esta relación, la estimación de Debye de la longitud de onda de corte basada en la suposición lineal sigue siendo precisa, porque para cada número de onda mayor que (es decir, para es menor que ), se podría encontrar un número de onda que sea menor que con la misma frecuencia angular. Esto significa que la manifestación física resultante para el modo con el número de onda mayor es indistinguible de la que tiene el número de onda menor. Por lo tanto, el estudio de la relación de dispersión se puede limitar a la primera zona de Brillouin sin ninguna pérdida de precisión o información. ^[18] Esto es posible porque el sistema consta de puntos discretizados , como se demuestra en la imagen animada. Dividiendo la relación de dispersión por e insertando para , encontramos que la velocidad de una onda con es ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \pi /a}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \pi /a}$ ${\textstyle k\in \left[-{\frac {\pi }{a}},{\frac {\pi }{a}}\right]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi /a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=\pi /a}$ $${\displaystyle v_{\rm {s}}(k=\pi /a)={\frac {2a}{\pi }}{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}.}$$

Simplemente insertando en la relación de dispersión original encontramos ${\displaystyle k=\pi /a}$ $${\displaystyle \omega (k=\pi /a)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}=\omega _{\rm {D}}.}$$

Combinando estos resultados se obtiene nuevamente el mismo resultado $${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}}{a}}.}$$

Sin embargo, para cualquier cadena con mayor complejidad, incluidas las cadenas diatómicas, la frecuencia de corte y la longitud de onda asociadas no son muy precisas, ya que la longitud de onda de corte es el doble de grande y la relación de dispersión consta de ramas adicionales, dos en total para una cadena diatómica. Tampoco es seguro a partir de este resultado si para sistemas de dimensiones superiores la frecuencia de corte fue predicha con precisión por Debye al tener en cuenta la relación de dispersión más precisa.

Derivación alternativa

El resultado físico de dos ondas puede ser idéntico cuando al menos una de ellas tiene una longitud de onda mayor que el doble de la distancia inicial entre las masas.

Para una cadena unidimensional, la fórmula para la frecuencia de Debye también se puede reproducir utilizando un teorema para describir el aliasing . El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon se utiliza para esta derivación, la principal diferencia es que en el caso de una cadena unidimensional, la discretización no se realiza en el tiempo, sino en el espacio.

La frecuencia de corte se puede determinar a partir de la longitud de onda de corte. Del teorema de muestreo, sabemos que para longitudes de onda menores que , o el doble de la distancia de muestreo, cada modo es una repetición de un modo con una longitud de onda mayor que , por lo que la longitud de onda de corte debería estar en . Esto da como resultado nuevamente , lo que representa ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=2a}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}={\frac {2\pi }{\lambda _{D}}}=\pi /a}$ $${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}}{a}}.}$$

No importa qué relación de dispersión se utilice, ya que se calcularía la misma frecuencia de corte.

Véase también

• Gasolina Bose
• Gas en una caja
• Parámetro de Grüneisen
• Bloch-Grüneisen temperatura
• Resistividad y conductividad eléctricas#Dependencia de la temperatura

Referencias

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9. Flubacher, P.; Leadbetter, AJ; Morrison, JA (1960). "Capacidad térmica del hielo a bajas temperaturas". The Journal of Chemical Physics . 33 (6): 1751. Bibcode :1960JChPh..33.1751F. doi :10.1063/1.1731497.
10. En su libro de texto Teoría cinética de líquidos (inglés, 1947)
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13. Debye, P. (1912). "Zur Theorie der spezifischen Wärmen". Annalen der Physik . 344 (14): 789–839. Código bibliográfico : 1912AnP...344..789D. doi : 10.1002/andp.19123441404. ISSN  1521-3889.
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18. Srivastava, GP (16 de julio de 2019). La física de los fonones. Routledge. ISBN 978-1-351-40955-1.

Lectura adicional

• Manual de química y física del CRC , 56.ª edición (1975-1976)
• Schroeder, Daniel V. Introducción a la física térmica . Addison-Wesley, San Francisco (2000). Sección 7.5.

Enlaces externos

• Determinación experimental del calor específico, conductividad térmica y térmica del cuarzo utilizando un criostato.
• Simon, Steven H. (2014) Fundamentos de Oxford sobre el estado sólido (los más relevantes: 1, 2 y 6)