Bhaskara II

Matemático y astrónomo indio (1114-1185)

Prueba de Bhaskara del teorema de Pitágoras.

Bhāskara II ^[a] ( [bʰɑːskərə] ; c. 1114–1185), también conocido como Bhāskarāchārya ( lit. ' Bhāskara el maestro ' ), fue un erudito, matemático , astrónomo e ingeniero indio . De los versos de su obra principal, Siddhāṁta Śiromaṇī, se puede inferir que nació en 1114 en Vijjadavida (Vijjalavida) y vivió en las cordilleras Satpuda de los Ghats occidentales , que se cree que es la ciudad de Patana en Chalisgaon, ubicada en la actual región de Khandesh de Maharashtra por los eruditos. ^[6] En un templo en Maharashtra, una inscripción supuestamente creada por su nieto Changadeva, enumera el linaje ancestral de Bhaskaracharya para varias generaciones antes de él, así como dos generaciones después de él. ^{[7] [8]} Henry Colebrooke, quien fue el primer europeo en traducir (1817) los clásicos matemáticos de Bhaskaracharya II, se refiere a la familia como brahmanes de Maharashtra que residen en las orillas del Godavari . ^[9] 

Nacido en una familia hindú de eruditos, matemáticos y astrónomos de la etnia brahmán deshastha , Bhaskara II fue el líder de un observatorio cósmico en Ujjain , el principal centro matemático de la antigua India. ^[10] Bhāskara y sus obras representan una contribución significativa al conocimiento matemático y astronómico en el siglo XII. Ha sido llamado el mayor matemático de la India medieval. ^[11] Su obra principal Siddhānta -Śiromaṇi ( en sánscrito , "Corona de tratados") ^[12] se divide en cuatro partes llamadas Līlāvatī , Bījagaṇita , Grahagaṇita y Golādhyāya , ^[13] que a veces también se consideran cuatro obras independientes. ^[14] Estas cuatro secciones tratan sobre aritmética, álgebra, matemáticas de los planetas y esferas respectivamente. También escribió otro tratado llamado Karaṇā Kautūhala. ^[14]

Fecha, lugar y familia

Bhāskara da su fecha de nacimiento y la fecha de composición de su obra principal, en un verso en métrica Āryā : ^[14]

Rasa-guṇa-pūrṇa-mahī-sama-śakanṛpa-samaye ऽ bhavan-mamotpattiḥ । Rasa-guṇa-varṣeṇa mayā siddhānta-śiromaṇī racitaḥ ॥ ^{[ cita necesaria ]}

Esto revela que nació en 1036 de la era Shaka (1114 d. C. ), y que compuso el Siddhānta Shiromani cuando tenía 36 años. ^[14] Siddhānta Shiromani se completó durante 1150 d. C. También escribió otra obra llamada Karaṇa-kutūhala cuando tenía 69 años (en 1183). ^[14] Sus obras muestran la influencia de Brahmagupta , Śrīdhara , Mahāvīra , Padmanābha y otros predecesores. ^[14] Bhaskara vivió en Patnadevi, ubicada cerca de Patan (Chalisgaon), en las cercanías de Sahyadri. ^[15]

Nació en una familia de brahmanes de Deśastha Rigvedi ^[16] cerca de Vijjadavida (Vijjalavida). Munishvara (siglo XVII), un comentarista de Siddhānta Shiromani de Bhaskara, ha dado la información sobre la ubicación de Vijjadavida en su obra Marīci Tīkā de la siguiente manera: ^[3]

सह्यकुलपर्वतान्तर्गत भूप्रदेशे महाराषथ ेशान्तर्गतविदर्भपरपर्यायविराटदेशादपि निकटे गोदावर्यां नातिदूरे

पंचक्रोशान्तरे विज्जलविडम्।

Esta descripción ubica a Vijjalavida en Maharashtra, cerca de la región de Vidarbha y cerca de las orillas del río Godavari . Sin embargo, los eruditos difieren sobre la ubicación exacta. Muchos eruditos han situado el lugar cerca de Patan en Chalisgaon Taluka del distrito de Jalgaon ^[17] mientras que una sección de eruditos lo identificaron con la ciudad actual de Beed. ^[1] Algunas fuentes identificaron a Vijjalavida como Bijapur o Bidar en Karnataka . ^[18] También se ha sugerido la identificación de Vijjalavida con Basar en Telangana . ^[19]

Se dice que Bhāskara fue el director de un observatorio astronómico en Ujjain , el principal centro matemático de la India medieval. La historia registra que su tatarabuelo ocupó un puesto hereditario como erudito de la corte, al igual que su hijo y otros descendientes. Su padre Maheśvara ^[15] (Maheśvaropādhyāya ^[14] ) fue un matemático, astrónomo ^[14] y astrólogo, que le enseñó matemáticas, que luego transmitió a su hijo Lokasamudra. El hijo de Lokasamudra ayudó a establecer una escuela en 1207 para el estudio de los escritos de Bhāskara. Murió en 1185 d. C.

ElSiddhanta-Shiromani

Līlāvati

Página de Lilavati , el primer volumen de Siddhānta Śiromaṇī . Uso del teorema de Pitágoras en la esquina. Edición de 1650

La primera sección, Līlāvatī (también conocida como pāṭīgaṇita o aṅkagaṇita ), lleva el nombre de su hija y consta de 277 versos. ^[14] Abarca cálculos, progresiones, mediciones , permutaciones y otros temas. ^[14]

Bijaganita

La segunda sección , Bījagaṇita (Álgebra), tiene 213 versos. ^[14] Trata sobre el cero, el infinito, los números positivos y negativos y las ecuaciones indeterminadas, incluida la ecuación de Pell (ahora llamada) , resolviéndola mediante un método kuṭṭaka ^{. [14]} En particular, también resolvió el caso que se les escaparía a Fermat y a sus contemporáneos europeos siglos después . ${\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}$

Grahaganita

En la tercera sección Grahagaṇita , al tratar el movimiento de los planetas, consideró sus velocidades instantáneas. ^[14] Llegó a la aproximación: ^[20] Consta de 451 versos

${\displaystyle \sin y'-\sin y\approx (y'-y)\cos y}$para.

${\displaystyle y'}$cerca de , o en notación moderna: ^[20] ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\sin y=\cos y}$.

En sus palabras: ^[20]

bimbārdhasya koṭijyā guṇastrijyāhāraḥ phalaṃ dorjyāyorantaram ^{[ cita requerida ]}

Este resultado también había sido observado anteriormente por Muñjalācārya (o Mañjulācārya) mānasam, en el contexto de una tabla de senos. ^[20]

Bhāskara también afirmó que en su punto más alto la velocidad instantánea de un planeta es cero. ^[20]

Matemáticas

Demostración de Bhaskaracharya del teorema de Pitágoras

Algunas de las contribuciones de Bhaskara a las matemáticas incluyen las siguientes:

• Una prueba del teorema de Pitágoras calculando la misma área de dos maneras diferentes y luego cancelando los términos para obtener a ² + b ² = c ² . ^[21]
• En Lilavati se explican soluciones de ecuaciones indeterminadas cuadráticas , cúbicas y cuárticas . ^[22]
• Soluciones de ecuaciones cuadráticas indeterminadas (del tipo ax ² + b = y ² ).
• Soluciones enteras de ecuaciones indeterminadas lineales y cuadráticas ( Kuṭṭaka ). Las reglas que proporciona son (en efecto) las mismas que las dadas por los matemáticos europeos del Renacimiento del siglo XVII.
• Método cíclico de Chakravala para resolver ecuaciones indeterminadas de la forma ax ² + bx + c = y . La solución de esta ecuación se atribuyó tradicionalmente a William Brouncker en 1657, aunque su método era más difícil que el método de Chakravala .
• El primer método general para encontrar las soluciones del problema x ² − ny ² = 1 (llamado " ecuación de Pell ") fue propuesto por Bhaskara II. ^[23]
• Soluciones de ecuaciones diofánticas de segundo orden, como 61 x ² + 1 = y ² . Esta misma ecuación fue planteada como un problema en 1657 por el matemático francés Pierre de Fermat , pero su solución fue desconocida en Europa hasta la época de Euler en el siglo XVIII. ^[22]
• Resolvió ecuaciones cuadráticas con más de una incógnita y encontró soluciones negativas e irracionales . ^{[ cita requerida ]}
• Concepto preliminar del análisis matemático .
• Concepto preliminar del cálculo infinitesimal , junto con notables contribuciones al cálculo integral . ^[24]
• Ideas preliminares del cálculo diferencial y coeficiente diferencial .
• En sus obras se encuentran también rastros del teorema general del valor medio. En su obra se enuncia el teorema de Rolle , un caso especial de uno de los teoremas más importantes del análisis, el teorema del valor medio .
• Calculó las derivadas de funciones y fórmulas trigonométricas. (Ver la sección Cálculo a continuación).
• En Siddhanta-Śiromaṇi , Bhaskara desarrolló la trigonometría esférica junto con otros resultados trigonométricos (véase la sección Trigonometría a continuación).

Aritmética

El texto aritmético de Bhaskara, Līlāvatī, cubre los temas de definiciones, términos aritméticos, cálculos de interés, progresiones aritméticas y geométricas, geometría plana , geometría sólida , la sombra del gnomon , métodos para resolver ecuaciones indeterminadas y combinaciones .

Līlāvatī se divide en 13 capítulos y abarca muchas ramas de las matemáticas, la aritmética, el álgebra, la geometría y un poco de trigonometría y medición. Más específicamente, los contenidos incluyen:

• Definiciones.
• Propiedades del cero (incluida la división y reglas de operaciones con cero).
• Trabajo numérico posterior más extenso, incluido el uso de números negativos y radicales .
• Estimación de π .
• Términos aritméticos, métodos de multiplicación y cuadrado .
• Regla de tres inversa , y reglas del 3, 5, 7, 9 y 11.
• Problemas que involucran intereses y cálculo de intereses.
• Ecuaciones indeterminadas ( Kuṭṭaka ), soluciones enteras (de primer y segundo orden). Sus contribuciones a este tema son particularmente importantes, ^{[ cita requerida ]} ya que las reglas que da son (en efecto) las mismas que las dadas por los matemáticos europeos del renacimiento del siglo XVII, aunque su trabajo era del siglo XII. El método de resolución de Bhaskara fue una mejora de los métodos encontrados en el trabajo de Aryabhata y matemáticos posteriores.

Su obra destaca por su sistematización, sus métodos mejorados y los nuevos temas que introdujo. Además, el Lilavati contenía excelentes problemas y se piensa que la intención de Bhaskara pudo haber sido que un estudiante de 'Lilavati' se ocupara de la aplicación mecánica del método. ^{[ cita requerida ]}

Álgebra

Su Bījaganita (" Álgebra ") fue una obra de doce capítulos. Fue el primer texto en reconocer que un número positivo tiene dos raíces cuadradas (una raíz cuadrada positiva y otra negativa). ^[25] Su obra Bījaganita es en realidad un tratado sobre álgebra y contiene los siguientes temas:

• Números positivos y negativos .
• Lo 'desconocido' (incluye la determinación de cantidades desconocidas).
• Determinación de cantidades desconocidas.
• Surds (incluye la evaluación de surds y sus raíces cuadradas).
• Kuṭṭaka (para resolver ecuaciones indeterminadas y ecuaciones diofánticas ).
• Ecuaciones simples (indeterminadas de segundo, tercer y cuarto grado).
• Ecuaciones simples con más de una incógnita.
• Ecuaciones cuadráticas indeterminadas (del tipo ax ² + b = y ² ).
• Soluciones de ecuaciones indeterminadas de segundo, tercer y cuarto grado.
• Ecuaciones cuadráticas.
• Ecuaciones cuadráticas con más de una incógnita.
• Operaciones con productos de varias incógnitas.

Bhaskara derivó un método cíclico, chakravala, para resolver ecuaciones cuadráticas indeterminadas de la forma ax ² + bx + c = y. ^[25] El método de Bhaskara para encontrar las soluciones del problema Nx ² + 1 = y ² (la llamada " ecuación de Pell ") es de considerable importancia. ^[23]

Trigonometría

El Siddhānta Shiromani (escrito en 1150) demuestra el conocimiento de Bhaskara sobre trigonometría, incluyendo la tabla de senos y las relaciones entre diferentes funciones trigonométricas. También desarrolló la trigonometría esférica , junto con otros resultados trigonométricos interesantes . En particular, Bhaskara parecía más interesado en la trigonometría por sí misma que sus predecesores, quienes la veían solo como una herramienta para el cálculo. Entre los muchos resultados interesantes dados por Bhaskara, los resultados que se encuentran en sus obras incluyen el cálculo de los senos de ángulos de 18 y 36 grados, y las ahora bien conocidas fórmulas para y . ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$ ${\displaystyle \sin \left(a-b\right)}$

Cálculo

Su obra, el Siddhānta Shiromani , es un tratado astronómico y contiene muchas teorías que no se encuentran en obras anteriores. ^{[ cita requerida ]} Los conceptos preliminares de cálculo infinitesimal y análisis matemático , junto con una serie de resultados en trigonometría , cálculo diferencial y cálculo integral que se encuentran en la obra son de particular interés.

La evidencia sugiere que Bhaskara estaba familiarizado con algunas ideas del cálculo diferencial. ^[25] Bhaskara también profundiza en el "cálculo diferencial" y sugiere que el coeficiente diferencial se desvanece en un valor extremo de la función, lo que indica conocimiento del concepto de " infinitesimales ". ^[26]

• En su obra hay evidencia de una forma temprana del teorema de Rolle . La formulación moderna del teorema de Rolle establece que si , entonces para algunos con . ${\displaystyle f\left(a\right)=f\left(b\right)=0}$ ${\displaystyle f'\left(x\right)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ a<x<b}$
• En esta obra astronómica, presentó un procedimiento que parece precursor de los métodos infinitesimales, en el sentido de que si entonces esa es una derivada del seno, aunque no desarrolló el concepto de derivada. ^[27] ${\displaystyle x\approx y}$ ${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y)}$
  • Bhaskara utiliza este resultado para calcular el ángulo de posición de la eclíptica , una cantidad necesaria para predecir con precisión la hora de un eclipse.
• Al calcular el movimiento instantáneo de un planeta, el intervalo de tiempo entre las posiciones sucesivas de los planetas no era mayor que un truti , o 1 ⁄ 33750 de segundo, y su medida de velocidad se expresó en esta unidad infinitesimal de tiempo.
• Sabía que cuando una variable alcanza el valor máximo, su diferencial desaparece.
• También demostró que cuando un planeta está en su punto más alejado de la Tierra, o en su punto más cercano, la ecuación del centro (medida de qué tan lejos está un planeta de la posición en la que se predice que estará, asumiendo que se moverá uniformemente) se desvanece. Por lo tanto, concluyó que para alguna posición intermedia, la diferencial de la ecuación del centro es igual a cero. ^{[ cita requerida ]} En este resultado, hay rastros del teorema general del valor medio , uno de los teoremas más importantes en análisis, que hoy en día generalmente se deriva del teorema de Rolle. La fórmula del valor medio para la interpolación inversa del seno fue fundada más tarde por Parameshvara en el siglo XV en el Lilavati Bhasya , un comentario sobre el Lilavati de Bhaskara .

Madhava (1340–1425) y los matemáticos de la Escuela de Kerala (incluido Parameshvara ) del siglo XIV al siglo XVI ampliaron el trabajo de Bhaskara y avanzaron aún más en el desarrollo del cálculo en la India. ^{[ cita requerida ]}

Astronomía

Utilizando un modelo astronómico desarrollado por Brahmagupta en el siglo VII, Bhāskara definió con precisión muchas cantidades astronómicas, incluyendo, por ejemplo, la duración del año sideral , el tiempo que la Tierra necesita para orbitar alrededor del Sol, como aproximadamente 365,2588 días, que es lo mismo que en Suryasiddhanta. ^[28] La medida moderna aceptada es 365,25636 días , una diferencia de 3,5 minutos. ^[29]

Su texto de astronomía matemática Siddhanta Shiromani está escrito en dos partes: la primera parte sobre astronomía matemática y la segunda parte sobre la esfera .

Los doce capítulos de la primera parte abarcan temas como:

• Longitudes medias de los planetas .
• Longitudes reales de los planetas.
• Los tres problemas de la rotación diurna . El movimiento diurno se refiere al movimiento diario aparente de las estrellas alrededor de la Tierra, o más precisamente alrededor de los dos polos celestes. Es causado por la rotación de la Tierra sobre su eje, por lo que cada estrella aparentemente se mueve en un círculo que se llama círculo diurno.
• Sicigias .
• Eclipses lunares .
• Eclipses solares .
• Latitudes de los planetas.
• Ecuación del amanecer .
• La luna creciente .​
• Conjunciones de los planetas entre sí.
• Conjunciones de los planetas con las estrellas fijas .
• Los caminos del Sol y la Luna.

La segunda parte contiene trece capítulos sobre la esfera. Trata temas como:

• Elogio del estudio de la esfera.
• Naturaleza de la esfera.
• Cosmografía y geografía .
• Movimiento medio planetario .
• Modelo epicíclico excéntrico de los planetas.
• La esfera armilar .
• Trigonometría esférica .
• Cálculos de elipses . ^{[ cita requerida ]}
• Primeras visibilidades de los planetas.
• Calcular la media luna lunar.
• Instrumentos astronómicos.
• Las estaciones .
• Problemas de cálculos astronómicos.

Ingeniería

La primera referencia a una máquina de movimiento perpetuo se remonta a 1150, cuando Bhāskara II describió una rueda que, según él, funcionaría eternamente. ^[30]

Bhāskara II inventó una variedad de instrumentos, uno de los cuales es el Yaṣṭi-yantra . Este dispositivo podía variar desde un simple palo hasta bastones en forma de V diseñados específicamente para determinar ángulos con la ayuda de una escala calibrada. ^[31]

Leyendas

En su libro Lilavati , razona: "En esta cantidad que tiene cero como divisor no hay cambio incluso cuando muchas cantidades han entrado en ella o han salido [de ella], tal como en el momento de la destrucción y la creación cuando multitudes de criaturas entran y salen de [él, no hay cambio en] el infinito e inmutable [Vishnu]". ^[32]

"¡Mirad!"

Varios autores han afirmado que Bhaskara II demostró el teorema de Pitágoras dibujando un diagrama y proporcionando una sola palabra: "¡He aquí!". ^{[33] [34]} A veces se omite el nombre de Bhaskara y esto se conoce como la prueba hindú , bien conocida por los escolares. ^[35]

Sin embargo, como señala el historiador de las matemáticas Kim Plofker, después de presentar un ejemplo resuelto, Bhaskara II enuncia el teorema de Pitágoras:

Por tanto, para abreviar, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados del brazo y del montante es la hipotenusa: así queda demostrado. ^[36]

A esto le sigue:

Y por lo demás, cuando se han fijado aquellas partes de la figura, con verlas [basta]. ^[36]

Plofker sugiere que esta declaración adicional puede ser la fuente última de la extendida leyenda "¡He aquí!".

Legado

Varios institutos y universidades de la India llevan su nombre, entre ellos el Bhaskaracharya Pratishthana en Pune, el Bhaskaracharya College of Applied Sciences en Delhi y el Bhaskaracharya Institute for Space Applications and Geo-Informatics en Gandhinagar.

El 20 de noviembre de 1981, la Organización de Investigación Espacial de la India (ISRO) lanzó el satélite Bhaskara II en honor al matemático y astrónomo. ^[37]

Invis Multimedia lanzó Bhaskaracharya , un cortometraje documental indio sobre el matemático en 2015. ^{[38] [39]}

Véase también

• Lista de matemáticos indios
• Silla de la novia
• Bijapallava

Notas

1. para evitar confusiones con el matemático del siglo VII Bhāskara I ,

Referencias

1. Victor J. Katz, ed. (10 de agosto de 2021). Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India e Islam: un libro de consulta. Princeton University Press. pág. 447. ISBN 978-0691114859.
2. Revista India de Historia de la Ciencia, Volumen 35, Instituto Nacional de Ciencias de la India, 2000, pág. 77
3. MS Compañero; GT Kulkarni, eds. (1974). Estudios de Indología e Historia Medieval: Volumen Felicitación del Prof. GH Khare. Joshi y Lokhande Prakashan. págs. 42–47. OCLC  4136967.
4. KV Ramesh; SP Tewari; MJ Sharma, eds. (1990). Volumen de felicitaciones del Dr. GS Gai. Agam Kala Prakashan. pág. 119. ISBN 978-0-8364-2597-0.OCLC 464078172  .
5. Actas, Congreso de Historia de la India, Volumen 40, Congreso de Historia de la India, 1979, pág. 71
6. TA Saraswathi (2017). "Bhaskaracharya". Líderes culturales de la India: científicos . División de publicaciones del Ministerio de Información y Radiodifusión. ISBN 9788123024851.
7. गणिती (término marathi que significa matemáticos) por Achyut Godbole y Dr. Thakurdesai, Manovikas, primera edición 23, diciembre de 2013, pág. 34.
8. Matemáticas en la India, por Kim Plofker, Princeton University Press, 2009, pág. 182
9. Álgebra con aritmética y medición del sánscrito de Brahmegupta y Bhascara por Henry Colebrooke, Scholiasts of Bhascara p., xxvii
10. Sahni 2019, pág. 50.
11. Chopra 1982, págs. 52–54.
12. Plofker 2009, pág. 71.
13. Poulose 1991, pág. 79.
14. S. Balachandra Rao (13 de julio de 2014), ನವ ಜನ್ಮಶತಾಬ್ದಿಯ ಗಣಿತರ್ಷಿ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾ ರ್ಯ, Vijayavani , pág. 17 , consultado el 12 de noviembre de 2019.^{[ ¿ Fuente poco confiable? ]}
15. Pingree 1970, pág. 299.
16. The Illustrated Weekly of India, Volumen 95. Bennett, Coleman & Company, Limited, en The Times of India Press. 1974. pág. 30. Los deshasthas han contribuido a la matemática y la literatura, así como al patrimonio cultural y religioso de la India. Bhaskaracharaya fue uno de los matemáticos más importantes de la antigua India.
17. Bhau Daji (1865). «Breves notas sobre la antigüedad y autenticidad de las obras de Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhattotpala y Bhaskaracharya». Revista de la Royal Asiatic Society de Gran Bretaña e Irlanda, págs. 392–406.
18. "1. Mentes encendidas, página 39 por APJ Abdul Kalam, 2. Prof Sudakara Divedi (1855-1910), 3. Dr. BA Salethor (Cultura india), 4. Publicaciones del gobierno de Karnataka, 5. Dr. Nararajan (Lilavati 1989), 6. Detalles del profesor Sinivas (Ganitashatra Chrithra by1955, 7. Aalur Venkarayaru (Karnataka Gathvibaya 1917, 8. Declaración de prensa del primer ministro en sarawad en 2018, 9. Vasudev Herkal (artículos de Syukatha Karnataka), 10. Manjunath sulali (Deccan Herald 19/04 /2010, 11. Arqueología india 1994-96 Una revisión página 32, Dr. RK Kulkarni (Artículos)"
19. Revista trimestral del BISM, Poona, vol. 63, núm. 1, 1984, págs. 14-22
20. Scientist (13 de julio de 2014), ನವ ಜನ್ಮಶತಾಬ್ದಿಯ ಗಣಿತರ್ಷಿ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ Vi, jayavani , pág. 21 , recuperado 12 de noviembre 2019^{[ ¿ Fuente poco confiable? ]}
21. Versos 128, 129 en Bijaganita Plofker 2007, págs. 476–477
22. Logros matemáticos de los matemáticos indios premodernos por TK Puttaswamy
23. Stillwell 2002, pág. 74.
24. Estudiantes y Británica India. 1. De la A a la C por Indu Ramchandani
25. 50 científicos eternos por K. Krishna Murty
26. Shukla 1984, págs. 95-104.
27. Cooke 1997, págs. 213-215.
28. "El gran matemático bharatiya Bhaskaracharya II". The Times of India . Consultado el 24 de mayo de 2023 .
29. IERS EOP PC Constantes útiles. Un día SI o día solar medio equivale a 86400 segundos SI . A partir de la longitud media referida a la eclíptica media y al equinoccio J2000, que se da en Simon, JL, et al., "Numerical Expressions for Precession Formulae and Mean Elements for the Moon and the Planets" Astronomy and Astrophysics 282 (1994), 663–683. Bibcode :1994A&A...282..663S
30. White 1978, págs. 52–53.
31. Selin 2008, págs. 269–273.
32. Colebrooke 1817.
33. Eves 1990, pág. 228
34. Burton 2011, pág. 106
35. Mazur 2005, págs. 19-20
36. Plofker 2007, pág. 477
37. Bhaskara NASA 16 de septiembre de 2017
38. "Anand Narayanan". IIST . Consultado el 21 de febrero de 2021 .
39. "El gran matemático indio Bhaskaracharya". indiavideodotorg. 22 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2021.

Bibliografía

• Burton, David M. (2011), La historia de las matemáticas: una introducción (7.ª ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
• Eves, Howard (1990), Introducción a la historia de las matemáticas (6.ª ed.), Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029558-4
• Mazur, Joseph (2005), Euclides en la selva tropical , Plume, ISBN 978-0-452-28783-9
• Sarkār, Benoy Kumar (1918), Logros hindúes en la ciencia exacta: un estudio sobre la historia del desarrollo científico , Longmans, Green y co.
• Seal, Sir Brajendranath (1915), Las ciencias positivas de los antiguos hindúes , Longmans, Green y compañía.
• Colebrooke, Henry T. (1817), Aritmética y medición de Brahmegupta y Bhaskara
• White, Lynn Townsend (1978), "El Tíbet, la India y Malasia como fuentes de tecnología medieval occidental", Religión y tecnología medieval: ensayos recopilados, University of California Press, ISBN 978-0-852-0-312-0 978-0-520-03566-9
• Selin, Helaine , ed. (2008), "Instrumentos astronómicos en la India", Enciclopedia de la historia de la ciencia, la tecnología y la medicina en culturas no occidentales (2.ª edición) , Springer Verlag Ny, ISBN 978-1-4020-4559-2
• Shukla, Kripa Shankar (1984), "Uso del cálculo en las matemáticas hindúes", Indian Journal of History of Science , 19 : 95-104
• Pingree, David Edwin (1970), Censo de las ciencias exactas en sánscrito, vol. 146, American Philosophical Society, ISBN 9780871691460
• Plofker, Kim (2007), "Matemáticas en la India", en Katz, Victor J. (ed.), Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India y el Islam: un libro de consulta , Princeton University Press, ISBN 9780691114859
• Plofker, Kim (2009), Matemáticas en la India , Princeton University Press, ISBN 9780691120676
• Cooke, Roger (1997), "Las matemáticas de los hindúes", La historia de las matemáticas: un breve curso , Wiley-Interscience, págs. 213-215, ISBN 0-471-18082-3
• Poulose, KG (1991), KG Poulose (ed.), Patrimonio científico de la India, matemáticas , Ravivarma Samskr̥ta granthāvali, vol. 22, Gobierno. Colegio de Sánscrito (Tripunithura, India)
• Chopra, Pran Nath (1982), Religiones y comunidades de la India , Vision Books, ISBN 978-0-85692-081-3
• Goonatilake, Susantha (1999), Hacia una ciencia global: la explotación del conocimiento de las civilizaciones , Indiana University Press, ISBN 978-0-253-21182-8
• Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , eds. (2001), "Matemáticas a través de culturas: la historia de las matemáticas no occidentales", Science Across Cultures , 2 , Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1
• Stillwell, John (2002), Matemáticas y su historia, Textos de pregrado en matemáticas , Springer, ISBN 978-0-387-95336-6
• Sahni, Madhu (2019), Pedagogía de las matemáticas, Editorial Vikas, ISBN 978-9353383275

Lectura adicional

• WW Rouse Ball. Breve relato de la historia de las matemáticas , 4.ª edición. Dover Publications, 1960.
• George Gheverghese Joseph. La cresta del pavo real: raíces no europeas de las matemáticas , 2.ª edición. Penguin Books , 2000.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Bhāskara II", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews Universidad de St Andrews , 2000.
• Ian Pearce. Bhaskaracharya II en el archivo MacTutor. Universidad de St Andrews, 2002.
• Pingree, David (1970–1980). "Bhāskara II". Diccionario de biografía científica . Vol. 2. Nueva York: Charles Scribner's Sons. págs. 115–120. ISBN 978-0-684-10114-9.

Enlaces externos

• Biografía de 4to40