Volumen

Cantidad de espacio tridimensional

El volumen es una medida de regiones en el espacio tridimensional . ^[1] A menudo se cuantifica numéricamente utilizando unidades derivadas del SI (como el metro cúbico y el litro ) o mediante varias unidades imperiales o habituales de EE. UU. (como el galón , el cuarto y la pulgada cúbica ). La definición de longitud (al cubo) está interrelacionada con el volumen. Generalmente se entiende por volumen de un contenedor la capacidad del mismo; es decir, la cantidad de fluido (gas o líquido) que el contenedor podría contener, en lugar de la cantidad de espacio que el propio contenedor desplaza. Por metonimia, el término "volumen" a veces se utiliza para referirse a la región correspondiente (p. ej., volumen delimitador ). ^{[2] [3]}

En la antigüedad, el volumen se medía utilizando recipientes naturales de formas similares. Posteriormente se utilizaron contenedores estandarizados. El volumen de algunas formas tridimensionales simples se puede calcular fácilmente mediante fórmulas aritméticas . Los volúmenes de formas más complicadas se pueden calcular con cálculo integral si existe una fórmula para el límite de la forma. Los objetos cero , unidimensionales y bidimensionales no tienen volumen; en cuarta dimensión y superiores, un concepto análogo al volumen normal es el hipervolumen.

Historia

Historia antigua

6 medidas volumétricas de la mens ponderia de Pompeya , antigua institución municipal para el control de pesos y medidas

La precisión de las mediciones de volumen en el período antiguo suele oscilar entre 10 y 50 ml (0,3 a 2 onzas líquidas estadounidenses; 0,4 a 2 onzas líquidas imp). ^{[4] : 8} La evidencia más temprana del cálculo de volumen provino del antiguo Egipto y Mesopotamia como problemas matemáticos, que aproximaban el volumen de formas simples como cuboides , cilindros , troncos y conos . Estos problemas matemáticos se escribieron en el Papiro Matemático de Moscú (c. 1820 a. C.). ^{[5] : 403} En el Papiro Reisner , los antiguos egipcios escribieron unidades concretas de volumen para granos y líquidos, así como una tabla de largo, ancho, profundidad y volumen para bloques de material. ^{[4] : 116} Los egipcios usan sus unidades de longitud (el codo , la palma , el dígito ) para idear sus unidades de volumen, como el volumen codo ^{[4] : ​​117} o negar ^{[5] : 396} (1 codo × 1 codo × 1 codo), palma de volumen (1 codo × 1 codo × 1 palma) y dígito de volumen (1 codo × 1 codo × 1 dígito). ^{[4] : 117}

Los últimos tres libros de los Elementos de Euclides , escritos alrededor del año 300 a. C., detallaban las fórmulas exactas para calcular el volumen de paralelepípedos , conos, pirámides , cilindros y esferas . La fórmula fue determinada por matemáticos anteriores mediante el uso de una forma primitiva de integración , rompiendo las formas en partes más pequeñas y simples. ^{[5] : 403} Un siglo después, Arquímedes ( c.  287 – 212 a. C. ) ideó una fórmula de volumen aproximada de varias formas utilizando el método de agotamiento , es decir, derivar soluciones de fórmulas conocidas previamente a partir de formas similares. La integración primitiva de formas también fue descubierta de forma independiente por Liu Hui en el siglo III d.C., Zu Chongzhi en el siglo V d.C., Oriente Medio y la India . ^{[5] : 404}

Arquímedes también ideó una manera de calcular el volumen de un objeto irregular, sumergiéndolo bajo el agua y midiendo la diferencia entre el volumen de agua inicial y final. La diferencia de volumen de agua es el volumen del objeto. ^{[5] : 404} Aunque muy popularizado, Arquímedes probablemente no sumerge la corona de oro para encontrar su volumen y, por tanto, su densidad y pureza, debido a la extrema precisión que implica. ^[6] En cambio, probablemente haya ideado una forma primitiva de equilibrio hidrostático . Aquí, la corona y un trozo de oro puro con un peso similar se colocan en ambos extremos de una balanza sumergida bajo el agua, que se inclina en consecuencia según el principio de Arquímedes . ^[7]

Cálculo y estandarización de unidades.

Diagrama que muestra cómo medir el volumen usando un cilindro graduado con marcas de drenaje de líquido , 1926

En la Edad Media se fabricaron muchas unidades para medir el volumen, como el sester , el ámbar, el coomb y la costura . La gran cantidad de tales unidades motivó a los reyes británicos a estandarizarlas, lo que culminó en el estatuto de Assize of Bread and Ale en 1258 por Enrique III de Inglaterra . El estatuto estandarizó el peso, la longitud y el volumen e introdujo el peny, la onza, la libra, el galón y el bushel. ^{[4] : 73–74} En 1618, la Farmacopea de Londres (catálogo de compuestos medicinales) adoptó el galón romano ^[8] o congius ^[9] como unidad básica de volumen y proporcionó una tabla de conversión a las unidades de peso de los boticarios. ^[8] Alrededor de este tiempo, las mediciones de volumen se vuelven más precisas y la incertidumbre se reduce a entre 1 y 5 ml (0,03 a 0,2 onzas líquidas estadounidenses; 0,04 a 0,2 onzas líquidas imp). ^{[4] : 8}

A principios del siglo XVII, Bonaventura Cavalieri aplicó la filosofía del cálculo integral moderno para calcular el volumen de cualquier objeto. Ideó el principio de Cavalieri , que decía que usar cortes cada vez más finos de la forma haría que el volumen resultante fuera cada vez más preciso. Esta idea sería posteriormente ampliada por Pierre de Fermat , John Wallis , Isaac Barrow , James Gregory , Isaac Newton , Gottfried Wilhelm Leibniz y Maria Gaetana Agnesi en los siglos XVII y XVIII para formar el cálculo integral moderno, que sigue en uso en el siglo XIX. Siglo 21. ^{[5] : 404}

Métricas y redefiniciones

El 7 de abril de 1795, el sistema métrico se definió formalmente en la ley francesa utilizando seis unidades. Tres de ellos están relacionados con el volumen: el stère  (1 m ³ ) para el volumen de leña; el litro  (1 dm ³ ) para volúmenes de líquido; y el gramo , para masa, definida como la masa de un centímetro cúbico de agua en su máxima densidad, a aproximadamente 4 °C (39 °F). ^{[ cita necesaria ]} Treinta años después, en 1824, el galón imperial se definió como el volumen ocupado por diez libras de agua a 17 ° C (62 ° F). ^{[5] : 394} Esta definición se perfeccionó aún más hasta la Ley de Pesos y Medidas del Reino Unido de 1985 , que hace que 1 galón imperial sea exactamente igual a 4,54609 litros sin uso de agua. ^[10]

La redefinición del metro en 1960 desde el Prototipo Internacional de Metro a la línea de emisión naranja-roja de los átomos de criptón-86 liberó el metro, el metro cúbico y el litro de los objetos físicos. Esto también hace que el metro y las unidades de volumen derivadas del metro sean resistentes a los cambios en el prototipo de metro internacional. ^[11] La definición de metro se redefinió nuevamente en 1983 para usar la velocidad de la luz y el segundo (que se deriva del estándar de cesio ) y se reformuló para mayor claridad en 2019 . ^[12]

Propiedades

Como medida del espacio tridimensional euclidiano , el volumen no se puede medir físicamente como un valor negativo, similar a la longitud y el área . Como todas las medidas continuas monótonas (que preservan el orden), los volúmenes de los cuerpos se pueden comparar entre sí y, por tanto, ordenarse. El volumen también se puede sumar y descomponer indefinidamente; esta última propiedad es parte integral del principio de Cavalieri y del cálculo infinitesimal de cuerpos tridimensionales. ^[13] Una 'unidad' de volumen infinitamente pequeño en cálculo integral es el elemento de volumen ; esta formulación es útil cuando se trabaja con diferentes sistemas de coordenadas , espacios y variedades .

El volumen en general es un contenido de Jordan , por lo que el volumen satisfaría estos axiomas : ^{[ cita necesaria ]}

• Para todo S en M , a ( S ) ≥ 0 .

• Si S y T están en M entonces también lo están S ∪ T y S ∩ T , y también a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) − a ( S ∩ T ) .
• Si S y T están en M con S ⊆ T entonces T − S está en M y a ( T − S ) = a ( T ) − a ( S ) .
• Si un conjunto S está en M y S es congruente con T entonces T también está en M y a ( S ) = a ( T ) .
• Todo cuboide R está en M . Si el rectángulo tiene largo a , ancho b y alto c , entonces V ( R ) = abc .
• Sea Q un conjunto encerrado entre dos regiones escalonadas S y T. Una región escalonada se forma a partir de una unión finita de un cuboide adyacente que descansa sobre una superficie común, es decir , S ⊆ Q ⊆ T. Si hay un número único c tal que a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) para todas esas regiones escalonadas S y T , entonces a ( Q ) = c .

Medición

La forma más antigua de medir aproximadamente el volumen de un objeto es utilizando el cuerpo humano, como por ejemplo usando el tamaño de la mano y pellizcos . Sin embargo, las variaciones del cuerpo humano lo hacen extremadamente poco confiable. Una mejor manera de medir el volumen es utilizar recipientes más o menos consistentes y duraderos que se encuentran en la naturaleza, como calabazas , estómagos de oveja o cerdo y vejigas . Más tarde, con la mejora de la metalurgia y la producción de vidrio , hoy en día los volúmenes pequeños se suelen medir utilizando contenedores estandarizados fabricados por el hombre. ^{[5] : 393} Este método es común para medir pequeños volúmenes de fluidos o materiales granulares , utilizando un múltiplo o una fracción del recipiente. Para materiales granulares, el recipiente se sacude o nivela para formar una superficie aproximadamente plana. Este método no es la forma más precisa de medir el volumen, pero se utiliza a menudo para medir ingredientes para cocinar . ^{[5] : 399}

La pipeta de desplazamiento de aire se utiliza en biología y bioquímica para medir el volumen de fluidos a escala microscópica. ^[14] Las tazas y cucharas medidoras calibradas son adecuadas para la cocina y las aplicaciones de la vida diaria, sin embargo, no son lo suficientemente precisas para los laboratorios . Allí se mide el volumen de los líquidos mediante probetas graduadas , pipetas y matraces aforados . Los contenedores calibrados más grandes son los tanques de almacenamiento de petróleo ; algunos pueden contener hasta 1.000.000  bbl (160.000.000 L) de fluidos. ^{[5] : 399} Incluso a esta escala, conociendo la densidad y la temperatura del petróleo, aún se pueden realizar mediciones de volumen muy precisas en estos tanques. ^{[5] : 403}

Para volúmenes aún mayores, como en un depósito , el volumen del contenedor se modela mediante formas y se calcula mediante matemáticas. ^{[5] : 403} La tarea de calcular numéricamente el volumen de objetos se estudia en el campo de la geometría computacional en informática, investigando algoritmos eficientes para realizar este cálculo, de forma aproximada o exacta , para varios tipos de objetos. Por ejemplo, la técnica de aproximación del volumen convexo muestra cómo aproximar el volumen de cualquier cuerpo convexo utilizando un oráculo de membresía . ^{[ cita necesaria ]}

Unidades

Algunas unidades SI de volumen a escala y masa aproximada de agua correspondiente

Para facilitar los cálculos, una unidad de volumen es igual al volumen que ocupa un cubo unitario (con una longitud de lado uno). Debido a que el volumen ocupa tres dimensiones, si se elige el metro (m) como unidad de longitud, la unidad de volumen correspondiente es el metro cúbico (m ³ ). El metro cúbico también es una unidad derivada del SI . ^[15] Por lo tanto, el volumen tiene una dimensión unitaria de L ³ . ^[dieciséis]

Las unidades métricas de volumen utilizan prefijos métricos , estrictamente en potencias de diez . Al aplicar prefijos a unidades de volumen, que se expresan en unidades de longitud al cubo, los operadores cúbicos se aplican a la unidad de longitud que incluye el prefijo. Un ejemplo de conversión de centímetros cúbicos a metros cúbicos es: 2,3 cm ³ = 2,3 (cm) ³ = 2,3 (0,01 m) ³ = 0,0000023 m ³ (cinco ceros). ^{[17] : 143}

Los prefijos comúnmente utilizados para unidades de longitud cúbicas son el milímetro cúbico (mm ³ ), el centímetro cúbico (cm ³ ), el decímetro cúbico (dm ³ ), el metro cúbico (m ³ ) y el kilómetro cúbico (km ³ ). La conversión entre las unidades de prefijo es la siguiente: 1000 mm ³ = 1 cm ³ , 1000 cm ³ = 1 dm ³ y 1000 dm ³ = 1 m ³ . ^[1] El sistema métrico también incluye el litro (L) como unidad de volumen, donde 1 L = 1 dm ³ = 1000 cm ³ = 0,001 m ³ . ^{[17] : 145} Para la unidad de litro, los prefijos comúnmente utilizados son mililitro (mL), centilitro (cL) y litro (L), siendo 1000 mL = 1 L, 10 mL = 1 cL, 10 cL = 1 dL, y 10 dL = 1 L. ^[1]

Los litros se usan más comúnmente para artículos (como fluidos y sólidos que se pueden verter) que se miden por la capacidad o el tamaño de su contenedor, mientras que los metros cúbicos (y unidades derivadas) se usan más comúnmente para artículos medidos por sus dimensiones o sus desplazamientos. ^{[ cita necesaria ]}

También se utilizan otras unidades de volumen imperiales o habituales de EE. UU. , entre ellas: ^{[5] : 396–398}

• pulgada cúbica , pie cúbico , yarda cúbica , acre-pie , milla cúbica ;
• minim , dracma , onza líquida , pinta ;
• cuchara pequeña , cuchara grande o cucharón ;
• branquias , cuartos , galones , barriles ;
• cordón , picotazo , bushel , hogshead .

Capacidad y volumen

La capacidad es la cantidad máxima de material que puede contener un contenedor, medida en volumen o peso . Sin embargo, no es necesario que el volumen contenido se llene hasta alcanzar la capacidad del contenedor, o viceversa. Los contenedores sólo pueden contener una cantidad específica de volumen físico, no de peso (excluyendo cuestiones prácticas). Por ejemplo, un tanque de 50.000 bbl (7.900.000 L) que sólo puede contener 7.200 t (15.900.000 lb) de fueloil no podrá contener las mismas 7.200 t (15.900.000 lb) de nafta , debido a la menor densidad de la nafta y, por lo tanto, a su mayor volumen. . ^{[5] : 390–391}

Cálculo

Formas básicas

Para muchas formas, como el cubo , el cuboide y el cilindro , tienen esencialmente la misma fórmula de cálculo de volumen que la del prisma : la base de la forma multiplicada por su altura .

Cálculo integral

Ilustración de un sólido de revolución, en el que el volumen de g(x) girado resta el volumen de f(x) girado.

El cálculo del volumen es una parte vital del cálculo integral . Uno de los cuales es calcular el volumen de sólidos de revolución , haciendo girar una curva plana alrededor de una recta en el mismo plano. El método de integración de arandela o disco se utiliza cuando se integra por un eje paralelo al eje de rotación. La ecuación general se puede escribir como:

$${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx}$$

^{[18] : 1, 3}de integración de capa^{[18] : 6} ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle g(x)}$

$${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx}$$

región Despacio tridimensionalintegral triple o de volumenfunción^{[19] : Sección 14.4} ${\displaystyle f(x,y,z)=1}$

$${\displaystyle \iiint _{D}1\,dx\,dy\,dz.}$$

En coordenadas cilíndricas , la integral de volumen es

$${\displaystyle \iiint _{D}r\,dr\,d\theta \,dz,}$$

En coordenadas esféricas (usando la convención para ángulos con como azimut y medido desde el eje polar; ver más sobre convenciones ), la integral de volumen es ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \iiint _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}$$

Modelado geométrico

Malla triangular de baja poli de un delfín.

Una malla poligonal es una representación de la superficie del objeto, utilizando polígonos . La malla de volumen define explícitamente sus propiedades de volumen y superficie.

Cantidades derivadas

• La densidad es la masa de la sustancia por unidad de volumen, o la masa total dividida por el volumen total. ^[20]
• El volumen específico es el volumen total dividido por la masa, o la inversa de la densidad. ^[21]
• El caudal volumétrico o descarga es el volumen de fluido que pasa por una superficie determinada por unidad de tiempo.
• La capacidad calorífica volumétrica es la capacidad calorífica de una sustancia dividida por su volumen.

Ver también

• Franquicia de equipaje
• Paradoja de Banach-Tarski
• Peso dimensional
• Dimensionamiento

Notas

1. A temperatura y presión constantes, ignorando otros estados de la materia por brevedad.

Referencias

1. "Unidades SI - Volumen". Instituto Nacional de Estándares y Tecnología . 13 de abril de 2022. Archivado desde el original el 7 de agosto de 2022 . Consultado el 7 de agosto de 2022 .
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enlaces externos

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